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2025年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市東河區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、單選題
1．質(zhì)檢員抽查4袋方便面，其中超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從質(zhì)量的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)品是（ ）
A． B． C． D．
2．右圖是我們生活中常用的“空心卷紙”，其主視圖為（ ）

A． B． C． D．
3．如圖，數(shù)軸上被手掌遮擋住的數(shù)可能是 （ ）
A． B． C． D．
4．下列運(yùn)算正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．如圖，直線，點(diǎn)在直線上，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交直線，于，兩點(diǎn)，連接，．若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
6．如果關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么k的最小整數(shù)值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知點(diǎn)，，在同一個(gè)函數(shù)圖象上，則這個(gè)函數(shù)圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、解答題
8．如圖，一艘輪船在海面上航行，準(zhǔn)備要停靠到碼頭，當(dāng)輪船航行到處時(shí)，測(cè)得碼頭在北偏東方向上，此時(shí)收到北偏東方向處的一發(fā)生故障漁船的求助信號(hào)，這艘輪船調(diào)整航向，沿著方向繼續(xù)航行海里到達(dá)處對(duì)漁船進(jìn)行了救助，又沿著南偏東方向航行到達(dá)碼頭．
(1)求的度數(shù)；
(2)求輪船從處到碼頭距離．（結(jié)果精確到海里．參考數(shù)據(jù)：，，，）
9．計(jì)算
(1)
(2)
10．某區(qū)域快遞分揀站隨機(jī)抽取、兩種型號(hào)的智能機(jī)器人各臺(tái)，統(tǒng)計(jì)它們每天可分揀的快遞數(shù)量．
【數(shù)據(jù)收集與整理】
型號(hào)的智能機(jī)器人每天可分揀的快遞數(shù)量（單位：萬(wàn)件）條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：
型號(hào)的智能機(jī)器人每天可分揀的快遞數(shù)量（單位：萬(wàn)件）如表所示：
分揀快遞數(shù)量（萬(wàn)件）
機(jī)器人臺(tái)數(shù)（臺(tái)）
【數(shù)據(jù)分析與運(yùn)用】
兩組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差整理如表：
眾數(shù)/萬(wàn)件 中位數(shù)/萬(wàn)件 平均數(shù)/萬(wàn)件 方差
A型號(hào) 和 b
B型號(hào)
請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：
(1)填空：表中_____________，_______________；
(2)若某快遞公司只能購(gòu)買一種型號(hào)的智能機(jī)器人，請(qǐng)你結(jié)合“數(shù)據(jù)分析與運(yùn)用”，為該公司提出一條合理化建議．
(3)若某快遞公司新購(gòu)進(jìn)型號(hào)智能機(jī)器人臺(tái)，型號(hào)智能機(jī)器人臺(tái)，隨機(jī)抽取兩臺(tái)分揀快遞，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求抽取的智能機(jī)器人恰是同一型號(hào)智能機(jī)器人的概率．
11．隨著新能源汽車的逐漸增加，為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)的充電樁，已知甲型充電樁比乙型充電樁的單價(jià)多萬(wàn)元，用16萬(wàn)元購(gòu)買甲型充電樁與用12萬(wàn)元購(gòu)買乙型充電樁的數(shù)量相等．
(1)甲、乙兩種型號(hào)充電樁的單價(jià)各是多少？
(2)該停車場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)的充電樁共30個(gè)，且乙型充電樁的購(gòu)買數(shù)量不超過(guò)甲型充電樁購(gòu)買數(shù)量的2倍，則如何購(gòu)買所需總費(fèi)用最少？
12．如圖，為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，為上一點(diǎn)，連接分別是的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
(1)若，求證：是的切線；
(2)在（1）的條件下，若，求的半徑．
13．如圖，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為的正方形紙片的邊上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．
(1)把紙片展平，射線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，判斷圖1中與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)在（1）條件下，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求出線段的長(zhǎng)度；
(3)在（1）條件下，如圖3，點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，連接，若，求線段的長(zhǎng)．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線．點(diǎn)是直線下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)連接，并將沿軸對(duì)折，得到四邊形，是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，求的最大值．
三、填空題
15．若、滿足，則代數(shù)式的值為 ．
16．小明要把一篇文章錄入電腦，所需時(shí)間y（min）與錄入文字的速度x（字/min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．如果小明要在7min內(nèi)完成錄入任務(wù)，那么他錄入文字的速度至少為 字/min．
17．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜邊AB=2，O是AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，線段OC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓心角為90°的扇形OEF，弧EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則圖中陰影部分的面積為 ．
18．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交、于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)、，作直線交、于點(diǎn)、，連接、，若，，則的長(zhǎng)為 ．
2025年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市東河區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C B C C D D
1．D
【詳解】解：∵
∴最接近標(biāo)準(zhǔn)，
故選D．
2．C
【詳解】解：卷紙的主視圖應(yīng)是：
，
故選：C．
3．B
【詳解】解：A選項(xiàng)：，在和之間，故A選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)：，在和之間，故B選項(xiàng)符合題意；
C選項(xiàng)：，在和之間，故C選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)：，在和之間，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
4．C
【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故此選項(xiàng)正確，符合題意；
D、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C
5．C
【詳解】解：如圖；
，，
，
以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交直線、于、兩點(diǎn)，
，
，
，
．
故選：C．
6．D
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴，
解得，
∴k的最小整數(shù)值是3，
故選：D．
7．D
【詳解】解： ，，
∴關(guān)于軸對(duì)稱，
∵，在同一個(gè)函數(shù)圖象上，
∴該函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因此選項(xiàng)A和C是錯(cuò)誤的；
∵，在同一個(gè)函數(shù)圖象上，且，
∴在軸的左邊，隨的增大而減小，因此選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；
正確的選項(xiàng)是D．
故選：D．
8．(1)
(2)輪船從處到碼頭距離約為海里
【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
則，
，
，
，
；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，
在中，，，
，
，
在中，，
，
（海里），
答：輪船從處到碼頭距離約為海里．
9．(1)
(2)
【詳解】（1）解：
（2）解：
10．(1)，；
(2)見(jiàn)解析；
(3)．
【詳解】（1）解：由統(tǒng)計(jì)表可知，型機(jī)器人每天分揀快遞數(shù)量的眾數(shù)是，
由條形統(tǒng)計(jì)圖可知，
型機(jī)器人每天可分揀快遞的數(shù)量從小到大排列為：、、、、、、、、、，
其中第名和第名都是萬(wàn)件，
型機(jī)器人分揀快遞數(shù)量的中位數(shù)是，
故答案為：，；
（2）解：合理化建議：
型號(hào)智能機(jī)器人每天可分揀快遞數(shù)量的平均數(shù)高于型號(hào)智能機(jī)器人，所以購(gòu)買型號(hào)智能機(jī)器人．
（3）解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下圖所示，
由樹(shù)狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中抽取的智能機(jī)器人恰是同一型號(hào)智能機(jī)器人的結(jié)果有種，
（抽取的智能機(jī)器人恰是同一型號(hào)智能機(jī)器人）．
11．(1)甲型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元，乙型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元
(2)購(gòu)買甲型充電樁10個(gè)，乙型充電樁20個(gè)，所需總費(fèi)用最少
【詳解】（1）解：設(shè)乙型充電樁的單價(jià)是萬(wàn)元，則甲型充電樁的單價(jià)是萬(wàn)元，
由題意得：
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，
∴，
答：甲型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元，乙型充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元．
（2）設(shè)購(gòu)買甲型充電樁的數(shù)量為個(gè)，則購(gòu)買乙型充電樁的數(shù)量為個(gè)，
由題意得：，
解得：，
設(shè)所需總費(fèi)用為萬(wàn)元，
由題意得：
∵
∴隨的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，
答：購(gòu)買甲型充電樁10個(gè)，乙型充電樁20個(gè)，所需總費(fèi)用最少．
12．(1)見(jiàn)解析
(2)3
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵，
∴，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵為半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵，
∴設(shè)，
在中，根據(jù)勾股定理，得，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∵是的中點(diǎn)，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理，
得，，解得（舍），
∴，
∴的半徑為3．
13．(1)，理由見(jiàn)解析
(2)
(3)
【詳解】（1）解：，理由如下：
正方形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，
由折疊軸對(duì)稱性可得：，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
；
（2）正方形紙片的邊長(zhǎng)為，
，，，
，
由折疊軸對(duì)稱性可得：，，，
又，
，
設(shè)，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
由（1）得，，
，
，
在中，，
，
，
；
（3），
，
在中，，
，
在中，，
正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
14．(1)
(2)
(3)最大值為
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線，
解得
∴拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：如圖，存在點(diǎn)，使四邊形為菱形，
理由如下：在中，當(dāng)，
∴，
假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)，使四邊形為菱形，連接交于點(diǎn)，
∵四邊形為菱形，，
∴于點(diǎn)，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
由，得，（不合題意，舍去），
故存在點(diǎn)，使四邊形為菱形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）如圖，延長(zhǎng)交軸于，過(guò)作軸交于，
在中，令，得，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
∵，
∴，解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，
設(shè)，則，
∴，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．
15．-6
【詳解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案為：-6．
16．200
【詳解】解∶設(shè)，
把代入，得，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，
∴小明錄入文字的速度至少為200字/min．
故答案為：200．
17．
【詳解】解：∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴AO=BO=CO=1，
∵∠ACB=90°，∠EOF=90°，
∴∠CMO+∠CNO=180°，
又∠AMO+∠CMO=180°，
∴∠AMO=∠CNO，
又∠A=∠B，AO=CO，
∴△AMO≌△CNO．
∴四邊形CMON的面積=△CMO的面積+△CNO的面積=△CMO的面積+△CNO的面積=△ACO的面積=△ABC面積的一半．
∴陰影部分的面積=扇形OEF的面積－四邊形CMON的面積=扇形OEF的面積－△ACO的面積=．
故答案為．
18．
【詳解】解：如圖，過(guò)作于，
由作法得
平分，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
設(shè)，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
，
故答案為：．

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