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平行線中的“拐點”問題
類型1 平行線間的“外凸拐點”問題
當兩條平行線不是被第三條直線所截，而是被一條折線所截時，則不能直接應用平行線的性質，因此需過折線的“轉折點”作一條平行線，利用平行公理的推論得出三條直線互相平行，從而多次利用平行線的性質解決問題.
例1 如圖，如果AB//CD//EF ,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= ( )
A.180° B. 270° C. 360° D. 540°
例1圖 變式1圖
變式1 如圖，若AB//CD，則∠A+∠E+∠F+∠C= ______.
類型2 平行線間的“內凹拐點”問題
如圖，已知AB//CD，試判斷∠B,∠BED和∠D 之間的數量關系：∠BED=∠B+∠D
理由如下：過點E作EF//AB .
則∠B=∠BEF .
∵AB//CD ,
∴EF//CD .
∴∠DEF=∠D .
∵∠BED=∠BEF+∠DEF ,
∴∠BED=∠B+∠D .
例2 如圖，直線AB//CD，GE⊥EF于點E .若∠BGE=60° ，則∠EFD 的度數是( )
60° B. 30° C. 40° D. 70°
類型3 平行線外部的“拐點”問題
例3 已知AB//CD，E為AB，CD 外部的任意一點.
（1）如圖1，探究∠BED與∠B，∠D 之間的數量關系，并說明理由.
（2）如圖2，探究∠CDE與∠B，∠BED 之間的數量關系，并說明理由.
例4 如圖，AB//CD ，且∠A=40° ，∠D=24° ，則∠E= ( )
40° B. 32° C. 24° D. 16°
例4圖 變式2圖
變式2 （1）如圖1，AB//CD,則∠E+∠G ____∠B+∠F+∠D（填“> ”“< ”或“= ”）.
如圖2，若AB//CD，則∠E1,∠E2, ,∠En與∠B,∠D ,∠F1,∠F2, ,∠Fn 1 之間有什么數量關系：
練習
1.為保護中學生的視力，某公司推出了護眼燈，其側面示意圖（臺燈底座高度忽略不計）如圖所示，其中BC⊥AB，ED//AB.經使用發現，當∠DCB=140°時，臺燈光線最佳，則此時∠EDC 的度數為( )
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
第1題圖 第2題圖
2.如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部AB 與支撐平臺CD平行.若∠1=30°，∠3=150° ，則∠2 的度數為( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
3.如圖，直線m//n ，將一塊含有30°角的直角三角板按如圖所示的方式放置.若∠1=40°，則∠2 的度數為( )
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
第3題圖 第4題圖
4.如圖，AB//CD，點E，F分別在AB，CD 上，點M在兩條平行線之間，∠AEM與∠CFM的平分線相交于點N .若∠EMF=n° ，則∠ENF= .（用含n 的式子表示）
5.如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90° .
（1）請判斷AB與CD 的位置關系，并說明理由.
（2）如圖2，當∠E=90° 且AB與CD 的位置關系保持不變時，移動直角頂點E，使∠MCE=∠ECD，當直角頂點E移動時，∠BAE與∠MCD 是否存在確定的數量關系？并說明理由.
（3）如圖3，P為線段AC上一定點，Q為直線CD上一動點，且AB與CD 的位置關系保持不變，當點Q在射線CD上運動時（不與點C 重合），∠CQP+∠CPQ與∠BAC 有何數量關系？猜想這個結論并說明理由.
平行線中的“拐點”問題答案
類型1 例1 C
變式1 540°
類型2 例2 B
類型3 例3解：（1）∠B=∠BED+∠D .理由如下：
過點E作EF//AB .
∴∠BEF=∠B .
∵AB//CD
∴EF//CD .
∴∠D=∠DEF .
∵∠BEF=∠BED+∠DEF ,
∴∠B=∠BED+∠D .
（2）∠CDE=∠B+∠BED .理由如下：
過點E作EF//AB .
∴∠B=∠BEF .
∵AB//CD ，
∴EF//CD .
∴∠CDE=∠DEF .
∵∠DEF=∠BEF+∠BED ，
∴∠CDE=∠B+∠BED .
例4 D
變式3（1）= （2）∠B+∠F1+∠F2+ +∠Fn 1+∠D=∠E1+∠E2+ +∠En .
練習1.A 2.A 3.A 4.(180 1/2n)
5.解：（1）AB//CD .理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC ，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE .
∵∠EAC+∠ACE=90° ，
∴∠BAC+∠ACD=180° .
∴AB//CD .
（2）存在，∠BAE+1/2∠MCD=90° .理由如下：
過點E向右側作EF//AB .
∵AB//CD，∴EF//AB//CD .
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE .
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°
∴∠BAE+∠ECD=90°
∵∠MCE=∠ECD=1/2∠MCD ，
∴∠BAE+1/2∠MCD=90° .
（3）∠BAC=∠CQP+∠CPQ .理由如下：
過點P向左側作直線PG//AB，則PG//CD .
∴∠BAC=∠GPC,∠GPQ=∠CQP .
∵∠GPC=∠GPQ+∠CPQ ,
∴∠BAC=∠GPQ+∠CPQ=∠CQP+∠CPQ .

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