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期末專項訓練：根據平行線的性質求角度-2024-2025學年數學七年級下冊人教版（2024）
1．如圖，，連接的平分線交于點．
【問題探究】
（1）如圖1，判斷與的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，點在的延長線上，連接交于點，若，平分嗎？為什么？
【問題解決】
（3）如圖3，點是線段上一點，連接，過點作交于點．在射線上取一點，連接，若，求的度數．
2．已知點A，B，C，D，E均為定點，直線，點P為射線上一個動點（點P不與點A重合），連接，
(1)如圖1，當點P在線段上時，若，，直接寫出的度數：______．
(2)如圖2，點M為直線下方的動點，連接，平分，當點P在線段上時，連接，若平分，用等式表示與之間的數量關系，并證明；
3．如圖1，點分別在直線和上，，射線從射線的位置開始，繞點以每秒的速度逆時針旋轉，同時射線從射線的位置開始，繞點以每秒的速度逆時針旋轉，射線旋轉到的位置時，兩者停止運動．設旋轉時間為秒．
(1)①的度數為___________（用的代數式表示）；
②當射線經過點時，此時的度數為____________．
(2)在轉動過程中，是否存在某個時刻，使得射線與射線所在直線的夾角為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
(3)在轉動過程中，若射線與射線交于點，過點作交直線于點，與的數量關系是否發生變化？若不變，請求出其數量關系；若改變，請說明理由．
4．如圖1，是直線上兩點，點在點左側，過點的直線與過點的直線交于點．直線交直線于點，滿足點在線段上，．
(1)求證：；
(2)如圖2，點在直線、之間，平分，平分，點在同一直線上，且，求的度數；
(3)在（2）的條件下，若點是直線上一點，直線交直線于點，點在點左側，請直接寫出和的數量關系．（題中所有角都是大于且小于的角）
5．如圖1，、被直線所截，點D是線段上的點，過點D作，連接AE，．
(1)請說明的理由．
(2)將線段沿著直線平移得到線段，連接．
①如圖2，當時，求的度數；
②在整個運動中，當時，則 ．（直接寫出答案即可）
6．如圖是一種躺椅及其簡化結構示意圖，扶手與底座都平行于地面，靠背與支架平行，后支架過D點，交于G，與交于N，當與正好垂直，時，人躺著最舒服，求此時的度數．

7．【問題探究】
（1）如圖①，，E為，之間一點，連接，．則與，之間有怎樣的數量關系，并說明理由；
【靈活應用】
（2）如圖②，，若，，求的度數
8．綜合與探究
【問題情境】數學課上，李老師出示了這樣一道題：
如圖1，，點，分別在，上，點為直線上方一點，連接，，探究，與之間的數量關系．
經過思考后，勤奮小組交流了自己的想法：
勤奮小組：如圖2，通過作，發現，，由此即可求出，與之間的數量關系．
【解決問題】
（1）請你根據勤奮小組的思路，探究，與之間的數量關系．
【遷移探究】
（2）聽完勤奮小組的想法，創新小組突發奇想：如圖3，當點在直線的下方，且在點的右側時，（1）中的結論是否仍然成立？請幫助創新小組說明理由．
【拓展探究】
（3）如圖4，，點，分別在，上，點是直線，之間一點，，平分，平分，與交于點，請直接寫出的度數．
9．已知直線分別交直線，直線于點，點，射線平分，射線平分，．
(1)如圖1，求證：；
(2)點為射線上一動點，從點出發，運動到，，三點共線時停止，的角平分線為，的角平分線交直線于點．
①如圖2，當時，求的度數；
②試探究與的數量關系，并說明理由．
10．【問題情境】
學完平行線的性質與判定后，老師給出如下問題：如圖，點在線段上，，，與平行嗎？為什么？
【問題解決】
（1）請解答老師提出的問題．（提示：延長交于點）
【深入探究】
（2）如圖，，平分，平分交的延長線于點，過點作，用等式表示與的數量關系．（提示：過點作的平行線）
【特例探究】
（3）在（）的基礎上，若比大，請直接寫出的度數．
11．在學習完《相交線與平行線》后，同學們對平行線產生了濃厚的興趣，蔡老師圍繞平行線的知識在班級開展課題學習活動，探究平行線的“等角轉化”功能．
(1)【問題初探】如圖1，，，求證：．
(2)【拓展探究】在（1）的條件下，試問與之間滿足怎樣的數量關系？并說明理由．
(3)【遷移應用】
① 路燈維護工程車的工作示意圖如圖2，工作籃底部與支撐平臺平行，已知，則 ；
② 一種路燈的示意圖如圖3所示，其底部支架與吊線平行，燈桿與底部支架所成銳角，頂部支架與燈桿所成銳角，求與所成銳角的度數．
12．在現代化的智能工廠中，機械臂的精準操作依賴于精確的方向控制．如圖所示，有兩條平行的機械軌道與，即，將機械臂與軌道的接觸點記為，機械臂與軌道的接觸點記為，為了實現復雜的操作任務，通過關節和關節來調節三個機械臂、和的位置，在實際運行過程中，為確保穩定，三個機械臂、和不共線．
(1)如圖1所示，當機械臂時，證明．
(2)如圖2所示，當，，時，______（用含的式子表示）
(3)當，時，直接寫出與的數量關系．（用含的式子表示）
《期末專項訓練：根據平行線的性質求角度-2024-2025學年數學七年級下冊人教版（2024）》參考答案
1．（1），理由見解析；（2）平分，理由見解析；（3）
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質與判定定理是解題的關鍵．
（1）由平行線的性質得到，由角平分線的定義得到，據此可得結論；
（2）過點F作，證明，得到，則，再證明，得到，則，平分；
（3）先求出，再由平行線的性質和角平分線的定義得到，則，進而可得，根據，得到點M在點P下方，則．
【詳解】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）平分，理由如下：
如圖所示，過點F作，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴點M在點P下方，
∴．
2．(1)
(2)
【分析】本題考查了平行線的判定及性質，角平分線的有關計算；
（1）過作，由平行線的判定方法得，由平行線的性質得，，由角的和差，即可求解；
（2）過作，過作，由平行線的判定方法得，由平行線的性質得，，，，結合角平分線的定義及角的和差，即可得證；
能根據題意添加輔助線，并能熟練平行線的判定及性質，角平分線的定義進行求解是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：過作，
，
，
，
，
；
故答案為：；
（2）解：，
證明：過作，過作，
，
，
，
，
，
，
平分， 平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．(1)①；②
(2)存在，t值為秒或秒．
(3)與的數量關系發生變化，理由見解析
【分析】本題考查平行線的性質，三角形內角和與外角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵，注意分類討論思想的應用．
（1）①根據旋轉角度等于旋轉速度乘以時間，列式即可；②由，得，則，求解得，即可求解．
（2）分三種情況：當射線與射線的反向延長線相交于G，且時 ；當射線與射線相交于G，且時；當射線與射線相交于G，且時；分別求解即可．
（3）當時，射線與射線交于點，求得，即可得出結論．
【詳解】（1）解：①如圖，
∵射線從射線的位置開始，繞點以每秒的速度逆時針旋轉，
∴
故答案為：；
②如圖：
∵
∴
∴，
解得：，
∴
∴
故答案為：．
（2）解：當射線與射線的反向延長線相交于G，且時 ，如圖，
∵
∴
∵，
∴
解得：；
當射線與射線相交于G，且時，如圖，
∵，，
∴
解得：（不符合題意，舍去）；
當射線與射線相交于G，且時，如圖，
∵
∴
解得：；
綜上，存在，射線與射線所在直線的夾角為，t值為秒或秒．
（3）解：與的數量關系要發生變化．
理由：當時，射線與射線交于點，如圖，
∵
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴與的數量關系要隨著t的發生而變化．
4．(1)見解析
(2)
(3)和的數量關系為或或或．
【分析】本題考查了平行線性質和判定，角平分線性質，解題的關鍵在于利用“分類討論”的數學思想解決問題．
（1）如圖，過點作，利用平行線性質推出，再結合平行線判定定理即可證明；
（2）過點作，結合平行線性質，以及角平分線性質得到，，再結合，，代換求解，即可解題；
（3）根據點在點左側，分四種情況①當點在延長線上時，②當點在線段上時，③當點在延長線上時（在平行線之間），④當點在延長線上時（且在直線下方），結合平行線性質求解，即可解題．
【詳解】（1）證明：如圖，過點作，
，
，
，
，
；
（2）解：過點作，
，
，
，
，平分，平分，
，
，
，，
，
解得；
（3）解：①當點在延長線上時，
，
，
，平分，
，
，
即和的數量關系為；
②當點在線段上時，
，
，
，平分，
，
，
即和的數量關系為；
③當點在延長線上時（且在平行線之間），
，
，
，平分，
，
，
即和的數量關系為；
④當點在延長線上時（且在直線下方），
，
，
，
，
即和的數量關系為；
綜上所述：和的數量關系為或或或．
5．(1)證明見解析
(2)①；②或
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，垂線的定義，熟知平行線的性質與判定定理是解題的關鍵．
（1）根據平行線的性質得到，等量代換得到，于是得到結論；
（2）①如圖2，過作交于，根據平行線的性質即可得到結論；
②分圖3和圖4兩種情況，過作交于，根據平行線的性質即可得到結論．
【詳解】（1）證明：∵，
，
，
，
；
（2）解：①如圖2，過作交于，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
；
②如圖3，過作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如圖4，過作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
綜上所述，的度數為或．
6．
【分析】此題考查平行線的性質的運用，解題關鍵在于掌握兩直線平行，內錯角相等．
先根據平行線的性質，得出，再根據，即可得到，再根據平行線的性質，即可得到的度數．
【詳解】∵扶手與底座都平行于地面，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
7．（1），見解析；（2）
【分析】此題考查了平行線的性質和判定，解題的關鍵是掌握平行線的性質和判定．
（1）首先證明出，然后根據平行線的性質求解即可；
（2）首先求出，然后求出，然后根據求解即可．
【詳解】解：（1）．
理由如下：如答圖，過點E作．
又，
，
，．
又，
；
（2），，
．
又，
．
由題知，
．
8．（1），見解析；（2）不成立，見解析；（3）
【分析】本題考查了平行線的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
（1）利用平行線的性質即可解答；
（2）作，利用平行線的性質即可解答；
（3）過點作，利用平行線的性質和角平分線的計算即可解答．
【詳解】（1），，
，
，，
；
（2）不成立，理由如下：
如圖，作，
，，
，
，，
，即；
（3）如圖，過點作，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，
在四邊形中，．
9．(1)詳見解析
(2)①；②，理由見解析
【分析】此題重點考查平行線的性質、三角形內角和定理、四邊形的內角和等于、角平分線的定義、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和等知識，推導出及是解題的關鍵．
（1）由射線平分，射線平分，得，，由，得，則；
（2）①設直線交射線于點，則，所以，而，所以，則，即可根據四邊形的內角和等于求得；
②作，則，，所以，同理，而，且，所以．
【詳解】（1）證明：射線平分，射線平分，
，，
，
，
，
．
（2）解：如圖2，設直線交射線于點，則，
，
，
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
的度數是．
②解：．
理由：如圖3，作，則，
，，
，
同理，
，，
，
，
．
10．（）平行，理由見解析；（）；（）．
【分析】本題考查了平行線的判定與性質，平行公理推論，角平分線定義，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
（）延長交于點，由，，證明，所以，又，則，從而求證；
（）過點作的平行線，則有，所以，，，，因為平分，平分，所以，，然后通過線段和差即可求解；
（）利用（）中結論即可求解．
【詳解】解：（）平行，理由如下，
如圖，延長交于點，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（），理由如下，
如圖，過點作的平行線，
∵，，
∴，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（）∵比大，
∴，
由（）得
∴．
11．(1)見解析
(2)，理由見解析
(3)①；②與所成銳角的度數為
【分析】本題考查平行線的判定和性質，平行線的應用，掌握平行線的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
（1）根據平行線的判定定理可得，再根據平行線的性質定理可得，結合可得，即可證明；
（2）過點F作交于點G，則，根據平行線的性質即可證明；
（3）①參照（2）中方法，構造平行線，利用平行線的性質求解；②過點E作，根據平行線的判定定理和性質定理求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
證明：過點F作交于點G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：①如圖，作，則，
，，
，
故答案為：；
② 過點E作，
由題意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：與所成銳角的度數為．
12．(1)見解析
(2)
(3)或或或
【分析】（1）延長交于E，利用平行線的性質即可求證；
（2）分別過點P、Q作，即可得出，再利用平行線的性質即可求解；
（3）分不同的圖形進行討論，并分別過點P、Q作，即可得出，再利用平行線的性質即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，延長交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：；
理由：如圖，分別過點P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當，，時，
；
（3）解：或或或；
理由如下：如圖2-1，分別過點P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當，時，
，
∴；
如圖2-2，分別過點P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當，時，
∴；
如圖2-3，分別過點P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當，時，
∴；
如圖2-4，分別過點P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當，時，
∴；
綜上可得：或或或．
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，涉及到了兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，同旁內角互補，平行線的傳遞性等知識，解題關鍵是分類討論，作出輔助線求解，本題的難點是畫出圖形，考查了學生的想象能力與邏輯思維能力．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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