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期末模擬測試卷-2024-2025學年數學八年級下冊北師大版
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列等式從左到右的變形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．以下列各組線段為邊，能構成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．如圖，完整的數軸上有兩點，分別表示和，且點在點左側，則的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
5．在中，與的度數之比為，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，在中，，以為底邊在外作等腰三角形，過點作的平分線，分別交于點．若，，，是直線上的一個動點，則周長的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．《九章算術》中有一道關于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠的城市，所需時間比規定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規定時間少2天，已知快馬的速度是慢馬的倍，求規定時間．設規定時間為x天，則下列分式方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如圖，過點D分別作，垂足分別為點E，F，且，連接與相交于點O．則下列結論不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．因式分解： ．
10．已知等腰三角形，若邊上的高線與邊的夾角為，則邊的長為 ．
11．在平面直角坐標系中，若點和點關于原點中心對稱，則的值為 ．
12．如圖，將繞點O逆時針旋轉后得到，若，則的度數是 ．

13．如圖，在平面直角坐標系中，為等邊三角形，為坐標原點，點關于軸的對稱點為，連接．．，，，若點在軸的負半軸上，則的度數為 ；
14．若關于x的不等式組有且只有三個整數解，且關于y的方程的解均為非負數，則所有滿足條件的整數a的值之和為 ．
15．如圖，在等腰中，于點，已知，，，若E，F分別是線段上的動點，則的最小值為 ．
16．如圖，將沿所在的直線翻折后，使點B落在點D處，再將線段沿著射線向左平移若干單位長度得到，如果四邊形的周長是10，那么 ．
三、解答題
17．先化簡，再求值，其中．
18．解方程：
(1)
(2)
19．今年4月23日是第29個世界讀書日．育才中學舉辦了“閱讀伴成長，書香滿校園”主題活動．學校圖書館準備訂購一批魯迅文集（套）和四大名著（套）．
(1)采購員從市場上了解到四大名著（套）的單價比魯迅文集（套）的單價貴25元．花費3000元購買魯迅文集（套）的數量與花費4500元購買四大名著（套）的數量相同．求魯迅文集（套）和四大名著（套）的單價各是多少元？
(2)若該校圖書館計劃購買魯迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的購買數量比魯迅文集（套）的購買數量至少多4套，并且總費用不超過1960元，問該校圖書館有哪幾種購買方案？
20．數學課上，王老師布置如下任務：
如圖，在中，，在邊上取一點，．
小路的作法如下：
①作邊的垂直平分線，交于點，交于點；
②連結．
(1)請根據小路同學的作圖方法，利用直尺和圓規完成作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)完成以下推理，注明其中蘊含的數學依據：
∵是的垂直平分線
∴______，（依據：__________________）；
∴______，（依據：__________________）；
∵是的外角，
∴__________________；
∴．
21．如圖，在直角坐標系中，的頂點A，B，C按逆時針方向排列，其中 ，，且，．
(1)如圖1，若，求C點坐標；
(2)如圖2，若，，求C點坐標；
(3)如圖3，，，以為邊在的右側作等邊，連接，當時
①請探究線段之間的數量關系，并證明；
②用含a，b的式子表示線段的長度．
22．如圖1，在平面直角坐標系中，點A在x軸的正半軸上，且．
(1)求點B的坐標；
(2)如圖2，點C在x軸的負半軸上，，過點B作AB的垂線交軸于點，求證：；
(3)在（2）的條件下，在射線上有一點，求點E的橫坐標．
23．解不等式組，并將解集在數軸上表示出來．
24．如果一個四邊形中有一組對角相等，且這組對角的頂點連線與該四邊形的一邊垂直，那么這個四邊形叫做等垂四邊形．如圖1，在四邊形中，若，且，則四邊形為等垂四邊形．
(1)如圖2和如圖3，已知四邊形為等垂四邊形，，．
①在圖2中，若，，則的度數為______°；
②在圖3中，若，，分別平分，，請判斷四邊形是否為等垂四邊形，并說明理由．
(2)如圖4，在銳角中，，，且，D是平面上一點，若以A，B，C，D為頂點的四邊形為等垂四邊形，請直接寫出的大小（用含α的式子表示）．
《期末模擬測試卷-2024-2025學年數學八年級下冊北師大版》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A D B A C
1．C
【分析】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別．如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；在平面內一個圖形繞著一點旋轉180度,旋轉后的圖形與原來的圖形完全重合,這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A，不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；
B，是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形，不合題意；
C，即是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
D，不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；
故選：C．
2．D
【分析】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握因式分解的概念：把一個多項式化為幾個整式的積的形式．根據概念進行判斷即可．
【詳解】解：A．是整式除法，不是因式分解，故不合題意；
B．是整式乘法，不是因式分解，故不合題意；
C．沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，不是因式分解，故不合題意；
D．是因式分解，故符合題意；
故選：D．
3．C
【分析】本題考查了三角形三邊之間的關系、勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是首先根據三角形三邊之間的關系判斷能否組成三角形，如果能組成三角形，再用勾股定理的逆定理判斷是否能組成直角三角形．
【詳解】解：A選項：，
、、三條線段不能組成三角形，故A選項不符合題意；
B選項：，
、、三條線段能組成三角形，
又，，
，
、、三條線段不能組直角三角形，故B選項不符合題意；
C選項：：，
、、三條線段能組成三角形，
又，，
，
、、三條線段能組直角三角形，故C選項符合題意；
D選項：、、，其中，
、、三條線段不能組成三角形，故D選項不符合題意．
故選： C．
4．A
【分析】本題考查解一元一次不等式，根據數軸得出，解不等式求出的取值范圍，即可得到答案，熟練掌握一元一次不等式的解法是解決問題的關鍵．
【詳解】解：由數軸可知，，
解得：，
∴的值可以是，
故選：A．
5．D
【分析】本題考查平行四邊形的性質，平行線的性質，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．
根據平行四邊形的性質以及平行線的性質可得，再根據與的度數之比為，即可求出的度數，即可求解．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
與的度數之比為，
，
，
，
故選：D．
6．B
【分析】本題主要考查了最短距離問題、三線合一、軸對稱的性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．
根據點A與點C關于對稱可得，當點P與點E重合時，，此時的周長最小，據此即可求得周長的最小值．
【詳解】解：∵是以為底邊的等腰三角形，平分，
∴垂直平分，
∴點A與點C關于對稱，
∴，
如圖所示，當點P與點E重合時，，
此時的周長最小，
∵，，，
∴周長的最小值為：，
故選：B．
7．A
【分析】本題主要考查分式方程，從實際問題中抽象出分式方程是解題的關鍵．根據題意找到等量關系列出方程即可．
【詳解】解：由題意可得：，
故選A．
8．C
【分析】本題考查了角平分線的判定，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
根據角平分線的判定得到平分，可判斷D、也可證明，則，再由三線合一即可證明A．
【詳解】解：∵，且，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故A、B、D均正確，不符合題意，
現有條件證明不出C選項，故符合題意，
故選：C．
9．
【分析】本題考查了提公因式法分解因式：系數，取各項系數的最大公因數，字母，取各項都含有的相同字母，并且相同字母的指數取次數最低的．準確的找出公因式是解題的關鍵．確定公因式即可即可求解．
【詳解】
故答案為：
10．
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的性質與判定；分為腰和底兩種情況分別討論，即可求解．
【詳解】解：當為腰時，如圖所示，
依題意，
∴
∴等腰是等邊三角形，
∴
當為底時，如圖所示，
依題意，，，
∴
∴等腰是等邊三角形，
∴，
綜上所述，邊的長為，
故答案為：．
11．
【分析】本題考查了成中心對稱的點的特征，求代數式的值，根據成中心對稱的點的橫縱坐標互為相反數可得，，代入代數式求解即可．
【詳解】解：∵點和點關于原點中心對稱，
∴，，
∴，
故答案為：．
12．/40度
【分析】本題主要考查了旋轉的性質．根據將繞點O按逆時針方向旋轉后得到，可得，進一步計算即可得出答案．
【詳解】解：∵將繞點O按逆時針方向旋轉后得到，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
13．
【分析】本題考查軸對稱的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
點關于軸的對稱點為，求出，，從而求得，，即可由求解．
【詳解】解：設交y軸于E，如圖，
∵為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
點關于軸的對稱點為，
，，
∴，
，
故答案為：．
14．1
【分析】此題考查了含字母參數的一元一次不等式組和分式方程的求解能力，關鍵是能準確計算、討論．先分別解該不等式組和分式方程求得所有滿足條件的整數的值，再求和計算．
【詳解】解：解不等式組，
得，
可得其三個整數解為：1，2，3，
，
解得；
解方程得，
，
且，
解得且，
且，
所有滿足條件的整數的值為：，0，2，
，
即所有滿足條件的整數的值之和為1，
故答案為：1．
15．
【分析】此題主要考了等腰三角形的性質，軸對稱-最短路線問題等知識點．作F關于的對稱點M，連接交于E，連接，過B作于N，根據三角形面積公式求出，根據對稱性質求出，根據垂線段最短得出，即可得出答案．
【詳解】解：作F關于的對稱點M，連接交于E，連接，過B作于N，
∵，，，，
∴，
∵F關于的對稱點M，
∴，
∴，
根據垂線段最短得出：，
即，
即的最小值是，
故答案為：．
16．
【分析】本題主要考查了平移的性質，折疊的性質，先由平移的性質得到，再由四邊形周長計算公式推出，進一步由折疊的性質得到，據此根據線段的和差關系可得答案．
【詳解】解：由平移的性質可得，
∵四邊形的周長是10，
∴，
∴，
由折疊的性質可得，
∴，
故答案為：．
17．，
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解決此題的關鍵，先對原式進行化簡，然后再代入求值即可．
【詳解】解：
，
當時，原式．
18．(1)
(2)無解
【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的化分為整的方法是解決此題的關鍵．
（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解；
（2）分式方程先變形再去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】（1）解：去分母得：，
解得：，
檢驗：把代入得：，
∴分式方程的解為；
（2）解：原方程變形為，
去分母，得
，
去括號，得
，
移項、合并同類項，得
，
系數化為1，得，
經檢驗，是原方程的增根，
故原方程無解．
19．(1)魯迅文集（套）的單價是50元，四大名著（套）的單價是75元
(2)該校圖書館有兩種購買方案：①購買魯迅文集12套，四大名著18套；②購買魯迅文集13套，四大名著17套
【分析】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．
（1）設魯迅文集（套）的單價為元，則四大名著（套）的單價是元，由題意：花費3000元購買魯迅文集（套）的數量與花費4500元購買四大名著（套的數量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）設購買魯迅文集套，由題意：購買魯迅文集和四大名著共30套（兩類圖書都要買），總費用不超過570元，四大名著（套）的購買數量比魯迅文集（套）的購買數量至少多4套，列出一元一次不等式組，求出正整數解，即可得出答案．
【詳解】（1）解：設魯迅文集（套）的單價為x元，則四大名著（套）的單價是元，
由題意得：，
解得：，
經檢驗，是方程的解，且符合題意，
∴，
答：魯迅文集（套）的單價是50元，四大名著（套）的單價是75元；
（2）解：設購買魯迅文集套，則購買四大名著套，
由題意得：，
解得：，
∵為正整數，
∴或13，
故該該校圖書館有兩種購買方案：①購買魯迅文集12套，四大名著18套；②購買魯迅文集13套，四大名著17套．
20．(1)見解析
(2)，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；，等邊對等角；
【分析】（1）按照線段垂直平分線的作圖方法作出的垂直平分線；
（2）按照線段垂直平分線的性質得到，根據等腰三角形的性質得到，最后根據三角形外角的性質求解即可．
【詳解】（1）如圖，點即為所求：
（2）∵是的垂直平分線
∴，（依據：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）；
∴，（依據：等邊對等角）；
∵是的外角，
∴；
∴．
【點睛】本題考查了尺規作圖，段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、三角形外角的性質，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．
21．(1)點C的坐標為
(2)點C坐標為
(3)①結論：，理由見解析；②
【分析】（1）先說明為等腰直角三角形，得，再證明可得，進而得到B，O，C三點共線，再結合點C在y軸上，且即可解答；
（2）如圖，過點C作軸于點H，再證明可得可得，，再根據線段的和差得到即可解答；
（3）①如圖，過點C作軸于點E，先說明、是等邊三角形，然后再證明可得，然后根據線段的和差即可解答；②由①可知、、，進而得到，根據直角三角形的性質可得，最后代入求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴B，O，C三點共線，
∴點C在y軸上，且，
∴點C的坐標為．
（2）解：如圖，過點C作軸于點H，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴點C坐標為；
（3）解：①結論：，
證明：如圖，過點C作軸于點E，

由（2）同理可得：，，
在上取一點F，使得，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
②由①可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、直角三角形的性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．
22．(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據“在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半”即可得出答案；
（2）根據垂直平分線性質可得，再由等腰三角形性質求出，進而求出，根據三角形外角與內角關系可得，再由“直角三角形30度角所對的直角邊是斜邊的一半”即可證得結論；
（3）如圖，作于，則，先證明是等腰三角形，得到，然后證明，得到，根據點在第三象限即可得出點的橫坐標．
【詳解】（1）解：，，，
，
．
（2）證明：，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
（3）解：如圖，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的橫坐標為．
【點睛】本題考查了特殊直角三角形的性質，垂直平分線的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形外角與內角關系，全等三角形的判定與性質，熟記“在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半”，“等邊對等角”等相關性質和定理是解本題關鍵．
23．，數軸表示見解析
【分析】本題考查求不等式組解集，并在數軸上表示出不等式組的解集．正確的解出每一個不等式，確定不等式組的解集，是解題的關鍵．分別解兩個一元一次不等式，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集，在數軸上將解集表示出來即可．
【詳解】解：
由①得，
由②得，
∴不等式組的解集為，
不等式組的解集在數軸上表示如圖所示：
24．(1)①70；②是，理由見解析
(2)或，當時，的大小還可以為
【分析】本題考查新定義等垂四邊形，平行線性質，角平分線定義，以及四邊形內角和，解題的關鍵在于正確理解等垂四邊形定義及性質．
（1）①根據等垂四邊形定義和四邊形內角和求解，即可解題；
②利用平行線性質和角平分線定義得到，再結合等垂四邊形性質得到，最后根據等垂四邊形定義證明，即可解題；
（2）根據等垂四邊形定義，分三種情況，當B，C為頂點的一組對角相等時， 當A，B為頂點的一組對角相等時， 當A，C為頂點的一組對角相等時，結合四邊形內角和求解，即可解題．
【詳解】（1）解：①，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
②四邊形是等垂四邊形，理由如下：
，
，
，分別平分，，
，，
，
四邊形為等垂四邊形，，
，
即，
，
四邊形是等垂四邊形．
（2）解：以A，B，C，D為頂點的四邊形為等垂四邊形，
且，，且，
，
當B，C為頂點的一組對角相等時，
有，
，
或（不合題意，舍去）；
當A，B為頂點的一組對角相等時，
有，即，
則，
或（不合題意，舍去）；
當A，C為頂點的一組對角相等時，
有，
或（不合題意，舍去）；
綜上所述，的大小為或，以及當時，的大小還可以為．
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