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2025年春季湖南省初中學業水平考試成龍大聯考（四）數學
考生注意：
1.本試卷共三大題，滿分120分，考試時量120分鐘.
2.請將答案全部填入答題卡相應位置，直接在本試卷上作答無效.
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 如果，那么（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命題中，是真命題的是（ ）
A. 兩直線平行，同旁內角相等 B. 面積相等的三角形全等
C. 如果，那么 D. 三角形一個外角大于任何一個不相鄰的內角
3. 下列運算正確是（ ）
A. B.
C. D.
4. 篆刻是中華傳統藝術之一．如圖是一塊雕刻印章的材料，則該材料對應幾何體的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
5. 在半徑為的中，的圓心角所對的弧長是（ ）
A. B. C. D.
6. 若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則實數c的值為（ ）
A B. 36 C. D. 9
7. 甲、乙、丙、丁四位同學五次數學測驗成績統計如下表．如果從這四位同學中，選出一位成績較高且狀態穩定的同學參加數學比賽，那么應選（ ）
甲 乙 丙 丁
平均數
方差
A. 甲 B. C. 丙 D. 丁
8. 如圖，在中，是上的一條弦，直徑，連接，則的度數是（ ）
A. B. C. D.
9. 把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板電源線會明顯發熱，存在安全隱患．數學興趣小組對這種現象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數圖象（如圖1），插線板電源線產生的熱量Q與I的函數圖象（如圖2）．下列結論中錯誤的是（ ）
A. 當時， B. Q隨I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插線板電源線產生的熱量Q越多
10. 定義：若x，y滿足，（m為常數），則稱為“和諧點”．下列說法正確的是（ ）
①是“和諧點”；②直線上有且只有一個“和諧點”；③當時，反比例函數的圖象上最多只有兩個“和諧點”；④若二次函數的圖象上有3個“和諧點”，則或．
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分.
11. 代數式有意義，則x的取值范圍是_____．
12. 如果一個多邊形的每一個外角都是，那么這個多邊形的邊數為______．
13. 不等式組的解集為_____.
14. 如圖，是直線外一點，按以下步驟作圖：
①以點為圓心，適當長為半徑作弧，交直線于點，；
②分別以點、點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；
③作直線交于點．
若，，則四邊形的面積為_____．
15. 如圖，點A的坐標是（2，0），△ABO是等邊三角形，點B在第一象限，若反比例函數的圖像經過點B，則k的值是_____．
16. 小華有兩件上衣，分別為藍色和白色，有兩條褲子，分別為黑色和白色，他隨機拿出一件上衣和一條褲子穿上，則上衣和褲子不同色的概率是______．
17. 如圖，將矩形紙片沿邊折疊，使點在邊中點處．若，則______．
18. 如圖，正方形的邊長為為對角線上一動點，以為斜邊向右作等腰，連接，則周長的最小值為___________．
三、解答題：本題共8小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
19. 先化簡，再求值：，其中．
20. 如圖，四邊形為矩形，過點作交的延長線于點．求證：．
21. 為落實“雙減提質”，進一步深化“數學提升工程”，提升學生數學核心素養，學校擬開展“雙減”背景下初中數學活動型作業成果展示會，現有五個項目：A．美麗鑲嵌，B．七彩勾股樹，C．數獨，D．調查活動，E．數學史．為了解學生最喜愛的項目（每人只能選一個項目），現隨機抽取若干名學生進行調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請你根據圖中信息解答下列問題：
（1）這次學校共抽取了_____名學生進行調查；圖2中D選項所對應的圓心角度數為_____；請補齊條形統計圖；
（2）為了解學生對數學史的認識，對被抽取的一部分學生進行測試，所得成績分別為80，74，75，76，76，79，則這組數據的中位數是_____；眾數是_____；
（3）若參加成果展示會的學生共有640人，請你估計其中最喜愛“數獨”項目的學生人數．
22. 如圖，在一次數學實踐活動中，小明同學要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點B處前行30 m到達斜坡的底部點C處，然后沿斜坡前行20 m到達最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡的斜面坡度，且點A，B，C，D，E在同一平面內．
（1）求D到的距離．
（2）求古塔的高度（結果保留根）．
23. 一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發，沿公路經B地到C地，乙車從C地出發，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時出發，勻速行駛，乙車比甲車早小時到達目的地．甲、乙兩車之間的路程與兩車行駛時間的函數關系如圖所示，請結合圖象信息，解答下列問題：
（1）甲車行駛的速度是_____，并在圖中括號內填上正確的數；
（2）求圖中線段所在直線的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（3）請直接寫出兩車出發多少小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．
24. 某商場準備采購智能手表和藍牙耳機進行促銷，智能手表的單價是藍牙耳機的4倍，用2400元單獨購買智能手表比單獨購買藍牙耳機少12個．
（1）求智能手表和藍牙耳機的單價；
（2）若計劃采購兩種產品共60個，且智能手表數量不少于藍牙耳機的，如何采購可使總成本最低？最低成本是多少元？
25. 如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點，將拋物線向右平移兩個單位長度，得到拋物線，點P是拋物線在第四象限內一點，連接并延長，交拋物線于點Q．
（1）求拋物線的表達式；
（2）設點P的橫坐標為，點Q的橫坐標為，求的值；
（3）如圖②，若拋物線與拋物線交于點C，過點C作直線，分別交拋物線和于點M、N（M、N均不與點C重合），設點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由．
26. 如圖，AB是圓O的直徑，點D為圓O上一點，連接AD并延長至點C，使，過點D 作AB的垂線，交圓O于點E，點F為劣弧AE上一點，連接EF并延長交BA的延長線于點P，連接DF與AB交于點G．
（1）求證：BC是圓O的切線；
（2）記的面積分別為，若，求的值；
（3）若圓O的半徑為1，設，試求y關于x的函數解析式．

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