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四川省眉山市東坡區東坡區蘇轍中學2023-2024學年八年級下學期期末數學試題
1．（2024八下·東坡期末）在代數式 ，，，，中，分式共有（　?。?br/>A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【知識點】分式的概念
【解析】【解答】解：分母中含有字母的代數式有：，，，共3個.
故答案為：B.
【分析】根據分式的定義“一般地，如果A、B表示兩個整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式，其中A稱為 分子，B稱為分母.”并結合題意即可求解.
2．（2024八下·東坡期末）下列計算正確的是（　?。?br/>A． B．
C．2 D．
【答案】C
【知識點】分式的乘除法；分式的加減法；合并同類項法則及應用；冪的乘方運算
【解析】【解答】A．，故不符合題意；
B． ，故不符合題意；
C．2，故符合題意；
D． ，故不符合題意；
故答案為：C．
【分析】利用合并同類項、分式的乘除法、分式的減法和冪的乘方逐項判斷即可。
3．（2024八下·東坡期末）函數中自變量的取值范圍是（　?。?br/>A． B．且 C． D．
【答案】D
【知識點】分式有無意義的條件；二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：根據分式有意義可得：，
根據二次根式有意義可得：，解得：，
綜合可得：.
故答案為：D.
【分析】根據二次根式的性質和分式有意義的條件“被開方數大于等于，分母不等于”可列關于x的不等式，解不等式即可求解．
4．（2024八下·東坡期末）若把的值同時擴大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】分式的基本性質
【解析】【解答】解：A．，故本選項不符合題意；
B．，即分式的值擴大2倍，故本選項不符合題意；
C．，即分式的值不變，故本選項符合題意；
D．，故本選項不符合題意；
故答案為：C．
【分析】根據分式的基本性質求解。分式的分子和分母都乘以同一個數（或除以同一個不等于0的數），分式的值不變．
5．（2024八下·東坡期末）在平面直角坐標系中，已知點，下列說法不正確的是（ ）
A．點A在第四象限
B．點A關于x軸的對稱點的坐標為
C．點A關于y軸的對稱點的坐標為
D．點A關于原點的對稱點的坐標為
【答案】D
【知識點】關于坐標軸對稱的點的坐標特征；關于原點對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：A. 點A在第四象限，
∴此選項不符合題意；
B. 點A關于x軸的對稱點的坐標為，
∴此選項不符合題意；
C. 點A關于y軸的對稱點的坐標為，
∴此選項不符合題意；
D. 點A關于原點的對稱點的坐標為，
∴此選項符合題意.
故答案為：D．
【分析】A、根據點的坐標與象限的關系“第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）”可求解；
B、根據"關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標變為原數的相反數"可求解；
C、根據"關于y軸對稱，橫坐標變為原數的相反數，縱坐標不變"可求解；
D、根據"關于原點對稱，橫、縱坐標均變為原數的相反數"可求解．
6．（2024八下·東坡期末）將直線沿軸向右平移個單位長度后，所得直線經過點，則（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】一次函數的概念；一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：直線沿軸向右平移個單位長度后則直線變為，
∵所得直線經過點
∴，
解得：，
故答案為：C．
【分析】根據直線平移的性質“左減右加、上加下減”可得平移后的直線關系式為：，再把代入，可得關于m的方程，解方程可求解．
7．（2024八下·東坡期末）已知點P(a，b)是反比例函數y＝圖象上異于點(－1，－1)的一個動點，則的值為(　　)
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知識點】分式的化簡求值；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點P（a，b）是反比例函數圖象上異于點（﹣1，﹣1）的一個動點，
∴ab=1，
∴
=
=
=
=1．
故答案為：B．
【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征將點（-1，-1）代入反比例函數的解析式可得ab=1；再將所求代數式變形并整體代換即可求解．
8．（2024八下·東坡期末）已知，函數與在同一個平面直角坐標系中的圖象可能是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：A、∵函數的圖象經過，
∴此選項不符合題意；
B、∵函數的圖象經過，
∴此選項不符合題意；
C、∵一次函數的圖象可知，由反比例函數的圖象可知，兩結論矛盾，
∴此選項不符合題意；
D、∵一次函數的圖象可知，由反比例函數的圖象可知，
∴此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】根據一次函數的圖象和性質"當k＞0時，直線經過一、三象限，b＞0時，直線交于y軸正半軸；當k＜0時，直線經過二、四象限，b＜0時，直線交于y軸負半軸"可得m的范圍；再根據反比例函數的性質“當k＞0時，雙曲線分布在一、三象限；當k＜0時，雙曲線分布在二、四象限”可得m的范圍，結合各選項即可判斷求解.
9．（2024八下·東坡期末）已知點 ， ， 都在反比例函數 的圖像上，且 ，則 ， ， 的大小關系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】反比例函數的性質
【解析】【解答】解： 反比例函數 ，
反比例函數圖象在第二、四象限，
觀察圖像：當 時，
則 ．
故答案為：A．
【分析】首先畫出反比例函數 ，利用函數圖象的性質得到當 時， ， ， 的大小關系．
10．（2024八下·東坡期末）如果關于的分式方程有正數解，且關于的不等式組的解集為，那么符合條件的所有整數的和為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式方程的解及檢驗；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：，
∵關于的分式方程有正數解，
解得：且
解得：且
該不等式組的解集為，
，
，
的范圍是：且，
是整數，
，0，1，3
符合條件的所有整數的和為：3
故答案為：B．
【分析】解分式方程得x=，根據分式方程有正數解并結合分式有意義可得關于a的不等式組，解之可得a的范圍；再解不等式組，結合不等式組的解集可得a的不等式，解之求出a的范圍；然后求出所有整數的和．
11．（2024八下·東坡期末）如圖1，點G為BC邊的中點，點H在AF上，動點P以每秒1cm的速度沿圖1的邊運動，運動路徑為，相應的的面積關于運動時間的函數圖象如圖2，若，則下列結論正確的個數有　　
圖1中BC長4cm；圖1中DE的長是3cm；圖2中點M表示4秒時的y值為；圖2中的點N表示12秒時y值為．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【知識點】動點問題的函數圖象
【解析】【解答】解：①根據函數圖象可以知：從0到2，y隨x的增大而增大，經過了2秒，P運動了2cm，
∴CG=2m，BC=4cm，
∴此結論正確；
② 根據函數圖象可以知：經過了3秒，P運動了3cm，
∴DE=3cm，
∴此結論正確；
③P在CD段時，底邊AB不變，高不變，因而面積不變，由圖象可知CD=2cm，
∴面積，
∴此結論正確；
④圖2中的N點表示第12秒時，表示點P到達H點，
∴S△ABP=，
∴此結論正確；
∴正確的結論有4個.
故答案為：D.
【分析】能夠通過圖象得到函數是隨自變量的增大，知道函數值是增大還是減小.
12．（2024八下·東坡期末）如圖，已知直線與軸、軸相交于、兩點，與的圖象相交于、兩點，連接、．給出下列結論：
①；
②；
③；
④不等式的解集是或．
其中正確的結論有（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：①由圖象知，
∴此結論符合題意；
②把代入中得
∴此結論符合題意；
③把代入得
解得：，
∴
∴直線解析式是：
∵已知直線與x軸、y軸相交于P、Q兩點，
∴此結論符合題意；
④由圖象知不等式的解集是或
∴此結論符合題意；
∴正確的結論有4個.
故答案為：A．
【分析】①根據一次函數的圖象經過二三四象限可得k1＜0，反比例函數的圖象分布在二四象限可得k2＜0，根據兩數相乘的符號法則可求解；
②由題意，把代入中計算可求解；
③由題意，把代入可將k1、b用含m的代數式表示出來，則可將直線AB含m的代數式表示出來，根據直線分別與x、y軸相交于點P、Q可得這兩點的坐標， 然后根據三角形的面積公式即可求解；
④根據圖象可知不等式的解集就是直線高于雙曲線所對應的x的取值范圍.
13．（2024八下·東坡期末）楊絮纖維的直徑約為0.000 010 5 m，該直徑用科學記數法表示為　 　
【答案】1.05×10-5
【知識點】科學記數法表示大于0且小于1的數
【解析】【解答】解： 0.000 010 5= 1.05×10-5 ，
故答案為：1.05×10-5
【分析】絕對值小于1的正數可以用科學記數法的表示，一般形式為a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原數左邊第一個不為0的數字前面的0的個數的相反數。
14．（2024八下·東坡期末）重慶、昆明兩地相距，渝昆高速公路開通后，在重慶、昆明兩地間行駛的長途客車平均速度提高了，而從重慶到昆明的時間縮短了，求長途客車現在的平均速度．設長途客車現在的平均速度為，則根據題意可列方程為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】列分式方程；分式方程的實際應用
【解析】【解答】解：設長途客車現在的平均速度為，則以前的平均速度為，
根據題意有：，
故答案為：．
【分析】設長途客車現在的平均速度為，則以前的平均速度為，根據相等關系" 渝昆高速公路開通前所需時間=渝昆高速公路開通后所需時間+3"列關于x的方程即可．
15．（2024八下·東坡期末）已知：，則　 ?。?br/>【答案】
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【解答】解：將方程兩邊同時除以字母x得：，
故答案為：．
【分析】將已知的方程兩邊同時除以x可得，將方程兩邊平方并整理即可求解.
16．（2024八下·東坡期末）如圖，已知一次函數（）與正比例函數（）的圖像交于點，則關于的不等式的解集為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】解一元一次不等式；一次函數與不等式（組）的關系
【解析】【解答】解：∵一次函數（）與正比例函數（）的圖像交于點，
觀察圖象可得： 當時，直線在下方或相交，
∴的解為，
把代入得：，，
∴時，則，解得：，
∴不等式的解集為：，
故答案為：.
【分析】觀察函數圖象可知，不等式的解集就是圖象中直線y=k1x+b低于直線y=k2x所對應的x的范圍，于是根據圖象并結合兩直線的交點P的橫坐標即可求解．
17．（2024八下·東坡期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸，軸，交于、兩點，點是的中點且．若點是直線的一點，當時，求點的坐標　 ?。?br/>【答案】或
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題
【解析】【解答】解：直線與軸，軸，交于、兩點，
，
，
即，
是中點，
，
設直線的解析式：，
，
解得：，
直線的解析式：，
，且是中點，
，，
設，
①當在點右側，，
，
，
，
，
②當在點左側，，
，
，
，
，
或．
故答案為：或．
【分析】由題意，用待定系數法求出直線AC的函數關系式；根據等底同高的兩個三角形的面積相等可得S△ABM=2S△AOC=S△ABC，設點（x，x+2），由題意，分兩種情況：①當在點右側，，根據S△ABM=S△ABC+S△BCM可得關于x的方程，解方程即可求解；②當在點左側，，根據S△BCM=S△ABC+S△ABM可得關于x的方程，解方程即可求解．
18．（2024八下·東坡期末）如圖，在平面直角坐標系中，函數與的圖象交 于兩點，過作軸的垂線，交函數的圖象于點，連接，則的面積為　 　.
【答案】6
【知識點】反比例函數圖象的對稱性；正比例函數的性質
【解析】【解答】
解：∵正比例函數y=kx與反比例函數的圖象交點關于原點對稱，
∴設A點坐標為(x， )，則B點坐標為( x，)，C( 2x， )，
∴S =×( 2x x) ( )=×( 3x) ( )=6.
故答案為：6.
【分析】根據正比例函數y=kx與反比例函數的圖象交點關于原點對稱，可得A、B兩點的橫縱坐標互為相反數，根據垂直于y軸的直線上任意兩點縱坐標相同，可得出A、C兩點的橫坐標相同，于是可設A點坐標為（x，- ），表示出B、C兩點的坐標，再根據三角形ABC的面積公式計算即可求解．
19．（2024八下·東坡期末）計算：
【答案】解：原式
【知識點】零指數冪；負整數指數冪；開立方（求立方根）
【解析】【分析】實數的混合運算，先乘方，再乘除，最后加減，有括號先算括號內的；另外應對一些特殊運算如零指數冪，負整數指數冪，算術平方根、立方根及絕對值等熟練掌握。
20．（2024八下·東坡期末）先化簡，再求值：其中．
【答案】解：原式
，
當時，
原式．
【知識點】分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】先通分計算括號里算式，再分解因式約分，然后將x的值代入化簡后的代數式計算即可求解.
21．（2024八下·東坡期末）已知關于的分式方程．
（1）若，求分式方程的解；
（2）若分式方程無解，求的值．
【答案】（1）解：去分母得，
解得，
經檢驗：是方程的解；
（2）解：去分母得，
即，
當時，即時，整式方程無解，符合題意；
當時，則
∴或，
∴或，
綜上可得，或或.
【知識點】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】
（1）將代入分式方程，去分母將分式方程轉化為整式方程，解這個整式方程并檢驗即可求解；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求解得到，由分式方程無解，得到或或，解之即可求解．
22．（2024八下·東坡期末）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，與軸交于點，與軸交于點．
（1）求一次函數與反比例函數的表達式；
（2）在軸上取一點，使為等腰三角形，請求出點的坐標．
【答案】（1）解：把代入得，
0=-4k+2，
解得：，
∴ 一次函數的表達式為：
把代入得，
n=×2+2，
解得：，
∴
把代入 得，
m=2×3=6 ，
∴ 反比例函數的表達式為：；
（2）解：∵為等腰三角形
∴分三種情況討論：
①當時，；
②當時，
∵，
∴
∴或
③當時，
在中，設，
由得，
解得，
∴
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；等腰三角形的判定；坐標系中的兩點距離公式
【解析】【分析】
（1）把代入可得關于k的方程，解方程求出k的值，可得一次函數的表達式；把點A的坐標代入一次函數的表達式求出n的值可得點A的坐標，再把點A的坐標代入反比例函數的解析式計算可求解；
（2）分三種情況，①當時，② 當時，③當時，用勾股定理可求解．
23．（2024八下·東坡期末）某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺元，空調的銷售價為每臺元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多元，商場用元購進電冰箱的數量與用元購進空調的數量相等．
（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少？
（2）現在商場準備一次性購進兩種家電共臺，設購進電冰箱臺，這臺家電的銷售總利潤為元，要求購進空調數量不超過電冰箱數量的倍，且購進電冰箱不多于臺，請確定獲利最大的方案以及最大的利潤．
【答案】（1）解：設每臺空調的進價為元，每臺電冰箱的進價為元．
根據題意得，
解得，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意．
則，
答：每臺空調進價為1600元，電冰箱進價為2000元；
（2）解：設購進電冰箱臺，則進購空調臺，
，
購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍，
，
解得，
為正整數，，，
隨的增大而減小，
當時，的值最大，即最大利潤為（元），
答：當購進電冰箱34臺，空調66臺獲利最大，最大利潤為13300元．
【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設每臺空調的進價為元，每臺電冰箱的進價為元；根據題中的相等關系“用元購進電冰箱的數量=用元購進空調的數量”可列關于x的分式方程，解方程并檢驗即可求解；
（2）根據總利潤y=x臺冰箱的利潤+（100-x）臺空調的利潤可以寫出與的函數關系式，根據“購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍”可列關于x的不等式，解不等式求出x的范圍，然后根據一次函數的性質即可求解．
24．（2024八下·東坡期末）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可以化為帶分數，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；再如：這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如：；
解決下列問題：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）將假分式化為帶分式；
（3）先化簡，并求取什么整數時，該式的值為整數．
【答案】（1）真分式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
若上式是數，則，
即或，
又，0，1
.
【知識點】分式的加減法；分式的化簡求值
【解析】【解答】解：（1）由題意可得，是真分式；
故答案為：真分式；
【分析】
（1）根據題意，可以判斷分式是真分式還是假分式；
（2）根據題目中的例子，可以將假分式化為帶分式；
（3）根據分式的除法和減法可以將式子化簡，然后化為帶分式，從而可以求得x取什么整數時，該式的值為整數．
25．（2024八下·東坡期末）已知非負實數，，滿足．設的最大值為，最小值為．求的值．
【答案】解：設，
∴，，，
∵，，，
∴，
解不等式組得，
∵，
∴，
∵，即，
∴的最大值為，最小值為，
∴.
【知識點】解一元一次不等式組；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【分析】設，則，，，根據x，y，z為非負實數可得關于k的的不等式組，解不等式組可求得k的取值范圍，結合S的最大值為m，可求得m，n的值，將m、n的值代入所求代數式計算可求解．
26．（2024八下·東坡期末）如圖，直線：與過點的直線交于點，與軸交于點．
（1）求直線的表達式；
（2）點在直線上，軸，交直線于點，若，求點的坐標；
（3）在線段上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解：把代入得，
∴，
設直線的解析式為把，代入得：
∴，
解得，
∴直線的解析式為；
（2）解：如圖：
在中，令，得，
∴，
∴，
設，由軸，得，
，
∵，
∴，
解得或，
∴或；
（3）解：以點為直角頂點構造等腰直角，使得，過點作垂直于軸，過點作垂直于線段，連接，直線與直線的交于點.
∵，，垂直于軸，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴，
設直線的解析式為把，代入得：
∴，
解得，
∴直線的表達式為，
∵點是直線與直線的交點，且點在線段上，
∴
解得，，
∴.
【知識點】一次函數與二元一次方程（組）的關系；等腰三角形的判定與性質；一次函數中的角度問題
【解析】【分析】
（1）由題意，把點C的坐標代入直線y=x+3可求出點C的坐標，然后用待定系數法即可求出直線的表達式；
（2）由題意，令y=0可求出直線y=x+3與x軸的交點B的坐標，于是看得，設，由軸，得，則，得到，解方程即可求解；
（3）以點為直角頂點構造等腰直角，使得，過點作垂直于軸，過點作垂直于線段，連接，直線與直線的交于點.求出，，結合題意，用角角邊可得，由全等三角形的對應邊相等可得，，則可得點D的坐標，然后用待定系數法即可求出直線的表達式，由點是直線與直線的交點，且點在線段上，聯立函數解析式解方程組即可求解．
1 / 1四川省眉山市東坡區東坡區蘇轍中學2023-2024學年八年級下學期期末數學試題
1．（2024八下·東坡期末）在代數式 ，，，，中，分式共有（　?。?br/>A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．（2024八下·東坡期末）下列計算正確的是（　　）
A． B．
C．2 D．
3．（2024八下·東坡期末）函數中自變量的取值范圍是（　　）
A． B．且 C． D．
4．（2024八下·東坡期末）若把的值同時擴大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（　?。?br/>A． B． C． D．
5．（2024八下·東坡期末）在平面直角坐標系中，已知點，下列說法不正確的是（ ）
A．點A在第四象限
B．點A關于x軸的對稱點的坐標為
C．點A關于y軸的對稱點的坐標為
D．點A關于原點的對稱點的坐標為
6．（2024八下·東坡期末）將直線沿軸向右平移個單位長度后，所得直線經過點，則（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2024八下·東坡期末）已知點P(a，b)是反比例函數y＝圖象上異于點(－1，－1)的一個動點，則的值為(　　)
A．2 B．1 C． D．
8．（2024八下·東坡期末）已知，函數與在同一個平面直角坐標系中的圖象可能是（　?。?br/>A． B．
C． D．
9．（2024八下·東坡期末）已知點 ， ， 都在反比例函數 的圖像上，且 ，則 ， ， 的大小關系是（　?。?br/>A． B． C． D．
10．（2024八下·東坡期末）如果關于的分式方程有正數解，且關于的不等式組的解集為，那么符合條件的所有整數的和為（　?。?br/>A． B． C． D．
11．（2024八下·東坡期末）如圖1，點G為BC邊的中點，點H在AF上，動點P以每秒1cm的速度沿圖1的邊運動，運動路徑為，相應的的面積關于運動時間的函數圖象如圖2，若，則下列結論正確的個數有　　
圖1中BC長4cm；圖1中DE的長是3cm；圖2中點M表示4秒時的y值為；圖2中的點N表示12秒時y值為．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
12．（2024八下·東坡期末）如圖，已知直線與軸、軸相交于、兩點，與的圖象相交于、兩點，連接、．給出下列結論：
①；
②；
③；
④不等式的解集是或．
其中正確的結論有（　?。?br/>A．個 B．個 C．個 D．個
13．（2024八下·東坡期末）楊絮纖維的直徑約為0.000 010 5 m，該直徑用科學記數法表示為　 　
14．（2024八下·東坡期末）重慶、昆明兩地相距，渝昆高速公路開通后，在重慶、昆明兩地間行駛的長途客車平均速度提高了，而從重慶到昆明的時間縮短了，求長途客車現在的平均速度．設長途客車現在的平均速度為，則根據題意可列方程為　 ?。?br/>15．（2024八下·東坡期末）已知：，則　 　．
16．（2024八下·東坡期末）如圖，已知一次函數（）與正比例函數（）的圖像交于點，則關于的不等式的解集為　 ?。?br/>17．（2024八下·東坡期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸，軸，交于、兩點，點是的中點且．若點是直線的一點，當時，求點的坐標　 　．
18．（2024八下·東坡期末）如圖，在平面直角坐標系中，函數與的圖象交 于兩點，過作軸的垂線，交函數的圖象于點，連接，則的面積為　 　.
19．（2024八下·東坡期末）計算：
20．（2024八下·東坡期末）先化簡，再求值：其中．
21．（2024八下·東坡期末）已知關于的分式方程．
（1）若，求分式方程的解；
（2）若分式方程無解，求的值．
22．（2024八下·東坡期末）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，與軸交于點，與軸交于點．
（1）求一次函數與反比例函數的表達式；
（2）在軸上取一點，使為等腰三角形，請求出點的坐標．
23．（2024八下·東坡期末）某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺元，空調的銷售價為每臺元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多元，商場用元購進電冰箱的數量與用元購進空調的數量相等．
（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少？
（2）現在商場準備一次性購進兩種家電共臺，設購進電冰箱臺，這臺家電的銷售總利潤為元，要求購進空調數量不超過電冰箱數量的倍，且購進電冰箱不多于臺，請確定獲利最大的方案以及最大的利潤．
24．（2024八下·東坡期末）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可以化為帶分數，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；再如：這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式），如：；
解決下列問題：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）將假分式化為帶分式；
（3）先化簡，并求取什么整數時，該式的值為整數．
25．（2024八下·東坡期末）已知非負實數，，滿足．設的最大值為，最小值為．求的值．
26．（2024八下·東坡期末）如圖，直線：與過點的直線交于點，與軸交于點．
（1）求直線的表達式；
（2）點在直線上，軸，交直線于點，若，求點的坐標；
（3）在線段上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】分式的概念
【解析】【解答】解：分母中含有字母的代數式有：，，，共3個.
故答案為：B.
【分析】根據分式的定義“一般地，如果A、B表示兩個整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式，其中A稱為 分子，B稱為分母.”并結合題意即可求解.
2．【答案】C
【知識點】分式的乘除法；分式的加減法；合并同類項法則及應用；冪的乘方運算
【解析】【解答】A．，故不符合題意；
B． ，故不符合題意；
C．2，故符合題意；
D． ，故不符合題意；
故答案為：C．
【分析】利用合并同類項、分式的乘除法、分式的減法和冪的乘方逐項判斷即可。
3．【答案】D
【知識點】分式有無意義的條件；二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：根據分式有意義可得：，
根據二次根式有意義可得：，解得：，
綜合可得：.
故答案為：D.
【分析】根據二次根式的性質和分式有意義的條件“被開方數大于等于，分母不等于”可列關于x的不等式，解不等式即可求解．
4．【答案】C
【知識點】分式的基本性質
【解析】【解答】解：A．，故本選項不符合題意；
B．，即分式的值擴大2倍，故本選項不符合題意；
C．，即分式的值不變，故本選項符合題意；
D．，故本選項不符合題意；
故答案為：C．
【分析】根據分式的基本性質求解。分式的分子和分母都乘以同一個數（或除以同一個不等于0的數），分式的值不變．
5．【答案】D
【知識點】關于坐標軸對稱的點的坐標特征；關于原點對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：A. 點A在第四象限，
∴此選項不符合題意；
B. 點A關于x軸的對稱點的坐標為，
∴此選項不符合題意；
C. 點A關于y軸的對稱點的坐標為，
∴此選項不符合題意；
D. 點A關于原點的對稱點的坐標為，
∴此選項符合題意.
故答案為：D．
【分析】A、根據點的坐標與象限的關系“第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）”可求解；
B、根據"關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標變為原數的相反數"可求解；
C、根據"關于y軸對稱，橫坐標變為原數的相反數，縱坐標不變"可求解；
D、根據"關于原點對稱，橫、縱坐標均變為原數的相反數"可求解．
6．【答案】C
【知識點】一次函數的概念；一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：直線沿軸向右平移個單位長度后則直線變為，
∵所得直線經過點
∴，
解得：，
故答案為：C．
【分析】根據直線平移的性質“左減右加、上加下減”可得平移后的直線關系式為：，再把代入，可得關于m的方程，解方程可求解．
7．【答案】B
【知識點】分式的化簡求值；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點P（a，b）是反比例函數圖象上異于點（﹣1，﹣1）的一個動點，
∴ab=1，
∴
=
=
=
=1．
故答案為：B．
【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征將點（-1，-1）代入反比例函數的解析式可得ab=1；再將所求代數式變形并整體代換即可求解．
8．【答案】D
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】解：A、∵函數的圖象經過，
∴此選項不符合題意；
B、∵函數的圖象經過，
∴此選項不符合題意；
C、∵一次函數的圖象可知，由反比例函數的圖象可知，兩結論矛盾，
∴此選項不符合題意；
D、∵一次函數的圖象可知，由反比例函數的圖象可知，
∴此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】根據一次函數的圖象和性質"當k＞0時，直線經過一、三象限，b＞0時，直線交于y軸正半軸；當k＜0時，直線經過二、四象限，b＜0時，直線交于y軸負半軸"可得m的范圍；再根據反比例函數的性質“當k＞0時，雙曲線分布在一、三象限；當k＜0時，雙曲線分布在二、四象限”可得m的范圍，結合各選項即可判斷求解.
9．【答案】A
【知識點】反比例函數的性質
【解析】【解答】解： 反比例函數 ，
反比例函數圖象在第二、四象限，
觀察圖像：當 時，
則 ．
故答案為：A．
【分析】首先畫出反比例函數 ，利用函數圖象的性質得到當 時， ， ， 的大小關系．
10．【答案】B
【知識點】分式方程的解及檢驗；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：，
∵關于的分式方程有正數解，
解得：且
解得：且
該不等式組的解集為，
，
，
的范圍是：且，
是整數，
，0，1，3
符合條件的所有整數的和為：3
故答案為：B．
【分析】解分式方程得x=，根據分式方程有正數解并結合分式有意義可得關于a的不等式組，解之可得a的范圍；再解不等式組，結合不等式組的解集可得a的不等式，解之求出a的范圍；然后求出所有整數的和．
11．【答案】D
【知識點】動點問題的函數圖象
【解析】【解答】解：①根據函數圖象可以知：從0到2，y隨x的增大而增大，經過了2秒，P運動了2cm，
∴CG=2m，BC=4cm，
∴此結論正確；
② 根據函數圖象可以知：經過了3秒，P運動了3cm，
∴DE=3cm，
∴此結論正確；
③P在CD段時，底邊AB不變，高不變，因而面積不變，由圖象可知CD=2cm，
∴面積，
∴此結論正確；
④圖2中的N點表示第12秒時，表示點P到達H點，
∴S△ABP=，
∴此結論正確；
∴正確的結論有4個.
故答案為：D.
【分析】能夠通過圖象得到函數是隨自變量的增大，知道函數值是增大還是減小.
12．【答案】A
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：①由圖象知，
∴此結論符合題意；
②把代入中得
∴此結論符合題意；
③把代入得
解得：，
∴
∴直線解析式是：
∵已知直線與x軸、y軸相交于P、Q兩點，
∴此結論符合題意；
④由圖象知不等式的解集是或
∴此結論符合題意；
∴正確的結論有4個.
故答案為：A．
【分析】①根據一次函數的圖象經過二三四象限可得k1＜0，反比例函數的圖象分布在二四象限可得k2＜0，根據兩數相乘的符號法則可求解；
②由題意，把代入中計算可求解；
③由題意，把代入可將k1、b用含m的代數式表示出來，則可將直線AB含m的代數式表示出來，根據直線分別與x、y軸相交于點P、Q可得這兩點的坐標， 然后根據三角形的面積公式即可求解；
④根據圖象可知不等式的解集就是直線高于雙曲線所對應的x的取值范圍.
13．【答案】1.05×10-5
【知識點】科學記數法表示大于0且小于1的數
【解析】【解答】解： 0.000 010 5= 1.05×10-5 ，
故答案為：1.05×10-5
【分析】絕對值小于1的正數可以用科學記數法的表示，一般形式為a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原數左邊第一個不為0的數字前面的0的個數的相反數。
14．【答案】
【知識點】列分式方程；分式方程的實際應用
【解析】【解答】解：設長途客車現在的平均速度為，則以前的平均速度為，
根據題意有：，
故答案為：．
【分析】設長途客車現在的平均速度為，則以前的平均速度為，根據相等關系" 渝昆高速公路開通前所需時間=渝昆高速公路開通后所需時間+3"列關于x的方程即可．
15．【答案】
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【解答】解：將方程兩邊同時除以字母x得：，
故答案為：．
【分析】將已知的方程兩邊同時除以x可得，將方程兩邊平方并整理即可求解.
16．【答案】
【知識點】解一元一次不等式；一次函數與不等式（組）的關系
【解析】【解答】解：∵一次函數（）與正比例函數（）的圖像交于點，
觀察圖象可得： 當時，直線在下方或相交，
∴的解為，
把代入得：，，
∴時，則，解得：，
∴不等式的解集為：，
故答案為：.
【分析】觀察函數圖象可知，不等式的解集就是圖象中直線y=k1x+b低于直線y=k2x所對應的x的范圍，于是根據圖象并結合兩直線的交點P的橫坐標即可求解．
17．【答案】或
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題
【解析】【解答】解：直線與軸，軸，交于、兩點，
，
，
即，
是中點，
，
設直線的解析式：，
，
解得：，
直線的解析式：，
，且是中點，
，，
設，
①當在點右側，，
，
，
，
，
②當在點左側，，
，
，
，
，
或．
故答案為：或．
【分析】由題意，用待定系數法求出直線AC的函數關系式；根據等底同高的兩個三角形的面積相等可得S△ABM=2S△AOC=S△ABC，設點（x，x+2），由題意，分兩種情況：①當在點右側，，根據S△ABM=S△ABC+S△BCM可得關于x的方程，解方程即可求解；②當在點左側，，根據S△BCM=S△ABC+S△ABM可得關于x的方程，解方程即可求解．
18．【答案】6
【知識點】反比例函數圖象的對稱性；正比例函數的性質
【解析】【解答】
解：∵正比例函數y=kx與反比例函數的圖象交點關于原點對稱，
∴設A點坐標為(x， )，則B點坐標為( x，)，C( 2x， )，
∴S =×( 2x x) ( )=×( 3x) ( )=6.
故答案為：6.
【分析】根據正比例函數y=kx與反比例函數的圖象交點關于原點對稱，可得A、B兩點的橫縱坐標互為相反數，根據垂直于y軸的直線上任意兩點縱坐標相同，可得出A、C兩點的橫坐標相同，于是可設A點坐標為（x，- ），表示出B、C兩點的坐標，再根據三角形ABC的面積公式計算即可求解．
19．【答案】解：原式
【知識點】零指數冪；負整數指數冪；開立方（求立方根）
【解析】【分析】實數的混合運算，先乘方，再乘除，最后加減，有括號先算括號內的；另外應對一些特殊運算如零指數冪，負整數指數冪，算術平方根、立方根及絕對值等熟練掌握。
20．【答案】解：原式
，
當時，
原式．
【知識點】分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】先通分計算括號里算式，再分解因式約分，然后將x的值代入化簡后的代數式計算即可求解.
21．【答案】（1）解：去分母得，
解得，
經檢驗：是方程的解；
（2）解：去分母得，
即，
當時，即時，整式方程無解，符合題意；
當時，則
∴或，
∴或，
綜上可得，或或.
【知識點】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】
（1）將代入分式方程，去分母將分式方程轉化為整式方程，解這個整式方程并檢驗即可求解；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求解得到，由分式方程無解，得到或或，解之即可求解．
22．【答案】（1）解：把代入得，
0=-4k+2，
解得：，
∴ 一次函數的表達式為：
把代入得，
n=×2+2，
解得：，
∴
把代入 得，
m=2×3=6 ，
∴ 反比例函數的表達式為：；
（2）解：∵為等腰三角形
∴分三種情況討論：
①當時，；
②當時，
∵，
∴
∴或
③當時，
在中，設，
由得，
解得，
∴
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；等腰三角形的判定；坐標系中的兩點距離公式
【解析】【分析】
（1）把代入可得關于k的方程，解方程求出k的值，可得一次函數的表達式；把點A的坐標代入一次函數的表達式求出n的值可得點A的坐標，再把點A的坐標代入反比例函數的解析式計算可求解；
（2）分三種情況，①當時，② 當時，③當時，用勾股定理可求解．
23．【答案】（1）解：設每臺空調的進價為元，每臺電冰箱的進價為元．
根據題意得，
解得，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意．
則，
答：每臺空調進價為1600元，電冰箱進價為2000元；
（2）解：設購進電冰箱臺，則進購空調臺，
，
購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍，
，
解得，
為正整數，，，
隨的增大而減小，
當時，的值最大，即最大利潤為（元），
答：當購進電冰箱34臺，空調66臺獲利最大，最大利潤為13300元．
【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設每臺空調的進價為元，每臺電冰箱的進價為元；根據題中的相等關系“用元購進電冰箱的數量=用元購進空調的數量”可列關于x的分式方程，解方程并檢驗即可求解；
（2）根據總利潤y=x臺冰箱的利潤+（100-x）臺空調的利潤可以寫出與的函數關系式，根據“購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍”可列關于x的不等式，解不等式求出x的范圍，然后根據一次函數的性質即可求解．
24．【答案】（1）真分式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
若上式是數，則，
即或，
又，0，1
.
【知識點】分式的加減法；分式的化簡求值
【解析】【解答】解：（1）由題意可得，是真分式；
故答案為：真分式；
【分析】
（1）根據題意，可以判斷分式是真分式還是假分式；
（2）根據題目中的例子，可以將假分式化為帶分式；
（3）根據分式的除法和減法可以將式子化簡，然后化為帶分式，從而可以求得x取什么整數時，該式的值為整數．
25．【答案】解：設，
∴，，，
∵，，，
∴，
解不等式組得，
∵，
∴，
∵，即，
∴的最大值為，最小值為，
∴.
【知識點】解一元一次不等式組；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【分析】設，則，，，根據x，y，z為非負實數可得關于k的的不等式組，解不等式組可求得k的取值范圍，結合S的最大值為m，可求得m，n的值，將m、n的值代入所求代數式計算可求解．
26．【答案】（1）解：把代入得，
∴，
設直線的解析式為把，代入得：
∴，
解得，
∴直線的解析式為；
（2）解：如圖：
在中，令，得，
∴，
∴，
設，由軸，得，
，
∵，
∴，
解得或，
∴或；
（3）解：以點為直角頂點構造等腰直角，使得，過點作垂直于軸，過點作垂直于線段，連接，直線與直線的交于點.
∵，，垂直于軸，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴，
設直線的解析式為把，代入得：
∴，
解得，
∴直線的表達式為，
∵點是直線與直線的交點，且點在線段上，
∴
解得，，
∴.
【知識點】一次函數與二元一次方程（組）的關系；等腰三角形的判定與性質；一次函數中的角度問題
【解析】【分析】
（1）由題意，把點C的坐標代入直線y=x+3可求出點C的坐標，然后用待定系數法即可求出直線的表達式；
（2）由題意，令y=0可求出直線y=x+3與x軸的交點B的坐標，于是看得，設，由軸，得，則，得到，解方程即可求解；
（3）以點為直角頂點構造等腰直角，使得，過點作垂直于軸，過點作垂直于線段，連接，直線與直線的交于點.求出，，結合題意，用角角邊可得，由全等三角形的對應邊相等可得，，則可得點D的坐標，然后用待定系數法即可求出直線的表達式，由點是直線與直線的交點，且點在線段上，聯立函數解析式解方程組即可求解．
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