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浙江省名校共同體2025年中考一模數學試卷
1．（2025·浙江模擬）實數，，0，中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知識點】無理數的大小比較
【解析】【解答】解：，
∴最小的是，
故答案為：D．
【分析】先利用估算無理數大小的方法化簡，再利用實數比較大小的方法（正數大于零，零大于負數，兩個負數比較大小絕對值越大其值越小）分析求解即可.
2．（2025·浙江模擬）下列各式中，計算結果為的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，
∴此選項符合題意；
B、不是同類項，不能合并，
∴此選項不符合題意；
C、，
∴此選項不符合題意；
D、，
∴此選項不符合題意.
故答案為：A．
【分析】A、根據同底數冪的乘法法則“同底數冪相乘，底數不變，指數相加”可求解；
B、根據同類項定義"同類項是指所含字母相同，且相同的字母的指數也相同的項"可知m2和m3不是同類項，所以不能合并；
C、根據同底數冪的除法法則“同底數冪相除，底數不變，指數相減”可求解；
D、根據冪的乘方法則“冪的乘方，底數不變，指數相乘”可求解.
3．（2025·浙江模擬）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（　　）
A．圓柱 B．圓錐 C．長方體 D．球
【答案】A
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：根據主視圖和左視圖都是矩形，那么此幾何體為柱體，由俯視圖為圓，可得此幾何體為圓柱，
故答案為：A．
【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形；認真觀察實物圖，按照三視圖的要求畫圖即可，其中看得到的棱長用實線表示，看不到的棱長用虛線的表示．由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．
4．（2025·浙江模擬）2024年浙江省的常住人口約為65700000人，將數據65700000用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：由題意可得，數據65700000用科學記數法表示為.
故答案為：C．
【分析】科學記數法是指，任何一個絕對值大于或等于1的數可以寫成a×10n的形式，其中，n=整數位數-1.根據科學記數法的意義并結合題意即可求解.
5．（2025·浙江模擬）如圖是甲、乙兩位女生次一分鐘跳繩成績的統計圖，則（　　）
A． B． C． D．無法確定
【答案】B
【知識點】折線統計圖；方差
【解析】【解答】解：由折線圖可知：甲的波動比乙小，即甲的成績比乙的更為穩定，
∴．
故答案為：B．
【分析】根據"方差越大，成績波動越大；方差越小，成績波動越小"并結合折線圖可判斷求解.
6．（2025·浙江模擬）將一個含角的三角尺和直尺如圖放置．若，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵直尺對邊平行，
，
．
故答案為：B．
【分析】根據平行線的性質“兩直線平行，同位角相等”可得∠3=∠1，然后再由平角等于180°可求解．
7．（2025·浙江模擬）馬拉松賽是全民健身的熱門項目，全程的總賽程約為公里，在同一場比賽中選手甲的平均速度是選手乙的倍，最終甲沖刺終點的時間比乙提早分鐘，若乙的平均速度為，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】列分式方程
【解析】【解答】解：設乙的平均速度為，則甲的平均速度為，
由題意得：，
故答案為：．
【分析】設乙的平均速度為，由題中的相等關系“乙所用時間-甲所用時間==”列關于x的分式方程，結合各選項即可判斷求解.
8．（2025·浙江模擬）在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標之和為零的點稱為“和美點”，下列函數的圖象中不存在“和美點”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【解答】解：根據“和美點”的定義可知，“和美點”即為直線上的點，令各函數中，
A、，
解得：，
即點為函數的“和美點”，
∴此選項不符合題意；
B、，
解得：，
即點為函數的“和美點”，
∴此選項不符合題意；
C、，則，
此時無解，
即函數不存在“和美點”，
∴此選項符合題意；
D、，
解得：，，
即點和點為函數的“和美點”，
∴此選項不符合題意.
故答案為：C．
【分析】A、根據根據“和美點”的定義可得關于x的一元一次方程解方程求出x的值即可判斷求解；
B、根據根據“和美點”的定義可得關于x的一元一次方程解方程求出x的值即可判斷求解；
C、根據根據“和美點”的定義可得關于x的分式方程解方程求出x的值即可判斷求解；
D、根據根據“和美點”的定義可得關于x的一元二次方程解方程求出x的值即可判斷求解.
9．（2025·浙江模擬）如圖，在中，，將繞著點C按順時針旋轉得到，連接交于點E，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理；旋轉的性質
【解析】【解答】如圖，連接，過點作于點，
∵將繞著點按順時針旋轉得到，
是等邊三角形，
設，則，
在中，，
∵，，
．
故答案為：D．
【分析】如圖，連接，過點作于點，由將繞著點按順時針旋轉得到，根據有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形可得是等邊三角形；設，在直角三角形ADH中，用勾股定理將DH用含a的代數式表示出來，根據三角形的面積公式即可求解．
10．（2025·浙江模擬）已知點，兩點在反比例函數的圖象上．則下列判斷正確的是（　　）
A．若，則
B．若，則可能小于0也可能大于0
C．若，點，在同一象限，則
D．若，點，在不同象限，則
【答案】B
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】A、若，則隨的增大而減小，的值不確定，
∴無法判斷，
∴此選項不符合題意；
B．若，點，兩點可以在同一象限，也可以不在同一象限，
∴可能小于0也可能大于0，
∴此選項符合題意；
C．若，點，在同一象限，則隨的增大而減小，
∴，
∴此選項不符合題意；
D．若，點，在不同象限，
∴，
∴此選項不符合題意.
故答案為：B.
【分析】根據反比例函數的性質"當時，反比例函數的圖象在每一個象限，y隨x的增大而減小；當時，反比例函數的圖象在每一個象限，y隨x的增大而減小"；判斷反比例函數的增減性，確定的取值范圍，即可求解；
11．（2025·浙江模擬）因式分解： 　 　.
【答案】
【知識點】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案為：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解為止.
12．（2025·浙江模擬）作為一個悠久歷史和燦爛文化的文明古國，中國古代數學家曾寫下不少數學著作，現從《九章算術》、《周髀算經》、《孫子算經》、《海島算經》、《緝古算經》5本著作中隨機挑選一本來研讀，恰好選擇《九章算術》的概率是　 　.
【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：從5本著作中隨機挑選一本來研讀，恰好選擇《九章算術》的概率是.
故答案為：.
【分析】根據概率公式直接求解.
13．（2025·浙江模擬）如圖，與⊙相切于點，連接與⊙交于點，連接．若，則　 　．
【答案】
【知識點】等邊三角形的判定；切線的性質
【解析】【解答】解：與⊙相切，
，，
，
是等邊三角形，，
．
故答案為：．
【分析】根據圓的切線垂直于過切點的半徑可得、，因為，則是等邊三角形，，然后根據三角形的內角和等于180°即可求解．
14．（2025·浙江模擬）若一元二次方程有兩個相等的實數根，則　 　．
【答案】1
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：1．
【分析】根據一元二次方程的根的判別式"①當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；③當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根"可得關于k的方程，解方程即可求解.
15．（2025·浙江模擬）如圖，已知，，，，則　 　．
【答案】
【知識點】平行線的判定與性質；勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：過作，交延長線于點，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】過作，交延長線于點，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的對邊相等可得，再由勾股定理求出，然后由即可求解．
16．（2025·浙江模擬）如圖，把一張矩形紙片沿折疊，點的對應點為，交于點．若點為的中點，平分，則　 　．
【答案】
【知識點】勾股定理；矩形的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：延長交于點，
由折疊得，，，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
點為的中點，
，
設，，則，
在矩形中，
，，
，
即，
，
即，
，
即，
，
在中，，
在中，，
，
，
即，
化簡得，
解得（舍），，
即，
，
即，
故答案為：．
【分析】延長交于點，結合已知，用角邊角可得，由全等三角形的對應邊相等可得，設，，則，根據平行線分線段成比例得到，由比例式可得，根據勾股定理得，，能夠得到，先計算并求算術平方根即可求解．
17．（2025·浙江模擬）計算：．
【答案】解：
【知識點】負整數指數冪；化簡含絕對值有理數；開立方（求立方根）
【解析】【分析】由負整數指數冪的運算性質“一個不為0的數的負整數指數冪等于這個數的正整數指數冪的倒數”可得（）-2=4，由立方根的定義可得=3，然后根據有理數的加減法法則計算即可求解．
18．（2025·浙江模擬）解不等式：．
【答案】解：去分母，得：．
去括號，得：，
移項，得：，
合并同類項，得：，
兩邊都除以，得：．
【知識點】解一元一次不等式
【解析】【分析】根據不等式的解題步驟"去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1"計算即可求解．
19．（2025·浙江模擬）在中，．
（1）尺規作圖：在找一點D，使點D到點A、點C的距離相等（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）在（1）的前提下，若，求的值．
【答案】（1）解：如下圖：點D即為所求，
（2）解：∵，∴設，則．
∴，
∵是的中垂線，
．
，
，
答：tan∠C的值為.
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；尺規作圖-垂直平分線；求正切值
【解析】【分析】（1）作的垂直平分線即可．
（2）根據題意設，則，則，根據線段垂線平分線的性質“線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”可得，根據勾股定理將用含x的代數式表示出來，再根據正切的定義tan∠C=計算即可求解．
（1）解：如下圖：點D即為所求，
（2）解：∵，
∴設，則．
∴，
∵是的中垂線，
．
，
，
20．（2025·浙江模擬）為了增強學生的環保意識，某校組織七年級學生參加“環保知識”競賽．為了解活動效果，從七年級隨機抽取701、702兩個班部分學生的比賽成績，進行了如下統計分析．
收集數據 從兩個班中分別隨機抽取20名學生的比賽成績（滿分100分，成績均為整數）．
整理數據 將抽取的兩個班學生成績分別進行整理，分成A，B，C，D，E五組（用x表示成績分數），A組：，B組：，C組：，D組：，E組：．其中701班20名學生的比賽成績在E組中的數據是：96，92，93，91，94；702班20名學生的比賽成績在C組中的數據是：72，75，77，71，74，75．
描述數據 根據統計數據，繪制成如下統計圖．
分析數據 701、702兩班抽取的學生比賽成績的各統計量如下表： 　平均數中位數眾數方差701班8182868.8702班81n869
根據上述信息，解答下列問題：
（1）請直接寫出上述圖表中的，______，______．
（2）若此次比賽成績不低于90分為優秀，請估計全年級800人中優秀的人數．
（3）你認為該校七年級701班、702班中哪個班學生比賽成績較好？請說明理由．（寫一條理由即可）
【答案】（1）30，76
（2）解：（人），
答：估計全年級800人中優秀人數有180人．
（3）解：701班學生比賽成績較，
理由：因為701、702班學生成績的平均數相等，但701班成績的方差小于702班的，
所以701班學生的成績比較穩定，701班學生比賽成績較；
【知識點】中位數；方差；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：∵701班D組人數所占的百分比為，
∴，
∴，
702班成績的中位數；
故答案為：30，76；
【分析】
（1）根據中位數的定義“中位數是指一組數據按序排列后①偶數個數據時，中間兩個數的平均數就是這組數據的中位數；②奇數個數據時，中間的數就是這組數據的中位數”求出n的值；根據百分比之和為1可求出m的值；
（2）用樣本估計總體可求解；
（3）根據平均數和方差的意義求解即可．
（1）解：∵701班D組人數所占的百分比為，
∴，
∴，
702班成績的中位數；
故答案為：30，76；
（2）解：（人），
答：估計全年級800人中優秀人數有180人．
（3）解：701班學生比賽成績較，
理由：因為701、702班學生成績的平均數相等，但701班成績的方差小于702班的，
所以701班學生的成績比較穩定，701班學生比賽成績較；
21．（2025·浙江模擬）如圖，在中，是的中點，連接交于點，連接，．
（1）求證：是菱形．
（2）若，求的面積．
【答案】（1）證明：連接，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
是菱形；
（2）解：是的中點，，
點是的重心，
，
，
是菱形，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
．
【知識點】等邊三角形的判定與性質；平行四邊形的性質；菱形的判定
【解析】【分析】
（1）連接，由"到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上"可得BO⊥AC，然后根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可證明；
（2）根據是的中點，，得到點是的重心，根據有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形可得是等邊三角形，由等腰三角形的三線合一可得，用勾股定理求出AB=BC的值，然后根據平行四邊形的面積=底×高即可求解．
（1）證明：連接，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
是菱形；
（2）解：是的中點，，
點是的重心，
，
，
是菱形，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
．
22．（2025·浙江模擬）甲、乙兩同學在400米的環形跑道上參加1000米跑步訓練，時間少于或等于3分40秒為滿分．前800米的路程s（米）和時間t（秒）的函數關系如圖．
（1）乙同學按照當前的速度繼續勻速跑，那么他能否得到滿分？請說明理由．
（2）求甲同學跑第2圈時的路程s（米）關于時間t（秒）的函數解析式．
（3）若最后200米甲同學按第1圈的速度沖刺，乙同學保持原速不變，當乙同學跑到終點時，甲同學離終點還有多遠？
【答案】（1）解：由乙圖象可知s是t的正比例函數，設，將代入可得，
，
解得：，
．
令，
解得：．
∵3分40秒秒，，
∴乙同學能夠得到滿分．
（2）解：由圖象可知s是t的一次函數，設，
將代入可得，
解得：
．

（3）解：由（1）可知乙同學到終點的時間是215秒，
由圖象可知甲同學跑前800米的時間是180秒，
∴最后200米，乙跑到終點時，甲同學跑的時間是（秒）．
速度是（米/秒）．
路程是（米）．
∴甲離終點的距離是（米）．
【知識點】通過函數圖象獲取信息；一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【分析】
（1）根據路程=速度×時間并結合圖中的信息可求出乙同學路程s（米）關于時間t（秒）的函數解析式，然后令，求出t的值即可求解；
（2）設，根據圖中的信息，用待定系數法即可求解；
（3）求出最后200米，乙跑到終點時，甲同學跑的時間是（秒），速度是（米/秒），再用總路程減去甲同學35秒跑的路程可求出甲同學離終點還有多遠．
（1）解：由乙圖象可知s是t的正比例函數，設，
將代入可得，，
解得：，
．
令，
解得：．
∵3分40秒秒，，
∴乙同學能夠得到滿分．
（2）解：由圖象可知s是t的一次函數，設，
將代入可得，
解得：
．
（3）解：由（1）可知乙同學到終點的時間是215秒，
由圖象可知甲同學跑前800米的時間是180秒，
所以最后200米，乙跑到終點時，甲同學跑的時間是（秒）．
速度是（米/秒）．
路程是（米）．
∴甲離終點的距離是（米）．
23．（2025·浙江模擬）已知二次函數（為常數，）的圖象經過點．
（1）求常數a和b滿足的關系式．
（2）若二次函數圖象與x軸只有一個交點，求二次函數的解析式．
（3）當時，函數的最大值是最小值的2倍，求a的值．
【答案】（1）解：將點代入，
可得，．
．（或均可）

（2）解：由（1）得，
∵二次函數圖象與x軸只有一個交點，
．
（舍去），．
．
（3）解：由（1）得，
拋物線的對稱軸為直線，
當，
時，函數取最小值為，
時，函數取最大值為，
．
．
當，
時，函數取最大值為，
時，函數取最小值為，
．
，
或．
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【分析】
（1）)將點代入二次函數整理即可求解；
（2）由二次函數圖象與x軸只有一個交點，得關于a的方程，解方程即可求出拋物線的表達式；
（3）由題意分，兩種情況，探究函數的最大值是最小值的2倍時的取值，列出方程即可求解．
（1）解：將點代入，
可得，．
．（或均可）
（2）解：由（1）得，
∵二次函數圖象與x軸只有一個交點，
．
（舍去），．
．
（3）解：由（1）得，拋物線的對稱軸為直線，
當，
時，函數取最小值為，
時，函數取最大值為，
．
．
當，
時，函數取最大值為，
時，函數取最小值為，
．
，
或．
24．（2025·浙江模擬）如圖，是的外接圓，點D位于外一點，連接，，．交于點E，連接．已知．
（1）如圖1，求證：．
（2）如圖2，經過圓心O，．
①求的值；
②若，求的半徑．
【答案】（1）證明：∵在中，
．
，
，
．
（2）解：①如圖2，連接，，
，
．
，
，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
，
，
∵經過圓心O，
∴是的直徑．
．
；
②如圖4，延長交于點F，
，
．
．
∵O為的中點，
．
由（2）①可得，
∴在中，．
∴在，．
．
∴（負根舍去）．
．
【知識點】圓的綜合題；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）由圓周角定理可得，由等邊對等角可得，再根據等量代換可求證；
（2）①連接，，由題意易得，，然后可得，，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可得，根據相似三角形的對應邊的比相等得比例式并結合已知可得BE=4EC，由直徑所對的圓周角是直角可得∠BCE=90°，然后根據銳角三角函數cos∠BAC=cos∠BEC=可求解；
②延長交于點F，由題意易得，根據三角形的中位線等于第三邊的一半可得，在Rt△BFO和Rt△BFA中，用勾股定理可分別將BF2用含CE2表示出來，于是可得關于CE2的方程，解方程求出CE的值，于是AO=2CE可求解．
（1）證明：∵在中，
．
，
，
．
（2）解：①如圖2，連接，，
，
．
，
，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
，
，
∵經過圓心O，
∴是的直徑．
．
；
②如圖4，延長交于點F，
，
．
．
∵O為的中點，
．
由（2）①可得，
∴在中，．
∴在，．
．
∴（負根舍去）．
．
1 / 1浙江省名校共同體2025年中考一模數學試卷
1．（2025·浙江模擬）實數，，0，中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2025·浙江模擬）下列各式中，計算結果為的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江模擬）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（　　）
A．圓柱 B．圓錐 C．長方體 D．球
4．（2025·浙江模擬）2024年浙江省的常住人口約為65700000人，將數據65700000用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江模擬）如圖是甲、乙兩位女生次一分鐘跳繩成績的統計圖，則（　　）
A． B． C． D．無法確定
6．（2025·浙江模擬）將一個含角的三角尺和直尺如圖放置．若，則（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江模擬）馬拉松賽是全民健身的熱門項目，全程的總賽程約為公里，在同一場比賽中選手甲的平均速度是選手乙的倍，最終甲沖刺終點的時間比乙提早分鐘，若乙的平均速度為，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·浙江模擬）在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標之和為零的點稱為“和美點”，下列函數的圖象中不存在“和美點”的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·浙江模擬）如圖，在中，，將繞著點C按順時針旋轉得到，連接交于點E，則的值為（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·浙江模擬）已知點，兩點在反比例函數的圖象上．則下列判斷正確的是（　　）
A．若，則
B．若，則可能小于0也可能大于0
C．若，點，在同一象限，則
D．若，點，在不同象限，則
11．（2025·浙江模擬）因式分解： 　 　.
12．（2025·浙江模擬）作為一個悠久歷史和燦爛文化的文明古國，中國古代數學家曾寫下不少數學著作，現從《九章算術》、《周髀算經》、《孫子算經》、《海島算經》、《緝古算經》5本著作中隨機挑選一本來研讀，恰好選擇《九章算術》的概率是　 　.
13．（2025·浙江模擬）如圖，與⊙相切于點，連接與⊙交于點，連接．若，則　 　．
14．（2025·浙江模擬）若一元二次方程有兩個相等的實數根，則　 　．
15．（2025·浙江模擬）如圖，已知，，，，則　 　．
16．（2025·浙江模擬）如圖，把一張矩形紙片沿折疊，點的對應點為，交于點．若點為的中點，平分，則　 　．
17．（2025·浙江模擬）計算：．
18．（2025·浙江模擬）解不等式：．
19．（2025·浙江模擬）在中，．
（1）尺規作圖：在找一點D，使點D到點A、點C的距離相等（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）在（1）的前提下，若，求的值．
20．（2025·浙江模擬）為了增強學生的環保意識，某校組織七年級學生參加“環保知識”競賽．為了解活動效果，從七年級隨機抽取701、702兩個班部分學生的比賽成績，進行了如下統計分析．
收集數據 從兩個班中分別隨機抽取20名學生的比賽成績（滿分100分，成績均為整數）．
整理數據 將抽取的兩個班學生成績分別進行整理，分成A，B，C，D，E五組（用x表示成績分數），A組：，B組：，C組：，D組：，E組：．其中701班20名學生的比賽成績在E組中的數據是：96，92，93，91，94；702班20名學生的比賽成績在C組中的數據是：72，75，77，71，74，75．
描述數據 根據統計數據，繪制成如下統計圖．
分析數據 701、702兩班抽取的學生比賽成績的各統計量如下表： 　平均數中位數眾數方差701班8182868.8702班81n869
根據上述信息，解答下列問題：
（1）請直接寫出上述圖表中的，______，______．
（2）若此次比賽成績不低于90分為優秀，請估計全年級800人中優秀的人數．
（3）你認為該校七年級701班、702班中哪個班學生比賽成績較好？請說明理由．（寫一條理由即可）
21．（2025·浙江模擬）如圖，在中，是的中點，連接交于點，連接，．
（1）求證：是菱形．
（2）若，求的面積．
22．（2025·浙江模擬）甲、乙兩同學在400米的環形跑道上參加1000米跑步訓練，時間少于或等于3分40秒為滿分．前800米的路程s（米）和時間t（秒）的函數關系如圖．
（1）乙同學按照當前的速度繼續勻速跑，那么他能否得到滿分？請說明理由．
（2）求甲同學跑第2圈時的路程s（米）關于時間t（秒）的函數解析式．
（3）若最后200米甲同學按第1圈的速度沖刺，乙同學保持原速不變，當乙同學跑到終點時，甲同學離終點還有多遠？
23．（2025·浙江模擬）已知二次函數（為常數，）的圖象經過點．
（1）求常數a和b滿足的關系式．
（2）若二次函數圖象與x軸只有一個交點，求二次函數的解析式．
（3）當時，函數的最大值是最小值的2倍，求a的值．
24．（2025·浙江模擬）如圖，是的外接圓，點D位于外一點，連接，，．交于點E，連接．已知．
（1）如圖1，求證：．
（2）如圖2，經過圓心O，．
①求的值；
②若，求的半徑．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】無理數的大小比較
【解析】【解答】解：，
∴最小的是，
故答案為：D．
【分析】先利用估算無理數大小的方法化簡，再利用實數比較大小的方法（正數大于零，零大于負數，兩個負數比較大小絕對值越大其值越小）分析求解即可.
2．【答案】A
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，
∴此選項符合題意；
B、不是同類項，不能合并，
∴此選項不符合題意；
C、，
∴此選項不符合題意；
D、，
∴此選項不符合題意.
故答案為：A．
【分析】A、根據同底數冪的乘法法則“同底數冪相乘，底數不變，指數相加”可求解；
B、根據同類項定義"同類項是指所含字母相同，且相同的字母的指數也相同的項"可知m2和m3不是同類項，所以不能合并；
C、根據同底數冪的除法法則“同底數冪相除，底數不變，指數相減”可求解；
D、根據冪的乘方法則“冪的乘方，底數不變，指數相乘”可求解.
3．【答案】A
【知識點】由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：根據主視圖和左視圖都是矩形，那么此幾何體為柱體，由俯視圖為圓，可得此幾何體為圓柱，
故答案為：A．
【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形；認真觀察實物圖，按照三視圖的要求畫圖即可，其中看得到的棱長用實線表示，看不到的棱長用虛線的表示．由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．
4．【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：由題意可得，數據65700000用科學記數法表示為.
故答案為：C．
【分析】科學記數法是指，任何一個絕對值大于或等于1的數可以寫成a×10n的形式，其中，n=整數位數-1.根據科學記數法的意義并結合題意即可求解.
5．【答案】B
【知識點】折線統計圖；方差
【解析】【解答】解：由折線圖可知：甲的波動比乙小，即甲的成績比乙的更為穩定，
∴．
故答案為：B．
【分析】根據"方差越大，成績波動越大；方差越小，成績波動越小"并結合折線圖可判斷求解.
6．【答案】B
【知識點】兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵直尺對邊平行，
，
．
故答案為：B．
【分析】根據平行線的性質“兩直線平行，同位角相等”可得∠3=∠1，然后再由平角等于180°可求解．
7．【答案】D
【知識點】列分式方程
【解析】【解答】解：設乙的平均速度為，則甲的平均速度為，
由題意得：，
故答案為：．
【分析】設乙的平均速度為，由題中的相等關系“乙所用時間-甲所用時間==”列關于x的分式方程，結合各選項即可判斷求解.
8．【答案】C
【知識點】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【解答】解：根據“和美點”的定義可知，“和美點”即為直線上的點，令各函數中，
A、，
解得：，
即點為函數的“和美點”，
∴此選項不符合題意；
B、，
解得：，
即點為函數的“和美點”，
∴此選項不符合題意；
C、，則，
此時無解，
即函數不存在“和美點”，
∴此選項符合題意；
D、，
解得：，，
即點和點為函數的“和美點”，
∴此選項不符合題意.
故答案為：C．
【分析】A、根據根據“和美點”的定義可得關于x的一元一次方程解方程求出x的值即可判斷求解；
B、根據根據“和美點”的定義可得關于x的一元一次方程解方程求出x的值即可判斷求解；
C、根據根據“和美點”的定義可得關于x的分式方程解方程求出x的值即可判斷求解；
D、根據根據“和美點”的定義可得關于x的一元二次方程解方程求出x的值即可判斷求解.
9．【答案】D
【知識點】等邊三角形的判定與性質；勾股定理；旋轉的性質
【解析】【解答】如圖，連接，過點作于點，
∵將繞著點按順時針旋轉得到，
是等邊三角形，
設，則，
在中，，
∵，，
．
故答案為：D．
【分析】如圖，連接，過點作于點，由將繞著點按順時針旋轉得到，根據有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形可得是等邊三角形；設，在直角三角形ADH中，用勾股定理將DH用含a的代數式表示出來，根據三角形的面積公式即可求解．
10．【答案】B
【知識點】反比例函數的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】A、若，則隨的增大而減小，的值不確定，
∴無法判斷，
∴此選項不符合題意；
B．若，點，兩點可以在同一象限，也可以不在同一象限，
∴可能小于0也可能大于0，
∴此選項符合題意；
C．若，點，在同一象限，則隨的增大而減小，
∴，
∴此選項不符合題意；
D．若，點，在不同象限，
∴，
∴此選項不符合題意.
故答案為：B.
【分析】根據反比例函數的性質"當時，反比例函數的圖象在每一個象限，y隨x的增大而減小；當時，反比例函數的圖象在每一個象限，y隨x的增大而減小"；判斷反比例函數的增減性，確定的取值范圍，即可求解；
11．【答案】
【知識點】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案為：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解為止.
12．【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：從5本著作中隨機挑選一本來研讀，恰好選擇《九章算術》的概率是.
故答案為：.
【分析】根據概率公式直接求解.
13．【答案】
【知識點】等邊三角形的判定；切線的性質
【解析】【解答】解：與⊙相切，
，，
，
是等邊三角形，，
．
故答案為：．
【分析】根據圓的切線垂直于過切點的半徑可得、，因為，則是等邊三角形，，然后根據三角形的內角和等于180°即可求解．
14．【答案】1
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：1．
【分析】根據一元二次方程的根的判別式"①當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；③當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根"可得關于k的方程，解方程即可求解.
15．【答案】
【知識點】平行線的判定與性質；勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：過作，交延長線于點，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】過作，交延長線于點，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的對邊相等可得，再由勾股定理求出，然后由即可求解．
16．【答案】
【知識點】勾股定理；矩形的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：延長交于點，
由折疊得，，，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
點為的中點，
，
設，，則，
在矩形中，
，，
，
即，
，
即，
，
即，
，
在中，，
在中，，
，
，
即，
化簡得，
解得（舍），，
即，
，
即，
故答案為：．
【分析】延長交于點，結合已知，用角邊角可得，由全等三角形的對應邊相等可得，設，，則，根據平行線分線段成比例得到，由比例式可得，根據勾股定理得，，能夠得到，先計算并求算術平方根即可求解．
17．【答案】解：
【知識點】負整數指數冪；化簡含絕對值有理數；開立方（求立方根）
【解析】【分析】由負整數指數冪的運算性質“一個不為0的數的負整數指數冪等于這個數的正整數指數冪的倒數”可得（）-2=4，由立方根的定義可得=3，然后根據有理數的加減法法則計算即可求解．
18．【答案】解：去分母，得：．
去括號，得：，
移項，得：，
合并同類項，得：，
兩邊都除以，得：．
【知識點】解一元一次不等式
【解析】【分析】根據不等式的解題步驟"去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1"計算即可求解．
19．【答案】（1）解：如下圖：點D即為所求，
（2）解：∵，∴設，則．
∴，
∵是的中垂線，
．
，
，
答：tan∠C的值為.
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；尺規作圖-垂直平分線；求正切值
【解析】【分析】（1）作的垂直平分線即可．
（2）根據題意設，則，則，根據線段垂線平分線的性質“線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”可得，根據勾股定理將用含x的代數式表示出來，再根據正切的定義tan∠C=計算即可求解．
（1）解：如下圖：點D即為所求，
（2）解：∵，
∴設，則．
∴，
∵是的中垂線，
．
，
，
20．【答案】（1）30，76
（2）解：（人），
答：估計全年級800人中優秀人數有180人．
（3）解：701班學生比賽成績較，
理由：因為701、702班學生成績的平均數相等，但701班成績的方差小于702班的，
所以701班學生的成績比較穩定，701班學生比賽成績較；
【知識點】中位數；方差；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：∵701班D組人數所占的百分比為，
∴，
∴，
702班成績的中位數；
故答案為：30，76；
【分析】
（1）根據中位數的定義“中位數是指一組數據按序排列后①偶數個數據時，中間兩個數的平均數就是這組數據的中位數；②奇數個數據時，中間的數就是這組數據的中位數”求出n的值；根據百分比之和為1可求出m的值；
（2）用樣本估計總體可求解；
（3）根據平均數和方差的意義求解即可．
（1）解：∵701班D組人數所占的百分比為，
∴，
∴，
702班成績的中位數；
故答案為：30，76；
（2）解：（人），
答：估計全年級800人中優秀人數有180人．
（3）解：701班學生比賽成績較，
理由：因為701、702班學生成績的平均數相等，但701班成績的方差小于702班的，
所以701班學生的成績比較穩定，701班學生比賽成績較；
21．【答案】（1）證明：連接，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
是菱形；
（2）解：是的中點，，
點是的重心，
，
，
是菱形，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
．
【知識點】等邊三角形的判定與性質；平行四邊形的性質；菱形的判定
【解析】【分析】
（1）連接，由"到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上"可得BO⊥AC，然后根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可證明；
（2）根據是的中點，，得到點是的重心，根據有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形可得是等邊三角形，由等腰三角形的三線合一可得，用勾股定理求出AB=BC的值，然后根據平行四邊形的面積=底×高即可求解．
（1）證明：連接，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
是菱形；
（2）解：是的中點，，
點是的重心，
，
，
是菱形，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：由乙圖象可知s是t的正比例函數，設，將代入可得，
，
解得：，
．
令，
解得：．
∵3分40秒秒，，
∴乙同學能夠得到滿分．
（2）解：由圖象可知s是t的一次函數，設，
將代入可得，
解得：
．

（3）解：由（1）可知乙同學到終點的時間是215秒，
由圖象可知甲同學跑前800米的時間是180秒，
∴最后200米，乙跑到終點時，甲同學跑的時間是（秒）．
速度是（米/秒）．
路程是（米）．
∴甲離終點的距離是（米）．
【知識點】通過函數圖象獲取信息；一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【分析】
（1）根據路程=速度×時間并結合圖中的信息可求出乙同學路程s（米）關于時間t（秒）的函數解析式，然后令，求出t的值即可求解；
（2）設，根據圖中的信息，用待定系數法即可求解；
（3）求出最后200米，乙跑到終點時，甲同學跑的時間是（秒），速度是（米/秒），再用總路程減去甲同學35秒跑的路程可求出甲同學離終點還有多遠．
（1）解：由乙圖象可知s是t的正比例函數，設，
將代入可得，，
解得：，
．
令，
解得：．
∵3分40秒秒，，
∴乙同學能夠得到滿分．
（2）解：由圖象可知s是t的一次函數，設，
將代入可得，
解得：
．
（3）解：由（1）可知乙同學到終點的時間是215秒，
由圖象可知甲同學跑前800米的時間是180秒，
所以最后200米，乙跑到終點時，甲同學跑的時間是（秒）．
速度是（米/秒）．
路程是（米）．
∴甲離終點的距離是（米）．
23．【答案】（1）解：將點代入，
可得，．
．（或均可）

（2）解：由（1）得，
∵二次函數圖象與x軸只有一個交點，
．
（舍去），．
．
（3）解：由（1）得，
拋物線的對稱軸為直線，
當，
時，函數取最小值為，
時，函數取最大值為，
．
．
當，
時，函數取最大值為，
時，函數取最小值為，
．
，
或．
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【分析】
（1）)將點代入二次函數整理即可求解；
（2）由二次函數圖象與x軸只有一個交點，得關于a的方程，解方程即可求出拋物線的表達式；
（3）由題意分，兩種情況，探究函數的最大值是最小值的2倍時的取值，列出方程即可求解．
（1）解：將點代入，
可得，．
．（或均可）
（2）解：由（1）得，
∵二次函數圖象與x軸只有一個交點，
．
（舍去），．
．
（3）解：由（1）得，拋物線的對稱軸為直線，
當，
時，函數取最小值為，
時，函數取最大值為，
．
．
當，
時，函數取最大值為，
時，函數取最小值為，
．
，
或．
24．【答案】（1）證明：∵在中，
．
，
，
．
（2）解：①如圖2，連接，，
，
．
，
，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
，
，
∵經過圓心O，
∴是的直徑．
．
；
②如圖4，延長交于點F，
，
．
．
∵O為的中點，
．
由（2）①可得，
∴在中，．
∴在，．
．
∴（負根舍去）．
．
【知識點】圓的綜合題；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）由圓周角定理可得，由等邊對等角可得，再根據等量代換可求證；
（2）①連接，，由題意易得，，然后可得，，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可得，根據相似三角形的對應邊的比相等得比例式并結合已知可得BE=4EC，由直徑所對的圓周角是直角可得∠BCE=90°，然后根據銳角三角函數cos∠BAC=cos∠BEC=可求解；
②延長交于點F，由題意易得，根據三角形的中位線等于第三邊的一半可得，在Rt△BFO和Rt△BFA中，用勾股定理可分別將BF2用含CE2表示出來，于是可得關于CE2的方程，解方程求出CE的值，于是AO=2CE可求解．
（1）證明：∵在中，
．
，
，
．
（2）解：①如圖2，連接，，
，
．
，
，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
，
，
∵經過圓心O，
∴是的直徑．
．
；
②如圖4，延長交于點F，
，
．
．
∵O為的中點，
．
由（2）①可得，
∴在中，．
∴在，．
．
∴（負根舍去）．
．
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