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九年級第三次模擬考試數學
一、選擇題（每小題3分，共18分）
1．-6的倒數是（　　）
A．-6 B. C.6 D.
2．目前全球最薄的手撕鋼產自中國，厚度只有0.000015米，數據0.000015用科學記數法表示為（　　）
A.0.1 B.1.5 C.1.5 D.1
3．如圖所示的幾何體是由一個球體和一個圓柱組成的，它的俯視圖是（　　）
A. B.
C. D.
4．若關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（　　）
A． B.
C.且 D.且
5．如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形的頂點的坐標為（0，3），點、均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉得到，則點的坐標為（　　）
A． B. C. D.
6．如圖，是的切線，切點分別為，點在上，若，則的度數是（　　）
A.54° B. C. D.78°
二、填空題（每小題3分，共15分）
7．計算：___________．
8．已知點在第四象限，則的取值范圍是___________．
9．如圖，小華同學的家在點處，他想盡快到達公路邊乘車到學校，他選擇沿線段去公路邊，他的這一選擇用到的數學知識是___________．
10．如圖，在中，點是邊的中點，點在邊上，且平分，已知，則的長為___________．
11．如圖，是的直徑，將弦繞點順時針旋轉得到，此時點的對應點落在上，延長交于點，若，則圖中陰影部分的面積為___________（結果保留）．
三、解答題（本大題共11小題，共87分）
12．先化簡，再求值：，其中．
13．一個不透明的袋子中裝有1個紅球和2個綠球，這些球除顏色外無其他差別．
（1）小剛從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球是綠球的概率為___________；
（2）小剛從袋子中隨機摸出一個球記下顏色后放回并搖勻，再從中隨機摸出一個球．請用列表或畫樹狀圖的方法，求摸出的兩個球顏色相同的概率．
14．某景區紀念品商店計劃購進甲、乙兩種紀念品．若購進甲種紀念品3件，乙種紀念品2件，需花費205元；若購進甲種紀念品2件，乙種紀念品4件，需花費270元．求甲、乙兩種紀念品每件的進價分別是多少元．
15．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的阿格中，分別按下列要求畫圖，保留適當的畫圖痕跡．
（1）在圖①中畫出邊上的中線；
（2）在圖②中畫出邊上的高線；
（3）在圖③中的邊上找到一點，使．
16．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數經過點，過點作軸交反比例函數的圖象于點，點與點關于原點對稱．
（1）求的函數解析式；
（2）若的面積為8，求的值．
17．周末，某數學興趣小組進行實踐活動．如圖，小明在點處利用測傾器測得古城墻的頂端的仰角，王強站在矩形平臺上，在點處利用測傾器測得古城墻頂端的仰角．已知，點在上，點在同一直線上，所有點均在同一平面內，．請利用以上數據，求出該古城墻的高度（結果精確到，參考數據：，tan）．
18．隨著技術的發展，越來越多的人借助軟件協助辦公和學習，某公司組織全體員工學習和使用AI軟件，并抽取部分員工每天學習使用的累計時間（分鐘）進行統計調查，記：A組“”， B組“”，C組“”，D組“” ，繪制成如下兩幅不完整的統計圖．根據以上信息，解答下列問題：
（1）這次抽樣調查的人數是___________人，本次抽查的每天學習和使用AI軟件時間的中位數落在___________組；
（2）B組所在扇形的圓心角大小是___________度；
（3）該公司共有800人，估計該公司平均每天學習和使用AI軟件不少于90分鐘的人數是多少？
19．放學后小明和小亮兄弟兩人都從學校（同一學校）回家，已知學校到家的距離為3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出發1000米后，小亮才出發．小明在回家途中速度保持不變，小亮在出發5分鐘后加快自己的速度，如圖是小明、小亮兩人離學校的距離（米）與小亮出發的時間（分）之間的函數圖象．
（1）小明的速度是___________米/分；
（2）求段的函數解析式；
（3）當小亮回到家時，直接寫出小明與家的距離．
20．【問題探究】（1）如圖①，已知是的中線，延長至點，使得，連接，求證：四邊形是平行四邊形；
【拓展提升】（2）如圖②，在的中線上任取一點（不與點、點重合），過點、點分別作，連接、，求證：四邊形是平行四邊形；
【靈活應用】（3）如圖③，在中，，點是的中點，點是直線上的動點，且，當取得最小值時，直接寫出線段的長度．
21．（10分）如圖，在中，，，．動點從點出發，沿以每秒1個單位長度的速度向終點運動．過點作與的直角邊相交于點，延長至點，使得，以為邊作矩形．設矩形與重疊部分圖形的面積為，點的運動時間為秒．
（1）當時，求的值；
（2）當時，求的值；
（3）求與之間的函數關系式．
22．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（、為常數）的頂點的坐標為（2，-5），點、點均在這個拋物線上，點的橫坐標為，點的橫坐標為，將此拋物線上兩點之間的部分（包括兩點）記為圖象．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點、到軸的距離相等時，求的值；
（3）當頂點在圖象上時，設圖象最高點的縱坐標與最低點的縱坐標的差為，求與之間的函數關系式；
（4）矩形的頂點分別為、、，若矩形的邊與拋物線恰好有三個交點時，直接寫出的值．
九年級第三次模擬考試
參考答案
一、1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．B
二、7．-3 8．-6三、12．解：原式，當時，原式．
13．解：（1）．
（2）列表如下：
紅 綠 綠
紅 （紅，紅） （綠，紅） （綠，紅）
綠 （紅，綠） （綠，綠） （綠，綠）
綠 （紅，綠） （綠，綠） （綠，綠）
共有9種等可能的結果數，其中提出的兩個球顏色相同的概率為．
14．解：設每件甲種紀念品的進價是元，每件乙種紀念品的進價是元，根據題意，得
答：每件甲種紀念品的進價是35元，每件乙種紀念品的進價是50元．
15．解：（1）如圖①，線段即為所求．
（2）如圖②，線段即為所求．
（3）如圖③，點即為所求．
16．解：（1）．
（2）．
17．解：由題意，得，設，則．
，在Rt中，，即，則，解得該古城墻的高度約為．
18．解：（1）200；．
（2）126．
（3）（人）．
答：估計該公司平均每天學習和使用AI軟件不少于90分鐘的人數是340人．
19．解：（1）80．
（2）設段的函數解析式為，將點、代入，得解得．
（3）當小亮回到家時，小明距離家還有800米．
20．（1）證明：是的中線，四邊形是平行四邊形．
（2）證明：延長到點，使，連接．∵是的中線，，在和中，，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形．
（3）解：．
21．解：（1）由題意，得，解得．
（2）當時，，解得；當時，，解得．
（3）當時，；
當時，；
當時，．
22．解：（1）．
（2）或或．
（3）頂點在圖象上，圖象的最低點的縱坐標為-5，當點在對稱軸的左側，點在對稱軸的右側時，此時且，即；當點在對稱軸的右側，點在對稱軸的左側時，此時且，即．
（4）或．

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