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廣東省湛江市教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年七年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題
1．（2025七下·湛江期中）如圖，同一平面內(nèi)，直線 m和直線n 的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【答案】A
【知識點(diǎn)】平面中直線位置關(guān)系；相交線的相關(guān)概念
【解析】【解答】解：由圖可得：同一平面內(nèi)，直線 m和直線n 的位置關(guān)系是相交，
故答案為：A．
【分析】利用平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系及結(jié)合圖形分析求解即可.
2．（2025七下·湛江期中）在下列圖中，與屬于對頂角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】對頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：在選項(xiàng)A中，與的兩邊都不互為反向延長線，B，C選項(xiàng)中，與沒有公共點(diǎn)，所以都不是對頂角，是對頂角的只有選項(xiàng)D．
故答案為：D．
【分析】利用對頂角的定義（兩條直線相交后形成的兩個(gè)角，它們有公共的頂點(diǎn)且沒有公共邊）及特征分析求解即可.
3．（2025七下·湛江期中）實(shí)數(shù)，，0，，，中，無理數(shù)有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的概念；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：是有理數(shù)；
是開方開不盡的數(shù)，是無理數(shù)；
0是有理數(shù)；
，是有理數(shù)；
是無理數(shù)；
是有理數(shù)；
綜上，無理數(shù)有2個(gè)，
故答案為：B．
【分析】先利用立方根的性質(zhì)化簡，再利用無理數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷。
4．（2025七下·湛江期中）下列選項(xiàng)中，左、右兩邊的圖案是通過平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】平移的性質(zhì)；圖形的平移
【解析】【解答】解：因?yàn)橹挥蠦選項(xiàng)的圖形沒有改變圖形的形狀、大小及方向，符合平移的性質(zhì)，
所以只有B選項(xiàng)的圖形是通過平移得到，
故答案為：B．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)直線方向做相同距離的移動 ）逐項(xiàng)分析判斷即可.
5．（2025七下·湛江期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、是二元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
C、不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
故答案為：B.
【分析】利用二元一次方程的定義（含有兩個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐項(xiàng)分析判斷即可.
6．（2025七下·湛江期中）估算的值在（　　）
A．4到5之間 B．5到6之間 C．6到7之間 D．7到8之間
【答案】B
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：B.
【分析】先估算出，再求出即可得解.
7．（2025七下·湛江期中）如圖，直線，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上．若，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故選：．
【分析】由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平角的定義可得．
8．（2025七下·湛江期中）已知 是方程 的一個(gè)解，那么 的值是（　　）
A．1 B．3 C．-3 D．-1
【答案】A
【知識點(diǎn)】二元一次方程組的解
【解析】【解答】將 代入方程 得 ，解得 ．
故答案為：1.
【分析】本題考查二元一次方程解的逆向應(yīng)用，已知方程的解求解原方程的未知數(shù)，將解代入即可.
9．（2025七下·湛江期中）已知點(diǎn)與點(diǎn)在同一條平行于y軸的直線上，且點(diǎn)N到x軸的距離等于4，且N在第一象限，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)與象限的關(guān)系
【解析】【解答】解∶∵點(diǎn)與點(diǎn)在同一條平行于y軸的直線上，
∴，
∵點(diǎn)N到x軸的距離等于4，且N在第一象限，
∴，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
故答案為：A.
【分析】根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的定義及點(diǎn)M的坐標(biāo)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可.
10．（2025七下·湛江期中）正方形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，正方形的每個(gè)邊都相等，每個(gè)角都是直角．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿的路線運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動2024秒時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；探索規(guī)律-點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律
【解析】【解答】解：∵正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∴，，
∵動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿的路線運(yùn)動，
∴走一圈花費(fèi)時(shí)間（秒），
∵，
∴運(yùn)動2024秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)與重合，
即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
故答案為：C．
【分析】先求出走一圈花費(fèi)時(shí)間（秒），再結(jié)合，可得運(yùn)動2024秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)與重合，從而得解.
11．（2025七下·湛江期中）命題“同位角相等，兩直線平行”中，改成“如果……那么……”句式為　 　．
【答案】如果兩直線被第三條直線所截形成的同位角相等，那么這兩條直線平行
【知識點(diǎn)】定義、命題、定理、推論的概念
【解析】【解答】解：命題“同位角相等，兩直線平行”中，改成“如果那么”句式為“如果兩直線被第三條直線所截形成的同位角相等，那么這兩條直線平行”．
故答案為：如果兩直線被第三條直線所截形成的同位角相等，那么這兩條直線平行．
【分析】利用定義的定義（ 定義是一種明確的陳述，用于描述一個(gè)概念、性質(zhì)或規(guī)則 ）逐項(xiàng)分析判斷即可.
12．（2025七下·湛江期中）把點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；沿著坐標(biāo)軸方向平移的點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：把點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，
可得橫坐標(biāo)為：，
再向下平移個(gè)單位長度，
可得縱坐標(biāo)為：，
則得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
【分析】利用點(diǎn)坐標(biāo)平移的特征（上加下減、左減右加）分析求解即可.
13．（2025七下·湛江期中）已知點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)在x軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)與象限的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案為：．
【分析】利用x軸和y軸上點(diǎn)坐標(biāo)的特征可得，，再求出a、b的值，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo).
14．（2025七下·湛江期中）如圖，A，B，C均為正方形，若A的面積為10，C的面積為1，則B的邊長可以是　 　．（寫出一個(gè)答案即可）
【答案】2
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的估值；求算術(shù)平方根
【解析】【解答】解：，，
正方形的邊長為，正方形的邊長為1，
的邊長，
正方形的邊長可以是2，
故答案為：2（答案不唯一）．
【分析】利用正方形的面積公式及算術(shù)平方根的計(jì)算方法求出A、C的邊長，再求解即可.
15．（2025七下·湛江期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則k的值為　 　
【答案】
【知識點(diǎn)】解二元一次方程組；已知二元一次方程的解求參數(shù)
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得：，
∴，
解得：，
故答案為：．
【分析】先求出方程組的解，再將x、y的值代入可得，最后求出k的值即可.
16．（2025七下·湛江期中）如圖，其中圖1是瑞瑞在跑步機(jī)上健身，其示意圖如圖2所示．折線是固定支架，且，顯示屏，，則　 　度．
【答案】155
【知識點(diǎn)】角的運(yùn)算；直角三角形的性質(zhì)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
【解析】【解答】解∶如圖，延長交于點(diǎn)N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：155.
【分析】延長交于點(diǎn)N，先利用角的運(yùn)算求出，，再利用平行線的性質(zhì)可得．
17．（2025七下·湛江期中）計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
.
（2）解；
．
【知識點(diǎn)】有理數(shù)的乘方法則；求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)化簡，再計(jì)算即可；
（2）先利用有理數(shù)的乘方和算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡，再計(jì)算即可.
（1）
；
（2）
．
18．（2025七下·湛江期中）解下列方程組
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
由①，得③
把③代入②，得．
解得：，
把代入③，得，
原方程組的解為.
（2）解：
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
原方程組的解為．
【知識點(diǎn)】代入消元法解二元一次方程組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的計(jì)算方法及步驟分析求解即可；
（2）利用加減消元法的計(jì)算方法及步驟分析求解即可.
19．（2025七下·湛江期中）如圖，在三角形中，，，．
（1）若平移后的坐標(biāo)的，分別寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：______；______．
（2）畫出平移后的三角形．
（3）求三角形的面積．
【答案】（1），
（2）解：如圖所示，三角形即為所求；
（3）解：三角形的面積．
【知識點(diǎn)】三角形的面積；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；作圖﹣平移；幾何圖形的面積計(jì)算-割補(bǔ)法
【解析】【解答】（1）解：∵，平移后的坐標(biāo)的，
∴平移方式為先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，
∵，
∴，.
故答案為：，.
【分析】（1）利用點(diǎn)坐標(biāo)平移的特征（上加下減、左減右加）分析求解即可；（2）先利用點(diǎn)坐標(biāo)平移的特征（上加下減、左減右加）找出點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)，再連接即可；（3）利用三角形的面積公式及割補(bǔ)法求出△ABC的面積即可.
（1）∵，平移后的坐標(biāo)的，
∴平移方式為先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，
∵，
∴，；
（2）如圖所示，三角形即為所求；
（3）三角形的面積．
20．（2025七下·湛江期中）如圖，根據(jù)已知條件完成如下證明：
（1）已知，求證：．
（2）直線，求證：．
【答案】（1）證明：，，
，
.
（2）證明：，
，
又，
．
【知識點(diǎn)】對頂角及其性質(zhì)；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先利用對頂角的性質(zhì)及等量代換可得∠1=∠3，從而可證出；
（2）先利用平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，再利用等量代換可得.
（1）證明：，，
，
；
（2）證明：，
，
又，
．
21．（2025七下·湛江期中）將下列證明過程補(bǔ)充完整：
已知：如圖，點(diǎn)分別在上，分別交于點(diǎn)，．
求證：．
證明：因?yàn)椋ㄒ阎?br/>又因?yàn)椋╛___________），
所以___________（等量代換）．
所以（ ）
所以（____________）．
又因?yàn)椋ㄒ阎?br/>所以（____________）．
所以__________（ ）．
所以（ ）．
【答案】證明：∵（已知），
又∵（對頂角相等），
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴（等量代換）．
【知識點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；推理與論證
【解析】【分析】利用平行線的判定方法和性質(zhì)及推理步驟分析求解即可.
22．（2025七下·湛江期中）如圖，表示的是圖書館保龍倉、中國銀行和餐館的位置關(guān)系；
（1）以圖書館為參照點(diǎn)，請用方向角和圖中所標(biāo)的距離分別表示保龍倉、中國銀行和餐館的位置；
（2）火車站在圖書館的南偏東的方向上，并且火車站距圖書館的距離與中國銀行距圖書館的距離相等，請?jiān)趫D中畫出火車站的位置.
【答案】解：（1）保龍倉在圖書館西偏南方向上，且距離圖書館；
中國銀行在圖書館東偏北方向上，且距離圖書館；
餐館在圖書館西偏北方向上，且距離圖書館．
（2）如圖所示：
【知識點(diǎn)】用坐標(biāo)表示地理位置；方位角
【解析】【分析】（1）結(jié)合方位圖及圖中的數(shù)據(jù)直接分析求解即可；
（2）根據(jù)“火車站在圖書館的南偏東的方向上，并且火車站距圖書館的距離與中國銀行距圖書館的距離相等”，直接在圖象上表示出來即可.
23．（2025七下·湛江期中）下面是小明在學(xué)習(xí)“無理數(shù)的估算”時(shí)做的學(xué)習(xí)筆記．
無理數(shù)的估算 大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是我用來表示的小數(shù)部分，你同意我的表示方法嗎？ 事實(shí)上，我的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，所以將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分． 例如： 即， 的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．
根據(jù)以上筆記內(nèi)容，請完成如下任務(wù)．
（1）任務(wù)一：的整數(shù)數(shù)部分為_____，小數(shù)部分為_______；
（2）任務(wù)二：為的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，請計(jì)算的值；
（3）任務(wù)三：，其中是整數(shù)，且，求的值．
【答案】（1）3，
（2）解：∵，即，
∴的小數(shù)部分為，即；
∵，即，
∴的整數(shù)部分為4，即；
∴.
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整數(shù)，且，
∴，，
∴的相反數(shù)．
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的估值；求算術(shù)平方根；求代數(shù)式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整數(shù)部分為3，的小數(shù)部分為；
故答案為：3，.
【分析】（1）參照題干中的定義及計(jì)算方法利用估算無理數(shù)大小的方法求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分即可；
（2）參照題干中的定義及計(jì)算方法利用估算無理數(shù)大小的方法求出a、b的值，再將其代入計(jì)算即可；
（3）參照題干中的定義及計(jì)算方法利用估算無理數(shù)大小的方法求出x、y的值，再將其代入計(jì)算即可.
（1）解：∵，即，
∴的整數(shù)部分為3，的小數(shù)部分為；
故答案為：3，；
（2）解：∵，即，
∴的小數(shù)部分為，即；
∵，即，
∴的整數(shù)部分為4，即；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整數(shù)，且，
∴，，
∴的相反數(shù)．
24．（2025七下·湛江期中）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
（1）當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；
當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；
當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，請判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；
（2）【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點(diǎn)，∠AEC＝90°保持不變，移動頂點(diǎn)E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由，
（3）【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點(diǎn)，Q為直線CD上一動點(diǎn)，且點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合．直接寫出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）解：（1）①AB∥CD；
②AB∥CD；
③當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，
理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD.
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，
理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB，如圖所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°.
（3）∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【知識點(diǎn)】角的運(yùn)算；平行公理及推論；平行線的判定；平行線的性質(zhì)；角平分線的概念
【解析】【解答】（1）解：①當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD；
②當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD.
（3）解：分兩種情況分類討論，
第一種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動時(shí)，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長線上運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
故答案為：∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【分析】（1）利用同位角相等的兩條直線平行、同位角相等的兩條直線平行或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩條直線平行的判定方法分析求解即可；
（2）過點(diǎn)E作EF∥AB，先利用平行線的性質(zhì)可得∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，再利用角平分的定義可得∠ECD＝∠MCD，最后求出∠BAE+∠MCD＝90°即可；
（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長線上運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)C除外），再分別畫出圖形并利用平行線的性質(zhì)及角的運(yùn)算求解即可.
（1）解：當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD；
當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD；
當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
過點(diǎn)E作EF∥AB，如圖所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分兩種情況分類討論，
第一種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動時(shí)，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長線上運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
1 / 1廣東省湛江市教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年七年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題
1．（2025七下·湛江期中）如圖，同一平面內(nèi)，直線 m和直線n 的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
2．（2025七下·湛江期中）在下列圖中，與屬于對頂角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·湛江期中）實(shí)數(shù)，，0，，，中，無理數(shù)有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
4．（2025七下·湛江期中）下列選項(xiàng)中，左、右兩邊的圖案是通過平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·湛江期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·湛江期中）估算的值在（　　）
A．4到5之間 B．5到6之間 C．6到7之間 D．7到8之間
7．（2025七下·湛江期中）如圖，直線，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上．若，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·湛江期中）已知 是方程 的一個(gè)解，那么 的值是（　　）
A．1 B．3 C．-3 D．-1
9．（2025七下·湛江期中）已知點(diǎn)與點(diǎn)在同一條平行于y軸的直線上，且點(diǎn)N到x軸的距離等于4，且N在第一象限，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·湛江期中）正方形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，正方形的每個(gè)邊都相等，每個(gè)角都是直角．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿的路線運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動2024秒時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·湛江期中）命題“同位角相等，兩直線平行”中，改成“如果……那么……”句式為　 　．
12．（2025七下·湛江期中）把點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是　 　．
13．（2025七下·湛江期中）已知點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)在x軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為　 　．
14．（2025七下·湛江期中）如圖，A，B，C均為正方形，若A的面積為10，C的面積為1，則B的邊長可以是　 　．（寫出一個(gè)答案即可）
15．（2025七下·湛江期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則k的值為　 　
16．（2025七下·湛江期中）如圖，其中圖1是瑞瑞在跑步機(jī)上健身，其示意圖如圖2所示．折線是固定支架，且，顯示屏，，則　 　度．
17．（2025七下·湛江期中）計(jì)算：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·湛江期中）解下列方程組
（1）
（2）
19．（2025七下·湛江期中）如圖，在三角形中，，，．
（1）若平移后的坐標(biāo)的，分別寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：______；______．
（2）畫出平移后的三角形．
（3）求三角形的面積．
20．（2025七下·湛江期中）如圖，根據(jù)已知條件完成如下證明：
（1）已知，求證：．
（2）直線，求證：．
21．（2025七下·湛江期中）將下列證明過程補(bǔ)充完整：
已知：如圖，點(diǎn)分別在上，分別交于點(diǎn)，．
求證：．
證明：因?yàn)椋ㄒ阎?br/>又因?yàn)椋╛___________），
所以___________（等量代換）．
所以（ ）
所以（____________）．
又因?yàn)椋ㄒ阎?br/>所以（____________）．
所以__________（ ）．
所以（ ）．
22．（2025七下·湛江期中）如圖，表示的是圖書館保龍倉、中國銀行和餐館的位置關(guān)系；
（1）以圖書館為參照點(diǎn)，請用方向角和圖中所標(biāo)的距離分別表示保龍倉、中國銀行和餐館的位置；
（2）火車站在圖書館的南偏東的方向上，并且火車站距圖書館的距離與中國銀行距圖書館的距離相等，請?jiān)趫D中畫出火車站的位置.
23．（2025七下·湛江期中）下面是小明在學(xué)習(xí)“無理數(shù)的估算”時(shí)做的學(xué)習(xí)筆記．
無理數(shù)的估算 大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是我用來表示的小數(shù)部分，你同意我的表示方法嗎？ 事實(shí)上，我的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，所以將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分． 例如： 即， 的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．
根據(jù)以上筆記內(nèi)容，請完成如下任務(wù)．
（1）任務(wù)一：的整數(shù)數(shù)部分為_____，小數(shù)部分為_______；
（2）任務(wù)二：為的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，請計(jì)算的值；
（3）任務(wù)三：，其中是整數(shù)，且，求的值．
24．（2025七下·湛江期中）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
（1）當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；
當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；
當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，請判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；
（2）【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點(diǎn)，∠AEC＝90°保持不變，移動頂點(diǎn)E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由，
（3）【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點(diǎn)，Q為直線CD上一動點(diǎn)，且點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合．直接寫出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數(shù)量關(guān)系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點(diǎn)】平面中直線位置關(guān)系；相交線的相關(guān)概念
【解析】【解答】解：由圖可得：同一平面內(nèi)，直線 m和直線n 的位置關(guān)系是相交，
故答案為：A．
【分析】利用平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系及結(jié)合圖形分析求解即可.
2．【答案】D
【知識點(diǎn)】對頂角及其性質(zhì)
【解析】【解答】解：在選項(xiàng)A中，與的兩邊都不互為反向延長線，B，C選項(xiàng)中，與沒有公共點(diǎn)，所以都不是對頂角，是對頂角的只有選項(xiàng)D．
故答案為：D．
【分析】利用對頂角的定義（兩條直線相交后形成的兩個(gè)角，它們有公共的頂點(diǎn)且沒有公共邊）及特征分析求解即可.
3．【答案】B
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的概念；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：是有理數(shù)；
是開方開不盡的數(shù)，是無理數(shù)；
0是有理數(shù)；
，是有理數(shù)；
是無理數(shù)；
是有理數(shù)；
綜上，無理數(shù)有2個(gè)，
故答案為：B．
【分析】先利用立方根的性質(zhì)化簡，再利用無理數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷。
4．【答案】B
【知識點(diǎn)】平移的性質(zhì)；圖形的平移
【解析】【解答】解：因?yàn)橹挥蠦選項(xiàng)的圖形沒有改變圖形的形狀、大小及方向，符合平移的性質(zhì)，
所以只有B選項(xiàng)的圖形是通過平移得到，
故答案為：B．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)直線方向做相同距離的移動 ）逐項(xiàng)分析判斷即可.
5．【答案】B
【知識點(diǎn)】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、是二元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
C、不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
故答案為：B.
【分析】利用二元一次方程的定義（含有兩個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐項(xiàng)分析判斷即可.
6．【答案】B
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：B.
【分析】先估算出，再求出即可得解.
7．【答案】A
【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故選：．
【分析】由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平角的定義可得．
8．【答案】A
【知識點(diǎn)】二元一次方程組的解
【解析】【解答】將 代入方程 得 ，解得 ．
故答案為：1.
【分析】本題考查二元一次方程解的逆向應(yīng)用，已知方程的解求解原方程的未知數(shù)，將解代入即可.
9．【答案】A
【知識點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)與象限的關(guān)系
【解析】【解答】解∶∵點(diǎn)與點(diǎn)在同一條平行于y軸的直線上，
∴，
∵點(diǎn)N到x軸的距離等于4，且N在第一象限，
∴，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
故答案為：A.
【分析】根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的定義及點(diǎn)M的坐標(biāo)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可.
10．【答案】C
【知識點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；探索規(guī)律-點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律
【解析】【解答】解：∵正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∴，，
∵動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿的路線運(yùn)動，
∴走一圈花費(fèi)時(shí)間（秒），
∵，
∴運(yùn)動2024秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)與重合，
即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
故答案為：C．
【分析】先求出走一圈花費(fèi)時(shí)間（秒），再結(jié)合，可得運(yùn)動2024秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)與重合，從而得解.
11．【答案】如果兩直線被第三條直線所截形成的同位角相等，那么這兩條直線平行
【知識點(diǎn)】定義、命題、定理、推論的概念
【解析】【解答】解：命題“同位角相等，兩直線平行”中，改成“如果那么”句式為“如果兩直線被第三條直線所截形成的同位角相等，那么這兩條直線平行”．
故答案為：如果兩直線被第三條直線所截形成的同位角相等，那么這兩條直線平行．
【分析】利用定義的定義（ 定義是一種明確的陳述，用于描述一個(gè)概念、性質(zhì)或規(guī)則 ）逐項(xiàng)分析判斷即可.
12．【答案】
【知識點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；沿著坐標(biāo)軸方向平移的點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：把點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，
可得橫坐標(biāo)為：，
再向下平移個(gè)單位長度，
可得縱坐標(biāo)為：，
則得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
【分析】利用點(diǎn)坐標(biāo)平移的特征（上加下減、左減右加）分析求解即可.
13．【答案】
【知識點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)與象限的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案為：．
【分析】利用x軸和y軸上點(diǎn)坐標(biāo)的特征可得，，再求出a、b的值，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo).
14．【答案】2
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的估值；求算術(shù)平方根
【解析】【解答】解：，，
正方形的邊長為，正方形的邊長為1，
的邊長，
正方形的邊長可以是2，
故答案為：2（答案不唯一）．
【分析】利用正方形的面積公式及算術(shù)平方根的計(jì)算方法求出A、C的邊長，再求解即可.
15．【答案】
【知識點(diǎn)】解二元一次方程組；已知二元一次方程的解求參數(shù)
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得：，
∴，
解得：，
故答案為：．
【分析】先求出方程組的解，再將x、y的值代入可得，最后求出k的值即可.
16．【答案】155
【知識點(diǎn)】角的運(yùn)算；直角三角形的性質(zhì)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
【解析】【解答】解∶如圖，延長交于點(diǎn)N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：155.
【分析】延長交于點(diǎn)N，先利用角的運(yùn)算求出，，再利用平行線的性質(zhì)可得．
17．【答案】（1）解：
.
（2）解；
．
【知識點(diǎn)】有理數(shù)的乘方法則；求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)化簡，再計(jì)算即可；
（2）先利用有理數(shù)的乘方和算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡，再計(jì)算即可.
（1）
；
（2）
．
18．【答案】（1）解：，
由①，得③
把③代入②，得．
解得：，
把代入③，得，
原方程組的解為.
（2）解：
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
原方程組的解為．
【知識點(diǎn)】代入消元法解二元一次方程組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的計(jì)算方法及步驟分析求解即可；
（2）利用加減消元法的計(jì)算方法及步驟分析求解即可.
19．【答案】（1），
（2）解：如圖所示，三角形即為所求；
（3）解：三角形的面積．
【知識點(diǎn)】三角形的面積；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；作圖﹣平移；幾何圖形的面積計(jì)算-割補(bǔ)法
【解析】【解答】（1）解：∵，平移后的坐標(biāo)的，
∴平移方式為先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，
∵，
∴，.
故答案為：，.
【分析】（1）利用點(diǎn)坐標(biāo)平移的特征（上加下減、左減右加）分析求解即可；（2）先利用點(diǎn)坐標(biāo)平移的特征（上加下減、左減右加）找出點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)，再連接即可；（3）利用三角形的面積公式及割補(bǔ)法求出△ABC的面積即可.
（1）∵，平移后的坐標(biāo)的，
∴平移方式為先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，
∵，
∴，；
（2）如圖所示，三角形即為所求；
（3）三角形的面積．
20．【答案】（1）證明：，，
，
.
（2）證明：，
，
又，
．
【知識點(diǎn)】對頂角及其性質(zhì)；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先利用對頂角的性質(zhì)及等量代換可得∠1=∠3，從而可證出；
（2）先利用平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，再利用等量代換可得.
（1）證明：，，
，
；
（2）證明：，
，
又，
．
21．【答案】證明：∵（已知），
又∵（對頂角相等），
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴（等量代換）．
【知識點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；推理與論證
【解析】【分析】利用平行線的判定方法和性質(zhì)及推理步驟分析求解即可.
22．【答案】解：（1）保龍倉在圖書館西偏南方向上，且距離圖書館；
中國銀行在圖書館東偏北方向上，且距離圖書館；
餐館在圖書館西偏北方向上，且距離圖書館．
（2）如圖所示：
【知識點(diǎn)】用坐標(biāo)表示地理位置；方位角
【解析】【分析】（1）結(jié)合方位圖及圖中的數(shù)據(jù)直接分析求解即可；
（2）根據(jù)“火車站在圖書館的南偏東的方向上，并且火車站距圖書館的距離與中國銀行距圖書館的距離相等”，直接在圖象上表示出來即可.
23．【答案】（1）3，
（2）解：∵，即，
∴的小數(shù)部分為，即；
∵，即，
∴的整數(shù)部分為4，即；
∴.
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整數(shù)，且，
∴，，
∴的相反數(shù)．
【知識點(diǎn)】無理數(shù)的估值；求算術(shù)平方根；求代數(shù)式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整數(shù)部分為3，的小數(shù)部分為；
故答案為：3，.
【分析】（1）參照題干中的定義及計(jì)算方法利用估算無理數(shù)大小的方法求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分即可；
（2）參照題干中的定義及計(jì)算方法利用估算無理數(shù)大小的方法求出a、b的值，再將其代入計(jì)算即可；
（3）參照題干中的定義及計(jì)算方法利用估算無理數(shù)大小的方法求出x、y的值，再將其代入計(jì)算即可.
（1）解：∵，即，
∴的整數(shù)部分為3，的小數(shù)部分為；
故答案為：3，；
（2）解：∵，即，
∴的小數(shù)部分為，即；
∵，即，
∴的整數(shù)部分為4，即；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整數(shù)，且，
∴，，
∴的相反數(shù)．
24．【答案】（1）解：（1）①AB∥CD；
②AB∥CD；
③當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，
理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD.
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，
理由如下：過點(diǎn)E作EF∥AB，如圖所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°.
（3）∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【知識點(diǎn)】角的運(yùn)算；平行公理及推論；平行線的判定；平行線的性質(zhì)；角平分線的概念
【解析】【解答】（1）解：①當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD；
②當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD.
（3）解：分兩種情況分類討論，
第一種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動時(shí)，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長線上運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
故答案為：∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【分析】（1）利用同位角相等的兩條直線平行、同位角相等的兩條直線平行或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩條直線平行的判定方法分析求解即可；
（2）過點(diǎn)E作EF∥AB，先利用平行線的性質(zhì)可得∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，再利用角平分的定義可得∠ECD＝∠MCD，最后求出∠BAE+∠MCD＝90°即可；
（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長線上運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)C除外），再分別畫出圖形并利用平行線的性質(zhì)及角的運(yùn)算求解即可.
（1）解：當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD；
當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD；
當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
過點(diǎn)E作EF∥AB，如圖所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分兩種情況分類討論，
第一種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動時(shí)，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長線上運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
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