資源簡介

導數大題之恒成立問題
1.(2016 年全國普通高等學校招生統一考試理科數學(四川卷)設函數 ,其中 .
( I )討論 的單調性；
(II)確定 的所有可能取值,使得 在區間 內恒成立 .
2. (2023 全國甲卷理數) 已知函數
(1)當 時,討論 的單調性；
(2)若 恒成立,求 的取值范圍.
3. (2024 年高考全國甲卷數學 (理) 真題) 已知函數 .
(1)當 時,求 的極值;
(2)當 時, ,求 的取值范圍.
4. (2024 年新課標全國I卷數學真題) 已知函數
(1)若 ,且 ,求 的最小值；
(2)證明:曲線 是中心對稱圖形；
(3)若 當且僅當 ,求 的取值范圍.
5. (湖南省長沙市 2023 屆高三上學期新高考適應性考試數學試題) 已知函數 ,其中 .
(1) 求 的最大值;
(2)若不等式 對于任意的 恒成立,求實數 的取值范圍.
6. (2014 年全國普通高等學校招生統一考試理科數學(全國II卷)已知函數 .
(1)討論 的單調性；
(2)設 ,當 時, ,求 的最大值；
(3)已知 ,估計 的近似值(精確到 0.001)
7. (2014 年全國普通高等學校招生統一考試理科數學 (北京卷帶解析)) 已知函數 .
(1) 求證: ;
(2)若 對 恒成立,求 的最大值與 的最小值.
8. (浙江省溫州市 2023 屆高三下學期 5 月第三次適應性考試 (三模) 數學試題) 已知函數 . ( 1 )證明:函數 在 上有且只有一個零點；
(2)當 時,求函數 的最小值;
(3) 設 ,若對任意的 恒成立,且不等式兩端等號均能取到,求 的最大值.
9. (2012 年全國普通高等學校招生統一考試理科數學(大綱卷)設函數 .
(1)討論 的單調性;
(2) 設 ,求 的取值范圍.
10. (2020 年全國統一高考數學試卷 (理科) (新課標I)) 已知函數 .
( 1 )當 時,討論 的單調性；
(2)當 時, ,求 的取值范圍.
11. (2023 年新課標全國II卷數學真題) (1) 證明: 當 時, ;
(2)已知函數 ,若 是 的極大值點,求 的取值范圍.
12. (四川省成都市 2023 屆高三三診理科數學試題) 已知函數 ,其中 .
(1)當 時,求曲線 在點 處的切線方程;
(2)若 是函數 的極小值點,求 的取值范圍.
13. (2018 年全國卷III理數) 已知函數 .
(1)若 ,證明:當 時, ；當 時, ；
(2)若 是 的極大值點,求 .
14.(河南省信陽市新縣高級中學 2024 屆高三下學期適應性考試(十六)數學試題)已知函數
(1)當 時,求 在區間 內極值點的個數;
(2)若 恒成立,求 的值;
15. (2024 年全國高考名校名師聯席命制數學(理)押題卷(六))已知函數 .
(1)當 時,證明: 恒成立;
(2)若對于任意的 ,都有 恒成立,求實數 的取值范圍.
16. (山東省濟南市 2023 屆高三下學期 3 月一模數學試題) 已知函數 .
(1)當 ,求曲線 在點 處的切線方程.
(2)若 在 上單調遞增,求 的取值范圍;
(3)若 的最小值為 1,求 .
17. (貴州省遵義市 2024 屆高三第二次模擬測試數學試題) 函數 有且只有兩個零點 . (1)求實數 的取值范圍；
(2)已知 為常數,設函數 ,若 ,求 的值.
18.(2015 年全國普通高等學校招生統一考試理科數學(四川卷)已知函數 ,其中 .
(1)設 是 的導函數,討論 的單調性；
(2)證明:存在 ,使得 在區間 內恒成立,且 在 內有唯一解. 19. (河北省部分學校聯考 2024 屆高三下學期 3 月模擬 (二) 數學試題) 已知函數 . (1)若函數 有 3 個不同的零點,求 的取值范圍; (2)已知 為函數 的導函數, 在 上有極小值 0,對于某點 在 點的切線方程為 ,若對于 ,都有 ,則稱 為好點.
① 求 的值；
②求所有的好點.
20. (湖北省武漢市 2021 屆高三下學期 4 月質量檢測數學試題) 已知函數 .
(1) 當 時,求曲線 在點 處的切線方程;
(2)若存在正實數 ,使得當 時,有 能成立,求 的值.
21. (湖北省武漢市 2024 屆高中畢業班二月調研考試數學試題) 已知函數 .
( 1 )求曲線 在點 處的切線方程；
(2)證明: 是其定義域上的增函數；
(3)若 ,其中 且 ,求實數 的值.
22. (河南省駐馬店部分學校 2024 年普通高等學校招生全國統一考試模擬數學試題(二) 已知函數 .
(1)討論 的最值;
(2)若 ,且 ,求 的取值范圍.
23. (2011 年普通高等學校招生全國統一考試理科數學(浙江卷) .
(1)若 為 的極值點,求實數 ；
(2)求實數 的取值范圍,使得對任意的 ,恒有 成立.
注: 為自然對數的底數.
24. (湖南省 2024 屆高三下學期數學模擬試題) 若函數 及其導函數 均在區間 上有定義,且對于 ,
都有 恒成立,則稱函數 在區間 上為 級單增函數.
(1)證明: 在區間(2,3)內為 5 級單增函數;
(2)若 在區間 上為 3 級單增函數,求實數 的取值范圍.
25. (重慶市沙坪壩區南開中學校 2024 屆高三上學期第四次質量檢測 (期中) 數學試題) 已知函數 ,
(1)若曲線 在點 處的切線與曲線 也相切,求實數 的值.
(2)若不等式 對任意的 恒成立,求 的取值范圍. ( 為自然對數的底數) 26. (湖南省長沙市麓山國際實驗學校 2020-2021 學年高三上學期第一次月考數學試題) 已知函數
(1)若直線 與曲線 相切,求 的值；
(2)若關于 的不等式 恒成立,求 的取值范圍.
27. (陜西省安康市高新中學、安康中學高新分校 2023-2024 學年高三階段性測試(八)理科數學試題)已知函數
(1) 求曲線 與 的公切線的條數;
( 2 )若 ,求 的取值范圍.
28. (廣東省佛山市 2023 屆高三二模數學試題) 已知函數 ,其中 .
(1)若 有兩個零點,求 的取值范圍;
(2)若 ,求 的取值范圍.
29. (2019 年浙江省高考數學試卷) 已知實數 ,設函數 .
(1) 當 時,求函數 的單調區間;
(2)對任意 均有 ,求 的取值范圍.
注: 為自然對數的底數.
30. (2015 年全國普通高等學校招生統一考試理科數學(新課標II)設函數 .
(1)證明: 在 單調遞減,在 單調遞增；
(2)若對于任意 ,都有 ,求 的取值范圍.
31. (福建省廈門第一中學 2023 屆高三三模數學試題) 已知函數 .
(1)若 ,設 ,討論函數 的單調性；
(2) 令 ,若存在 ,使得 ,求 的取值范圍.
32. (2021 年天津高考數學試題) 已知 ,函數 .
( I )求曲線 在點 處的切線方程:
(II)證明 存在唯一的極值點
(III)若存在 ,使得 對任意 成立,求實數 的取值范圍.
33. (湖南省長沙市雅禮中學 2020 屆高三上學期月考試卷 (一) 理科數學試題) 已知函數 .
( 1 )當 時,證明函數 是增函數；
(2)是否存在實數 ,使得只有唯一的正數 ,當 時恒有: ,若這樣的實數 存在,試求 、 的值, 若不存在, 請說明理由.
34. (浙江省寧波市九校 2022-2023 學年高三上學期期末聯考數學試題) 已知函數 是自然對數的底數.
(1) 求 的單調區間;
( 2 )若不等式 對 恒成立,求實數 的取值范圍.
35. (河南省濟洛平許 2024 屆高三第三次質量檢測數學試題) 已知函數 , e 為自然對數的底數.
(1)若此函數的圖象與直線 交于點 ,求該曲線在點 處的切線方程；
(2)判斷不等式 的整數解的個數；
(3)當 時, ,求實數 的取值范圍.
36. (四川省綿陽市 2024 屆高三上學期第一次診斷性考試理科數學試題) 已知函數 .
(1)當 時,求 的單調性；
( 2 )若 ,求實數 的取值范圍.
37. (四川省綿陽市 2021-2022 學年高三上學期第一次診斷性考試理科數學試題) 已知函數 ,其圖象在點 處的切線斜率為 .
(1)證明:當 時, ；
(2)若函數 在定義域上無極值,求正整數 的最大值.
38. (遼寧省協作校 2024 屆高三下學期第一次模擬考試數學試題) 已知函數 (其中 為實數,且 )
(1)當 時, 恒成立,求 ；
(2)當 時,函數 有兩個不同的零點,求 的最大整數值. (參考數據: )
39. (福建省福州市 2022 屆高三 5 月質量檢測數學試題) 設函數 ,曲線 在 處的切線與
軸交于點 ;
(1)求 ；
(2)若當 時, ,記符合條件的 的最大整數值、最小整數值分別為 ,求 . 注:
為自然對數的底數.
40. (廣東省佛山市 2024 屆高三教學質量檢測(一)數學試題)已知 ,其中 .
(1) 求 的單調區間;
(2)若 ,證明: 當 時, .
41. (江西省南昌市 2022 屆高三第二次模擬測試卷數學 (理) 試題) 已知函數 是自然對數的底數).
(1)當 時,試判斷 在 上極值點的個數;
(2)當 時,求證: 對任意 .
42. (福建省莆田市 2021 屆高三高中畢業班 3 月第二次教學質量檢測數學試題) 設函數 .
(1)若 在 上存在零點,求實數 的取值范圍；
(2)證明:當 時, .
43. (廣東省佛山市普通高中 2022 屆高三上學期期末數學試題) 已知函數 ,其中 且 .
(1) 設 ,過點 作曲線 的切線 (斜率存在),求切線的斜率;
(2)證明: 當 或 時, .
參考答案:
1. (I) 見解析 (II) .
2. (1)答案見解析.
(2)
3. (1) 極小值為 0 , 無極大值.
(2)
4.
(2)證明見解析
(3)
5. (1)1
(2)
6. (1) 函數 在 上是增函數; (2) 2; (3) 0.693
7. (1) 詳見解析; (2) 的最大值為 的最小值為 1.
8. (1)證明過程見詳解
(2)
(3)
9. (1)答案見解析
(2)
10. (1) 當 時, 單調遞減,當 時, 單調
遞增. (2)
11. (1) 證明見詳解(2)
12.
(2)
13.(1)見解析
(2)
14. (1)2 個
(2)
15. (1)證明見解析
(2)
16.
(2)
(3)
17. ;
(2) .
18. (1) 當 時, 在區間 上單調遞增,在區間 上單調遞減；當 時, 在區間 上單調遞增. (2) 詳見解析.
19.
(2)① ；②
20. (1) ; (2) 1.
21. (1)
(2)證明過程見解析
(3)
22. (1)答案見解析
(2)
23. (1) 或
(2)
24. (1)證明過程見解析
(2)
25. (1)
(2)
26. (1) .
27. (1)2 條
(2)
28. ;
.
29. (1) 的單調遞增區間是 ,單調遞減區間是 .
30. (1) 在 單調遞減,在 單調遞增; (2) .
31. (1) 在(0, b)和 上單調遞減
(2)
32. (I) ; (II) 證明見解析; (III)
33. (1) 詳見解析; (2) 存在實數 只有唯一值 滿足題意.
34. (1) 單調遞增區間是(0,1)和 ,單調遞減區間是(1, e)
(2)
35. (1)
(2)3
(3)
36. (1) 單調遞減區間為 ; 單調遞增區間為
(2)
37. (1) 證明見解析; (2) 5.
38. (1)
(2) -1
39. (1)
(2)8
40. (1)答案見解析
(2)證明見解析
41. (1) 在 上只有一個極值點,即唯一極小值點;
(2)證明見解析
42. ,(2)證明見解析
43. (1) ;
(2)證明見解析.詳解
1. (I) 見解析 (II) .
【詳解】試題分析:本題考查導數的計算、利用導數求函數的單調性,解決恒成立問題,考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力. 第(I)問,對 求導,再對 a 進行討論,從而判斷函數 的單調性；第(II)問,利用導數判斷函數的單調性, 從而證明結論.
試題解析: (I) .
當 時, 在 內單調遞減.
當 時,由 ,有 .
此時,當 時, 單調遞減;
當 時, 單調遞增.
(II) 令 .
則 .
而當 時, ,
所以 在區間 內單調遞增.
又由 ,有 ,
從而當 時, .
當 時, .
故當 在區間 內恒成立時,必有 .
當 時, .
由 (I) 有 ,從而 ,
所以此時 在區間 內不恒成立.
當 時,令 ,
當 時, ,
因此, 在區間 單調遞增.
又因為 ,所以當 時, ,即 恒成立.
綜上, .
【考點】導數的計算, 利用導數求函數的單調性, 解決恒成立問題
【名師點睛】本題考查導數的計算,利用導數求函數的單調性,解決恒成立問題,考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力. 求函數的單調性,基本方法是求 ,解方程 ,再通過 的正負確定 的單調性; 要證明不等式 ,一般證明 的最小值大于 0,為此要研究函數 的單調性. 本題中注意由于函數 的極小值沒法確定,因此要利用已經求得的結論縮小參數取值范圍. 比較新穎,學生不易想到,有一定的難度.
2. (1)答案見解析.
【分析】(1)求導,然后令 ,討論導數的符號即可；
(2)構造 ,計算 的最大值,然后與 0 比較大小,得出 的分界點,再對 討論即可.
【詳解】( 1 )
令 ,則
則
當
當 ,即 .
當 ,即 .
所以 在 上單調遞增,在 上單調遞減
(2) 設
設
所以 .
若
即 在 上單調遞減,所以 .
所以當 ,符合題意.
若
當 ,所以 . . 所以 ,使得 ,即 ,使得 .
當 ,即當 單調遞增.
所以當 ,不合題意.
綜上, 的取值范圍為 .
【點睛】關鍵點點睛:本題采取了換元,注意復合函數的單調性 在定義域內是減函數,若 ,當
,對應當 .
3. (1)極小值為 0 , 無極大值.
(2)
【分析】(1)求出函數的導數, 根據導數的單調性和零點可求函數的極值.
( 2 )求出函數的二階導數,就 、 、 分類討論后可得參數的取值范圍.
【詳解】( 1 )當 時, ,
故 ,
因為 在 上為增函數,
故 在 上為增函數,而 ,
故當 時, ,當 時, ,
故 在 處取極小值且極小值為 ,無極大值.
(2) ,
設 ,
則 ,
當 時, ,故 在 上為增函數,
故 ,即 ,
所以 在 上為增函數,故 .
當 時,當 時, ,
故 在 上為減函數,故在 上 ,
即在 上 即 為減函數,
故在 上 ,不合題意,舍.
當 ,此時 在 上恒成立,
同理可得在 上 恒成立,不合題意,舍;
綜上, .
【點睛】思路點睛:導數背景下不等式恒成立問題, 往往需要利用導數判斷函數單調性, 有時還需要對導數進一步利用導數研究其符號特征, 處理此類問題時注意利用范圍端點的性質來確定如何分類.
4. (1)-2
(2)證明見解析
(3)
【分析】( 1 )求出 后根據 可求 的最小值；
(2)設 為 圖象上任意一點,可證 關于(1, a)的對稱點為 也在函數的圖像上,從而可證對稱性;
(3)根據題設可判斷 即 ,再根據 在(1,2)上恒成立可求得 .
【詳解】( 1 ) 時, ,其中 ,
則 ,
因為 ,當且僅當 時等號成立,
故 ,而 成立,故 即 ,
所以 的最小值為 -2.,
(2) 的定義域為(0,2),
設 為 圖象上任意一點,
關于(1, a)的對稱點為 ,
因為 在 圖象上,故 , 而 ,
所以 也在 圖象上,
由 的任意性可得 圖象為中心對稱圖形,且對稱中心為(1, a).
(3)因為 當且僅當 ,故 為 的一個解,
所以 即 ,
先考慮 時, 恒成立.
此時 即為 在(1,2)上恒成立,
設 ,則 在(0,1)上恒成立,
設 ,
則 ,
當 ,
故 恒成立,故 在(0,1)上為增函數,
故 即 在(1,2)上恒成立.
當 時, ,
故 恒成立,故 在(0,1)上為增函數,
故 即 在(1,2)上恒成立.
當 ,則當 時,
故在 上 為減函數,故 ,不合題意,舍;
綜上, 在(1,2)上恒成立時 .
而當 時,
而 時,由上述過程可得 在(0,1)遞增,故 的解為(0,1),
即 的解為(1,2).
綜上, .
【點睛】思路點睛: 一個函數不等式成立的充分必要條件就是函數不等式對應的解, 而解的端點為函數對一個方程的根或定義域的端點, 另外, 根據函數不等式的解確定參數范圍時, 可先由恒成立得到參數的范圍, 再根據得到的參數的范圍重新考慮不等式的解的情況.
5. (1)1
(2)
【分析】(1)求導,得到函數單調性,極值最值情況,求出最大值；
(2)先考慮 時滿足題意,再分 與 兩種情況,求導后變形,與題干中的 建立聯系,分類討論求出實數 的取值范圍. 【詳解】( 1 ) ,
令 ,解得: 或 ,
令 ,解得: ,
故 在 上單調遞增,在 上單調遞減,
故 在 處取得極大值, ,
令 ,即當 時, 恒成立,
故 在 處取得最大值, ;
(2)設 ,其中 ,
①當 時, ,符合題意,
② 當 時, ,且 ,
由 (1) 知: 在(0,1)單調遞增,故 ,
若 ,則 單調遞減,有 ,符合題意,
若 ,符合題意,
若 ,即 時, ,則 在(0,1)上單調遞減,有 ,符合題意,
若 ,即 時,存在 使得 ,
當 時, ,故 ,則 單調遞增,可得 ,不合題意,
因此當 時,滿足題意得 ,
③當 時, ,且 ,
由②可知: 只需考慮 ,
若 ,即 時,由 (1) 知 在(1,2)上單調遞減,故 ,
存在 ,使得 ,
當 時, ,得 ,則 單調遞減,
可得: ,不合題意,
若 ,即 時,由 (1) 可知: 當 時, ,
故 ,則 在 上單調遞增,有 ,符合題意,
若 ,符合題意,
若 ,下面證明 符合題意,
當 時, ,故 ,
當 時,設 ,則 ,
可得 在(1,2)上單調遞增,在(2, e)上單調遞減,
故 ,
從而 ,符合題意,
綜上: .
【點睛】數學問題的轉化要注意等價性, 也就是充分性與必要性兼備, 有時在探求參數的取值范圍時, 為了尋找解題突破口, 從滿足題意得自變量范圍內選擇一個數, 代入求得參數的取值范圍, 從而得到使得問題成立的一個必要條件, 這個范圍可能恰好就是所求范圍, 也可能比所求的范圍大, 需要驗證其充分性, 這就是所謂的必要性探路和充分性證明,
對于特殊值的選取策略一般是某個常數, 實際上時切線的橫坐標, 端點值或極值點等.
6. (1) 函數 在 上是增函數; (2) 2; (3) 0.693
【詳解】( 1 )因為 ,當且僅當 時等號成立,所以函數 在 上是增函數；
(2)因為 ,
所以 .
當 時, ,等號僅當 時成立,所以 在 上單調遞增,而 ,所以對任意 ;
當 時,若 滿足 ,即 時, ,而 ,
因此當 時, ,
綜上, 的最大值為 2 .
(3) 由 (2) 知, ,
當 時, ;
當 時, ,
,所以 的近似值為 0.693 .
【易錯點】對第(I)問,函數單調性的判斷,容易;對第(2)問,考慮不到針對 去討論; 對第(3)問,
找不到思路.
考點: 本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值等知識, 綜合性較強, 考查函數與方程、分類討論等數學思想方法, 考查同學們分析問題、解決問題的能力, 熟練函數與導數的基礎知識以及基本題型是解答好本類題目的關鍵.
7. (1) 詳見解析; (2) 的最大值為 的最小值為 1.
【詳解】試題分析:(1)求 ,由 ,判斷出 ,得出函數 在 上單調遞減,從而 ；(2)由于 ,“ ”等價于“ ”,“ ”等價于“ ”,令 ,則 ,對 分 進行討論,
用導數法判斷函數 的單調性,從而確定當 對 恒成立時 的最大值與 的最小值.
(1) 由 得 ,
因為在區間 上 ,所以, 在區間 上單調遞減,
從而 .
(2)當 時,“ ”等價于“ ”,“ ”等價于“ ”,
令 ,則 ,
當 時, 對任意 恒成立,
當 時,因為對任意 ,所以 在區間 上單調遞減,從而
對任意 恒成立.
當 時,存在唯一的 使得 ,
、 在區間 上的情況如下表:
+ 0 -
↑ ↓
因為 在區間 上是增函數,所以 ,進一步 “ 對任意 恒成立”
,當且僅當 ,即 .
綜上所述,當且僅當 時, 對任意 恒成立. 當且僅當 時, 對任意 恒成立.
所以,若 對 恒成立,則 的最大值為 與 的最小值 1 .
考點: 導數法求函數的單調性, 恒成立、分類討論.
8. (1)證明過程見詳解
(2)
(3)
【分析】( 1 )將證明的結論轉化為 在 上有且只有一個零點.
然后對函數 求導判斷函數的單調性,利用零點存在性定理即可證明;
(2)對函數求導,判斷函數的單調性進而求出函數的最小值；
(3)結合(1)(2)的結論和已知條件可知,使 最大,則 ,則 ,且等號取到 與函數 相切, 然后利用導數的幾何意義進行求解即可.
【詳解】( 1 )令 ,得 ,令 ,
要證函數 在 上有且只有一個零點,
即證 在 上有且只有一個零點.
因為 ,所以函數 在 上單調遞減,
由 ,則 ,
由零點存在性定理可知,函數 在 上有且只有一個零點.
故得證.
( 2 )對函數求導可得 ,因為 ,
所以當 時,顯然 ,則 ;
當 時,令 ,
因為 ,
(令 ,則 ,所以 在 上單調遞增,則 ,
所以 )
所以當 時, 在 上單調遞增,
故 ,則 ,
則函數 在 上單調遞減,在 上單調遞增,
所以 .
( 3 )由( 1 )知,函數 在 上有且只有一個零點,
由(2)知函數 在 上單調遞減,在 上單調遞增,
且當 ,函數趨近于 0,
考慮到 ,則 ,則 ,當 變大時,則 減小.
要使 最大,則 ,則 ,且等號取到 與函數 相切,
設切點坐標為 ,則 ,
則有 ,
即 ,解得 ,
(下面證明唯一性) 可化為,
,令 , ,函數 在 上
單調遞減,
則 ,
當 時,因為 時,恒有 ,則 ,
所以 ,
當 時,因為 時,恒有 ,則 ,
所以 ,
所以函數 在 上單調遞減,在 上單調遞增,
又因為函數 的最小正周期為 ,
所以函數 與 在 上有唯一的交點, 草圖如下: 故 ,所以 的最大值為 . 【點睛】利用導數研究函數的最值問題時, 一般需要先對函數求導, 根據導函數的方法研究函數的單調性, 求出極值, 結合題中條件即可求出最值(有時解析式中會含有參數,求解時,要討論參數的不同取值范圍,再判斷函數的單調性, 進行求解).
9. (1)答案見解析
(2)
【分析】(1)求出 ,分類討論 的范圍,在定義域內分別令 與 ,從而得解；
(2)先由題意推得 ,從而構造函數 ,利用導數證得 恒成立,從而分類討論
與 ,證得 恒成立,由此得解.
【詳解】( 1 )因為 ,所以 ,
當 時, ,當且僅當 時, ,
在 上是增函數,
當 時, ,當且僅當 或 時, ,
在 上是減函數,
當 時,令 ,則 或 ,
當 是增函數,
當 是減函數,
當 是增函數.
(2)因為 ,
由 得 ,即 ,則 ,
下證當 時, 恒成立,
令 ,則 ,
當 時, ,當 時, ,
所以 在 上單調遞增,在 上單調遞減,
又 ,即 ,
當 時,有 ,
當 時, ,所以 ,
當 時, ,
則 ,
綜上, 的取值范圍是 .
【點睛】方法點睛: 導函數中常用的兩種常用的轉化方法:
一是利用導數研究含參函數的單調性, 常化為不等式恒成立問題. 注意分類討論與數形結合思想的應用;
二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理.
10. (1) 當 時, 單調遞減,當 時, 單調遞增. (2)
【分析】(1)由題意首先對函數二次求導,然后確定導函數的符號,最后確定原函數的單調性即可.
(2)方法一:首先討論 的情況,然后分離參數,構造新函數,結合導函數研究構造所得的函數的最大值即可確定實數 的取值范圍.
【詳解】(1)當 時, ,
由于 ,故 單調遞增,注意到 ,故:
當 時, 單調遞減,
當 時, 單調遞增.
(2)[方法一]【最優解】:分離參數
由 得, ,其中 ,
①. 當 時,不等式為: ,顯然成立,符合題意；
②. 當 時,分離參數 得, ,
記 ,
令 ,
則 ,
故 單調遞增, ,
故函數 單調遞增, ,
由 可得: 恒成立,
故當 時, 單調遞增;
當 時, 單調遞減;
因此, ,
綜上可得,實數 的取值范圍是 .
[方法二]: 特值探路
當 時, 恒成立 .
只需證當 時, 恒成立.
當 時, .
只需證明 ⑤式成立.
⑤式 ,
令 ,
則 ,
所以當 時, 單調遞減;
當 單調遞增;
當 單調遞減.
從而 ,即 ,⑤式成立.
所以當 時, 恒成立.
綜上 .
[方法三]: 指數集中
當 時, 恒成立 ,
記 ,
①. 當 即 時, ,則當 時, , 單調遞增,又 ,所以當
時, ,不合題意;
②. 若 即 時,則當 時, 單調遞減,當 時, , 單調遞增,又 ,
所以若滿足 ,只需 ,即 ,所以當 時, 成立; ③ 當 即 時, ,又由②可知 時, 成立,所以 時, 恒成立,
所以 時,滿足題意.
綜上, .
【整體點評】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具, 而函數是高中數學中重要的知識點, 本題主要考查利用導數解決恒成立問題, 常用方法技巧有:
方法一,分離參數, 優勢在于分離后的函數是具體函數, 容易研究;
方法二,特值探路屬于小題方法,可以快速縮小范圍甚至得到結果,但是解答題需要證明,具有風險性；
方法三,利用指數集中,可以在求導后省去研究指數函數,有利于進行分類討論,具有一定的技巧性！
11. (1) 證明見詳解(2)
【分析】( 1 )分別構建 ,求導,利用導數判斷原函數的單調性, 進而可得結果;
(2)根據題意結合偶函數的性質可知只需要研究 在(0,1)上的單調性,求導,分類討論 和 ,結合(1) 中的結論放縮, 根據極大值的定義分析求解.
【詳解】( 1 )構建 ,則 對 恒成立,
則 在(0,1)上單調遞增,可得 ,
所以 ;
構建 ,
則 ,
構建 ,則 對 恒成立,
則 在(0,1)上單調遞增,可得 ,
即 對 恒成立,
則 在(0,1)上單調遞增,可得 , 所以 ;
綜上所述: .
(2)令 ,解得 ,即函數 的定義域為(-1,1),
若 ,則 ,
因為 在定義域內單調遞減, 在(-1,0)上單調遞增,在(0,1)上單調遞減,
則 在(-1,0)上單調遞減,在(0,1)上單調遞增,
故 是 的極小值點,不合題意,所以 .
當 時,令
因為 ,
且 ,
所以函數 在定義域內為偶函數,
由題意可得: ,
(i) 當 時,取 ,則 ,
由 (1) 可得 ,
且 ,
所以 ,
即當 時, ,則 在(0, m)上單調遞增,
結合偶函數的對稱性可知: 在(-m,0)上單調遞減,
所以 是 的極小值點,不合題意;
(ii) 當 時,取 ,則 ,
由 (1) 可得 ,
構建 ,
則 ,
且 ,則 對 恒成立,
可知 在 上單調遞增,且 ,
所以 在 內存在唯一的零點 ,
當 時,則 ,且 ,
則 ,
即當 時, ,則 在(0, n)上單調遞減,
結合偶函數的對稱性可知: 在(-n,0)上單調遞增,
所以 是 的極大值點,符合題意;
綜上所述: ,即 ,解得 或 ,
故 的取值范圍為 .
【點睛】關鍵點睛:
1. 當 時,利用 ,換元放縮;
2. 當 時,利用 ,換元放縮.
12.
【分析】(1)根據題意,求導得 ,即可得到切線方程；
(2)根據題意,設 ,分 與 討論函數 的單調性,結合 是函數 的極小值點,即可得到結果.
【詳解】( 1 )當 時,函數 .
.
曲線 在點 處的切線方程為 .
( 2 )由題知 ,不妨設 .
. (i) 當 時,不妨設 . 在 上恒成立.
在 上單調遞增.
又 ,
當 時, ; 當 時, .
.
當 時, ,即 在 上單調遞減;
當 時, ,即 在 上單調遞增.
是函數 的極小值點.
(ii) 當 時,不妨設 .
,使得 ,且 .
在 上單調遞減.
當 時, .
當 時, .
在 上單調遞減.
不是函數 的極小值點.
綜上所述,當 是函數 的極小值點時, 的取值范圍為 .
13.(1)見解析
(2)
【詳解】分析:(1)求導,利用函數單調性證明即可.
( 2 )分類討論 和 ,構造函數 ,討論 的性質即可得到 的范圍.
詳解: (1) 當 時, .
設函數 ,則 .
當 時, ; 當 時, . 故當 時, ,且僅當 時, ,從而
,且僅當 時, .
所以 在 單調遞增.
又 ,故當 時, ; 當 時, .
(2)(i)若 ,由(1)知,當 時, ,這與 是 的極大值點矛盾.
(ii) 若 ,設函數 .
由于當 時, ,故 與 符號相同.
又 ,故 是 的極大值點當且僅當 是 的極大值點.
如果 ,則當 ,且 時, ,故 不是 的極大值點.
如果 ,則 存在根 ,故當 ,且 時, ,所以 不是 的極大值點.
如果 ,則 . 則當 時, ; 當 時, . 所以 是 的極大值點,從而 是 的極大值點
綜上, .
點睛: 本題考查函數與導數的綜合應用,利用函數的單調性求出最值證明不等式,第二問分類討論 和 ,當 時構造函數 時關鍵,討論函數 的性質,本題難度較大.
14. (1)2 個
(2)
【分析】(1)求導,根據函數在 上的單調性和導函數的單調性可求；
(2)根據題意求出極大值點,進而求出 的值,然后利用導數證明不等式恒成立即可.
【詳解】( 1 ) 時, ,因 在 和 上都單調遞增,
而 在 單調遞增,故 在 和 上都單調遞增.
下面來探討函數 在 上的單調性.
①由 ,當 時, 是減函數,又 ,由零點存在定
理: ,使得 .
當 時, ,即 在 上單調遞增;
當 時, ,即 在 上單調遞減;
② 設 ,則 ,當 時, 單調遞增,
又 , ,故 ,使得 .
當 時, ,即 在 上單調遞減;
當 時, ,即 在 上單調遞增;
又 ,故 ,使得 .
當 時, ,即 在 上單調遞減;
當 時, ,即 在 上單調遞增.
綜上,函數 在區間 上遞增,在 上遞減,在 上遞增,
故函數 在 上共有 2 個極值點.
(2)因 ,而 恒成立,故 是 的極大值點,
因 ,則 ,解得 .
下面只需證: 當 時, 在 上恒成立即可.
因 ,不妨設 ,則 ,
①若 時,因 ,故 ,即 在(-1,0)上單調遞減；
則 在(-1,0)上單調遞增, ,符合題意;
②若 時,因 ,則 恒成立,
在 上單調遞減,故 ,符合題意.
綜上, 符合題意.
【點睛】方法點睛: 導函數解決問題時兩種常用的轉化方法:
(1)是利用導數研究含參函數的單調性,常化為不等式恒成立問題. 注意分類討論與數形結合思想的應用；
(2)是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理.
15. (1)證明見解析
(2)
【分析】(1) 已知條件,令 ,得 ,并判斷函數的單調性,因為 ,所以 , 由 可得;
( 2 )令 ,得令 ,令 ,令 . 然后分 三種情況討論,根據單調性求解即可
【詳解】( 1 )當 時, .
令 ,則 .
當 時, ,函數 單調遞減;
當 時, ,函數 單調遞增,
,
,
即當 時, 在 上恒成立.
(2)令 ,
若對于任意的 恒成立,則 .
令 ,
令 ,
令 .
①當 時,由(1)可知, 在 上恒成立且 不恒為零,則 在 上為增函數.
當 時, ,此時函數 單調遞減;
當 時, ,此時函數 單調遞增, ,符合題意. ② 當 時, .
當 時, ,所以 ;
當 時, ,所以 ;
當 時, ,所以 ,
函數 在 上單調遞增.
,
存在 ,使得 ,
當 時, ,則函數 在 上單調遞減,
,則函數 在 上單調遞減,
,則函數 在 上單調遞減,
故當 時, ,不符合題意.
③當 時, ,若 ,由②知 在 上單調遞增,則存在 ,使得 ,
且當 時, ;
若 ,由②知 在 上單調遞增, 當 時, .
當 時,函數 在 上單調遞增,
當 時, 函數 在 上單調遞減,
函數 在 上單調遞增,
故當 時, ,不符合題意.
綜上所述,存在 ,使得對于任意的 ,都有 恒成立,
實數 的取值范圍為 .
【點睛】方法點睛:不等式恒成立問題常見方法:
①分離參數 恒成立(即 可)或 恒成立 (即 可);
②數形結合 圖像在 上方即可)；
③ 討論最值 或 恒成立.
16.
(2)
(3)
【分析】(1)求導,利用導函數的幾何意義求出切線方程；
(2)參變分離,構造 ,求導,得到其最小值,求出 的取值范圍；
(3)注意到 ,多次求導得到 ,從而分 與 ,結合函數單調性,極值和最值情況, 求出答案
【詳解】( 1 ) ,
所以曲線 在點 處的切線方程 ,
即 .
( 2 )因為 在區間 上恒成立,
所以 ,
令 ,則 ,
令 ,則 ,
當 時, 單調遞增, ,
所以 ,所以 在 上單調遞增,
故 ,
所以 .
(3) ,
令 ,則 ,
令 ,則 ,
當 時, ,
則 ,
當 時, 在 上單調遞減,
當 時, 在 上單調遞增,
在 上單調遞增,且 ,
所以,當 時, 在 上單調遞減,
當 時, 在 上單調遞增,
所以 .
所以 適合,
當 時,當 時, ,
在 上單調遞減, ,
在 上單調遞減,
因為 ,所以 在 上單調遞減,
此時 ,舍去.
當 時,當 時, ,
在 上單調遞減, ,
在 上單調遞增, ,舍去;
當 時,當 時, 在 上單調遞增,
在 上單調遞減,
在 上單調遞增,
此時, ,舍去.
綜上, .
【點睛】方法點睛: 對于求不等式成立時的參數范圍問題, 一般有三個方法:
一是分離參數法, 使不等式一端是含有參數的式子, 另一端是一個區間上具體的函數, 通過對具體函數的研究確定含參
式子滿足的條件;
二是討論分析法, 根據參數取值情況分類討論;
三是數形結合法, 將不等式轉化為兩個函數, 通過兩個函數圖像確定條件.
17. ;
(2) .
【分析】(1)求出函數 的導數,利用導數結合零點存在性定理求解即得.
(2)利用零點的意義建立方程 ,并令 ,用 表示 ,再利用最小值建立不等式,并等價轉化建立函數, 利用導數探討最大值即可得解. 【詳解】( 1 )函數 定義域為 ,求導得 , 當 時, 在 上單調遞增,此時至多一個零點,不合題意; 當 時,由 ,得 ; 由 ,得 , 則函數 在(0, a)上單調遞減,在 上單調遞增, , 當 趨近于 0 時, 趨近于正無窮大,當 趨近于正無窮大時, 趨近于正無窮大, 則只需 ,即 ,此時 在(0, a)上有唯一零點 ,在 上有唯一零點 ,符合題意,
所以 的取值范圍是 .
( 2 )由( 1 )知 ,得 ,令 ,則 ,
,
,記 ,
,令 ,則 ,
令 ,求導得 ,當 時, ,當 時, ,
則函數 在 上單調遞增,在 上單調遞減,而 ,
則 ,當 時, 時,當 時, ,
于是函數 在 上單調遞增,在 上單調遞減,又 ,
當 時, ,當 時, ,
則函數 在(1, e)上單調遞增,在 上單調遞減, ,
因此 ,顯然當 時, ,而 ,所以 .
【點睛】思路點睛: 已知函數的零點或方程的根的情況, 求解參數的取值范圍問題的本質都是研究函數的零點問題, 求解此類問題的一般步驟:
(1)轉化,即通過構造函數,把問題轉化成所構造函數的零點問題；
(2)列式,即根據函數的零點存在定理或結合函數的圖象列出關系式；
( 3 )得解,即由列出的式子求出參數的取值范圍.
18. (1) 當 時, 在區間 上單調遞增,在區間 上單調遞減；當 時, 在區間 上單調遞增. (2) 詳見解析.
【詳解】(1)由已知,函數 的定義域為 ,
所以 .
當 時, 在區間 上單調遞增,
在區間 上單調遞減;
當 時, 在區間 上單調遞增.
( 2 )由 ,解得 .
令 .
則 ,.
故存在 ,使得 .
令 ,.
由 知,函數 在區間 上單調遞增.
所以 .
即 .
當 時,有 ,.
由( 1 )知,函數 在區間 上單調遞增.
故當 時,有 ,從而 ;
當 時,有 ,從而 ;
所以,當 時, .
綜上所述,存在 ,使得 在區間 內恒成立,且 在 內有唯一解.
考點: 本題考查導數的運算、導數在研究函數中的應用、函數的零點等基礎知識, 考查推理論證能力、運算求解能力、
創新意識, 考查函數與方程、數形結合、分類與整合, 化歸與轉化等數學思想.
19.
(2)① ；②
【分析】(1) 首先討論當 時,有 1 個零點,當 時,參變分離為 存在兩個根,再利用導數分析函數 的圖象,即可求解 的取值范圍； (2)①利用二次導數求函數 的極小值,根據極小值為 0,即可求解 的值；
②首先求函數在點 處的切線方程,再根據好點的定義,討論 和 兩種情況,求好點.
【詳解】(1)當 單調遞增,
且 ,當 時, ,因此 在區間 上存在唯一零點,
當 時,只要 存在兩個根即可,即 存在兩個根,
設 ,則 ,
當 時, ,函數 單調遞減,
當 時, ,函數 單調遞增,
由 ,當 時, ,當 時, ,
所以當 時,在區間 有 2 個零點,
因此 得到取值范圍是 ;
(2)① ,
令 ,則 ,
令 ,得 ,
當 時, 單調遞減,
當 時, 單調遞增, 故 ,得 ,
② 設 為好點,對于任意 ,都有 ,
當 時, 成立,
當 時,即為當 時, ,
當 時, 成立,
因為 在 點的切線方程為 ,
所以 ,
設 ,即 ,
又因為 在 上單調遞減, 上單調遞增,故分情況討論,
(1)當 時,因為 為好點,所以 恒成立,
若 在 上單調遞增, ,
所以 在 時單調遞增, ,滿足條件,故 時成立;
若 在 上單調遞減,在 上單調遞增,
當 時, ,
所以 在 時單調遞減, ,矛盾,不滿足條件；
(2)當 時,因為 為好點,所以 恒成立,
若 在 上單調遞減, ,
所以 在 時單調遞增, ,滿足條件,故 時成立;
若 在 上單調遞減,在 上單調遞增,
當 時, ,
所以 在 時單調遞減, ,矛盾,不滿足條件；
綜上可知,由 (1) (2) 可得, 且 ,即 ,所以只有一個好點 .
【點睛】關鍵點點睛: 本題的難點是最后一問, 需理解好點的定義, 并根據定義, 分情況進行討論. 20. (1) ; (2) 1. 【分析】(1)直接求出斜率,寫出切線方程；
(2)利用導數研究函數的單調性,分類討論,求出 的值.
【詳解】解: (1) 時, .
切線方程為: .
整理得: .
(2) .
令 ,得 .
令 .
(i) 當 時, 為(-1,1)上的減函數, .
時, 遞增.
又此時 ,故 時, 遞減.
時, 遞增.
時, 遞增.
由 . 故 時, .
時, .
此時,存在 使 時, ,滿足條件.
(ii) 當 時, 遞增.
此時, .
故存在 使得 . 當 時 遞增.
時, 遞減.
即 時, ,不存在 ,使 時, .
(iii) 當 時, ,令 ,得 .
時, 遞減, 遞減.
即 時, ,不存在 ,使 時, .
(iv) 當 時, 在 遞減. 遞減.
故 時, ,不存在 ,使 時, .
綜上所述: .
【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具, 而函數是高中數學中重要的知識點, 對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行:
(1)導數的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯系.
(2)利用導數求函數的單調區間, 判斷單調性; 已知單調性, 求參數.
( 3 )利用導數求函數的最值(極值),解決生活中的優化問題.
(4)考查數形結合思想的應用.
21. (1)
(2)證明過程見解析
(3)
【分析】(1)首先代入 到函數表達式得切點坐標,求出切點處的導數值得切線斜率,由此即可得解.
(2)對 求導后,令 ,對 繼續求導發現,對于任意的 有 ,故只需要證明 時, 時, 即可.
(3)由(2)得 ,進一步令 , ,結合題意知 時, , 時, , 對 分類討論即可求解.
【詳解】( 1 )由題意 ,即切點為 ,
所以曲線 在點 處的切線方程為 ,即 ;
( 2 )由 ,設 ,則 ,
所以當 時, 單調遞減,當 時, 單調遞增,
又 ,所以對于任意的 有 ,即 ,
因此 在 單調遞增,在 單調遞增,
即 ,則 ,
所以 時, 單調遞減,所以 ,即 ,即 ,
時, 單調遞增,所以 ,即 ,即 ,
所以 是其定義域上的增函數.
(3)由(2)可知, 時, ,所以 ,故 ,
令 ,
由題意 時, 時, ,
若 ,則當 時, ,不滿足條件,
所以 ,
而 ,
令 ,則 ,
令 ,得 ,
在 單調遞減,在 單調遞增,
若 ,則當 時, 單調遞減,此時 ,不滿足題意;
若 ,則當 時, 單調遞減,此時 ,不滿足題意;
若 ,則當 時, 單調遞增,此時 ,
且當 時, 單調遞增,此時 ,滿足題意,
所以 ,解得 ,
綜上所述, .
【點睛】關鍵點睛: 第二問的關鍵是在得到 在 單調遞增,在 單調遞增,之后還要繼續說明“左邊的函數值”小于“右邊的函數值”,由此即可順利得解.
22. (1)答案見解析
(2)
【分析】(1)利用導數分類討論分析函數的單調性, 求解最值即可;
( 2 )當 時, 恒成立,分離參數 ,構造函數 ,利用導數分析函數的單調性求出最
大值, 即可得解.
【詳解】(1)由題意得 的定義域為 ,
當 時, ,
所以 在區間 內單調遞減,無最大值,無最小值;
當 時,令 ,得 ,
當 時, 單調遞減,
當 時, 單調遞增.
故當 時, 取得最小值,且最小值為 ,無最大值.
綜上,當 時, 無最大值,無最小值;
當 時, 的最小值為 ,無最大值.
(2)當 時,由 ,
得 ,
整理得 ,
即 .
令 ,
則
由 (1) 知,當 時, 的最
小值為 ,
即 恒成立,
所以當 時, 單調遞增;
當 時, 單調遞減.
故當 時, 取得最大值 ,即 ,
故 的取值范圍為 .
23. (1) 或
(2)
【分析】(1)求出函數的導數,利用極值點可得 ,故可求 或 .
(2)由特值法可得 ,再就 和 分類討論,后者可就 和 分類討論后可求參數的取值范圍.
【詳解】( 1 ) ,
由題設可得 ,
故 或 .
當 時,
令 ,則 ,
故 為 上的增函數,而 ,
故 在 上僅有一個零點 且 ,
故當 時, ,當 時, ,
當 時, ,故 為 的極值小點,
同理可得 時, 為 的極值大點,
故 或 .
(2)由題設有 ,
取 ,則 ,故 .
當 ,有 ,符合;
當 ,由 (1) 可得 ,
若 ,則當 時, ,則 , 故 ,故 在 上為增函數,故 ,
故 ,而 ,故 .
若 ,則
令 ,則 ,
故 在 上為增函數,而 ,
,故 在 上存在一個零點 ,
故當 時, ,當 時, ,
當 時, ,
故 在 上為增函數,在 上為減函數,在(a,3e)上為增函數,
故 在 上的最大值為 ,
故 ,而 即
故 ,即 ,
但 在 為增函數,且 時,有 ,
故 ,故 ,又 ,故 ,
綜上, .
24. (1) 證明過程見解析
(2)
【分析】(1)求導得到 ,從而證明出結論；
(2)由題意得 在 上恒成立,參變分離得到 ,構造函數 ,求導,結合隱零點得到單調性和極值最值情況,得到答案.
【詳解】( 1 ) ,
,由于 在 上單調遞增, 故 ,所以 在區間(2,3)內為 5 級單增函數;
(2) ,
由題意得 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
故 ,
令 ,
則 ,
令 ,則 ,
當 時, ,當 時, ,
故 在(0,1)上單調遞減,在 上單調遞增,
又 ,
故存在 ,使得 ,
當 時, ,當 時, ,
故 時, ,
當 時, ,
當 時, ,
當 時, ,
故 在 上單調遞減,在 上單調遞增,
所以 在 和 處取得極小值,
又 ,故 ,
故 ,
同理 ,
故 .
【點睛】思路點睛: 對于求不等式成立時的參數范圍問題, 一般有三個方法, 一是分離參數法, 使不等式一端是含有參數的式子, 另一端是一個區間上具體的函數, 通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件. 二是討論分析法, 根據參數取值情況分類討論, 三是數形結合法, 將不等式轉化為兩個函數, 通過兩個函數圖像確定條件.
25. (1)
(2)
【分析】(1)求出 的導數,求得切線的斜率和切點,可得切線方程,再設與 相切的切點為 ,求得 的導數,列出方程,即可解得實數 的值.
( 2 )問題轉化為 對任意的 恒成立,通過構造函數利用導數求最值的方法解決恒成立問題.
【詳解】( 1 )函數 ,
故曲線 在點 處的切線方程為 ,即 .
設切線與曲線 切于點 ,則 ,
解得 .
(2)法一:函數 ,定義域為 ,
故 等價于 ,
記 ,
令 ,
解得 ,解得 ,
故 在(0,1)上單調遞減,在 上單調遞增,所以當 時, .
所以 解得 解得 ,
故 在(0,2)單調遞減,在 單調遞增,有 ,
所以 的取值范圍為 .
法二: 取 ,由 ,得 .
下證: 當 時, 恒成立.
記 ,
因 ,函數 在 單調遞減,
所以 ,
記 ,
記
,解得 ,解得 ,
故 在 單調遞減,在 單調遞增,
故 ,
故 單調遞增,即 單調遞增,又 ,
在(0,2)上恒成立,所以 在(0,2)單調遞減,在 單調遞增,
所以 ,得證.
綜上知, 的取值范圍為 .
【點睛】方法點睛:
導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具, 構造一個適當的函數, 利用它的單調性進行解題, 是一種常用技巧. 許多問題, 如果運用這種思想去解決, 往往能獲得簡潔明快的思路, 有著非凡的功效.
26. (1) .
【分析】( 1 )求出導函數 ,可得 ,令 , 利用導數可得 ,進而求出 .
(2)令 ,原命題等價于 恒成立,利用導數只需最小值大于等于 0 即可.
【詳解】( 1 ) ,
則有: ,
令 ,
則 在(0,1)上單調遞增,在 上單調遞減,
又因為 ,所以 ;
( 2 )令 ,則原命題等價于 恒成立,
又 ,設 ,
則 在 上單減,在 上單增,
故只需 ,
令 ,
所以 在(0,1)上單調遞增,在 上單調遞減,又 ,
,即 .
【點睛】本題考查了利用導數的幾何意義求參數值、利用導數研究不等式恒成立, 此題綜合性比較強, 屬于難題.
27. (1)2 條
(2)
【分析】(1) 設切點,求導,分別求解 的切線方程,根據公切線可得 ,即可求解 或 ,從而得解,
(2)將問題轉化為 對于 恒成立,根據 可得 ,進而構造函數 ,證明 ,即可先求解 ,構造函數 ,求導,結合分類討論即可求解.
【詳解】( 1 )設 的切點分別為 ,
則 ,
故 在切點處的切線方程分別為 ,
則需滿足;
,故 ,
解得 或 , 因此曲線 與 有兩條不同的公切線, ( 2 )由 可得 , 即 對于 恒成立,
,結合 ,解得
設 ,
則當 時 單調遞減,當 時, 單調遞增,
故當 ,故 ,
因此 ,
令 ,則 ,
令 ,得 ,
當 時,此時 ,故 在 上單調遞減,
所以 ,
所以 ,由于 進而 ,滿足題意,
當 時,此時 ,
令 ,解得 單調遞增,
令 ,解得 單調遞減,
故 ,
令 ,則 ,
由于 ,所以 ,
故 在 單調遞減,故 ,即可 ,
因此
所以 ,由于 進而 ,滿足題意,
綜上可得
【點睛】方法點睛: 對于利用導數研究函數的綜合問題的求解策略:
1、通常要構造新函數, 利用導數研究函數的單調性, 求出最值, 從而求出參數的取值范圍;
2、利用可分離變量, 構造新函數, 直接把問題轉化為函數的最值問題.
3、根據恒成立或有解求解參數的取值時, 一般涉及分離參數法, 但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況, 進行求解, 若參變分離不易求解問題,
28. (1) ;
.
【分析】(1)由題可得方程 有兩個解,然后構造函數利用導數研究函數的性質進而即得；
( 2 )由題知 恒成立,進而轉化為證明當 時 ,然后利用二次函數的性質結合條件可得只需證明 即可,再構造函數利用導數證明不等式即得.
【詳解】( 1 )由 有兩個零點,得方程 有兩個解,
設 ,則 ,
由 ,可得 單調遞增,由 ,可得 單調遞減,
所以 的最大值為 ,當 時 ,當 時, ,
所以可得函數 的大致圖象,
所以 ,解得 ,
所以, 有兩個零點時, 的取值范圍是 ;
(2)設 ,即 ,則 恒成立,
由 ,可得 ,
下面證明當 時, ,即證 ,
令 ,則證 ,
令 為開口向上的二次函數,對稱軸為 ,
由 (1) 可知 ,故 在 時單調遞增,
則 ,
下面只需證明 即可,即證 ,
令 ,則 ,
令 ,則 ,
所以函數 單調遞減,且 ,
所以當 時, ,當 時, ,
所以函數 在 上單調遞增,在 上單調遞減,
故 ,即 ,從而不等式 (*) 得證,
綜上, 的取值范圍是 .
【點睛】方法點睛: 利用導數證明不等式問題, 方法如下:
(1)直接構造函數法:證明不等式 (或 )轉化為證明 (或 ), 進而構造輔助函數 ;
(2)適當放縮構造法:一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
(3)構造“形似”函數,稍作變形再構造,對原不等式同解變形,根據相似結構構造輔助函數.
29. (1) 的單調遞增區間是 ,單調遞減區間是 .
【分析】(1)首先求得導函數的解析式,然后結合函數的解析式確定函數的單調區間即可.
(2)由題意首先由函數在特殊點的函數值得到 的取值范圍,然后證明所得的范圍滿足題意即可.
【詳解】(1)當 時, ,函數的定義域為 ,且:
因此函數 的單調遞增區間是 ,單調遞減區間是(0,3).
(2) 由 ,得 ,
當 時, ,等價于 ,
令 ,則 ,
設 ,
則 ,
(i) 當 時, ,
則 ,
記 ,
則
列表討論:
1
- 0 +
單調遞減 極小值 單調遞增
(ii) 當 時, ,
令 ,
則 ,
故 在 上單調遞增, ,
由(i)得 ,
,
由 (i) (ii) 知對任意 ,
即對任意 ,均有 , 綜上所述,所求的 的取值范圍是 .
【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具, 而函數是高中數學中重要的知識點, 對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行:(1)考查導數的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯系. (2)利用導數求函數的單調區間,判斷單調性；已知單調性,求參數. (3)利用導數求函數的最值(極值),解決生活中的優化問題. (4)考查數形結合思想的應用.
30. (1) 在 單調遞減,在 單調遞增; (2) .
【詳解】(I) .
若 ,則當 時, ; 當 時, .
若 ,則當 時, ; 當 時, .
所以, 在 單調遞減,在 單調遞增.
(II) 由 (I) 知,對任意的 在 單調遞減,在 單調遞增,故 在 處取得最小值. 所以對于任意 的充要條件是: 即 ①,設函數 , 則 . 當 時, ; 當 時, . 故 在 單調遞減,在 單調遞增. 又 , ,故當 時, . 當 時, ,即①式成立. 當 時, 由 的單調性, ,即 ; 當 時, ,即 . 綜上, 的取值范圍是 . 考點: 導數的綜合應用.
31. (1) 在(0, b)和 上單調遞減
(2)
【分析】( 1 )先寫出 ,求 ,二次求導判斷 的單調性,得出 ,從而得出 在(0, b)和 上單調遞減,需注意單調性在各個區間上分開描述；
(2)先寫出 ,求 ,討論 在 上的最小值 ,使 ,解出 的取值范圍,最后取并集即可.
【詳解】( 1 ) .
. 令 ,
則 ,
令 ,解得 ,
令 ,解得 ,
在(0, b)上單調遞增,在 上單調遞減.
,即
在(0, b)和 上單調遞減.
( 2 )函數 的定義域為 , ,
.
①當 時,則 ,則當 時, 函數 在 單調遞增,
存在 ,使得 的充要條件是 ,即 ,
解得 ；
②當 時,則 ,則當 時, ,函數 在 上單調遞減;
當 時, ,函數 在 上單調遞增.
存在 ,使得 的充要條件是 ,
而 ,不符合題意,應舍去.
③若 時, ,成立.
綜上可得: 的取值范圍是 .
【點睛】方法點睛: 導函數中常用的兩種常用的轉化方法:
一是利用導數研究含參函數的單調性, 常化為不等式恒成立問題. 注意分類討論與數形結合思想的應用;
二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理.
32. (I) ; (II) 證明見解析; (III)
【分析】(I)求出 在 處的導數,即切線斜率,求出 ,即可求出切線方程；
(II) 令 ,可得 ,則可化為證明 與 僅有一個交點,利用導數求出 的變化情況,
數形結合即可求解; (III) 令 ,題目等價于存在 ,使得 ,即 ,利用導數即可求出 的最小值.
【詳解】(I) ,則 ,
又 ,則切線方程為 ;
(II)令 ,則 ,
令 ,則 ,
當 時, 單調遞減; 當 時, 單調遞增,
當 時, ,當 時, ,畫出 大致圖像如下:
所以當 時, 與 僅有一個交點,令 ,則 ,且 ,
當 時, ,則 單調遞增,
當 時, ,則 單調遞減,
為 的極大值點,故 存在唯一的極值點;
(III) 由 (II) 知 ,此時 ,
所以 ,
令 ,
若存在 ,使得 對任意 成立,等價于存在 ,使得 ,即 ,
當 時, 單調遞減,當 時, 單調遞增,
所以 ,故 ,
所以實數 的取值范圍 .
【點睛】關鍵點睛: 第二問解題的關鍵是轉化為證明 與 僅有一個交點; 第三問解題的關鍵是轉化為存在 ,使得 ,即 .
33. (1) 詳見解析; (2) 存在實數 只有唯一值 滿足題意.
【分析】( 1 )求出函數 的導數 ,構造函數 ,利用導數證明出 ,可得出 ,從而證明出函數 是增函數;
(2) 取 得出 ,由 可得出 ,構造函數 ,由 得出 ,然后分 和 兩種情況討論,結合 結合已知條件得出 和 的值.
【詳解】( 1 ) .
令 ,則 ,
因此,函數 為增函數, ,
故 ,因此,函數 是增函數;
(2)取 ,可知 .
令 ,
由于 .
① 當 時,
時, ,函數 在區間 上為減函數,
時, ,函數 在區間 上為增函數,
令 ,因此存在唯一的正數 ,使得 ,
故只能 .
時, ,函數 在區間 上為減函數,
時, ,函數 在區間 上為增函數,
,此時 只有唯一值 .
②當 時, ,則函數 為增函數,
,解得 ,故 .
(i) 給定時,滿足 的 不唯一;
(ii) 時,滿足 的 只能 .
但 時滿足 且 ,因此 時, 值也不唯一.
綜上,存在實數 只有唯一值 ,當 時,恒有: .
【點睛】本題考查函數的導數應用, 函數的單調性以及分類討論思想的應用, 在利用導數求解不等式恒成立問題時, 要利用導數對函數的單調性進行分析, 并圍繞函數的最值來求解, 考查邏輯推理能力與運算求解能力, 屬于難題.
34. (1) 單調遞增區間是(0,1)和 ,單調遞減區間是(1, e)
(2)
【分析】(1)求出 ,利用函數的單調性與導數的關系可求得函數 的增區間和減區間；
( 2 )將原不等式變形為 ,構造函數 ,利用導數分析函數 的單調性, 分析可知 ,分 兩種情況討論,在第一種情況下,利用函數 的單調性以及參變量分離法可得出 ,結合導數法可得出實數 的取值范圍；在第二種情況下,直接驗證即可,綜合可得出實數 的取值范圍
【詳解】( 1 )解: 函數 的定義域為 ,
因為 ,
由 可得 ,由 可得 或 .
所以 的單調遞增區間是(0,1)和 ,單調遞減區間是(1, e).
(2)解: 設 ,則 ,
所以 在區間 上單調遞增.
不等式 對 恒成立,
等價于 對 恒成立,
即 恒成立.
(i) 當 時,有 恒成立,
若 ,則 對任意的 恒成立,
但 ,與題意矛盾,所以, ,
則 恒成立等價于 恒成立,即 .
設 ,則 .
當 時, ; 當 時, ,
所以 在(1, e)上單調遞增,在 上單調遞減,
故 ,此時 .
(ii) 當 時,對 顯然成立.
綜合 (i) (ii) 知 的取值范圍為 .
【點睛】關鍵點點睛: 解本題第二問的關鍵在于將不等式變形為 ,通過構造函數 ,分析出函數 的單調性,最終結合函數 的單調性以及參變量分離法求解. 35. (1)
(2)3
(3)
【分析】(1)根據導數的幾何意義可求得直線的斜率,繼而可解；
(2)利用導數考查函數 的單調性,確定零點所在區間即可求解；
(3)變形不等式,參變分離后,利用換元法變形不等式,利用導數考查函數的單調性即可求解.
【詳解】( 1 ) ,所以 ,又
所以該曲線在點 處的切線方程為: ,即
(2) 的定義域為 ,
當 時, 單調遞增; 當 單調遞減.
又 ,
所以,不等式 的整數解的個數為 3 .
(3)不等式
可整理為 ,
令 ,
所以當 單調遞增,
當 , , 單調遞減,
所以 ,又 ,
所以令 ,則
令 ,
則
令 ,
則
令 ,
則 ,
所以 單調遞減, ,
所以 單調遞減, ,
所以 ,
所以
所以 單調遞減,
所以 .
【點睛】方法點睛: 導函數中常用的兩種常用的轉化方法: 一是利用導數研究含參函數的單調性, 常化為不等式恒成立問題. 注意分類討論與數形結合思想的應用; 二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理.
36. (1) 單調遞減區間為 ; 單調遞增區間為
(2)
【分析】(1)利用導數直接求單調區間即可；
(2)先將不等式由分式化整式,再用指對互化構造同構,換元后再分參處理恒成立問題即可解決.
【詳解】( 1 )當 時, ,
令 得: ;
令 得: 或 ,
所以 的單調遞減區間為: ;
單調遞增區間為: .
( 2 )因為 在 上恒成立,
所以 (*) 在 上恒成立,
令 ,則 ,
則 在(0,1)上遞減,在 上遞增.
所以 的最小值為 ,即 ,
則 (*) 式化為: ,
當 時,顯然成立.
當 時, 恒成立,
令 ,則 ,
當 時, 在 上遞增.
所以 即 ,可得 ,
所以 即
可得 ,
當 時, ,
當 時, ,
所以 在(1,2)上單調遞增,在 上單調遞減,
所以 ,
所以實數 的取值范圍為: .
【點睛】方法點睛: 指對同式時的不等式問題, 可用指對同構法來處理, 即用指對互化來實現同構.
37. (1) 證明見解析; (2) 5.
【分析】( 1 )求 ,由 可得 的值,將所證明的不等式化簡為 ,令 ,利用導數判斷單調性以及最值即可求證; ( 2 )由題意可知 恒成立或 恒成立,討論 可得 ,設 利用導數判斷單調性求最值可求 的范圍,同理 時求 的范圍,即可求解.
【詳解】( 1 )由 可得: .
因為函數 的圖象在點 處的切線的斜率為 ,
所以 ,解得: ,
當 時, 等價于 ,即 .
令 ,則 ,
所以函數 在區間 上單調遞增,
所以 ,
所以當 時, ;
( 2 )由題得 ,
若 無極值,則 恒成立或 恒成立,
(i) 當 恒成立時, ,
即 恒成立,所以 ,
令 .
所以 ,
令 ,則 ,
即 在 上單調遞增, ,
所以存在 ,使得 ,
當 時, ,即 ,
當 時, ,即 ,
所以函數 在區間 單調遞減,函數 在區間 單調遞增,
所以函數 的最小值為
又因為 ,即 ,
所以 .
又因為 ,則 ,
所以 ,可得 ,所以正整數 的最大值是 5 ;
(ii) 當 恒成立時, ,
即 恒成立,所以 ,
又由 (i) 知,函數 在區間 上單調遞增,
所以函數 不存在最大值,
綜上所述: 正整數 的最大值是 5 .
【點睛】由不等式恒成立 (或能成立) 求參數時,
①可對不等式變形,分離參數,根據分離參數后的結果,構造函數,由導數的方法求出函數的最值,進而可求出結果；
②可根據不等式,直接構成函數,根據導數的方法,利用分類討論求函數的最值,即可得出結果.
38. (1)
(2) -1
【分析】( 1 )設 ,利用導數分類討論 的最大值；
(2)分離常數轉化為關于 的方程 有兩個不同的解,設 ,利用導數求函數 的
極大值 ,則 , 當 時,設 ,驗證有兩解即可. 【詳解】( 1 )設 ,則其定義域為 ,
當 時, ,
當 時, 單調遞增;
當 時, 單調遞減,
所以 ,對于 恒成立,
即 恒成立,所以 合理.
當 時,令 ,即 ,
解得 (舍),
當 時, 單調遞增;
又有 ,所以當 時, ,不合題意.
當 時,令 ,即 ,
解得 (舍),
當 時, 單調遞減;
又有 ,所以當 時, ,不合題意.
綜上所述, .
( 2 )由題意,方程 有兩個不同的解,
即關于 的方程 有兩個不同的解,
設 ,則 ,
設 ,由 可知 ,
所以 在 上單調遞減,
又 ,
所以存在 使得 ,即 ,所以 ,
所以當 時, ,即 ,進而函數 單調遞增;
當 時, ,即 ,進而函數 單調遞減,
所以函數 的極大值為
要使得關于 的方程 有兩個不同的解,則 ,
當 時,設 ,
則 ,可知 在 上單調遞增,在 上單調遞減,
又 ,
所以 有兩個不同的零點,符合題意,
所以 的最大整數值為 -1 .
【點睛】方法點睛: 對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略:
(1)通常要構造新函數, 利用導數研究函數的單調性, 求出最值, 從而求出參數的取值范圍;
(2)利用可分離變量,構造新函數,直接把問題轉化為函數的最值問題.
(3)根據恒成立或有解求解參數的取值時,一般涉及分離參數法,但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況, 進行求解, 若參變分離不易求解問題, 就要考慮利用分類討論法和放縮法, 注意恒成立與存在性問題的區別.
39. (1)
(2)8
【分析】(1) 求出函數的導數,根據導數的幾何意義求出 在 處的切線方程,根據切線與 軸交于點 , 即可求得 ；
(2)法一:由(1)知 ,則不等式可化為 ,構造函數 ,利用導數并討論導數的正負,從而求得存在 ,分離參數,表示出 ,構造新函數,結合導數求得 ,進而求得答案;
法二: 討論 的取值范圍,從而分離出參數 ,在 的情況下,分別構造函數,利用導數判斷單調性求的最值,最后確定 ,由此可得答案;
法三: 令 ,由 可解得 ,從而取 ,證明證當 時,不等式 在
時恒成立,令 ,由 ,解得 ,故取 ,再證當 時,不等式 在
時恒成立, 由此求得答案.
【詳解】( 1 )依題意得: ,
所以 .
又因為 ,
所以 在 處的切線方程為 ,
因為曲線 在 處的切線與 軸交于點 ,
所以 ,
解得 .
(2)解法一:由(1)知 ,則不等式可化為 ,
設 ,
則 ,
設 ,則 ,
因為 ,所以 ,
所以 在 單調遞增,即 在 單調遞增,
所以 ,
① 若 ,則 ,
所以 在 單調遞增,
所以 ,
解得 ,
所以 ;
② 若 ,則 ,
因為 在 單調遞增, 當 時, , 則存在 使得 ,
當 時,取 ,則 ,
所以存在 ,使得 ,
綜上,當 時,存在 ,使得 ,即 ,
故當 時, ,
則 在 單調遞減,
當 時, ,
則 在 單調遞增,
所以 ,(*)
由 ,得 ,
代入 (*) 得 ,
設 ,
則 ,
因為 ,所以由 得 ,
當 時, ,
所以 在(-2,1)上單調遞增,
當 時, ,
所以 在 單調遞減,
又因為 ,
所以當 時, ,
所以滿足 的 的取值范圍是 ,
又因為 ,
設 ,則 , 所以 在 單調遞增, 所以 ,
綜上所述 ,
又因為
所以 ,所以 .
解法二:
由 (1) 知: ,則 ,
①當 時,左邊等于 恒成立,此時 ;
②當 時,原不等式可化為 對任意 恒成立.
設 ,則 .
設 ,則 .
因為 ,所以 ,
所以 在 上單調遞增.
又因為 ,
所以 是 在 上的唯一零點,
所以當 時, 在(1,2)上單調遞減,
當 時, 在 上單調遞增,
所以 ,
所以 .
③當 時,原不等式可化為 ,
此時對于②中函數 的導函數, ,
可知當 時, ,
所以 在 單調遞減,且 ,
所以當 時, ,
所以當 時, , 所以 在 上單調遞減,
所以 ,
所以 ,
綜上所述 ,
又因為
所以 ,所以 .
解法三:
令 ,由 得 ,
解得 ,
取 ,下證當 時,不等式 在 時恒成立,
設 ,則 ,由 可得 ,
當 時, ,
所以 單調遞減,
當 時, ,
所以 單調遞增,
所以 ,所以 符合題意;
令 ,由 得 ,
解得 ,
取 ,下證當 時,不等式 在 時恒成立,
設 ,則 ,
令 ,則 ,
所以當 時, ,
則 在(-2,1)上單調遞減,
當 時, ,
則 在 上單調遞增,
所以 ,
所以當 時, 恒成立.
當 時, ,
所以 ,
所以 ,
設 ,則 ,
設 ,則 ,
所以 在 單調遞增,且 ,
所以當 時, ,
則 在(1,2)單調遞減,
當 時, ,
則 在 單調遞增,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
綜上當 時,不等式 在 時恒成立,
所以 .
【點睛】本小題主要考查函數的單調性、導數、導數的幾何意義及其應用、不等式等基礎知識, 考查推理論證能力、運算求解能力、創新意識等,考查分類與整合思想、數形結合思想、一般與特殊思想,涉及的核心素養有直觀想象、數學抽象、數學運算、邏輯推理等,體現綜合性與創新性.
40. (1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】(1)根據題意求導后分類討論即可求得答案；
(2)先求得 ,再將原式轉化為證明 ,通過二次求導判斷函數單調性進而即可得證. 【詳解】( 1 )由 ,得 , 當 時, 在 單調遞增;
當 時,令 ,得 ,此時 單調遞增,
令 ,得 ,此時 單調遞減.
綜上所述,當 時, 增區間為 ,無減區間
當 時, 增區間為 ,減區間為
(2)因為 ,所以 ,
要證 ,即證 ,
即證 ,即證 ,
設 ,
則 ,
令 ,
則 對 恒成立,
所以 在 單調遞增,所以 時, ,
所以 對 恒成立,所以 在 單調遞增,
所以 時, ,
即 成立,故原式得證
【點睛】方法點睛: 本題考查利用導數證明函數不等式恒成立問題, 常見方法如下:
(1)構造函數法:通過構造函數,利用導數研究函數單調性,轉化為求函數最值問題；
(2)放縮法:一是利用題目中已知條件進行放縮,二是利用常見的二級結論進行放縮；
(3)同構法:指數和對數同時出現,往往將不等式形式進行變形,通過同構化簡不等式進而證明即可.
41. (1) 在 上只有一個極值點,即唯一極小值點;
【分析】(1)求出函數的導數,判斷其正負,結合零點存在定理,判斷函數的單調性,求得答案；
(2)求出函數的導數,構造函數 ,判斷其正負情況,確定函數單調性,進而確定函數的最小值 ,故可將原問題轉化為對任意 ,再構造函數,利用其單調
性即可證明結論.
【詳解】( 1 )當 時, ,
則 ,
設 ,則 在 上是增函數,
當 時, ,
所以存在 ,使得 ,
當 時, ,則 ,即 在 上單調遞減,
當 時, ,則 ,即 在 上單調遞增,
所以 在 上只有一個極值點,即唯一極小值點;
(2)證明:由 ,
設 ,則 在 上是增函數,
當 時, ,因為 ,所以 ,
所以存在 ,使得 ,
當 時, ,則 ,即 在 上單調遞減,
當 時, ,則 ,即 在 上單調遞增,
故 是函數 的極小值點,也是最小值點,
則 ,
又因為 ,所以 ,
即證: 對任意 ,
即證: 對任意 ,
設 ,則 在 上單調遞減,
因為 ,所以 ,
故 ,
故對任意 .
【點睛】本題考查了利用導數判斷函數的極值點的個數以及證明不等式成立的問題, 綜合性較強, 要能熟練求導, 利用導數判斷函數的單調性以及求函數最值, 解答的關鍵是根據函數或導數的特點, 構造函數, 進而結合零點存在定理判斷
導數正負, 求得函數的最值, 利用函數最值進而證明不等式成立.
42. ,(2) 證明見解析
【分析】( 1 )設 ,根據函數的單調性得到關于 的不等式,解出即可；
(2)設 ,求出函數的導數,根據函數的單調性證明結論成立即可
【詳解】( 1 )解:設 ,因為當 時, 為增函數,
當 時, ,
所以 在 上恒大于零,所以 在 上不存在零點,
當 時, 在 上為增函數,根據增函數的和為增函數,
所以 在 上為單調函數,
所以 在 上若有零點,則僅有 1 個,
所以 ,即 ,解得 ,
所以實數 的取值范圍
(2)證明:設 ,則
,則 ,
所以 ,
因為 ,所以 ,
所以 在 上遞增, 在 上恒成立,
所以 在 上遞增,而 ,
因為 ,所以 ,所以 恒成立,
所以當 時,
43. (1) ;
(2)證明見解析.
【分析】(1)設出切點坐標,對函數 求導,再借助導數的幾何意義列式計算作答.
(2)當 時,不等式等價轉化為證 ,當 時,轉化證明 ,作差構造函數即可
推理作答.
【詳解】( 1 ) , ,而 ,即點 不在曲線 上,
設切點 ,則切線 的斜率為 ,又 ,
于是得 ,即 ,
整理得: ,即 ,有 ,
而 ,因此, ,
所以切線的斜率為 .
( 2 )當 時, , ,
令 ,求導得 ,當 時, ,當 時, ,
即函數 在 上單調遞減,在 上單調遞增, ,即 ,
因此當 時, ,當且僅當 時取“=”,
則 ,
于是得當 且 時, .
當 時, ,
令 ,
由 得 ,則 ,即 在 上單調遞增,
又 ,即當 時, ,
于是得當 時, ,而 ,因此, ,
從而得當 時 ,
所以當 或 時, .
【點睛】思路點睛: 解決過某點的函數 的切線問題,先設出切點坐標 ,求導并求出切線
方程 ,然后將給定點代入切線方程轉化為方程根的問題求解.

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