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湖南省常德市城區及周邊學校教學聯盟2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
1．（2024七下·常德期末）如圖所示的圖案分別是奔馳、奧迪、大眾、三菱汽車的車標，其中，可以看作由“基本圖案”經過平移得到的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】圖形的平移
【解析】【解答】解：A中，圖形的平移只改變圖形的位置，圖形位置沒變化，不是平移變換，故不符合題意；
B中，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，故符合題意；
C中，圖形的平移只改變圖形的位置，圖形位置沒變化，不是平移變換，故不符合題意；
D中，圖形的平移只改變圖形的位置，圖形位置沒變化，不是平移變換，故不符合題意．
故選：B．
【分析】本題考查了圖形的平移，根據圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，結合選項，逐項分析判斷，得到的圖案B，即可求解．
2．（2024七下·常德期末）下列計算正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、不是同類項，不能合并，故該選項是錯誤的；
B、，故該選項是錯誤的；
C、，故該選項是錯誤的；
D、，故該選項是正確的.
故答案為：D.
【分析】整式加法的實質就是合并同類項，所謂同類項就是所含字母相同，而且相同字母的指數也分別相同的項，同類項與字母的順序沒有關系，與系數也沒有關系，合并同類項的時候，只需要將系數相加減，字母和字母的指數不變，但不是同類項的一定就不能合并，從而即可判斷A選項；由積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘即可判斷B選項；由冪的乘方，底數不變，指數相乘，可判斷C選項；根據同底數冪的乘法，底數不變，指數相加即可判斷D選項.
3．（2024七下·常德期末）已知是方程的一個解，那么a的值為（　?。?br/>A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】B
【知識點】已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：把代入方程得：
，解得：；
故答案為：B．
【分析】使方程的左邊等于右邊的一對未知數的值就是二元一次方程的解，據此把代入方程x+ay=3可得關于字母a的一元一次方程，再解該一元一次方程即可．
4．（2024七下·常德期末）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；
B、沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；
C、，故該式不成立，不符合題意，
D、把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】將一個多項式化為幾個整式的乘積形式的恒等變形就是因式分解，據此判斷是否是因式分解，需要從以下幾個方面來判斷：①變形后的式子是否是整式的乘積形式，②分解后的乘積形式展開后是否與原式一致，③是否每一個因式都不能再繼續分解，④是否運用公式正確，據此逐一判斷得出答案.
5．（2024七下·常德期末）已知方程組，則x﹣y的值是（　?。?br/>A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣1
【答案】A
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：
∴②①得：
故答案為：A．
【分析】兩個方程相減即可.
6．（2024七下·常德期末）如圖，已知，，垂足分別是C，D，其中，，，那么點C到的距離是（　?。?br/>A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知識點】三角形的面積
【解析】【解答】解：因為
所以，即，
∴，即點C到的距離是，
故答案為：D．
【分析】由等面積法，根據建立方程，求解即可得出答案.
7．（2024七下·常德期末）如圖，下列條件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】平行線的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，不能判定，則此項符合題意；
B、∵，
∴（內錯角相等，兩直線平行），則此項不符合題意；
C、∵，
∴（同旁內角互補，兩直線平行），則此項不符合題意；
D、∵，
∴（同位角相等，兩直線平行），則此項不符合題意；
故答案為：A．
【分析】根據平行線的判定逐項進行判斷即可求出答案.
8．（2024七下·常德期末）如圖直線，，交于點O，平分，且，．則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】垂線的概念；對頂角及其性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，且，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案為：A．
【分析】由垂直的定義得，由對頂角相等得，由角平分線的定義得，最后再根據代值計算即可．
9．（2024七下·常德期末）如圖，將繞點逆時針旋轉一定的角度，得到，且．若，，則的大小是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】旋轉的性質；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：根據旋轉的性質知，，，
∵，且設交于點，如圖，
∴，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】根據旋轉的性質可得，，由垂直的定義得，設AD交BC于點M，根據直角三角形兩銳角互余得出∠MAC=30°，最后根據角的構成，由∠BAC=∠BAM+∠CAD，代值計算即可.
10．（2024七下·常德期末）“幻方”最早記載于春秋時期的《大戴禮》中，現將1，2，3，4，5，7，8，9這八個數字填入如圖1所示的“幻方”中，使得每個三角形的三個頂點上的數字之和都與中間正方形四個頂點上的數字之和相等．若按同樣的要求重新填數如圖2所示，則的值是（　?。?br/>A． B．6 C． D．3
【答案】A
【知識點】幻方、幻圓數學問題
【解析】【解答】解：由題意得：，，
∴，，
∴，
故答案為：A．
【分析】根據每個三角形的三個頂點上的數字之和相等得出，，得出①，②，然后用①+②可得答案.
11．（2024七下·常德期末）計算：3x2 （﹣2x3）＝　 　．
【答案】
【知識點】單項式乘單項式
【解析】【解答】解：原式＝，
故答案為：．
【分析】根據單項式乘以單項式，把系數與相同字母的冪分別相乘作為積的一個因式，對于只在某一個單項式中含有的字母，則連同指數作為積的一個因式進行計算即可．
12．（2024七下·常德期末）已知方程組，則　 ?。?br/>【答案】0
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
則，
故答案為：0．
【分析】由于方程組中未知數y的系數呈倍數關系，故利用加減消元法求解較為簡單；首先用方程①×3+②消去y求出x的值，再將x的值代入①方程求出y的值，從而可得原方程組的解.
13．（2024七下·常德期末）已知x+y=6，xy=-3，則x2y+xy2= 　 ?。?br/>【答案】-18
【知識點】因式分解﹣提公因式法；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵x+y=6，xy=-3 ，
∴x2y+xy2= xy(x+y)=-3×6=-18.
故答案為：-18.
【分析】將待求式子利用提取公因式法分解因式后，整體代入計算可得答案.
14．（2024七下·常德期末）若，則的值為　 　 .
【答案】-2
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：原式可化為，
∴，
解得：，
的值為-2.
故答案為：-2.
【分析】利用多項式乘多項式法則將等號右邊展開、合并，再根據對應系數相等建立方程組，解之即可.
15．（2024七下·常德期末）已知：，則的值為　 ?。?br/>【答案】8
【知識點】同底數冪的乘法；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：8．
【分析】先根據已知等式可得m+2n=3，再逆用有理數乘方運算法則將所求式子變形為2m×(22)n，然后根據冪的乘方運算法則“冪的乘方，底數不變，指數相乘”進行計算，進而根據同底數冪的乘法法則“同底數冪相乘，底數不變，指數相加”計算，最后整體代入按有理數乘方運算法則計算即可．
16．（2024七下·常德期末）對甲、乙兩位同學近六次數學測試成績進行統計分析，已知甲測試成績的方差是，甲的成績比乙的成績更穩定，則乙測試成績的方差可能是　 ?。▽懗鲆粋€即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【知識點】方差
【解析】【解答】解：∵甲測試成績的方差是，甲的成績比乙的成績更穩定，
∴乙發方差大于2.3
∴乙的方差可能是3（答案不唯一）.
故答案為：3.
【分析】根據方差的定義，方差越小，數據越穩定.
17．（2024七下·常德期末）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，，，則　 　．
【答案】
【知識點】平行公理的推論；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：過點作，
，
，
，，
又，，
，，
．
故答案為：.
【分析】過點C作CF∥AB，由平行于同一直線的兩條直線互相平行得CF∥DE，然后根據二直線平行，同旁內角互補（內錯角相等）求出∠ACF=130°，∠DCF=120°，最后利用角的和差關系求解即可．
18．（2024七下·常德期末）已知直線，點P、Q分別在、上，，如圖所示，射線按順時針方向繞P點以每秒的速度旋轉至便立即回轉，并不斷往返旋轉；射線按順時針方向繞Q點每秒旋轉至停止，此時射線也停止旋轉．若射線先轉42秒，射線才開始轉動，在到達前，當射線旋轉的時間為　 　秒時，．
【答案】14或63.6或134
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：設射線PB旋轉的時間為t秒，
∵射線QC繞Q點每秒旋轉，射線QC先轉42秒，射線PB才開始轉動，
∴射線QC還需旋轉138秒到達QD，
∴．
①如圖，當，
，，
∵，
，
∵，
，
，
解得．
②如圖，當時，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
解得．
③如圖，當時，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
綜上，在到達前，當射線旋轉的時間為14秒或63.6秒或134秒．
故答案為：14或63.6或134．
【分析】設射線PB旋轉的時間為t秒，由題意得0＜t≤138，分三種情況：
①當時，根據路程、速度、時間三者的關系得，，由二直線平行同位角相等得， 由二直線平行，內錯角相等得，則∠CQC'=∠BPB'，據此建立方程求解可得t的值；
②當時，由路程、速度、時間三者的關系得，， 由二直線平行，內錯角相等得，有二直線平行，同旁內角互補得， 從而代入計算可得t的值；
③當時，根據路程、速度、時間三者的關系得， 由二直線平行，內錯角相等得， 由二直線平行同位角相等得，據此建立方程，可求出t的值，綜上即可得出答案.
19．（2024七下·常德期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，
（2）解：
．
【知識點】因式分解﹣公式法；因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【分析】（1）先提取各項的公因式x，再利用平方差公式繼續分解到每一個因式都不能再分解為止；
（2）把x2+4看成一個整體，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式繼續分解到每一個因式都不能再分解為止．
20．（2024七下·常德期末）先化簡，再求值：．其中．
【答案】解：
，
當時，原式．
【知識點】利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，單項式乘以多項式的法則分別展開括號，再合并同類項得到最簡結果，然后將x的值代入化簡結果按含乘方的有理數的混合運算的運算順序計算即可．
21．（2024七下·常德期末）如圖，平分，．
（1）判斷與是否平行，并說明理由．
（2）若，，，求的度數．
【答案】（1）答：，理由如下：
平分
（2）解：設，則
平分
，即
，
答：．
【知識點】角平分線的概念；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【分析】
（1）根據角平分線的定義結合等量代換可得到一組內錯角相等，再利用平行線的判定定理即可；
（2）由垂直的概念結合直角三角形的性質可知與互余，再利用平行線的性質及角平分線的概念知，是的2倍，再利用已知與的數量關系可求出的值，再利用平行線的性質可得等于．
22．（2024七下·常德期末）如圖①，和的頂點都在正方形網格中正方形格子的頂點上，我們把這樣的三角形叫做“格點三角形”．
（1）在圖①的正方形網格中，格點和格點關于某條直線成軸對稱，請畫出圖①中的對稱軸；
（2）請你利用軸對稱的原理在圖②中畫出一個與圖①位置不同且與成軸對稱的格點；
（3）請圖③中畫出繞C點順時針旋轉的格點，
（4）在圖④中找出點P（P不與C點重合），使格點三角形面積等于的面積，滿足這樣條件的點P共______個．
【答案】（1）解：如圖所示，直線（點劃線）即為所求．
（2）解：如圖所示，即為所求．
（3）解：如圖所示，即為所求．
（4）
【知識點】平行線之間的距離；三角形的面積；作圖﹣旋轉；作圖-畫給定對稱軸的對稱圖形；作圖-作給定圖形的對稱軸
【解析】【解答】（4）解：如圖所示，滿足條件的點有個．
故答案為：3.
【分析】（1）把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形折跡所在的直線就是對稱軸，據此結合方格紙的特點作圖即可；
（2）利用方格紙的特點及軸對稱的性質，作出△ABC關于直線BC對稱的圖形DEF即可；
（3）根據旋轉圖形性質及方格紙的特點，找出A、B繞C點順時針旋轉90°后的的對應點A'、B'，再順次連接A'、B'、C就可得到旋轉后的圖形；
（4）根據同底等高三角形面積相等及平行線間的距離處處相等，結合方格紙的特點即可得到所求的點P.
23．（2024七下·常德期末）雷鋒精神是我們中華民族寶貴的精神財富，它激勵著一代又一代的青少年健康成長，促進了社會文明的進步，為進一步弘揚“奉獻、友愛、互助、進步”的雷鋒精神，倡導志愿服務理念，樹立“學雷鋒”的意識，某校組織了“學習雷鋒精神，愛心捐款活動”．活動結束后，學生會隨機抽取了部分學生的捐款金額進行統計，并用得到的數據繪制了如下統計圖（不完整）．
請根據相關信息，解答下列問題，
（1）所抽取學生的人數為______；在扇形統計圖中，捐款金額為40元所對的扇形的圓心角的度數為______，并補全條形統計圖；
（2）所抽取學生的捐款金額的中位數是______元，并求出所抽取學生的平均捐款金額；
（3）若該校共有2400名學生參與捐款，請你估計該校學生捐款金額不少于30元的人數．
【答案】（1）解：所抽取學生的人數為（人），
捐款金額為40元所對的扇形的圓心角的度數為，
捐款金額為10元的人數為（人），
補全條形統計圖如圖：
故答案為：40人，；
（2）解：∵所抽取學生共有40人，其中捐款10元的6人，捐款20元的20人，
∴排序后排在第20，21位的是20元，
∴所抽取學生的捐款金額的中位數是（元），
所抽取學生的平均捐款金額為（元），
故答案為：20；
（3）解：（人），
答：估計該校學生捐款金額不少于30元的人數為840人．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；加權平均數及其計算；中位數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【分析】（1）根據統計圖表提供的信息，用捐款30元的人數除以所占百分比可得抽取總人數，用乘以捐款金額為40元的人數所占比例可得其所對的扇形圓心角度數，用本次調查的總人數分別減去捐款數為20元、30元、40元的人數，求出捐款10元的人數，即可補全條形統計圖；
（2）中位數：將一組數據按從小到大（或者從大到?。┑捻樞蚺帕泻螅绻麛祿膫€數是奇數個時，則處在最中間的那個數據叫做這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數個時，則處在最中間的兩個數據的平均數叫做這組數據的中位數，據此可求出所抽取學生的捐款金額的中位數；進而利用加權平均數的計算方法求出所抽取學生的平均捐款金額；
（3）用該學校參與捐款的學生總人數乘以樣本中捐款金額不少于30元的人數所占的比例即可估計該校學生捐款金額不少于30元的人數．
24．（2024七下·常德期末）某校準備組織七年級340名學生參加北京夏令營，已知用3輛小客車和1輛大客車每次可運送學生105人；用1輛小客車和2輛大客車每次可運送學生110人；
（1）每輛小客車和每輛大客車各能坐多少名學生？
（2）若學校計劃租用小客車x輛，大客車y輛，一次送完，且恰好每輛車都坐滿；
①請你設計出所有的租車方案；
②若小客車每輛需租金4000元，大客車每輛需租金8000元，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租金．
【答案】（1）解：設小客車能坐a名學生，大客車能坐b名學生，
由題意得，
解得，
答：每輛小客車和每輛大客車各能坐20名學生，45名學生；
（2）解：①由題意得，，
∴，
∵x，y都是整數，
∴一定是整數，
∴一定是4的倍數，
∴或，
∴一共有2種租車方案：方案一，租用小客車17輛，大客車0輛；方案二：租用小客車8輛，大客車4輛；
②解：方案一的費用為元，
方案二的費用為元，
∵，
∴最省錢的方案是8輛小客車，4輛大客車，租金為64000元．
【知識點】二元一次方程的應用；二元一次方程組的應用-和差倍分問題
【解析】【分析】（1）設小客車能坐a名學生，大客車能坐b名學生，根據3輛小客車每次運送學生的人數+1輛大客車每次可運送學生=105人及1輛小客車每次運送學生的人數+2輛大客車每次可運送學生=110人，列出方程組求解即可；
（2）①x輛小客車每次運送學生的人數+y輛大客車每次可運送學生=340人，列出二元一次方程，求出方程的非負整數解即可得到答案；②求出兩種方案的花費即可得到答案．
25．（2024七下·常德期末）完全平方公式經過適當的變形，可以解決很多數學問題．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
根據上面的解題思路與方法解決下列問題：
（1）若，，求的值；
（2）如圖，C是線段上的一點，分別以，為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和為24，求的面積．
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴，．
∴，
∴．
（2）解：設，，
∴，．
∴，
∴．
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，，
∴．
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】（1）由ab=1可得2ab=2，將a-b=2兩邊同時平方可得(a-b)2=4，然后根據完全平方公式將等式左邊展開可得a2+b2-2ab=4，進而整體代入計算可得答案；
（2）設AC=m，BC=FC=n，由題意易得m+n=8，m2+n2=24，將m+n=8，兩邊同時平方得(m+n)2=64，然后根據完全平方公式將等式左邊展開可得m2+n2+2mn=64，進而整體代入計算可得mn=40，最后利用三角形的面積公式即可求解；
（3）把8-x與x-5分別看成一個整體，可得(8-x)+(x-5)=3，兩邊同時平方得[(8-x)+(x-5)]2=9，然后根據完全平方公式將等式左邊展開可得(8-x)2+(x-5)2+2(8-x)(x-5)=9，進而整體代入計算可得答案.
26．（2024七下·常德期末）已知，點P是平面內一點，過點P作射線與相交于點B．
（1）如圖1，若點P為直線上一點，，，求的度數；
（2）如圖2，若點P為直線之間區域的一點，射線交于點E，和的角平分線交于點F．請說明；
（3）如圖3，若點P、H是直線上的點，射線交直線于點G，連接并延長交的角平分線于點Q，設.當時，請直接用含的代數式表示．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴.
∵，，
∴；
（2）證明：過點作，過點作，
，，
，
，，
，．
平分，
，
同理可得：．
設，，
，，
，，
，，
，
，
，
；
（3）解：或
【知識點】平行線的性質；三角形的外角性質；角平分線的概念；平行公理的推論
【解析】【解答】（3）解：或．
當點在點的左側時，如圖，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
；
當點在點的右側時，如圖，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
；
綜上所述，或．
【分析】（1）由二直線平行，同位角相等得∠CPM=∠ABM=60°，然后根據∠MPN=∠CPM+∠CPN代值計算可得答案；
（2）過點F作FK∥AB，過點P作PR∥AB，由二直線平行，內錯角相等（同位角相等）得∠KFB=∠ABF，∠RPM=∠ABM，由平行于同一直線的兩條直線互相平行得FK∥CD，PR∥CD，由二直線平行，內錯角相等（同旁內角互補）得∠KFE=∠CEF及∠CEP+∠EPR=180°，由角平分線的定義得∠ABM=2∠ABF，∠CEP=2∠CEF，進而根據角的構成代值計算可得結論；
（3）分兩種情況：當點H在點P的左側時，由二直線平行，內錯角相等得， 根據三角形外角性質及已知可得， 由角平分線的定義得， 進而再根據三角形外角性質即可求出； 當點H在點P的右側時，由二直線平行，內錯角相等得， 根據三角形外角性質及已知可得， 進而根據交的構成及三角形外角性質可求出，綜上即可得出答案.
1 / 1湖南省常德市城區及周邊學校教學聯盟2023-2024學年七年級下學期期末數學試題
1．（2024七下·常德期末）如圖所示的圖案分別是奔馳、奧迪、大眾、三菱汽車的車標，其中，可以看作由“基本圖案”經過平移得到的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．（2024七下·常德期末）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·常德期末）已知是方程的一個解，那么a的值為（　?。?br/>A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．（2024七下·常德期末）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
5．（2024七下·常德期末）已知方程組，則x﹣y的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣1
6．（2024七下·常德期末）如圖，已知，，垂足分別是C，D，其中，，，那么點C到的距離是（　?。?br/>A．3 B．4 C． D．
7．（2024七下·常德期末）如圖，下列條件中不能判定的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
8．（2024七下·常德期末）如圖直線，，交于點O，平分，且，．則的度數是（　?。?br/>A． B． C． D．
9．（2024七下·常德期末）如圖，將繞點逆時針旋轉一定的角度，得到，且．若，，則的大小是（　?。?br/>A． B． C． D．
10．（2024七下·常德期末）“幻方”最早記載于春秋時期的《大戴禮》中，現將1，2，3，4，5，7，8，9這八個數字填入如圖1所示的“幻方”中，使得每個三角形的三個頂點上的數字之和都與中間正方形四個頂點上的數字之和相等．若按同樣的要求重新填數如圖2所示，則的值是（　?。?br/>A． B．6 C． D．3
11．（2024七下·常德期末）計算：3x2 （﹣2x3）＝　 ?。?br/>12．（2024七下·常德期末）已知方程組，則　 　．
13．（2024七下·常德期末）已知x+y=6，xy=-3，則x2y+xy2= 　 ?。?br/>14．（2024七下·常德期末）若，則的值為　 　 .
15．（2024七下·常德期末）已知：，則的值為　 　．
16．（2024七下·常德期末）對甲、乙兩位同學近六次數學測試成績進行統計分析，已知甲測試成績的方差是，甲的成績比乙的成績更穩定，則乙測試成績的方差可能是　 ?。▽懗鲆粋€即可）．
17．（2024七下·常德期末）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，，，則　 　．
18．（2024七下·常德期末）已知直線，點P、Q分別在、上，，如圖所示，射線按順時針方向繞P點以每秒的速度旋轉至便立即回轉，并不斷往返旋轉；射線按順時針方向繞Q點每秒旋轉至停止，此時射線也停止旋轉．若射線先轉42秒，射線才開始轉動，在到達前，當射線旋轉的時間為　 　秒時，．
19．（2024七下·常德期末）因式分解：
（1）；
（2）．
20．（2024七下·常德期末）先化簡，再求值：．其中．
21．（2024七下·常德期末）如圖，平分，．
（1）判斷與是否平行，并說明理由．
（2）若，，，求的度數．
22．（2024七下·常德期末）如圖①，和的頂點都在正方形網格中正方形格子的頂點上，我們把這樣的三角形叫做“格點三角形”．
（1）在圖①的正方形網格中，格點和格點關于某條直線成軸對稱，請畫出圖①中的對稱軸；
（2）請你利用軸對稱的原理在圖②中畫出一個與圖①位置不同且與成軸對稱的格點；
（3）請圖③中畫出繞C點順時針旋轉的格點，
（4）在圖④中找出點P（P不與C點重合），使格點三角形面積等于的面積，滿足這樣條件的點P共______個．
23．（2024七下·常德期末）雷鋒精神是我們中華民族寶貴的精神財富，它激勵著一代又一代的青少年健康成長，促進了社會文明的進步，為進一步弘揚“奉獻、友愛、互助、進步”的雷鋒精神，倡導志愿服務理念，樹立“學雷鋒”的意識，某校組織了“學習雷鋒精神，愛心捐款活動”．活動結束后，學生會隨機抽取了部分學生的捐款金額進行統計，并用得到的數據繪制了如下統計圖（不完整）．
請根據相關信息，解答下列問題，
（1）所抽取學生的人數為______；在扇形統計圖中，捐款金額為40元所對的扇形的圓心角的度數為______，并補全條形統計圖；
（2）所抽取學生的捐款金額的中位數是______元，并求出所抽取學生的平均捐款金額；
（3）若該校共有2400名學生參與捐款，請你估計該校學生捐款金額不少于30元的人數．
24．（2024七下·常德期末）某校準備組織七年級340名學生參加北京夏令營，已知用3輛小客車和1輛大客車每次可運送學生105人；用1輛小客車和2輛大客車每次可運送學生110人；
（1）每輛小客車和每輛大客車各能坐多少名學生？
（2）若學校計劃租用小客車x輛，大客車y輛，一次送完，且恰好每輛車都坐滿；
①請你設計出所有的租車方案；
②若小客車每輛需租金4000元，大客車每輛需租金8000元，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租金．
25．（2024七下·常德期末）完全平方公式經過適當的變形，可以解決很多數學問題．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
根據上面的解題思路與方法解決下列問題：
（1）若，，求的值；
（2）如圖，C是線段上的一點，分別以，為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和為24，求的面積．
（3）若，求的值．
26．（2024七下·常德期末）已知，點P是平面內一點，過點P作射線與相交于點B．
（1）如圖1，若點P為直線上一點，，，求的度數；
（2）如圖2，若點P為直線之間區域的一點，射線交于點E，和的角平分線交于點F．請說明；
（3）如圖3，若點P、H是直線上的點，射線交直線于點G，連接并延長交的角平分線于點Q，設.當時，請直接用含的代數式表示．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】圖形的平移
【解析】【解答】解：A中，圖形的平移只改變圖形的位置，圖形位置沒變化，不是平移變換，故不符合題意；
B中，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，故符合題意；
C中，圖形的平移只改變圖形的位置，圖形位置沒變化，不是平移變換，故不符合題意；
D中，圖形的平移只改變圖形的位置，圖形位置沒變化，不是平移變換，故不符合題意．
故選：B．
【分析】本題考查了圖形的平移，根據圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，結合選項，逐項分析判斷，得到的圖案B，即可求解．
2．【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、不是同類項，不能合并，故該選項是錯誤的；
B、，故該選項是錯誤的；
C、，故該選項是錯誤的；
D、，故該選項是正確的.
故答案為：D.
【分析】整式加法的實質就是合并同類項，所謂同類項就是所含字母相同，而且相同字母的指數也分別相同的項，同類項與字母的順序沒有關系，與系數也沒有關系，合并同類項的時候，只需要將系數相加減，字母和字母的指數不變，但不是同類項的一定就不能合并，從而即可判斷A選項；由積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘即可判斷B選項；由冪的乘方，底數不變，指數相乘，可判斷C選項；根據同底數冪的乘法，底數不變，指數相加即可判斷D選項.
3．【答案】B
【知識點】已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：把代入方程得：
，解得：；
故答案為：B．
【分析】使方程的左邊等于右邊的一對未知數的值就是二元一次方程的解，據此把代入方程x+ay=3可得關于字母a的一元一次方程，再解該一元一次方程即可．
4．【答案】D
【知識點】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；
B、沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意；
C、，故該式不成立，不符合題意，
D、把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】將一個多項式化為幾個整式的乘積形式的恒等變形就是因式分解，據此判斷是否是因式分解，需要從以下幾個方面來判斷：①變形后的式子是否是整式的乘積形式，②分解后的乘積形式展開后是否與原式一致，③是否每一個因式都不能再繼續分解，④是否運用公式正確，據此逐一判斷得出答案.
5．【答案】A
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：
∴②①得：
故答案為：A．
【分析】兩個方程相減即可.
6．【答案】D
【知識點】三角形的面積
【解析】【解答】解：因為
所以，即，
∴，即點C到的距離是，
故答案為：D．
【分析】由等面積法，根據建立方程，求解即可得出答案.
7．【答案】A
【知識點】平行線的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，不能判定，則此項符合題意；
B、∵，
∴（內錯角相等，兩直線平行），則此項不符合題意；
C、∵，
∴（同旁內角互補，兩直線平行），則此項不符合題意；
D、∵，
∴（同位角相等，兩直線平行），則此項不符合題意；
故答案為：A．
【分析】根據平行線的判定逐項進行判斷即可求出答案.
8．【答案】A
【知識點】垂線的概念；對頂角及其性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，且，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案為：A．
【分析】由垂直的定義得，由對頂角相等得，由角平分線的定義得，最后再根據代值計算即可．
9．【答案】C
【知識點】旋轉的性質；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：根據旋轉的性質知，，，
∵，且設交于點，如圖，
∴，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】根據旋轉的性質可得，，由垂直的定義得，設AD交BC于點M，根據直角三角形兩銳角互余得出∠MAC=30°，最后根據角的構成，由∠BAC=∠BAM+∠CAD，代值計算即可.
10．【答案】A
【知識點】幻方、幻圓數學問題
【解析】【解答】解：由題意得：，，
∴，，
∴，
故答案為：A．
【分析】根據每個三角形的三個頂點上的數字之和相等得出，，得出①，②，然后用①+②可得答案.
11．【答案】
【知識點】單項式乘單項式
【解析】【解答】解：原式＝，
故答案為：．
【分析】根據單項式乘以單項式，把系數與相同字母的冪分別相乘作為積的一個因式，對于只在某一個單項式中含有的字母，則連同指數作為積的一個因式進行計算即可．
12．【答案】0
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
則，
故答案為：0．
【分析】由于方程組中未知數y的系數呈倍數關系，故利用加減消元法求解較為簡單；首先用方程①×3+②消去y求出x的值，再將x的值代入①方程求出y的值，從而可得原方程組的解.
13．【答案】-18
【知識點】因式分解﹣提公因式法；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵x+y=6，xy=-3 ，
∴x2y+xy2= xy(x+y)=-3×6=-18.
故答案為：-18.
【分析】將待求式子利用提取公因式法分解因式后，整體代入計算可得答案.
14．【答案】-2
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：原式可化為，
∴，
解得：，
的值為-2.
故答案為：-2.
【分析】利用多項式乘多項式法則將等號右邊展開、合并，再根據對應系數相等建立方程組，解之即可.
15．【答案】8
【知識點】同底數冪的乘法；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：8．
【分析】先根據已知等式可得m+2n=3，再逆用有理數乘方運算法則將所求式子變形為2m×(22)n，然后根據冪的乘方運算法則“冪的乘方，底數不變，指數相乘”進行計算，進而根據同底數冪的乘法法則“同底數冪相乘，底數不變，指數相加”計算，最后整體代入按有理數乘方運算法則計算即可．
16．【答案】3（答案不唯一）
【知識點】方差
【解析】【解答】解：∵甲測試成績的方差是，甲的成績比乙的成績更穩定，
∴乙發方差大于2.3
∴乙的方差可能是3（答案不唯一）.
故答案為：3.
【分析】根據方差的定義，方差越小，數據越穩定.
17．【答案】
【知識點】平行公理的推論；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：過點作，
，
，
，，
又，，
，，
．
故答案為：.
【分析】過點C作CF∥AB，由平行于同一直線的兩條直線互相平行得CF∥DE，然后根據二直線平行，同旁內角互補（內錯角相等）求出∠ACF=130°，∠DCF=120°，最后利用角的和差關系求解即可．
18．【答案】14或63.6或134
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：設射線PB旋轉的時間為t秒，
∵射線QC繞Q點每秒旋轉，射線QC先轉42秒，射線PB才開始轉動，
∴射線QC還需旋轉138秒到達QD，
∴．
①如圖，當，
，，
∵，
，
∵，
，
，
解得．
②如圖，當時，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
解得．
③如圖，當時，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
綜上，在到達前，當射線旋轉的時間為14秒或63.6秒或134秒．
故答案為：14或63.6或134．
【分析】設射線PB旋轉的時間為t秒，由題意得0＜t≤138，分三種情況：
①當時，根據路程、速度、時間三者的關系得，，由二直線平行同位角相等得， 由二直線平行，內錯角相等得，則∠CQC'=∠BPB'，據此建立方程求解可得t的值；
②當時，由路程、速度、時間三者的關系得，， 由二直線平行，內錯角相等得，有二直線平行，同旁內角互補得， 從而代入計算可得t的值；
③當時，根據路程、速度、時間三者的關系得， 由二直線平行，內錯角相等得， 由二直線平行同位角相等得，據此建立方程，可求出t的值，綜上即可得出答案.
19．【答案】（1）解：
，
（2）解：
．
【知識點】因式分解﹣公式法；因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【分析】（1）先提取各項的公因式x，再利用平方差公式繼續分解到每一個因式都不能再分解為止；
（2）把x2+4看成一個整體，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式繼續分解到每一個因式都不能再分解為止．
20．【答案】解：
，
當時，原式．
【知識點】利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，單項式乘以多項式的法則分別展開括號，再合并同類項得到最簡結果，然后將x的值代入化簡結果按含乘方的有理數的混合運算的運算順序計算即可．
21．【答案】（1）答：，理由如下：
平分
（2）解：設，則
平分
，即
，
答：．
【知識點】角平分線的概念；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【分析】
（1）根據角平分線的定義結合等量代換可得到一組內錯角相等，再利用平行線的判定定理即可；
（2）由垂直的概念結合直角三角形的性質可知與互余，再利用平行線的性質及角平分線的概念知，是的2倍，再利用已知與的數量關系可求出的值，再利用平行線的性質可得等于．
22．【答案】（1）解：如圖所示，直線（點劃線）即為所求．
（2）解：如圖所示，即為所求．
（3）解：如圖所示，即為所求．
（4）
【知識點】平行線之間的距離；三角形的面積；作圖﹣旋轉；作圖-畫給定對稱軸的對稱圖形；作圖-作給定圖形的對稱軸
【解析】【解答】（4）解：如圖所示，滿足條件的點有個．
故答案為：3.
【分析】（1）把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形折跡所在的直線就是對稱軸，據此結合方格紙的特點作圖即可；
（2）利用方格紙的特點及軸對稱的性質，作出△ABC關于直線BC對稱的圖形DEF即可；
（3）根據旋轉圖形性質及方格紙的特點，找出A、B繞C點順時針旋轉90°后的的對應點A'、B'，再順次連接A'、B'、C就可得到旋轉后的圖形；
（4）根據同底等高三角形面積相等及平行線間的距離處處相等，結合方格紙的特點即可得到所求的點P.
23．【答案】（1）解：所抽取學生的人數為（人），
捐款金額為40元所對的扇形的圓心角的度數為，
捐款金額為10元的人數為（人），
補全條形統計圖如圖：
故答案為：40人，；
（2）解：∵所抽取學生共有40人，其中捐款10元的6人，捐款20元的20人，
∴排序后排在第20，21位的是20元，
∴所抽取學生的捐款金額的中位數是（元），
所抽取學生的平均捐款金額為（元），
故答案為：20；
（3）解：（人），
答：估計該校學生捐款金額不少于30元的人數為840人．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；加權平均數及其計算；中位數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【分析】（1）根據統計圖表提供的信息，用捐款30元的人數除以所占百分比可得抽取總人數，用乘以捐款金額為40元的人數所占比例可得其所對的扇形圓心角度數，用本次調查的總人數分別減去捐款數為20元、30元、40元的人數，求出捐款10元的人數，即可補全條形統計圖；
（2）中位數：將一組數據按從小到大（或者從大到?。┑捻樞蚺帕泻?，如果數據的個數是奇數個時，則處在最中間的那個數據叫做這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數個時，則處在最中間的兩個數據的平均數叫做這組數據的中位數，據此可求出所抽取學生的捐款金額的中位數；進而利用加權平均數的計算方法求出所抽取學生的平均捐款金額；
（3）用該學校參與捐款的學生總人數乘以樣本中捐款金額不少于30元的人數所占的比例即可估計該校學生捐款金額不少于30元的人數．
24．【答案】（1）解：設小客車能坐a名學生，大客車能坐b名學生，
由題意得，
解得，
答：每輛小客車和每輛大客車各能坐20名學生，45名學生；
（2）解：①由題意得，，
∴，
∵x，y都是整數，
∴一定是整數，
∴一定是4的倍數，
∴或，
∴一共有2種租車方案：方案一，租用小客車17輛，大客車0輛；方案二：租用小客車8輛，大客車4輛；
②解：方案一的費用為元，
方案二的費用為元，
∵，
∴最省錢的方案是8輛小客車，4輛大客車，租金為64000元．
【知識點】二元一次方程的應用；二元一次方程組的應用-和差倍分問題
【解析】【分析】（1）設小客車能坐a名學生，大客車能坐b名學生，根據3輛小客車每次運送學生的人數+1輛大客車每次可運送學生=105人及1輛小客車每次運送學生的人數+2輛大客車每次可運送學生=110人，列出方程組求解即可；
（2）①x輛小客車每次運送學生的人數+y輛大客車每次可運送學生=340人，列出二元一次方程，求出方程的非負整數解即可得到答案；②求出兩種方案的花費即可得到答案．
25．【答案】（1）解：∵，，
∴，．
∴，
∴．
（2）解：設，，
∴，．
∴，
∴．
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，，
∴．
【知識點】完全平方公式及運用
【解析】【分析】（1）由ab=1可得2ab=2，將a-b=2兩邊同時平方可得(a-b)2=4，然后根據完全平方公式將等式左邊展開可得a2+b2-2ab=4，進而整體代入計算可得答案；
（2）設AC=m，BC=FC=n，由題意易得m+n=8，m2+n2=24，將m+n=8，兩邊同時平方得(m+n)2=64，然后根據完全平方公式將等式左邊展開可得m2+n2+2mn=64，進而整體代入計算可得mn=40，最后利用三角形的面積公式即可求解；
（3）把8-x與x-5分別看成一個整體，可得(8-x)+(x-5)=3，兩邊同時平方得[(8-x)+(x-5)]2=9，然后根據完全平方公式將等式左邊展開可得(8-x)2+(x-5)2+2(8-x)(x-5)=9，進而整體代入計算可得答案.
26．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴.
∵，，
∴；
（2）證明：過點作，過點作，
，，
，
，，
，．
平分，
，
同理可得：．
設，，
，，
，，
，，
，
，
，
；
（3）解：或
【知識點】平行線的性質；三角形的外角性質；角平分線的概念；平行公理的推論
【解析】【解答】（3）解：或．
當點在點的左側時，如圖，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
；
當點在點的右側時，如圖，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
；
綜上所述，或．
【分析】（1）由二直線平行，同位角相等得∠CPM=∠ABM=60°，然后根據∠MPN=∠CPM+∠CPN代值計算可得答案；
（2）過點F作FK∥AB，過點P作PR∥AB，由二直線平行，內錯角相等（同位角相等）得∠KFB=∠ABF，∠RPM=∠ABM，由平行于同一直線的兩條直線互相平行得FK∥CD，PR∥CD，由二直線平行，內錯角相等（同旁內角互補）得∠KFE=∠CEF及∠CEP+∠EPR=180°，由角平分線的定義得∠ABM=2∠ABF，∠CEP=2∠CEF，進而根據角的構成代值計算可得結論；
（3）分兩種情況：當點H在點P的左側時，由二直線平行，內錯角相等得， 根據三角形外角性質及已知可得， 由角平分線的定義得， 進而再根據三角形外角性質即可求出； 當點H在點P的右側時，由二直線平行，內錯角相等得， 根據三角形外角性質及已知可得， 進而根據交的構成及三角形外角性質可求出，綜上即可得出答案.
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