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廣東省佛山市第一中學2024屆高三學業模擬測試（一）數學試題
1．（2024高三下·佛山模擬）已知集合，若，則的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】交集及其運算
【解析】【解答】解：已知知，則，
即，解得，
故答案為：B
【分析】利用集合的運算可得，再解不等式即可求解.
2．（2024高三下·佛山模擬）在復平面內，一個正方形的3個頂點對應的復數分別是1＋2i，－2＋i，0，則第4個頂點對應的復數為（　　）
A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．
【答案】B
【知識點】平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量的數量積運算；復數在復平面中的表示
【解析】【解答】復數1＋2i，－2＋i，0所對應的點分別是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），
由題意可知，正方形以為鄰邊，設另一點為D（x，y），
所以
則，解得，
∴.
故答案為：B．
【分析】由復數的幾何意義及向量的坐標運算可求解出答案。
3．（2024高三下·佛山模擬）集合，，那么“”是“”的（　?。?br/>A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷
【解析】【解答】解：∵集合，，
∴，
∴“” 是“”的充分而不必要條件．
故答案為：．
【分析】先利用函數的值域化簡集合，再利用充分與必要條件的定義即可求解.
4．（2024高三下·佛山模擬）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（　?。?br/>A．若，則
B．若，則
C．若，則//
D．若，則
【答案】C
【知識點】空間點、線、面的位置
【解析】【解答】解：A、若，則的位置關系不確定，故A錯誤；
B、若，則的位置關系不確定，故B錯誤；
C、若，則//，故C正確；
D、若，則的位置關系不確定，故D錯誤.
故答案為：C.
【分析】利用空間線面位置和面面的位置關系逐項分析即可求解.
5．（2024高三下·佛山模擬）設數列，均為公比不等于1的等比數列，前n項和分別為，若，則＝（　?。?br/>A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知識點】等比數列的通項公式；等比數列的前n項和
【解析】【解答】由得，，設{}的公比為，{}的公比為，
當時，，即，
當時，，即，
聯立兩式解得，此時，，
則，，所以.
故答案為：C
【分析】設{}的公比為，{}的公比為，由已知條件結合等比數列的通項公式求出，，再根據等比數列的求和公式得，即可求出答案。
6．（2024高三下·佛山模擬）已知圓，過直線上的動點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（　?。?br/>A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知識點】平面內點到直線的距離公式；直線與圓的位置關系
【解析】【解答】解：連接，如圖所示：
在中，，
則當最小時，最小，因為，
所以的最小值為.
故答案為：C.
【分析】由題意，連接，在中，，當最小時，最小，利用點到直線的距離公式求解即可.
7．（2024高三下·佛山模擬）已知函數，若存在，使得成立，則實數的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】導數的幾何意義；函數零點存在定理
【解析】【解答】解：由題意，，
即有解，
先求與相切時，
過定點，的導數，
設切點為，則由導數可知，
所以，解得，
即切點為，此時切線斜率，
作出函數圖象，如圖所示：
由圖象可知，當時，存在存在，使得成立.
故答案為：B
【分析】先條件轉化為有解，設切點，利用倒數第幾何意義結合函數圖象即可求解.
8．（2024高三下·佛山模擬）設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線C相交于A，B兩點，則4|AF|＋9|BF|的最小值為（　?。?br/>A．26 B．25 C．20 D．18
【答案】B
【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【解答】由題意，，設，
設直線AB的方程為，
聯立，即，則，
所以，
，
所以，
當且僅當，即時取等號.
所以4|AF|＋9|BF|的最小值為25.
故答案為：B．
【分析】設，設直線AB的方程為，與拋物線方程聯立，再由焦半徑公式可得，再利用基本不等式可求出 4|AF|＋9|BF|的最小值 。
9．（2024高三下·佛山模擬）某物理量的測量結果服從正態分布，則（　?。?br/>A．該正態分布對應的正態密度曲線關于直線對稱
B．越大，該正態分布對應的正態密度曲線越尖陡
C．越小，在一次測量中，的取值落在內的概率越大
D．在一次測量中，的取值落在與落在的概率相等
【答案】A,C
【知識點】正態密度曲線的特點
【解析】【解答】對于A選項，該正態分布對應的正態密度曲線關于直線對稱，A對；
對于B選項，越大，曲線越平，B不符合題意；
對于C選項，越小，曲線越陡，
所以，越小，在一次測量中，的取值落在內的概率越大，C對；
對于D選項，因為，
由正態密度曲線的對稱性可得
，D不符合題意.
故答案為：AC.
【分析】根據正態曲線的性質，逐項進行分析判斷，可得答案。
10．（2024高三下·佛山模擬）若函數同時具有性質：①對于任意的，，②為偶函數，則函數可能為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知識點】函數的奇偶性
【解析】【解答】解：對于B：，
故為奇函數，B不符合題意，A，C，D為偶函數；
對于A，，A對
對于C，
，C對
對于D，，時，，D不符合題意，
故答案為：AC．
【分析】判斷函數的奇偶性可判斷B選項；利用基本不等式可判斷A、C選項；代入特殊值可判斷D選項。
11．（2024高三下·佛山模擬）如圖，，，，，弧CD是以OD為直徑的圓上的一段圓弧，弧CB是以BC為直徑的圓上的一段圓弧，弧BA是以OA為直徑的圓上的一段圓弧，三段弧構成曲線w，則下述正確的是（　?。?br/>A．曲線w與x軸圍成的圖形的面積等于2π
B．曲線w上有5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）
C．弧CB所在圓的方程為
D．弧CB與弧BA的公切線方程為
【答案】B,C
【知識點】圓的標準方程；扇形的弧長與面積
【解析】【解答】解：連接BC，過點C作CK⊥x軸于點K，過點B作BL⊥x軸于點L如圖所示：
則曲線w與x軸圍成的圖形的面積等于矩形的面積加上一個半徑為1的圓的面積，
其中，故，故A錯誤；
曲線w上有，，，，5個整點，故B正確；
弧CB所在圓的圓心為，半徑為1，故圓的方程為，故C正確；
設弧CB與弧BA的公切線方程為，根據圖象知，則，，解得，，即公切線方程為，故D不正確．
故答案為：BC．
【分析】由題意先畫出圖象，利用分割法求出面積之和即可判斷A；找到整點個數即可判斷B；
求出弧CB所在圓的圓心為，半徑為1，寫出圓的標準方程即可判斷C；設出弧CB與弧BA的公切線方程，利用點到直線距離等于半徑求出公切線方程即可判斷D.
12．（2024高三下·佛山模擬）在的展開式中，所有項系數之和為　 ?。徽归_式中系數最大項的系數為　 　．
【答案】1024；120
【知識點】二項式系數的性質
【解析】【解答】依題意，所有項系數和；
展開式系數最大的項為，展開式系數最大的項為，
所以系數最大項的系數為120.
故答案為：1024；120
【分析】利用賦值法計算可得所有項系數之和；確定每個二項式展開式的系數最大項的系數，即可計算出展開式中系數最大項的系數.
13．（2024高三下·佛山模擬）如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點，設三棱錐體積為，三棱柱的體積為，則　 　
【答案】
【知識點】柱體的體積公式及應用；錐體的體積公式及應用
【解析】【解答】解：因為，分別是，的中點，所以，
又因為是AA1的中點，所以A1到底面的距離為到底面距離的2倍，
即三棱柱的高是三棱錐高的2倍，
則V1：V2=S△ADE h/S△ABC H＝.
故答案為：.
【分析】由題意，先求底面積和高的比值，再根據棱錐體積公式求解即可.
14．（2024高三下·佛山模擬）雙曲線的左 右頂點分別為，過點的直線交該雙曲線于點，設直線的斜率為，直線的斜率為，已知軸時，，則雙曲線的離心率　 　；若點在雙曲線右支上，則的取值范圍是　 　.
【答案】；
【知識點】雙曲線的簡單性質；直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【解答】當軸時，，
所以，從而，所以；
由題意知，.設直線的方程為，
聯立，整理得：
又
故
所以可知，當點在右支運動時，由漸近線方程為可知：，故.
故答案為：，
【分析】 當軸時，，由已知可得，求解可得a，從而可得e，設直線的方程為，聯立可得，可得，從而可求 的取值范圍 .
15．（2024高三下·佛山模擬）已知函數，
（1）求的最小正周期；
（2）在中，三個角所對的邊分別為，若，，，求的面積.
【答案】（1）解：由題知
，
的最小正周期；
（2）解：由于在中，三個角所對的邊分別為，，
，
，
，
，
，
在中由正弦定理得，
，
又有
，
，
，
，，
中的內角，且，
，
，
的面積.
【知識點】含三角函數的復合函數的周期；正弦定理；三角形中的幾何計算
【解析】【分析】(1)先運用輔助角公式進行化簡可得，再利用最小正周期公式即可求解；
(2)先由，求得，由用正弦定理，再將代入展開化簡即可得，故為等邊三角形，再利用，即可求解.
（1）解：由題知
，
的最小正周期；
（2）由于在中，三個角所對的邊分別為，，
，
，
，
，
，
在中由正弦定理得，
，
又有
，
，
，
，，
中的內角，且，
，
，
的面積.
16．（2024高三下·佛山模擬）如圖所示，三棱柱的側棱垂直于底面，且底面是邊長為2的正三角形，，點D，E，F分別是所在棱的中點.
（1）在線段上找一點使得平面∥平面，給出點的位置并證明你的結論；
（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.
【答案】解：（1）點與點重合，證明如下：
連接，.
因為分別是和的中點，所以.
因為平面，平面，所以平面.
因為分別是和的中點，所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以.
因為平面，平面，所以平面.
又因為，所以平面平面.
（2）以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸
建立如圖所示的空間直角坐標系.
由（1）可得二面角即.
則，，.
所以，.
因為平面平面，所以平面的法向量即平面的法向量，
設為，則.
令，則.
因為，，.
所以，.
設平面的一個法向量為.
則，
令，則.
則.
由圖易知二面角的平面角是銳角，所以余弦值為.
【知識點】直線與平面平行的判定；平面與平面平行的判定；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先連接，，利用三角形中位線得到，利線面平行的判斷定理可得平面，同理可得平面，最后利用面面平行的判斷定理即可證平面∥平面.
（2）首先以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，可得平面法向量為，平面的法向量為，再利用二面角公式計算即可求解.
17．（2024高三下·佛山模擬）人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過，它所涉及的數學知識并非都是遙不可及的高深理論．為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語料庫A，其中“一”出現了30次，統計“一”與其后面一個字（或標點）的搭配情況，數據如下：
“一”與其后面一個字（或標點）的搭配情況 頻數
“一個” 6
“一些” 4
“一窮” 2
“一條” 2
其他 a
假設用頻率估計概率．
（1）求a的值，并估計甲類題材中“一”出現的概率；
（2）在甲類題材“新聞稿”中隨機抽取2個“一”，其中搭配“一個”出現的次數為X，求X的分布列和期望；
（3）另外隨機選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語料庫B進行統計，“一”出現了24次，“一格”出現了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時，“一個”和“一格”誰在前面更合適？（結論不要求證明）
【答案】（1）解：由題意可得；
故甲類題材中“一”出現的概率為；
（2）解：由題意在甲類題材“新聞稿”中隨機抽取2個“一”，搭配“一個”出現的概率為，
則，則，，
故的分布列為：
0 1 2
則．
（3）解：由題意知樣本語料庫中“一格”出現的概率為，甲類題材中“一個”出現的概率為，
由于，故輸入拼音“yige”時，“一個”在前面更合適．
【知識點】古典概型及其概率計算公式；二項分布
【解析】【分析】(1)結合表格數據求得a的值，根據古典概型的概率公式求甲類題材中“一”出現的概率；
(2)確定，根據二項分的概率計算求X的分布列和期望；
(3)計算樣本語料庫中“一格”和“一個”出現的概率，比較大小得出結論.
18．（2024高三下·佛山模擬）已知橢圓，與x軸不重合的直線l經過左焦點，且與橢圓G相交于兩點，弦的中點為M，直線與橢圓G相交于兩點．
（1）若直線l的斜率為1，求直線的斜率；
（2）是否存在直線l，使得成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解：設，則，
由A、B在橢圓上有，
作差得：，
易知，，
即，
所以直線的斜率為；
（2）解：假設存在直線滿足題意，不妨設其方程為，如圖所示：
設，
聯立，則，
則，
且，
則，易得，
由橢圓對稱性可設，則，
由，
所以
，
易知，
則，
即存在直線或滿足題意.
【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【分析】（1）利用點差法可得，再利用即可求解；
（2）設直線，，聯立可得，再利用弦長公式及中點坐標公式可得，再表示直線方程，根據對稱性求C、D坐標，根據弦長公式計算解方程即可求解.
（1）設，則，
由A、B在橢圓上有，
作差得：，
易知，，
即，
所以直線的斜率為；
（2）假設存在直線滿足題意，不妨設其方程為，設，
由，則，
所以，
且，
則，易得，
由橢圓對稱性可設，則，
由，
所以
，
易知，
則，
即存在直線或滿足題意.
19．（2024高三下·佛山模擬）已知A為有限個實數構成的非空集合，設，，記集合和其元素個數分別為，.設.例如當時，，，，所以.
（1）若，求的值；
（2）設A是由3個正實數組成的集合且，；，證明：為定值；
（3）若是一個各項互不相同的無窮遞增正整數列，對任意，設，.已知，，且對任意，，求數列的通項公式.
【答案】（1）解：當時，，，
，所以；
（2）證明：當時，，，
，所以；
（2）
設，其中，
則，
，
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以，
因，，，
，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以為定值；
（3）解：，
若，
則，
，
故，
，
此時，不符合題意，
故，
猜想，下面給予證明，
當時，顯然成立，
假設當，時，都有成立，即，
此時，，
故，，
，符合題意，
，
則，
，
若，
的元素個數小于
的元素個數，
則有，
不符合題意，故，
綜上，對于任意的，都有，
故數列的通項公式.
【知識點】集合的含義；數列的應用
【解析】【分析】（1）利用題中的定義，列舉出，即可求解；
（2）先列舉，，，中可能元素，根據集合的互異性判斷元素個數差即可；
（3）類比（1）（2）當數列由到，為保證成立，則必有其成等差數列，故猜想，可用數學歸納法證明即可.
（1）當時，，，
，所以；
（2）設，其中，
則，
，
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以，
因，，，
，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以為定值；
（3），
若，
則，
，
故，
，
此時，不符合題意，
故，
猜想，下面給予證明，
當時，顯然成立，
假設當，時，都有成立，即，
此時，，
故，，
，符合題意，
，
則，
，
若，
的元素個數小于
的元素個數，
則有，
不符合題意，故，
綜上，對于任意的，都有，
故數列的通項公式.
1 / 1廣東省佛山市第一中學2024屆高三學業模擬測試（一）數學試題
1．（2024高三下·佛山模擬）已知集合，若，則的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．（2024高三下·佛山模擬）在復平面內，一個正方形的3個頂點對應的復數分別是1＋2i，－2＋i，0，則第4個頂點對應的復數為（　　）
A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．
3．（2024高三下·佛山模擬）集合，，那么“”是“”的（　　）．
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024高三下·佛山模擬）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（　　）
A．若，則
B．若，則
C．若，則//
D．若，則
5．（2024高三下·佛山模擬）設數列，均為公比不等于1的等比數列，前n項和分別為，若，則＝（　?。?br/>A． B．1 C． D．2
6．（2024高三下·佛山模擬）已知圓，過直線上的動點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（　?。?br/>A．1 B． C． D．2
7．（2024高三下·佛山模擬）已知函數，若存在，使得成立，則實數的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
8．（2024高三下·佛山模擬）設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線C相交于A，B兩點，則4|AF|＋9|BF|的最小值為（　?。?br/>A．26 B．25 C．20 D．18
9．（2024高三下·佛山模擬）某物理量的測量結果服從正態分布，則（　?。?br/>A．該正態分布對應的正態密度曲線關于直線對稱
B．越大，該正態分布對應的正態密度曲線越尖陡
C．越小，在一次測量中，的取值落在內的概率越大
D．在一次測量中，的取值落在與落在的概率相等
10．（2024高三下·佛山模擬）若函數同時具有性質：①對于任意的，，②為偶函數，則函數可能為（　?。?br/>A． B．
C． D．
11．（2024高三下·佛山模擬）如圖，，，，，弧CD是以OD為直徑的圓上的一段圓弧，弧CB是以BC為直徑的圓上的一段圓弧，弧BA是以OA為直徑的圓上的一段圓弧，三段弧構成曲線w，則下述正確的是（　?。?br/>A．曲線w與x軸圍成的圖形的面積等于2π
B．曲線w上有5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）
C．弧CB所在圓的方程為
D．弧CB與弧BA的公切線方程為
12．（2024高三下·佛山模擬）在的展開式中，所有項系數之和為　 ?。徽归_式中系數最大項的系數為　 　．
13．（2024高三下·佛山模擬）如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點，設三棱錐體積為，三棱柱的體積為，則　 　
14．（2024高三下·佛山模擬）雙曲線的左 右頂點分別為，過點的直線交該雙曲線于點，設直線的斜率為，直線的斜率為，已知軸時，，則雙曲線的離心率　 　；若點在雙曲線右支上，則的取值范圍是　 　.
15．（2024高三下·佛山模擬）已知函數，
（1）求的最小正周期；
（2）在中，三個角所對的邊分別為，若，，，求的面積.
16．（2024高三下·佛山模擬）如圖所示，三棱柱的側棱垂直于底面，且底面是邊長為2的正三角形，，點D，E，F分別是所在棱的中點.
（1）在線段上找一點使得平面∥平面，給出點的位置并證明你的結論；
（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.
17．（2024高三下·佛山模擬）人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過，它所涉及的數學知識并非都是遙不可及的高深理論．為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語料庫A，其中“一”出現了30次，統計“一”與其后面一個字（或標點）的搭配情況，數據如下：
“一”與其后面一個字（或標點）的搭配情況 頻數
“一個” 6
“一些” 4
“一窮” 2
“一條” 2
其他 a
假設用頻率估計概率．
（1）求a的值，并估計甲類題材中“一”出現的概率；
（2）在甲類題材“新聞稿”中隨機抽取2個“一”，其中搭配“一個”出現的次數為X，求X的分布列和期望；
（3）另外隨機選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語料庫B進行統計，“一”出現了24次，“一格”出現了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時，“一個”和“一格”誰在前面更合適？（結論不要求證明）
18．（2024高三下·佛山模擬）已知橢圓，與x軸不重合的直線l經過左焦點，且與橢圓G相交于兩點，弦的中點為M，直線與橢圓G相交于兩點．
（1）若直線l的斜率為1，求直線的斜率；
（2）是否存在直線l，使得成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
19．（2024高三下·佛山模擬）已知A為有限個實數構成的非空集合，設，，記集合和其元素個數分別為，.設.例如當時，，，，所以.
（1）若，求的值；
（2）設A是由3個正實數組成的集合且，；，證明：為定值；
（3）若是一個各項互不相同的無窮遞增正整數列，對任意，設，.已知，，且對任意，，求數列的通項公式.
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】交集及其運算
【解析】【解答】解：已知知，則，
即，解得，
故答案為：B
【分析】利用集合的運算可得，再解不等式即可求解.
2．【答案】B
【知識點】平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量的數量積運算；復數在復平面中的表示
【解析】【解答】復數1＋2i，－2＋i，0所對應的點分別是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），
由題意可知，正方形以為鄰邊，設另一點為D（x，y），
所以
則，解得，
∴.
故答案為：B．
【分析】由復數的幾何意義及向量的坐標運算可求解出答案。
3．【答案】A
【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷
【解析】【解答】解：∵集合，，
∴，
∴“” 是“”的充分而不必要條件．
故答案為：．
【分析】先利用函數的值域化簡集合，再利用充分與必要條件的定義即可求解.
4．【答案】C
【知識點】空間點、線、面的位置
【解析】【解答】解：A、若，則的位置關系不確定，故A錯誤；
B、若，則的位置關系不確定，故B錯誤；
C、若，則//，故C正確；
D、若，則的位置關系不確定，故D錯誤.
故答案為：C.
【分析】利用空間線面位置和面面的位置關系逐項分析即可求解.
5．【答案】C
【知識點】等比數列的通項公式；等比數列的前n項和
【解析】【解答】由得，，設{}的公比為，{}的公比為，
當時，，即，
當時，，即，
聯立兩式解得，此時，，
則，，所以.
故答案為：C
【分析】設{}的公比為，{}的公比為，由已知條件結合等比數列的通項公式求出，，再根據等比數列的求和公式得，即可求出答案。
6．【答案】C
【知識點】平面內點到直線的距離公式；直線與圓的位置關系
【解析】【解答】解：連接，如圖所示：
在中，，
則當最小時，最小，因為，
所以的最小值為.
故答案為：C.
【分析】由題意，連接，在中，，當最小時，最小，利用點到直線的距離公式求解即可.
7．【答案】B
【知識點】導數的幾何意義；函數零點存在定理
【解析】【解答】解：由題意，，
即有解，
先求與相切時，
過定點，的導數，
設切點為，則由導數可知，
所以，解得，
即切點為，此時切線斜率，
作出函數圖象，如圖所示：
由圖象可知，當時，存在存在，使得成立.
故答案為：B
【分析】先條件轉化為有解，設切點，利用倒數第幾何意義結合函數圖象即可求解.
8．【答案】B
【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【解答】由題意，，設，
設直線AB的方程為，
聯立，即，則，
所以，
，
所以，
當且僅當，即時取等號.
所以4|AF|＋9|BF|的最小值為25.
故答案為：B．
【分析】設，設直線AB的方程為，與拋物線方程聯立，再由焦半徑公式可得，再利用基本不等式可求出 4|AF|＋9|BF|的最小值 。
9．【答案】A,C
【知識點】正態密度曲線的特點
【解析】【解答】對于A選項，該正態分布對應的正態密度曲線關于直線對稱，A對；
對于B選項，越大，曲線越平，B不符合題意；
對于C選項，越小，曲線越陡，
所以，越小，在一次測量中，的取值落在內的概率越大，C對；
對于D選項，因為，
由正態密度曲線的對稱性可得
，D不符合題意.
故答案為：AC.
【分析】根據正態曲線的性質，逐項進行分析判斷，可得答案。
10．【答案】A,C
【知識點】函數的奇偶性
【解析】【解答】解：對于B：，
故為奇函數，B不符合題意，A，C，D為偶函數；
對于A，，A對
對于C，
，C對
對于D，，時，，D不符合題意，
故答案為：AC．
【分析】判斷函數的奇偶性可判斷B選項；利用基本不等式可判斷A、C選項；代入特殊值可判斷D選項。
11．【答案】B,C
【知識點】圓的標準方程；扇形的弧長與面積
【解析】【解答】解：連接BC，過點C作CK⊥x軸于點K，過點B作BL⊥x軸于點L如圖所示：
則曲線w與x軸圍成的圖形的面積等于矩形的面積加上一個半徑為1的圓的面積，
其中，故，故A錯誤；
曲線w上有，，，，5個整點，故B正確；
弧CB所在圓的圓心為，半徑為1，故圓的方程為，故C正確；
設弧CB與弧BA的公切線方程為，根據圖象知，則，，解得，，即公切線方程為，故D不正確．
故答案為：BC．
【分析】由題意先畫出圖象，利用分割法求出面積之和即可判斷A；找到整點個數即可判斷B；
求出弧CB所在圓的圓心為，半徑為1，寫出圓的標準方程即可判斷C；設出弧CB與弧BA的公切線方程，利用點到直線距離等于半徑求出公切線方程即可判斷D.
12．【答案】1024；120
【知識點】二項式系數的性質
【解析】【解答】依題意，所有項系數和；
展開式系數最大的項為，展開式系數最大的項為，
所以系數最大項的系數為120.
故答案為：1024；120
【分析】利用賦值法計算可得所有項系數之和；確定每個二項式展開式的系數最大項的系數，即可計算出展開式中系數最大項的系數.
13．【答案】
【知識點】柱體的體積公式及應用；錐體的體積公式及應用
【解析】【解答】解：因為，分別是，的中點，所以，
又因為是AA1的中點，所以A1到底面的距離為到底面距離的2倍，
即三棱柱的高是三棱錐高的2倍，
則V1：V2=S△ADE h/S△ABC H＝.
故答案為：.
【分析】由題意，先求底面積和高的比值，再根據棱錐體積公式求解即可.
14．【答案】；
【知識點】雙曲線的簡單性質；直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【解答】當軸時，，
所以，從而，所以；
由題意知，.設直線的方程為，
聯立，整理得：
又
故
所以可知，當點在右支運動時，由漸近線方程為可知：，故.
故答案為：，
【分析】 當軸時，，由已知可得，求解可得a，從而可得e，設直線的方程為，聯立可得，可得，從而可求 的取值范圍 .
15．【答案】（1）解：由題知
，
的最小正周期；
（2）解：由于在中，三個角所對的邊分別為，，
，
，
，
，
，
在中由正弦定理得，
，
又有
，
，
，
，，
中的內角，且，
，
，
的面積.
【知識點】含三角函數的復合函數的周期；正弦定理；三角形中的幾何計算
【解析】【分析】(1)先運用輔助角公式進行化簡可得，再利用最小正周期公式即可求解；
(2)先由，求得，由用正弦定理，再將代入展開化簡即可得，故為等邊三角形，再利用，即可求解.
（1）解：由題知
，
的最小正周期；
（2）由于在中，三個角所對的邊分別為，，
，
，
，
，
，
在中由正弦定理得，
，
又有
，
，
，
，，
中的內角，且，
，
，
的面積.
16．【答案】解：（1）點與點重合，證明如下：
連接，.
因為分別是和的中點，所以.
因為平面，平面，所以平面.
因為分別是和的中點，所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以.
因為平面，平面，所以平面.
又因為，所以平面平面.
（2）以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸
建立如圖所示的空間直角坐標系.
由（1）可得二面角即.
則，，.
所以，.
因為平面平面，所以平面的法向量即平面的法向量，
設為，則.
令，則.
因為，，.
所以，.
設平面的一個法向量為.
則，
令，則.
則.
由圖易知二面角的平面角是銳角，所以余弦值為.
【知識點】直線與平面平行的判定；平面與平面平行的判定；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先連接，，利用三角形中位線得到，利線面平行的判斷定理可得平面，同理可得平面，最后利用面面平行的判斷定理即可證平面∥平面.
（2）首先以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，可得平面法向量為，平面的法向量為，再利用二面角公式計算即可求解.
17．【答案】（1）解：由題意可得；
故甲類題材中“一”出現的概率為；
（2）解：由題意在甲類題材“新聞稿”中隨機抽取2個“一”，搭配“一個”出現的概率為，
則，則，，
故的分布列為：
0 1 2
則．
（3）解：由題意知樣本語料庫中“一格”出現的概率為，甲類題材中“一個”出現的概率為，
由于，故輸入拼音“yige”時，“一個”在前面更合適．
【知識點】古典概型及其概率計算公式；二項分布
【解析】【分析】(1)結合表格數據求得a的值，根據古典概型的概率公式求甲類題材中“一”出現的概率；
(2)確定，根據二項分的概率計算求X的分布列和期望；
(3)計算樣本語料庫中“一格”和“一個”出現的概率，比較大小得出結論.
18．【答案】（1）解：設，則，
由A、B在橢圓上有，
作差得：，
易知，，
即，
所以直線的斜率為；
（2）解：假設存在直線滿足題意，不妨設其方程為，如圖所示：
設，
聯立，則，
則，
且，
則，易得，
由橢圓對稱性可設，則，
由，
所以
，
易知，
則，
即存在直線或滿足題意.
【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【分析】（1）利用點差法可得，再利用即可求解；
（2）設直線，，聯立可得，再利用弦長公式及中點坐標公式可得，再表示直線方程，根據對稱性求C、D坐標，根據弦長公式計算解方程即可求解.
（1）設，則，
由A、B在橢圓上有，
作差得：，
易知，，
即，
所以直線的斜率為；
（2）假設存在直線滿足題意，不妨設其方程為，設，
由，則，
所以，
且，
則，易得，
由橢圓對稱性可設，則，
由，
所以
，
易知，
則，
即存在直線或滿足題意.
19．【答案】（1）解：當時，，，
，所以；
（2）證明：當時，，，
，所以；
（2）
設，其中，
則，
，
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以，
因，，，
，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以為定值；
（3）解：，
若，
則，
，
故，
，
此時，不符合題意，
故，
猜想，下面給予證明，
當時，顯然成立，
假設當，時，都有成立，即，
此時，，
故，，
，符合題意，
，
則，
，
若，
的元素個數小于
的元素個數，
則有，
不符合題意，故，
綜上，對于任意的，都有，
故數列的通項公式.
【知識點】集合的含義；數列的應用
【解析】【分析】（1）利用題中的定義，列舉出，即可求解；
（2）先列舉，，，中可能元素，根據集合的互異性判斷元素個數差即可；
（3）類比（1）（2）當數列由到，為保證成立，則必有其成等差數列，故猜想，可用數學歸納法證明即可.
（1）當時，，，
，所以；
（2）設，其中，
則，
，
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以，
因，，，
，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以為定值；
（3），
若，
則，
，
故，
，
此時，不符合題意，
故，
猜想，下面給予證明，
當時，顯然成立，
假設當，時，都有成立，即，
此時，，
故，，
，符合題意，
，
則，
，
若，
的元素個數小于
的元素個數，
則有，
不符合題意，故，
綜上，對于任意的，都有，
故數列的通項公式.
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