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2024—2025學年度下學期2023級6月月考數學試卷
考試時間：2025年6月12日
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設是可導函數，且，則
A．2 B． C． D．
2．某市對機動車單雙號限行進行了調查，在參加調查的2748名有車人中有1760名持反對意見，2652名無車人中有1400名持反對意見，在運用這些數據說明“擁有車輛”與“反對機動車單雙號限行”是否相關時，用下列哪種方法最有說服力( )
A．平均數 B．方差 C．獨立性檢驗 D．回歸直線方程
3．設隨機變量X，Y滿足：，，則( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有( )
A．56種 B．68種 C．74種 D．92種
5．已知，則曲線在點處的切線方程為( )
A． B． C． D．
6．的展開式中，所有不含z的項的系數之和為
A．16 B．32 C．27 D．81
7．一只螞蟻從點A出發沿著水平面的網格線爬行到點B，再由點B沿著長方體的棱爬行至頂點C處，則它可以爬行的不同最短路徑條數有
A．40 B．60
C．80 D．120
8．已知，，，則a，b，c的大小關系為( )
A． B． C． D．
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9．陽山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培歷史，產于中國著名桃鄉江蘇無錫陽山鎮．水蜜桃果形大、色澤美，皮韌易剝、香氣濃郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美譽，陽山水蜜桃早桃品種5月底開始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也將大量上市．已知甲、乙兩個品種的陽山水蜜桃的質量單位：斤分別服從正態分布，，其正態分布的密度曲線如圖所示則下列說法正確的是
A．乙品種水蜜桃的平均質量
B．甲品種水蜜桃的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲品種水蜜桃的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙品種水蜜桃的質量服從的正態分布的參數
10．下列結論中正確的是( )
A． B．
C． D．
11．如圖，數軸上的點A，B分別對應實數2，，質點從原點O出發，每次隨機地向左或向右移動1個單位長度，移動了4次．以下結論正確的是( )
A．質點移動過程中每次離點O的距離都不超過1個單位長度的概率為
B．質點最終移動到點A的概率為
C．質點在經過點A的條件下，最終回到點O的概率為
D．質點在經過點B的條件下，最終回到點O的概率為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．某班教室一排有6個座位，如果每個座位只能坐1人，現安排三人就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有 種用數字作答
13．在A，B，C三個地區暴發了流感，這三個地區分別有，，人患了流感．假設這三個地區的人口數的比為，現從這三個地區中任取一人，則這個人患流感的概率是 ;如果此人患流感，此人選自A地區的概率 ．
14．切比雪夫不等式是19世紀俄國數學家切比雪夫在研究統計規律時發現的，其內容是：對于任一隨機變量X，若其數學期望和方差均存在，則對任意正實數，有根據該不等式可以對事件的概率作出估計．在數字通信中，信號是由數字“0”和“1”組成的序列，現連續發射信號n次，每次發射信號“0”和“1”是等可能的．記發射信號“1”的次數為隨機變量X，為了至少有的把握使發射信號“1”的頻率在區間內，估計信號發射次數n的值至少為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．本小題13分已知一道數學多項選擇題有4個選項，其中有3個是正確選項，每選對1個得2分，全選對得滿分6分，但是有選錯的得0分．學生甲對這4個選項都無法判斷是否正確，故其只能猜答案．他有3個方案：猜1個選項猜2個選項猜3個選項．若甲猜每一個選項都是等可能的，請你根據得分期望的大小幫他確定哪一個方案最好．
16．本小題15分紅旗淀粉廠2024年之前只生產食品淀粉，下表為年投入資金萬元與年收益萬元的8組數據：
x 10 20 30 40 50 60 70 80
y 19 23
（1）用模擬生產食品淀粉年收益y與年投入資金x的關系，求出回歸方程；
（2）為響應國家“加快調整產業結構”的號召，該企業又自主研發出一種藥用淀粉，預計其收益為投入的年該企業計劃投入200萬元用于生產兩種淀粉，求年收益的最大值精確到萬元
附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
②
161 29 20400 109 603
③，
17．本小題15分設函數，a，，若曲線在點處的切線方程為
（1）求a，b的值；
（2）若關于x的不等式只有唯一實數解，求實數m的值．
18．本小題17分如圖，在一次傳球訓練中，甲、乙、丙、丁四人按照逆時針依次站在一個正方形的四個頂點處．每次傳球時，傳球者將球傳給其他三人中的一個．已知第1次由甲將球傳出，且每次傳球者沿著正方形的邊傳給隊友的概率為，沿著正方形的對角線傳給隊友的概率為
（1）求第3次傳球者為乙的概率；
（2）記前3次傳球中丙的傳球次數為X，求X的概率分布列及方差；
（3）求第n次傳球者為丁的概率．
19．本小題17分已知函數
（1）若函數存在單調遞減區間，求實數b的取值范圍；
（2）設是函數的兩個極值點，證明：
高二6月月考數學答案和解析
1．【答案】B
【解答】
解：，
故選
2．【答案】C
【解答】解：在檢驗兩個變量是否相關時，
最有說服力的方法是獨立性檢驗，
故選
3．【答案】A
解：因為，
則，
又，
所以
故選：
4．【答案】D
解：設只會劃左舷的3人，只會劃右舷的4人，既會劃左舷又會劃右舷的2人
先分類：以A為標準，劃左舷的3人中．
①A中有3人，劃右舷的在中選取，有種；
②A中有2人，C中有1人，劃右舷的在中剩下的人中選取，有種；
③A中有1人，C中有2人，劃右舷的在中剩下的人中選取，有種，
所以共有種，
故選：
5．【答案】B
【解析】解：由于，
則令，可得，
解得，
由，
可得，
令，可得，
解得，
所以曲線在點處的切線方程為，
即
故選：
6．【答案】D
解：由二項式定理知：的展開式的通項為，
若展開式中的項不含z，則，
此時符合條件的項為展開式中的所有項，
令，，
所以的展開式中所有不含z的項的系數之和為
故選
7．【答案】B
解：由題意，從A到B最短路徑有條，
由點B沿著置于水平面的長方體的棱爬行至頂點C，最短路徑有條，
它可以爬行的不同的最短路徑有條
故選
8．【答案】D
【解析】解：，，，
設，則，所以在上單調遞增，
則，所以，
則a，b，c的大小關系為
故選：
9．【答案】ABC
解：對于選項A：，故A對；
對于選項B：甲圖像相對乙更高瘦，故B對；
對于選項C：，故C對；
對于選項D：乙圖像的最高點為，故對稱軸時取值為，所以，故D錯．
故選
10．【答案】BCD
解：由二項式定理得：，
令得，，
，故A錯誤；
由二項式定理得：，
令得，，即，
令得，，
，
故B正確；
當且時，由等比數列的求和公式得：
，
根據等號左右兩邊的展開式中的系數相等，
利用二項式定理得到，故C正確；
由于，
，
根據恒等式等號左右兩邊的展開式中的系數相等，
利用二項式定理得，
，故D正確．
故選
11．【答案】ABD
【解析】解：選項每次從點O離開，下次必須回到點O，概率為，選項A正確;
選項質點最終移動到點A的概率為，選項B正確;
選項C，由A，B兩點關于點O對稱可知兩個選項的答案相同，
記質點經過點A或點B為事件M，質點最終回到點O為事件N，求條件概率，
從而選項C錯誤，選項D正確，
故選：
12．【答案】72
解：可看成3個坐著人的座位和3個空座位排隊，
因為恰有兩個空座位相鄰，故和另外兩個空座位均不相鄰，
先安排3個坐著人的座位，共有種坐法，
產生4個空，然后安排空座位到空中，相鄰的兩個空座位捆在一起，看作一個元素，有種坐法，
然后再從剩余的3個空中選擇兩個將空座位安上，因為空座位相同，所以只需要選出1個空位即可，有種坐法，
所以共有種坐法．
故答案為
13．【答案】 ；
【解答】解：設“任取一人，此人患流感”，“此人來自A地區”，“此人來自B地區”，“此人來自C地區”，
，且，，互斥，根據題意有，，，
，，，
根據全概率公式有
由貝葉斯公式有
14．【答案】1250
【解答】
解：由題意知，所以，，
若，則，
即，即，
由切比雪夫不等式可知 ，
要使得至少有的把握使發射信號“1”的頻率在區間內，
則，解，
所以估計信號發射次數n的最小值為
故答案為
15．【答案】解：設方案，，的得分分別為隨機變量X，Y，Z，
方案：X的所有可能取值為0，2，
，
，
則，
方案：Y的所有可能取值為0，4，
，
，
則，
方案：Z的所有可能取值為0，6，
，
，
則，
，
選擇方案最好．
16．【答案】解：有題意得
，
，
所以回歸方程為；
設投入x萬元生產食品淀粉，萬元生產藥用淀粉，
所以
，
設，
則，
易得在上單調遞增，
上單調遞減，
所以
，
又因為，
所以年收益最大值約為萬元．
17．【答案】解：由題意得，
所以，
又，
解得
由可得，，
令，解得，
當時，，則為增函數，
當時，，則為減函數，
所以，
所以，
則只有唯一實數解，整理可得，
令，，
則，
因為，
所以恒成立，
令，解得，
當時，，則為減函數，
當時，，則為增函數，
所以，
因為只有唯一實數解使得成立，所以
所以關于x的不等式只有唯一實數解，實數 m的值為
18．【答案】解：甲丙乙的概率為：，
甲丁乙的概率為：，
記事件“第3次傳球者為乙”，則
的可能取值為：0，1，
，
，
所以X的概率分布列為
x 0 1
P
設第n次傳球者為甲的概率為，第n次傳球者為丁的概率為，
則，因為乙和丁相對于甲，地位是相等的，所以第n次傳球者為乙的概率也為，
第n次傳球者為丙的概率也為，
因為，
所以，因為，
所以是以為首項，為公比的等比數列，
所以，
即
19．【答案】解： ，
函數 存在單調遞減區間， 在 上有解，
，設 ，則 ，
當 時，顯然 在 上有解；
當 時， ， ，設兩個根分別為，
由韋達定理知 ， ，所以必有一個正根，滿足條件．
當 時，有 ，解得 ，綜上： ．
由題意可知， ，
有兩個極值點 ， 是 的兩個根，則 ，

，
要證 ，即證 ，
即證 ，即證 ，即證 ，
令 ，則證明 ，
令 ，則 ， 在 上單調遞增，
則 ，即 ， 所以原不等式 成立．

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