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廣東省湛江市2025屆高三下學(xué)期普通高考測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試題
1．（2025·湛江模擬）已知集合，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由題意可得：，
所以．
故答案為：A.
【分析】根據(jù)題意結(jié)合一元一次不等式求解方法和一元二次不等式求解方法，從而得出集合，再結(jié)合并集的運(yùn)算法則得出集合.
2．（2025·湛江模擬）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【解析】【解答】解：由，
得，
則，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
故答案為：B.
【分析】先求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，再根據(jù)代入法得出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式得出曲線在點(diǎn)處的切線方程.
3．（2025·湛江模擬）已知向量滿足，且，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；平面向量垂直的坐標(biāo)表示
【解析】【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
解得．
故答案為：A.
【分析】根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的運(yùn)算律以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得出實(shí)數(shù)的值.
4．（2025·湛江模擬）某林業(yè)科學(xué)院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種草莓10000個(gè)，估計(jì)其中單果質(zhì)量超過的草莓有（　　）
附：若，則．
A．228個(gè) B．456個(gè) C．1587個(gè) D．3174個(gè)
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)
【解析】【解答】解：由，可知，
則，
所以，其中單果質(zhì)量超過的草莓約有個(gè)．
故答案為：C.
【分析】根據(jù)正態(tài)分布得出期望和方差，結(jié)合正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的概率密度曲線的圖象的對(duì)稱性，從而得出的值，再根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量的公式，從而估計(jì)出其中單果質(zhì)量超過的草莓個(gè)數(shù).
5．（2025·湛江模擬）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合
【解析】【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以在上單調(diào)遞增，且．
又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，且．
由，
可得或，
解得或．
所以的解集為.
故答案為：B.
【分析】利用奇函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性定義和函數(shù)的零點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化待求不等式為或，進(jìn)而求解不等式得出不等式的解集.
6．（2025·湛江模擬）已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系
【解析】【解答】解：設(shè)，，
則，整理得，
因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
則，可得.
故答案為：D.
【分析】設(shè)，，利用代入法得出，再利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，從而列方程得出p的值.
7．（2025·湛江模擬）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)；輔助角公式
【解析】【解答】解：因?yàn)椋?br/>其中，且為銳角，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以，
則的最大值為，此時(shí)．
故答案為：D.
【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性和集合間的包含關(guān)系，從而得出的最大值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式得出此時(shí)的的值.
8．（2025·湛江模擬）已知正方體的棱長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與正方體的表面的交線總長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】圓錐曲線的軌跡問題；旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征
【解析】【解答】解：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，
則表面上的點(diǎn)到點(diǎn)A的最大距離為，
所以，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與這三個(gè)表面沒有公共點(diǎn)．
如圖，若球面與表面的公共點(diǎn)為P，
因?yàn)椋瑒t，
由，可得，
同理可得，則，
可知P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，2為半徑的圓與表面的交線都是圓心角為，
半徑為2的圓弧，
同理可得球面與表面的交線也都是圓心角為，半徑為2的圓弧，
所以交線總長(zhǎng)為．
故答案為：B.
【分析】根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系分析可知球面與表面沒有公共點(diǎn)，且與表面，的交線都是圓心角為，半徑為2的圓弧，從而得出以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與正方體的表面的交線總長(zhǎng).
9．（2025·湛江模擬）已知復(fù)數(shù)，則下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
【解析】【解答】解：因?yàn)椋?br/>則，
所以，
則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是，，.
故答案為：BCD．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合純虛數(shù)的定義，從而找出復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的選項(xiàng).
10．（2025·湛江模擬）已知銳角三角形的內(nèi)角分別為，，，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式二~六；利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小
【解析】【解答】解：因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，
則，
所以，故選項(xiàng)A正確；
由，得，
則，
則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
由，可得，
則當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由，得，
則，
則，故選項(xiàng)D正確.
故答案為：AD.
【分析】根據(jù)三角形中內(nèi)角的取值范圍結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性，從而逐項(xiàng)判斷找出正確的選項(xiàng).
11．（2025·湛江模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P在直線上的射影為點(diǎn)Q，且．記P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．C關(guān)于直線l對(duì)稱
B．C上存在點(diǎn)，使得
C．的最小值為
D．若C與兩條坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的面積為S，則
【答案】A,B,D
【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的軌跡問題
【解析】【解答】解：設(shè)，則，
由，得，
所以．關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為，
也滿足方程，
則曲線C關(guān)于直線l對(duì)稱，故A正確；
顯然點(diǎn)在C上，且滿足，故B正確；
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，整理得，
則，故C不正確；
記曲線C在第一象限內(nèi)的部分為曲線D，
設(shè)為曲線D上任意一點(diǎn)，則，
由，得，則，
所以，點(diǎn)B在直線的上方或在的下方（不重合），
則，
假設(shè)，
由，可得，
則，
則，
則，這與假設(shè)矛盾，
所以，曲線D在直線的上方，
則，
所以，故D正確．
故答案為：ABD.
【分析】設(shè)，通過得到軌跡方程，則判斷出選項(xiàng)A；由判斷出選項(xiàng)B；由可判斷選項(xiàng)C；記曲線C在第一象限內(nèi)的部分為曲線D，設(shè)為D上任意一點(diǎn)，則，從而得到，再通過假設(shè)推出，從而得到矛盾，進(jìn)而判斷出選項(xiàng)D，則找出結(jié)論正確的選項(xiàng).
12．（2025·湛江模擬）已知雙曲線的離心率為，則　 　．
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
【解析】【解答】解：由雙曲線，
得，
所以
則雙曲線C的離心率為，
所以，
解得.
故答案為：.
【分析】利用雙曲線方程中三者的關(guān)系式結(jié)合雙曲線的離心率公式，從而列式計(jì)算得出實(shí)數(shù)的值.
13．（2025·湛江模擬）4名醫(yī)生和2名護(hù)士站成一排，要求2名護(hù)士不相鄰，且醫(yī)生甲不站在隊(duì)伍的最左端，則不同的站法共有　 　種．
【答案】408
【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用
【解析】【解答】解：若醫(yī)生甲不站在醫(yī)生的最左端則有種不同的站法，
若醫(yī)生甲站在醫(yī)生的最左端，
則種不同的站法，
所以，不同的站法共有種．
故答案為：408.
【分析】先排醫(yī)生，分為醫(yī)生甲不站在醫(yī)生的最左端和醫(yī)生甲站在醫(yī)生的最左端兩類，再將2名護(hù)士插空，利用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理，從而得出不同的站法種數(shù).
14．（2025·湛江模擬）將數(shù)列與中所有的項(xiàng)去掉它們的公共項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)從小到大排序得到數(shù)列，則　 　，的前202項(xiàng)和為　 　．
【答案】14；49609
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；數(shù)列的求和
【解析】【解答】解：因?yàn)榕c的公共項(xiàng)為，去掉它們的公共項(xiàng)后，
剩余的項(xiàng)從小到大排序?yàn)?，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，
所以，且每?jī)蓚€(gè)相鄰的公共項(xiàng)之間有5項(xiàng)，
分別求和，則，，
，…，
可以得出這5項(xiàng)的和為一項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列是首項(xiàng)為70，公差為60的等差數(shù)列，
因?yàn)椋?br/>所以的前202項(xiàng)和為．
故答案為：14，49600.
【分析】利用與的公共項(xiàng)為，去掉它們的公共項(xiàng)后，從而得到的值，再利用兩個(gè)相鄰的公共項(xiàng)之間有5項(xiàng)，其和可以構(gòu)成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，從而得出數(shù)列的前202項(xiàng)的和.
15．（2025·湛江模擬）為了研究觀眾對(duì)某檔節(jié)目的喜愛情況與性別的關(guān)聯(lián)性，分別調(diào)查了該檔節(jié)目男、女觀眾各100人，發(fā)現(xiàn)共有70名觀眾喜愛該檔節(jié)目，且不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)是喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)的2倍．
（1）根據(jù)題中信息，完成下面列聯(lián)表；
單位：人
性別 喜愛情況 合計(jì)
喜愛 不喜愛
男 　 　 　
女 　 　 　
合計(jì) 　 　 　
（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別有關(guān)？
附：．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）解：設(shè)喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)為x，
則喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為，不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為， 則，
得，
故列聯(lián)表完成如下： 單位：人
性別 喜愛情況 合計(jì)
喜愛 不喜愛
男 30 70 100
女 40 60 100
合計(jì) 70 130 200
（2）解：零假設(shè)為：觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)，
根據(jù)（1）中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：，
根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，則認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)．
【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；2×2列聯(lián)表
【解析】【分析】（1）利用分類統(tǒng)計(jì)的方法，從而可得列聯(lián)表.
（2）利用已知條件和獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，從而認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān).
（1）設(shè)喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)為x，則喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為，不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為， 則，得．
故列聯(lián)表完成如下．
單位：人
性別 喜愛情況 合計(jì)
喜愛 不喜愛
男 30 70 100
女 40 60 100
合計(jì) 70 130 200
（2）零假設(shè)為：觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)．
根據(jù)（1）中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．
根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)．
16．（2025·湛江模擬）如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形是正方形，平面為的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明：連接，記的中點(diǎn)為G，連接，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以，
由是正三角形，四邊形是正方形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，
易得，則，
因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，
所以．
（2）解：記的中點(diǎn)為O，連接，則，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，
過點(diǎn)O且與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
不妨令，
則，
．
設(shè)平面的法向量為，
由
得
令，得，
則．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以，直線與平面所成的角正弦值為.
【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角
【解析】【分析】（1）連接，記的中點(diǎn)為G，連接， 證明，，進(jìn)而證明線面垂直，得到線線垂直；
（2）記的中點(diǎn)為O，連接，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過點(diǎn)O且與平行的直線為z軸，不妨令，得出平面的法向量，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式和誘導(dǎo)公式，從而得出直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：連接，記的中點(diǎn)為G，連接．
因?yàn)槠矫妫裕?br/>由是正三角形，四邊形是正方形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，
易得，則．
因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以．
又，所以．
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，
從而．
（2）記的中點(diǎn)為O，連接，則．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過點(diǎn)O且與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
不妨令，則，
．
設(shè)平面的法向量為，由得
令，得，則．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則．
故直線與平面所成的角正弦值為.
17．（2025·湛江模擬）已知函數(shù)．
（1）若，求的極值；
（2）若，討論的單調(diào)性．
【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br/>則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值．
（2）解：由，
得
令，
得或，
若，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
若，則，
當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
若，
則在上恒成立，
所以單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為和；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的極值.
（2）利用已知條件，分類討論在不同取值范圍時(shí)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而討論出函數(shù)的單調(diào)性.
（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br/>則．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
故當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值．
（2）由，
得．
令，得或．
若，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
若，則，
當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
若，則在上恒成立，單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．
18．（2025·湛江模擬）已知，若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則稱為“上界m數(shù)列”．
（1）若，判斷數(shù)列是否為“上界1數(shù)列”，并說明理由；
（2）若數(shù)列是“上界m數(shù)列”，求m的最小值；
（3）若，且．證明：數(shù)列是“上界1數(shù)列”．
【答案】（1）解：由題可知，，
因?yàn)椋?br/>所以，
則，
則，
所以，數(shù)列不是“上界1數(shù)列”．
（2）解：因?yàn)椋?br/>又因?yàn)閿?shù)列是“上界m數(shù)列”，
所以恒成立，
又因?yàn)椋?br/>所以，
則m的最小值為2．
（3）證明：因?yàn)椋?br/>所以，，
則，
所以，
要證數(shù)列是“上界1數(shù)列”，需證，
當(dāng)時(shí)，由，
得，
當(dāng)時(shí)，
由，
得，
則，
整理得，
則，
則，
則．
因?yàn)椋裕?br/>則，
則，
所以，
所以數(shù)列是“上界1數(shù)列”．
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；數(shù)列與不等式的綜合
【解析】【分析】（1）利用求出，利用，和不等式的基本性質(zhì)得出，再利用“上界m數(shù)列”定義判斷出數(shù)列不是“上界1數(shù)列”．
（2）根據(jù)為“上界m數(shù)列”的定義得出恒成立，再結(jié)合不等式恒成立問題求解方法，從而得出實(shí)數(shù)m的取值范圍，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)m的最小值.
（3）由已知條件可得，要證數(shù)列是“上界1數(shù)列”，需證，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，由可得，由裂項(xiàng)相消法求和可得，可得，從而證出數(shù)列是“上界1數(shù)列”.
（1）由題可知，，
因?yàn)椋裕?br/>則，則，從而不是“上界1數(shù)列”．
（2）因?yàn)椋?br/>又?jǐn)?shù)列是“上界m數(shù)列”，所以恒成立．
又，
所以，即m的最小值為2．
（3）因?yàn)椋裕?br/>，則，從而．
要證數(shù)列是“上界1數(shù)列”，需證，
當(dāng)時(shí)，由，得．
當(dāng)時(shí)，由，得，則，
整理得，
則，
則，即．
因?yàn)椋裕瑒t，
則，從而，
所以數(shù)列是“上界1數(shù)列”．
19．（2025·湛江模擬）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，且．
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N，C的左頂點(diǎn)為D．
（i）求面積的最大值；
（ii）若的外心為M，直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）解：由，
整理得，
則該圓是以為圓心，6為半徑的圓，
因?yàn)镻是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，
且，
所以，
則，解得．
由題意可知，則，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解：（i）當(dāng)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，
重合，此時(shí)不存在，不合要求；
當(dāng)點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，重合，此時(shí)不存在，不合要求，
則直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立
整理得，
則
則線段的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
設(shè)的面積為S，
則，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
則面積的最大值為．
（ii）為定值9，理由如下：
設(shè)，顯然為外接圓圓心，
故可設(shè)外接圓的方程為，
因?yàn)樵谕饨訄A上，
所以，
則，
故外接圓的方程為，
聯(lián)立，
整理得， 則，
因?yàn)椋?br/>所以，
解得，
則，為定值．
【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【分析】（1）根據(jù)得到的值，再利用，則，從而得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）（i）設(shè)出直線方程，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到兩根之和和兩根之積，從而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式表達(dá)出三角形的面積為，結(jié)合基本不等式求最值的方法，從而求出的最大值.
（ii）設(shè)外接圓的方程為，代入可得，聯(lián)立直線方程和外接圓方程，再利用韋達(dá)定理得到兩根之和和兩根之積，結(jié)合（i）可得方程，從而求出，進(jìn)而求出，即判斷出為定值．
（1）由，整理得，則該圓是以為圓心，6為半徑的圓．
因?yàn)镻是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，且，
所以，即，解得．
由題可知，則，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）（i）當(dāng)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，重合，此時(shí)不存在，不合要求，
當(dāng)點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，重合，此時(shí)不存在，不合要求，
直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立整理得，
則，
則線段的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
設(shè)的面積為S，則．
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即面積的最大值為．
（ii）為定值9，理由如下：
設(shè)，顯然為外接圓圓心，
故可設(shè)外接圓的方程為．
因?yàn)樵谕饨訄A上，所以，故，
故外接圓的方程為．
聯(lián)立，整理得
，
則．
因?yàn)椋?br/>故，
解得．
故，為定值．
1 / 1廣東省湛江市2025屆高三下學(xué)期普通高考測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試題
1．（2025·湛江模擬）已知集合，則（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·湛江模擬）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·湛江模擬）已知向量滿足，且，則（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·湛江模擬）某林業(yè)科學(xué)院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種草莓10000個(gè)，估計(jì)其中單果質(zhì)量超過的草莓有（　　）
附：若，則．
A．228個(gè) B．456個(gè) C．1587個(gè) D．3174個(gè)
5．（2025·湛江模擬）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·湛江模擬）已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·湛江模擬）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·湛江模擬）已知正方體的棱長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與正方體的表面的交線總長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·湛江模擬）已知復(fù)數(shù)，則下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·湛江模擬）已知銳角三角形的內(nèi)角分別為，，，則（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·湛江模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P在直線上的射影為點(diǎn)Q，且．記P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．C關(guān)于直線l對(duì)稱
B．C上存在點(diǎn)，使得
C．的最小值為
D．若C與兩條坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的面積為S，則
12．（2025·湛江模擬）已知雙曲線的離心率為，則　 　．
13．（2025·湛江模擬）4名醫(yī)生和2名護(hù)士站成一排，要求2名護(hù)士不相鄰，且醫(yī)生甲不站在隊(duì)伍的最左端，則不同的站法共有　 　種．
14．（2025·湛江模擬）將數(shù)列與中所有的項(xiàng)去掉它們的公共項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)從小到大排序得到數(shù)列，則　 　，的前202項(xiàng)和為　 　．
15．（2025·湛江模擬）為了研究觀眾對(duì)某檔節(jié)目的喜愛情況與性別的關(guān)聯(lián)性，分別調(diào)查了該檔節(jié)目男、女觀眾各100人，發(fā)現(xiàn)共有70名觀眾喜愛該檔節(jié)目，且不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)是喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)的2倍．
（1）根據(jù)題中信息，完成下面列聯(lián)表；
單位：人
性別 喜愛情況 合計(jì)
喜愛 不喜愛
男 　 　 　
女 　 　 　
合計(jì) 　 　 　
（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別有關(guān)？
附：．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．（2025·湛江模擬）如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形是正方形，平面為的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
17．（2025·湛江模擬）已知函數(shù)．
（1）若，求的極值；
（2）若，討論的單調(diào)性．
18．（2025·湛江模擬）已知，若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則稱為“上界m數(shù)列”．
（1）若，判斷數(shù)列是否為“上界1數(shù)列”，并說明理由；
（2）若數(shù)列是“上界m數(shù)列”，求m的最小值；
（3）若，且．證明：數(shù)列是“上界1數(shù)列”．
19．（2025·湛江模擬）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，且．
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N，C的左頂點(diǎn)為D．
（i）求面積的最大值；
（ii）若的外心為M，直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由題意可得：，
所以．
故答案為：A.
【分析】根據(jù)題意結(jié)合一元一次不等式求解方法和一元二次不等式求解方法，從而得出集合，再結(jié)合并集的運(yùn)算法則得出集合.
2．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【解析】【解答】解：由，
得，
則，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
故答案為：B.
【分析】先求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，再根據(jù)代入法得出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式得出曲線在點(diǎn)處的切線方程.
3．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；平面向量垂直的坐標(biāo)表示
【解析】【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
解得．
故答案為：A.
【分析】根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的運(yùn)算律以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得出實(shí)數(shù)的值.
4．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)
【解析】【解答】解：由，可知，
則，
所以，其中單果質(zhì)量超過的草莓約有個(gè)．
故答案為：C.
【分析】根據(jù)正態(tài)分布得出期望和方差，結(jié)合正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的概率密度曲線的圖象的對(duì)稱性，從而得出的值，再根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量的公式，從而估計(jì)出其中單果質(zhì)量超過的草莓個(gè)數(shù).
5．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合
【解析】【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以在上單調(diào)遞增，且．
又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，且．
由，
可得或，
解得或．
所以的解集為.
故答案為：B.
【分析】利用奇函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性定義和函數(shù)的零點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化待求不等式為或，進(jìn)而求解不等式得出不等式的解集.
6．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系
【解析】【解答】解：設(shè)，，
則，整理得，
因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
則，可得.
故答案為：D.
【分析】設(shè)，，利用代入法得出，再利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，從而列方程得出p的值.
7．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)；輔助角公式
【解析】【解答】解：因?yàn)椋?br/>其中，且為銳角，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以，
則的最大值為，此時(shí)．
故答案為：D.
【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性和集合間的包含關(guān)系，從而得出的最大值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式得出此時(shí)的的值.
8．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】圓錐曲線的軌跡問題；旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺(tái)/球）的結(jié)構(gòu)特征
【解析】【解答】解：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，
則表面上的點(diǎn)到點(diǎn)A的最大距離為，
所以，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與這三個(gè)表面沒有公共點(diǎn)．
如圖，若球面與表面的公共點(diǎn)為P，
因?yàn)椋瑒t，
由，可得，
同理可得，則，
可知P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，2為半徑的圓與表面的交線都是圓心角為，
半徑為2的圓弧，
同理可得球面與表面的交線也都是圓心角為，半徑為2的圓弧，
所以交線總長(zhǎng)為．
故答案為：B.
【分析】根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系分析可知球面與表面沒有公共點(diǎn)，且與表面，的交線都是圓心角為，半徑為2的圓弧，從而得出以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與正方體的表面的交線總長(zhǎng).
9．【答案】B,C,D
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
【解析】【解答】解：因?yàn)椋?br/>則，
所以，
則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是，，.
故答案為：BCD．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合純虛數(shù)的定義，從而找出復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的選項(xiàng).
10．【答案】A,D
【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式二~六；利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小
【解析】【解答】解：因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，
則，
所以，故選項(xiàng)A正確；
由，得，
則，
則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
由，可得，
則當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由，得，
則，
則，故選項(xiàng)D正確.
故答案為：AD.
【分析】根據(jù)三角形中內(nèi)角的取值范圍結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性，從而逐項(xiàng)判斷找出正確的選項(xiàng).
11．【答案】A,B,D
【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的軌跡問題
【解析】【解答】解：設(shè)，則，
由，得，
所以．關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為，
也滿足方程，
則曲線C關(guān)于直線l對(duì)稱，故A正確；
顯然點(diǎn)在C上，且滿足，故B正確；
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，整理得，
則，故C不正確；
記曲線C在第一象限內(nèi)的部分為曲線D，
設(shè)為曲線D上任意一點(diǎn)，則，
由，得，則，
所以，點(diǎn)B在直線的上方或在的下方（不重合），
則，
假設(shè)，
由，可得，
則，
則，
則，這與假設(shè)矛盾，
所以，曲線D在直線的上方，
則，
所以，故D正確．
故答案為：ABD.
【分析】設(shè)，通過得到軌跡方程，則判斷出選項(xiàng)A；由判斷出選項(xiàng)B；由可判斷選項(xiàng)C；記曲線C在第一象限內(nèi)的部分為曲線D，設(shè)為D上任意一點(diǎn)，則，從而得到，再通過假設(shè)推出，從而得到矛盾，進(jìn)而判斷出選項(xiàng)D，則找出結(jié)論正確的選項(xiàng).
12．【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
【解析】【解答】解：由雙曲線，
得，
所以
則雙曲線C的離心率為，
所以，
解得.
故答案為：.
【分析】利用雙曲線方程中三者的關(guān)系式結(jié)合雙曲線的離心率公式，從而列式計(jì)算得出實(shí)數(shù)的值.
13．【答案】408
【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用
【解析】【解答】解：若醫(yī)生甲不站在醫(yī)生的最左端則有種不同的站法，
若醫(yī)生甲站在醫(yī)生的最左端，
則種不同的站法，
所以，不同的站法共有種．
故答案為：408.
【分析】先排醫(yī)生，分為醫(yī)生甲不站在醫(yī)生的最左端和醫(yī)生甲站在醫(yī)生的最左端兩類，再將2名護(hù)士插空，利用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理，從而得出不同的站法種數(shù).
14．【答案】14；49609
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；數(shù)列的求和
【解析】【解答】解：因?yàn)榕c的公共項(xiàng)為，去掉它們的公共項(xiàng)后，
剩余的項(xiàng)從小到大排序?yàn)?，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，
所以，且每?jī)蓚€(gè)相鄰的公共項(xiàng)之間有5項(xiàng)，
分別求和，則，，
，…，
可以得出這5項(xiàng)的和為一項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列是首項(xiàng)為70，公差為60的等差數(shù)列，
因?yàn)椋?br/>所以的前202項(xiàng)和為．
故答案為：14，49600.
【分析】利用與的公共項(xiàng)為，去掉它們的公共項(xiàng)后，從而得到的值，再利用兩個(gè)相鄰的公共項(xiàng)之間有5項(xiàng)，其和可以構(gòu)成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，從而得出數(shù)列的前202項(xiàng)的和.
15．【答案】（1）解：設(shè)喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)為x，
則喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為，不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為， 則，
得，
故列聯(lián)表完成如下： 單位：人
性別 喜愛情況 合計(jì)
喜愛 不喜愛
男 30 70 100
女 40 60 100
合計(jì) 70 130 200
（2）解：零假設(shè)為：觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)，
根據(jù)（1）中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：，
根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，則認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)．
【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；2×2列聯(lián)表
【解析】【分析】（1）利用分類統(tǒng)計(jì)的方法，從而可得列聯(lián)表.
（2）利用已知條件和獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，從而認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān).
（1）設(shè)喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)為x，則喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為，不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為， 則，得．
故列聯(lián)表完成如下．
單位：人
性別 喜愛情況 合計(jì)
喜愛 不喜愛
男 30 70 100
女 40 60 100
合計(jì) 70 130 200
（2）零假設(shè)為：觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)．
根據(jù)（1）中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．
根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)．
16．【答案】（1）證明：連接，記的中點(diǎn)為G，連接，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以，
由是正三角形，四邊形是正方形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，
易得，則，
因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，
所以．
（2）解：記的中點(diǎn)為O，連接，則，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，
過點(diǎn)O且與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
不妨令，
則，
．
設(shè)平面的法向量為，
由
得
令，得，
則．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以，直線與平面所成的角正弦值為.
【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角
【解析】【分析】（1）連接，記的中點(diǎn)為G，連接， 證明，，進(jìn)而證明線面垂直，得到線線垂直；
（2）記的中點(diǎn)為O，連接，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過點(diǎn)O且與平行的直線為z軸，不妨令，得出平面的法向量，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式和誘導(dǎo)公式，從而得出直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：連接，記的中點(diǎn)為G，連接．
因?yàn)槠矫妫裕?br/>由是正三角形，四邊形是正方形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，
易得，則．
因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以．
又，所以．
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，
從而．
（2）記的中點(diǎn)為O，連接，則．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過點(diǎn)O且與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
不妨令，則，
．
設(shè)平面的法向量為，由得
令，得，則．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則．
故直線與平面所成的角正弦值為.
17．【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br/>則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值．
（2）解：由，
得
令，
得或，
若，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
若，則，
當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
若，
則在上恒成立，
所以單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為和；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的極值.
（2）利用已知條件，分類討論在不同取值范圍時(shí)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而討論出函數(shù)的單調(diào)性.
（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br/>則．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
故當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值．
（2）由，
得．
令，得或．
若，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
若，則，
當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
若，則在上恒成立，單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．
18．【答案】（1）解：由題可知，，
因?yàn)椋?br/>所以，
則，
則，
所以，數(shù)列不是“上界1數(shù)列”．
（2）解：因?yàn)椋?br/>又因?yàn)閿?shù)列是“上界m數(shù)列”，
所以恒成立，
又因?yàn)椋?br/>所以，
則m的最小值為2．
（3）證明：因?yàn)椋?br/>所以，，
則，
所以，
要證數(shù)列是“上界1數(shù)列”，需證，
當(dāng)時(shí)，由，
得，
當(dāng)時(shí)，
由，
得，
則，
整理得，
則，
則，
則．
因?yàn)椋裕?br/>則，
則，
所以，
所以數(shù)列是“上界1數(shù)列”．
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；數(shù)列與不等式的綜合
【解析】【分析】（1）利用求出，利用，和不等式的基本性質(zhì)得出，再利用“上界m數(shù)列”定義判斷出數(shù)列不是“上界1數(shù)列”．
（2）根據(jù)為“上界m數(shù)列”的定義得出恒成立，再結(jié)合不等式恒成立問題求解方法，從而得出實(shí)數(shù)m的取值范圍，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)m的最小值.
（3）由已知條件可得，要證數(shù)列是“上界1數(shù)列”，需證，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，由可得，由裂項(xiàng)相消法求和可得，可得，從而證出數(shù)列是“上界1數(shù)列”.
（1）由題可知，，
因?yàn)椋裕?br/>則，則，從而不是“上界1數(shù)列”．
（2）因?yàn)椋?br/>又?jǐn)?shù)列是“上界m數(shù)列”，所以恒成立．
又，
所以，即m的最小值為2．
（3）因?yàn)椋裕?br/>，則，從而．
要證數(shù)列是“上界1數(shù)列”，需證，
當(dāng)時(shí)，由，得．
當(dāng)時(shí)，由，得，則，
整理得，
則，
則，即．
因?yàn)椋裕瑒t，
則，從而，
所以數(shù)列是“上界1數(shù)列”．
19．【答案】（1）解：由，
整理得，
則該圓是以為圓心，6為半徑的圓，
因?yàn)镻是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，
且，
所以，
則，解得．
由題意可知，則，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解：（i）當(dāng)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，
重合，此時(shí)不存在，不合要求；
當(dāng)點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，重合，此時(shí)不存在，不合要求，
則直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立
整理得，
則
則線段的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
設(shè)的面積為S，
則，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
則面積的最大值為．
（ii）為定值9，理由如下：
設(shè)，顯然為外接圓圓心，
故可設(shè)外接圓的方程為，
因?yàn)樵谕饨訄A上，
所以，
則，
故外接圓的方程為，
聯(lián)立，
整理得， 則，
因?yàn)椋?br/>所以，
解得，
則，為定值．
【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【分析】（1）根據(jù)得到的值，再利用，則，從而得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）（i）設(shè)出直線方程，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到兩根之和和兩根之積，從而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式表達(dá)出三角形的面積為，結(jié)合基本不等式求最值的方法，從而求出的最大值.
（ii）設(shè)外接圓的方程為，代入可得，聯(lián)立直線方程和外接圓方程，再利用韋達(dá)定理得到兩根之和和兩根之積，結(jié)合（i）可得方程，從而求出，進(jìn)而求出，即判斷出為定值．
（1）由，整理得，則該圓是以為圓心，6為半徑的圓．
因?yàn)镻是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，且，
所以，即，解得．
由題可知，則，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）（i）當(dāng)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，重合，此時(shí)不存在，不合要求，
當(dāng)點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，重合，此時(shí)不存在，不合要求，
直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立整理得，
則，
則線段的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
設(shè)的面積為S，則．
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即面積的最大值為．
（ii）為定值9，理由如下：
設(shè)，顯然為外接圓圓心，
故可設(shè)外接圓的方程為．
因?yàn)樵谕饨訄A上，所以，故，
故外接圓的方程為．
聯(lián)立，整理得
，
則．
因?yàn)椋?br/>故，
解得．
故，為定值．
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