資源簡介

重慶市第十一中學校教育集團2024 2025學年高三第九次質量檢測數學試題
一、單選題
1．下列集合之間關系正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知，，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，，則或，是異面直線
4．某化工廠產生的廢氣經過過濾后排放，以模型去擬合過濾過程中廢氣的污染物濃度與時間之間的一組數據，為了求出線性回歸方程，設，其變換后得到線性回歸方程為，則當經過后，預報廢氣的污染物濃度為（ ）
A． B． C． D．
5．記的面積為S，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（ ）
A． B． C． D．
6．十一中學高三（1）班的九名身高互不相同的摯友想拍一張畢業照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小偉與小豪兩位好朋友在這九人中身高由低到高分別位居第1位與第5位，他們要求要站在同行且不相鄰，則不同的排列方式共有（ ）種．
A．200 B．180 C．120 D．100
7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，漸近線方程為，過且斜率為的直線與在第一象限的交點為，的角平分線與線段交于點，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定義在[，]上的函數滿足，且當x[，1]時，，若方程有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍是（ ）
A．(，] B．(，]
C．(，] D．(，]
二、多選題
9．對于二項式（），下列說法正確的是（ ）
A．展開式中各項的二項式系數之和為
B．若展開式中第3項與第7項的二項式系數相等，則
C．若展開式中的系數為，則
D．若二項式系數只有第5項最大，令，則
10．記為等差數列的前項和，已知，的公差為，且，則（ ）
A．
B．
C．
D．滿足的的最大值為
11．已知函數（，），將的圖象上所有點向右平移個單位長度，然后橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象．若為偶函數．且最小正周期為，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象關于對稱
B．在中，若，且有1個解，則的取值范圍為
C．的解集為，
D．方程在上有且只有三個相異實根
三、填空題
12．復數（其中為虛數單位），則的虛部為 ．
13．如圖，角的終邊與單位圓在第一象限交于點P．且P的橫坐標為，半徑繞原點逆時針旋轉后與單位圓交于點關于x軸的對稱點為，角的終邊在上，則 ．

14．已知球的半徑等于4，，是球的某內接圓柱的上下底面圓心，，是球的直徑（點在上，點在上），為的中點，若四邊形是圓的內接矩形，，是圓柱的母線，且平面平面，則 .
四、解答題
15．體育課上，同學們進行投籃測試，規定：每位同學投籃3次，至少投中2次則通過測試，若沒有通過測試，則該同學必須進行50次投籃訓練．已知甲同學每次投中的概率為，每次是否投中相互獨立．
（1）求甲同學通過測試的概率；
（2）若乙同學每次投中的概率為，每次是否投中相互獨立．經過測試后，甲、乙兩位同學需要進行投籃訓練的投籃次數之和記為X．求X的分布列與數學期望．
16．如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起到位置，使得平面平面，如圖2.
(1)證明：平面BCD；
(2)在線段上是否存在點，使得二面角的大小為 若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
17．記為數列的前項和，已知，，數列滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）記數列的前項和為，若對任意，，求實數的取值范圍.
18．已知點是圓：上的一動點，點，點在線段上，且滿足．
（1）求點的軌跡的方程；
（2）已知，設過點的一條直線與交于，兩點，且與線段交于點．
（ⅰ）證明：到直線和的距離相等；
（ⅱ）若的面積等于的面積，求的坐標．
19．已知函數 .
(1)當時，判斷函數的單調性；
(2)對任意的時，恒成立，求實數的取值范圍；
(3)記，若，且，求證：.
（參考公式： ）
20．已知函數.
（1）當時，判斷函數的單調性；
（2）對任意的時，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）記，若，且，求證：.
參考答案
1．B
2．A
3．D
4．D
5．B
6．C
7．D
8．B
9．BC
10．ABC
11．BCD
12．/
13．
14．
15．（1）記事件A：甲同學通過測試，則甲同學在3次投籃中，投中2次或3次，
則.
（2）若乙通過測試，則乙同學在3次投籃中，投中2次或3次，
所以乙通過測試的概率為，
由題意可知，隨機變量的可能取值有0，50，100，
，，
，
所以，隨機變量的分布列如下表所示：
0 50 100
故.
16．（1）證明：在中，因為，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以．
如下圖1所示：在中，作于點，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因為平面，所以平面，
因為平面，所以，
又平面BCD，所以平面BCD.
（2）方法一：如下圖2所示：
存在點，當是的中點時，二面角的大小為.
證明如下：由（1）知平面BDC，所以且，
所以，又因為是的中點，所以，同理可得：，
取BD的中點為O，DC的中點為，連接MO，EM，OE，
因為，所以是二面角的平面角，
又因為，所以．此時．
方法二：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如下圖3所示的空間直角坐標系，則.
假設點存在，設，
則，
設平面MBD的一個法向量為，
則，取，可得，
又平面CBD的一個法向量為，
假設在線段上存在點，使得二面角的大小為，
則，解得，
所以點存在，且點是線段的中點，即.
17．（1）時，，解得或，因為，所以，
時，，得，
因為，所以，又，
故數列是首項為3，公差為2的等差數列，
所以數列的通項公式為；
（2）解法一：由，所以，
當為偶數時，
，
當為奇數時，
，
所以，
因為對任意的，成立，
所以，當為奇數時，即，所以，
不等號的右邊可看作關于的二次函數，對稱軸為，
因為為奇數，所以時，，則
當為偶數時，，所以，
同理可得，因為為偶數，所以時，，則，
綜上，.
解法二：由，
當為偶數時，
.
當為奇數時，
，
所以（下同解法一）
解法三：因為對任意的，成立，
則，即求的最小值，令，
當為奇數時，
則，所以最小值一定在為奇數時取到，
當為奇數時，
，
當時，，當時，，
所以當為奇數時，，
則的最小值為，
所以.
18．（1）根據題意有，，即
，則，則的軌跡是橢圓，
，，所以，．所以的方程為．
（2）（ⅰ）因為橢圓的長軸右端點橫坐標為，
所以的斜率一定存在（否則與橢圓沒有交點）
設的方程為，
所以，
其中．
所以，
設，．
則，，
若到直線和的距離相等，則直線平分，且易知軸，
所以只需滿足直線與的斜率之和為0．
設，斜率分別為，，則：
，
代入，．
有，故命題得證．
（ⅱ）由（ⅰ）知直線平分，即，
因為的面積等于的面積，
故，即，故．
故，，
在線段的垂直平分線上．
易知線段的垂直平分線為，與的方程聯立有，
故的坐標為或．
19．（1）當時，，則，
令，則，令，得到，
當時，，即在區間上單調遞減，
當時，，即在區間上單調遞增，
所以，則，
所以在上單調遞增.
（2）因為，所以，
設，
則，
令，則，
所以在區間上單調遞增，即在區間上為增函數，
故，
當時，，此時在區間上單調遞增，
故 ，符合題意；
當時，，且在上為增函數，
故存在時，滿足，則在上單調遞減，
所以當時，，不符合題意，
綜上所述，實數的取值范圍為.
（3），
由，得，
所以，
兩邊同時除以，得，
所以，
令 ，得，得，
因為，
所以，
因為，又因為，易知，
所以，
又因為，所以，故，得.
20．（1）當時，，則，
令，可得，
由可得，
當時，，此時在上單調遞減，
當時，，此時在上單調遞增，
所以，即恒成立，
所以在上為增函數.
（2）因為，所以，
設，
則，
令，則，
可得在上為增函數，即在上為增函數，
所以，
當時，，此時在上為增函數，
故，即，所以，符合題意.
當時，，
因為在上為增函數，當時，，
故存在滿足，則在上單調遞減，在上單調遞增，
因此當時，，不合題意.
綜上所述，實數的取值范圍為.
（3）由題意得，，所以，
由可得，
所以，
又，兩邊同時除以，得，
因此，
所以，
令，得，
因此，
令，則，
所以在上為減函數，故，即時，.
因為，，
所以，所以，
又因為，所以，故，得.

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