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重慶市第一中學2025屆高三下學期最后一卷數學試題
一、單選題
1．設是集合的子集，只含有2個元素，且不含相鄰的整數，則這種子集的個數為（ ）
A．11 B．12 C．10 D．13
2．在生物界中，部分昆蟲會通過向后跳躍的方式來躲避偷襲的天敵.已知某類昆蟲在水平方向上速度為（單位：米/秒）時的跳躍高度（單位：米）滿足，則該類昆蟲的最大跳躍高度為（ ）
A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米
3．已知圓上的兩點到直線的距離分別為，且.若，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．設復數滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
5．已知，若，，則（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6
6．已知點M是橢圓上的一點，，分別是C的左、右焦點，且，點N在的平分線上，O為原點，，，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
7．設函數與函數，當，曲線與交于一點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
8．在下面數表中，第行第列的數記為，其中，，，滿足：
①，且；
②，有．
則該數表中的10個數之和的最小值為（ ）
A．26 B．22 C．20 D．0
二、多選題
9．如果存在正實數a，使得為奇函數，為偶函數，我們稱函數為“和諧函數”，則下列四個函數，是“和諧函數”的是（ ）
A． B． C． D．
10．在正四棱錐中，側棱與底面邊長相等，分別是和的中點，則（ ）
A． B．平面 C． D．平面
11．已知隨機變量的取值為不大于n的正整數值，它的分布列為：
1 2
其中滿足：，且.定義由生成的函數.現有一個裝有分別標記著1，2，3的三個質地均勻和大小相同小球的箱子，若隨機從箱子中摸出一個球，記其標號為，由生成的函數為，；若連續(xù)兩次有放回的隨機從箱子中摸出一個球，記兩次標號之和為，此時由生成的函數為，，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
12．已知平面向量，，若，則實數的值為 .
13．小蔣同學喜歡吃餃子，某日他前往食堂購買16個餃子，其中有個為香菇肉餡，其余為玉米肉餡，且.在小蔣吃到的前13個餃子均為玉米肉餡的條件下，這16個餃子全部為玉米肉餡的概率為 .
14．記的內角，，的對邊分別為，，，為的中點，為邊上一點，.設，且，則 ；的最小值為 .
四、解答題
15．已知直線和是函數圖象兩條相鄰的對稱軸．
（1）求的解析式和單調區(qū)間；
（2）保持圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函數的圖象．若在區(qū)間恰有兩個極值點，求的取值范圍．
16．已知是函數的極小值點．
（1）求的單調性；
（2）討論在區(qū)間的最大值．
17．為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標準治療方案，現從一批患者中隨機抽取100名患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標準治療方案治療，記其中采用新治療方案與標準治療方案治療受益的患者數分別為和．在治療過程中，用指標衡量患者是否受益：若，則認為指標正常；若，則認為指標偏高；若，則認為指標偏低．若治療后患者的指標正常，則認為患者受益于治療方案，否則認為患者未受益于治療方案．根據歷史數據，受益于標準治療方案的患者比例為0.6．
（1）求和；
（2）統(tǒng)計量是關于樣本的函數，選取合適的統(tǒng)計量可以有效地反映樣本信息．設采用新治療方案治療第位的患者治療后指標的值為，，2，，50，定義函數：
（?。┖喪鲆韵陆y(tǒng)計量所反映的樣本信息，并說明理由．
①；
②；
（ⅱ）為確定新的治療方案是否優(yōu)于標準治療方案，請在（ⅰ）中的統(tǒng)計量中選擇一個合適的統(tǒng)計量，并根據統(tǒng)計量的取值作出統(tǒng)計決策．
18．如圖，三棱錐中，點在平面的射影恰在上，為中點，，，.
（1）若平面，證明：是的三等分點；
（2）記的軌跡為曲線，判斷是什么曲線，并說明理由；
（3）求的最小值.
19．已知項數列，對于給定，定義變換：將數列中的項替換為，其余項均保持不變，記得到的新數列為．其中，當時，；當時，；當時，．若將數列再進行上述變換，記得到的新數列為，重復操作，得到數列，并稱為第一次變換，為第二次變換， ．
（1）若數列：，求數列和；
（2）設為遞增數列，對進行有限次變換后得到數列．證明：為遞增數列；
（3）當第次變換前后兩個數列的首項乘積為負數時，令；否則．對于給定的項數列，進行2025次變換，證明：．
參考答案
1．C
2．A
3．D
4．D
5．A
6．B
7．D
8．B
9．CD
10．BC
11．ABC
12．
13．
14．
15．（1）由題設條件知的最小正周期，所以．
又因為，，所以，．
令，得的單調遞增區(qū)間為，
令，得的單調遞減區(qū)間為．
（2）由題可知，
所以當時，．
若在區(qū)間恰有兩個極值點，
則在區(qū)間恰有兩個極值點，
因此，解得的取值范圍是．
16．（1）的定義域為R，．
當時，，不是的極值點．
當時，令，得，．
在小于0，在區(qū)間大于0，在小于0，
故在單調遞減，在區(qū)間單調遞增，在單調遞減，此時是的極小值點，符合題意．
綜上，在單調遞減，在區(qū)間單調遞增，在單調遞減．
（2）由（1）可知：在單調遞減，在區(qū)間單調遞增，在單調遞減．分類討論.
當,即時，在區(qū)間單調遞減，故最大值為；
當時，在單調遞減，在單調遞增，故最大值為；
當時，在區(qū)間單調遞增，故最大值為；
當時，在單調遞增，在單調遞減，故最大值為；
當時，在區(qū)間單調遞減，故最大值為．
17．（1）由題設知服從二項分布，
所以，．
（2）（?。┙y(tǒng)計量反映了未受益于新治療方案的患者數，理由如下：
若患者受益于新治療方案，則其指標的值滿足，
否則，會被統(tǒng)計量計入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統(tǒng)計量的數值加1．
統(tǒng)計量反映了未受益于新治療方案且指標偏高的患者數量，理由如下：
若患者接受新治療方案后指標偏低或正常，則其指標的值滿足
若指標偏高，則，，會被統(tǒng)計量計入，
且每位未受益于新治療方案且指標偏高的患者恰使得統(tǒng)計量的數值加1．
（ⅱ）由題設知新治療方案優(yōu)于標準治療方案等價于一次試驗中的觀測值大于的數學期望，
由（?。┲挠^測值，
因此當，即時，認為新治療方案優(yōu)于標準治療方案；
當，即時，認為新治療方案與標準治療方案相當；
當，即時，認為新治療方案劣于標準治療方案．
18．（1）由于平面，作，垂足為點，
因為平面，則，
又因為，且，平面，
因此平面，因為平面，所以，
同理可證：，
又因為，可得，所以，
因為面，從而，
因此，進而為的三等分點.
（2）橢圓，
延長至，使得，
由于，可得M，D到的距離為定值，
因此M，D應在以為高線的圓柱上運動，且上下底面與垂直，
又因為M，D為平面上兩點，，
從而M，D的運動平面截得該圓柱，根據圓錐曲線的定義，
因而M，D的運動軌跡應為橢圓，示意如下.
（3）以A為原點，所在直線為x軸，過A點與平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
下面求橢圓方程：一方面，由于該圓柱的底面半徑為，
故由圖可知橢圓的短半軸長為1，
由，從而橢圓的長半軸，進而橢圓方程：，
又由，平面，從而，即，
由定義知為橢圓的左焦點，設的右焦點為，則，
設，
在中，由余弦定理，可得，
解得，同理可得：，
解法1：由，
令，則，可得，
令，解得，（舍去），
當，；當，，
因此為的極小值點，可得.
解法2：由，原題等價于求的最小值，
則等價于求的最小值，
又由，
當且僅當時等號成立，因此的最小值為.
19．（1）解：由題意得，數列，數列，
故數列．
（2）證明：若對：進行變換，即將替換為，其余項不變，
由，得，故仍為遞增數列；
若對進行變換，即將替換為，其余項不變，
由，很，故仍為遞增數列：
若對進行變換，即將替換為，其余項不變，
由，得，故仍為遞增數列．
綜上，對于任意，對進行變換后仍為遞增數列．
以此類推，知對進行有限次變換后，所得的數列為遞增數列．
（3）解：記數列：中去除等于0的項后得到的數列為（其余項相對位置不變，下同），中去除為0的項后得到的數列為．
設中相鄰兩項乘積為負數的有對，中相鄰兩項乘積為負數的有對，
則．
如果對進行變換，即將替換為，
此時若與同號，則數列中相鄰兩項乘積為負數的仍有對，即；
若與異號，則或；
若與中有0，則一定不與異號，故．
如果對進行變換，即將替換為，
此時若與同號，則；
若與異號，有以下三種情況：
①若與同號，顯然也與異號，則；
②若與異號，則；
③若與中有0，只有一個0，
不妨設，則與異號，故，或，或．
若與同為0，則；
若，，不妨設，則與同號，故；
若，，不妨設，則與異號，故或；
對進行變換與進行變換類似．
綜上，對進行一次變換后，．
以此類推，對進行2025次變換，每一次變換后所得數列中去除等于0的項后相鄰兩項乘積為負數的對數比變換前的并不會增大，且．
在此之中，若某一次變換使得第一項的正負號發(fā)生改變，
則該變換一定是變換，且變換之前數列的第一項與第二項異號，
故變換之后所得數列中去除等于0的項后相鄰兩項乘積為負數的對數比變換前減少1對．
所以對進行2025次變換時，其第一項的正負號最多發(fā)生次改變，
即．

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