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重慶市第八中學2025屆高三下學期5月適應性月考（七）數學試卷
一、單選題
1．設集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知復數在復平面內對應的點的坐標是，則（ ）
A． B． C． D．
3．下列橢圓的形狀更接近于圓的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知四面體，所有棱長均為2，點分別為棱的中點，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知函數有唯一零點，則實數（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．設，若恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
7．用代表紅球、代表藍球、代表黑球、由加法原理及乘法原理、從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由的展開式表示出來，如:“1”表示一個球都不取、“”表示取出一個紅球、而“”則表示把紅球和藍球都取出來.以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從4個無區別的紅球、5個無區別的藍球、6個有區別的黑球中取出若干個球，且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．將正整數的最佳分解定義為兩個正整數，使得最小.記，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．公差為的等差數列與公比為的等比數列首項相同且為正數，則（ ）
A．若，則為遞減數列
B．若，則為遞減數列
C．若，則為遞增數列
D．若，則為遞增數列
10．已知圓和點，點是圓上的動點，若線段的中垂線交直線于點，關于點軌跡敘述正確的是（ ）
A．當時，點的軌跡為圓
B．當時，點的軌跡為拋物線
C．當時，點的軌跡為橢圓
D．當時，點的軌跡為雙曲線
11．已知，滿足，且，則下列結論正確的有（ ）
A． B．
C．的最大值為2 D．的最小值為
三、填空題
12．點為直線上的一動點，，則點到直線的距離為 ．
13．設正整數數列滿足，則 ．
14．已知滿足，且，則的值域為
四、解答題
15．某社區100名居民參加國慶活動，他們的年齡在30歲至80歲之間，將年齡按分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求的值，并估計該社區參加國慶活動的居民的年齡中位數；
（2）現從年齡在，的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人進行座談，用表示參與座談的居民的年齡在的人數，求的分布列和數學期望.
16．在如圖所示的幾何體中，平面是的中點，．
（1）求證:平面；
（2）求二面角的正弦值．
17．在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為，過點且斜率為的直線與軌跡從左到右的三個公共點分別為．
（1）求的取值范圍；
（2）點關于原點對稱，若，求的面積．
18．已知函數，為的導函數.
（1）當時，求不等式的解集；
（2）當時，討論的單調性；
（3）若函數在處取極小值，求的值.
19．點是直線外一點，點在直線上(點與點任一點不重合).若點在線段上，記;若點在線段外，記.記.記的內角的對邊分別為為中點，為射線上的點，為的平分線.
（1）若，求；
（2）射線上的點滿足，
(i)求的最小值;
(ii)若，記，求證:數列的前項和.
參考答案
1．B
2．C
3．D
4．D
5．D
6．B
7．A
8．C
9．ABD
10．ACD
11．ACD
12．/
13．3
14．
15．（1）由頻率分布直方圖可知，
，解得，
設該社區參加國慶活動的居民的年齡中位數為，
則，解得．
（2）年齡在內的人數為，
年齡在內的人數為，
根據分層抽樣，可知年齡在內的抽取6人，年齡在內的抽取2人，
所有可能取值為0，1，2，
，，，
故的分布列為：
X 0 1 2
P
則數學期望．
16．（1）證明：取的中點G，連接，
因為F是的中點，所以，
因為，所以．
又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，
在中，，，有，
因為平面，所以平面，
又平面，所以，
因為，平面，所以平面，
又因為，所以平面．
（2）由題可知直線兩兩垂直，則以C為原點，直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設，
則，
所以，設是平面的一個法向量，
則，
令，得，，
所以是平面的一個法向量，，
平面的一個法向量為，設二面角的大小為，
則，
所以，
所以二面角的正弦值為．
17．（1）設，依題意得：，即，
化簡得，，
所以點M的軌跡C的方程為，
設直線l的方程為．由方程組，
可得．
要使得有三個交點，則，
方程的判別式為，
設直線l與x軸的交點為，則由，取得．
當，
解得或，
故當時，直線l與軌跡C恰有三個公共點．
（2）設，由（1）知，
所以，
由直線l的方程可知，故，
所以，，
則，整理得，解得，
從而，故，
則，，即直線為，，
點到直線的距離為，
所以．
18．（1）當時，，可得，
令，可得，
當，可得；當，可得，
所以在單調增，在單調減，
可得，所以在單調減，
又因為，故的解集為．
（2）由函數，可得，
令，可得，
①當，即時，恒成立，
當時，；當時，；
所以在單調增，在單調減；
②當時，等價于，
當時，；
當時，；
當時，，
所以在單調增，在單調減；
在單調增，在單調減．
（3）由（1）知：當時，0不是的極值點，所以；
由（2）知：當時，在單調減，所以，
故在單調減，與在處取極小值矛盾，所以．
記，則在單調增；
①當時，，，
則存在使，所以對恒成立，則，
所以在單調減，則，
所以在單調減，與在處取極小值矛盾；
②當時，，則存在使，
所以對恒成立，則，所以在單調減，
則，所以在單調增，與在處取極小值矛盾；
③當時，，當時，；當時，，
即在單調遞減，在單調遞增，
所以，則在單調增，
又因為，當時，；當時，，
所以在單調減，在單調增，在處取極小值．
綜上知，.
19．（1）由題，，故，由余弦定理可知，，其中，
即，
則有，
因為，，所以，
而由知，，即，
所以，故，負值舍去，
故；
（2）（ⅰ）設，，
，又，
所以，
為的平分線，故在線段上，
故，
所以，在線段BC的延長線上，
其中，
所以，
即，，
，，又，故，
所以，
因為，
故，
設，則有，
，
當且僅當，即取等號，此時；
（ⅱ）因為，故，
由（ⅰ）可知在線段BC的延長線上，
其中，
，
由（1）知，，
故，
所以．
又，故，
由正弦定理，知：，則有，
所以
，
故．
于是
，
所以
．

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