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浙江省紹興市上虞區(qū)2025屆高三下學(xué)期5月
高考及選考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷
一、單選題
1．設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)　　
A．1 B． C．2 D．
3．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（ ）
A． B． C． D．
4．某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、心理6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，不同排法總數(shù)是（ ）
A．192 B．144 C．124 D．216
5．盡管目前人類(lèi)還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為．2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震，它所釋放出來(lái)的能量是2008年5月12日我國(guó)汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震的多少倍（精確到1） （ ）（注：，）
A．30 B．31 C．32 D．33
6．如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果 ，則求的表面積為（ ）
A． B． C． D．
7．已知點(diǎn)，分別為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，過(guò)雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)作的平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)B，記的面積分別為，內(nèi)切圓半徑分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)有，則（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多選題
9．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若隨機(jī)變量X的方差，則
B．若隨機(jī)變量Y服從兩點(diǎn)分布，且，則
C．若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，，則
D．若隨機(jī)變量η服從二項(xiàng)分布，則
10．曲線(xiàn)，A，B是曲線(xiàn)C上任意兩點(diǎn)，則（ ）
A．曲線(xiàn)C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．的最大值
C．直線(xiàn)AB與曲線(xiàn)C沒(méi)有其它交點(diǎn) D．曲線(xiàn)C所圍成的面積為
11．已知數(shù)列中，數(shù)列中，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則數(shù)列為等比數(shù)列
C．若，則數(shù)列為常數(shù)列 D．若，則
三、填空題
12．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，則該橢圓的離心率為 ．
13．已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足且，則 ．
14．已知平行四邊形ABCD滿(mǎn)足，則 ．
四、解答題
15．已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，D為AB中點(diǎn)，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：面面；
（2）若直線(xiàn)CE與面所成角的余弦值為，試求AE的長(zhǎng)．
16．已知函數(shù)，．
（1）若在處的切線(xiàn)方程為，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）討論的單調(diào)性.
17．在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，的面積為S且．
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)點(diǎn)M是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)l分別交BA，BC（或延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)P，Q，求的最大值．
18．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是．
（1）求拋物線(xiàn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是該拋物線(xiàn)上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作互相垂直的直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)B，C，連接BC．
（ⅰ）求證：直線(xiàn)BC恒過(guò)一定點(diǎn)；
（ⅱ）過(guò)點(diǎn)A，B，C分別作切線(xiàn)，三條切線(xiàn)兩兩相交于P，Q，R，若的面積為，求直線(xiàn)BC的方程．
19．已知數(shù)列滿(mǎn)足：①，②，則稱(chēng)數(shù)列有性質(zhì)Ω，數(shù)列稱(chēng)為“Ω數(shù)列”，記．
（1）若，寫(xiě)出的所有可能值（直接給出答案即可）；
（2）當(dāng)，時(shí)，設(shè)；數(shù)列為等差數(shù)列．請(qǐng)判斷p是q的什么條件？并說(shuō)明理由；
（3）若Ω數(shù)列符合且，記集合．在中任取兩個(gè)不同元素x，y，求：x且的概率最大值．
參考答案
1．B
2．B
3．C
4．A
5．C
6．D
7．D
8．B
9．BC
10．ABD
11．AD
12．
13．
14．
15．（1）因?yàn)槿庵鶠檎庵?br/>所以，因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>，平面面，
所以面，面，
所以平面面.
（2）過(guò)點(diǎn)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
，設(shè)面的法向量為，
，
則，所以，令，則，
所以，因?yàn)橹本€(xiàn)CE與面所成角的余弦值為，
所以直線(xiàn)CE與面所成角的正弦值為，設(shè)為，
即，即，
解得：或（舍去），
所以，AE的長(zhǎng)為.
16．（1）由，．
依題意， ，
解得 .
（2）的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，恒有 ，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，
②當(dāng)時(shí)，令，得，
由，得；由，得，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
17．（1）由余弦定理可得，則，
又，由可得，
即，且，所以.
（2）
設(shè)，則，則，
在中，由正弦定理可得，
則，
則，
由可得，
且，
，
在中，由正弦定理可得，
則，
所以
，
則，
且，所以當(dāng)時(shí)，即，取得最大值.
18．（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，
因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是，所以，
所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，所以，
（ⅰ）設(shè)直線(xiàn)BC的方程為，，，
聯(lián)立得，則，，
，，
因?yàn)椋裕裕?br/>又，，所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，即，
所以，
所以直線(xiàn)BC恒過(guò)定點(diǎn)；
（ⅱ）
對(duì)兩邊求導(dǎo)的，所以，
在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，
所以切線(xiàn)方程為，即，
在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，
所以切線(xiàn)方程為，所以，
又，所以，
在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，
設(shè)，
聯(lián)立，得，則，
聯(lián)立，得，則，
聯(lián)立，得，則，
所以
，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
所以，又，
解得，所以直線(xiàn)BC的方程的方程為.
19．（1）因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足：①，②，
故由，得的可能取值為，
若，則可為；
若，則可為；
若，則可為；
綜合所述，的可能取值為.
（2）p是q的充分不必要條件，即條件p能夠推出條件q，但條件q推不出條件p，下面證明：
先證明條件q推不出條件p，
因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且為數(shù)列，
因?yàn)椋猿?shù)列：滿(mǎn)足條件，
此時(shí)，故條件q推不出條件p，
再證明條件p能夠推出條件q，
數(shù)列滿(mǎn)足：①，②且，，
因?yàn)閺牡叫枰獌粼鲩L(zhǎng)2025
在項(xiàng)的約束下，要滿(mǎn)足，，唯一可能的方式是每次增加1，
即該數(shù)列只能是：0,1,2,...,2025，因此“Ω數(shù)列”為等差數(shù)列，即條件p能夠推出條件q，
綜上所述，p是q的充分不必要條件，
（3），
當(dāng)時(shí)，令（），
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列：，
此時(shí)，，，，，．．．，，
此時(shí)，
；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列：，
此時(shí)，，，，．．．，
此時(shí)，
；
對(duì)于所有：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為可能的最大值，
因此，概率的最大值為：

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