資源簡介

數(shù)學(xué)試卷
注意事項(xiàng):
1. 答題前、考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚.
2. 每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后， 再選涂其他答案標(biāo)號(hào). 在試題卷上作答無效.
3. 考試結(jié)束后， 請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回. 滿分 150 分， 考試用時(shí) 120 分鐘.
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是 符合題目要求的）
1. 設(shè)集合 ，若 只含一個(gè)元素，則（ ）
A. B. C. D.
2. 已知復(fù)數(shù) 是關(guān)于 的實(shí)系數(shù)一元二次方程 的兩個(gè)根，若 ，則 （ ）
A. B. 4 C. 6 D. 16
3. 平面向量 與 相互垂直，已知 ，且 與向量（1，0）的夾角是鈍角，則 （ ）
A.（-6，8） B.（8，6） C.（-8，6） D.（-8， - 6）
4. 若 ，則 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知函數(shù) （ 為常數(shù)），則（ ）
A. 為偶函數(shù)
B. 為奇函數(shù)
C. 為既奇又偶函數(shù)
D. 為非奇非偶函數(shù)
6. 已知方程 在區(qū)間 上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ，則 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知三棱柱 的體積為 分別是棱 的中點(diǎn)，則以 為頂點(diǎn)的五面體的體積為（ ）
A. B. C. D.
8. 對(duì)于二次函數(shù) ，若函數(shù) 有 4 個(gè)零點(diǎn)，則有（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題 目要求的. 全部選對(duì)的得 6 分， 部分選對(duì)的得部分分， 有選錯(cuò)的得 0 分）
9. 已知 為隨機(jī)事件 的對(duì)立事件， 且 ，則（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 設(shè) 是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過 作 的一條漸近線的垂線 ， 垂足為 ，且 與雙曲線右支相交于點(diǎn) ，若 ，且 ，則下列說法正確的是（ ）
A. 雙曲線的實(shí)軸長為 2 B. 雙曲線的離心率為
C. 點(diǎn) 到 軸的距離為 D. 四邊形 的面積為 15
11. 已知數(shù)列 滿足 ，則（ ）
A. 是遞減數(shù)列 B.
C. D.
三、填空題（本大題共 3 小題， 每小題 5 分， 共 15 分）
12. 在（0，0）處的切線方程為_____.
13. 寫出一條與圓 和拋物線 都相切的直線的方程_____.
14. 在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn)集 ，在 中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)兩兩之間距離不超過 2 的概率為_____.
四、解答題（共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分 13 分）
在 中，內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，已知 .
（1）求證: ；
（2）若 ，求 的面積.
16. （本小題滿分 15 分）
一個(gè)抽獎(jiǎng)箱中裝有標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的獎(jiǎng)券各 2 張，從中任意抽取 3 張，每張獎(jiǎng)券被取出的可能性相等.
（1）求一次取出的 3 張獎(jiǎng)券中的數(shù)字之和不大于 5 的概率；
（2）用 表示取出的 3 張獎(jiǎng)券中的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望 .
17. （本小題滿分 15 分）
如圖，已知曲線 的左、右焦點(diǎn)分別是 ，曲線 的焦點(diǎn)是 ，點(diǎn) 是 與 在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)且點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，過 的直線 分別與曲線 和 交于點(diǎn) 和 .
（1）求曲線 和曲線 的方程；
（2）若 與 面積分別是 ，求 的最小值.
18.（本小題滿分 17 分）
如圖，在平面四邊形 中， ，將 沿 翻折至 ， 形成三棱錐 ，其中 為動(dòng)點(diǎn).
（1）設(shè) ，點(diǎn) 在棱 上.
（i） 證明: ；
（ii） 當(dāng) 的面積最小時(shí)，求 與平面 所成的角的正弦值.
（2）求平面 與平面 夾角余弦值的最小值.
19. （本小題滿分 17 分）
已知曲線 ，曲線 ，其中 .
（1）證明: 與 存在唯一交點(diǎn)；
（2）在（1）的條件下，設(shè)交點(diǎn)為 ，作 在點(diǎn) 處的切線，交 軸于點(diǎn) .
（i）證明: ；
（ii） 若 在點(diǎn) 處的切線與 垂直，證明: 在橢圓 4 外.
數(shù)學(xué)參考答案
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D B B A B
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
題號(hào) 9 10 11
答案 ABC BCD ACD
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
題號(hào) 12 13 14
答案 或（寫出一條即可）
四、解答題（共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．（本小題滿分13分）
（1）證明：由，根據(jù)正弦定理得，
在中，， （2分）
所以，
整理得，即， （4分）
所以或（不符合題意，舍去），可得． （6分）
（2）解：根據(jù)正弦定理，可得，即，
解得，由余弦定理，即，
整理得，解得或． （10分）
當(dāng)時(shí)，，結(jié)合可得，所以．
此時(shí)，故不符合題意，舍去． （11分）
所以的面積為． （13分）
16．（本小題滿分15分）
解：（1）“一次取出的3張獎(jiǎng)券中的數(shù)字之和不大于5”的事件記為A，
“一次取出的3張獎(jiǎng)券中的數(shù)字之和為4”的事件記為B，
，“一次取出的3張獎(jiǎng)券中的數(shù)字之和為5”的事件記為C，
則，則． （6分）
（2）由題意，X所有可能的取值為2，3，4，5，
，
，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：
X 2 3 4 5
P
． （15分）
17．（本小題滿分15分）
解：（1）由題，曲線的準(zhǔn)線為，
設(shè)，據(jù)題意有，則，曲線． （2分）
因?yàn)樵谇€上，
所以，得，因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以， （3分）
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上及是的焦點(diǎn)，
所以，解得：，所以曲線的方程是． （6分）
（2）設(shè)到直線l的距離為d，則， （7分）
當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，直線l為，由，得，或，所以，
由，得或，所以，此時(shí)， （9分）
當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程是，
聯(lián)立，得，
則，所以； （11分）
聯(lián)立，得：，
，
設(shè)，則，
所以
， （13分）
所以，
綜上：的最小值為． （15分）
18．（本小題滿分17分）
解：（1）（i）取AC的中點(diǎn)E，連接SE，BE，如圖，因?yàn)椋褹C的中點(diǎn)為E，
所以，
又，SE，平面SBE，故平面SBE，
由于平面SBE，故． （4分）
（ii）連接EF，由（i）知，平面SBE，
則，
時(shí)，EF最小時(shí)，的面積最小．
又平面AFC，又平面ABS，
平面平面AFC，過C作，垂足為M，則平面ABS，
故為直線CF與平面ABS所成的角，由，且，又，
，所以，
，
在中，由余弦定理得．
故CF與平面ABS所成的角的正弦值為． （10分）
（2）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正反向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，設(shè)，則，
，
設(shè)平面CAS的法向量為，
則，取，
設(shè)平面CBS的法向量為，
則，
取，設(shè)平面ASC與平面BSC夾角為，易知，
，
令，則，，
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
平面ASC與平面BSC夾角余弦值的最小值為．（17分）
19．（本小題滿分17分）
證明：（1）令，其定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，從而；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，
從而由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一，有，
故在上有唯一零點(diǎn)，即E與F存在唯一交點(diǎn)． （5分）
（2）（i）E在點(diǎn)A處的切線為，則點(diǎn)，
從而，
由，則只需證，即證，即，
令，其中，則，
故在上單調(diào)遞增，則有，從而，證畢； （10分）
（ii）由F在點(diǎn)處的切線與AB垂直可知，，
即，又在橢圓外，
則只需證：，即證，即證，
由，即證，只需，代入有：，即證：，
令，代入有，令，
，從而在上單調(diào)遞增，故，
即，證畢． （17分）

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