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浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2025屆高三高考模擬數(shù)學(xué)試卷
一、單選題
1．拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．已知單位向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
3．函數(shù)的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
4．將2個(gè)小球隨機(jī)地投入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中（每個(gè)盒子容納的小球個(gè)數(shù)沒(méi)有限制），記1號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A． B． C． D．
5．當(dāng)，且時(shí)，函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱(chēng)數(shù)列為“和有界數(shù)列”．已知是等比數(shù)列且公比為，則“”是“是和有界數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．已知直線，（其中），當(dāng)時(shí)，直線與直線的位置關(guān)系為（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上位置關(guān)系都有可能
8．已知集合，是的函數(shù)，且滿足，則這樣的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．31 B．33 C．41 D．133
二、多選題
9．設(shè)為復(fù)數(shù)，是復(fù)數(shù)單位，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．
C．若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也位于第二象限
D．若，則的最小值是
10．記內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B．角的最大值為
C． D．的取值范圍是
11．已知，若，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)， D．對(duì)任意的實(shí)數(shù)，
三、填空題
12．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則 ．
13．已知某種疾病的患病率為，在患該種疾病的條件下血檢呈陽(yáng)性的概率為，則患該種疾病且血檢呈陽(yáng)性的概率為 ．
14．如圖，是正四面體棱上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別過(guò)作同時(shí)平行于的平面，將正四面體分成上中下三部分，其體積分別記為，則 ．
四、解答題
15．某環(huán)保機(jī)構(gòu)研究城市綠化覆蓋率（%）和PM2.5年均濃度（μg/m ）的關(guān)系，隨機(jī)抽取10個(gè)城市數(shù)據(jù)如下：
編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
綠化覆蓋率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300
PM2.5年均濃度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500
可得．
（1）求綠化覆蓋率與PM2.5濃度的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（2）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.01），并估計(jì)使得PM2.5年均濃度不超過(guò)需要的最低綠化覆蓋率（精確到整數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)與公式：
16．已知數(shù)列滿足：，且．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若記為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
17．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．
（1）若過(guò)右焦點(diǎn)，且的最小值為2，求的取值范圍；
（2）若，且，過(guò)弦的中點(diǎn)分別作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足為，求四邊形的面積的最大值．
18．已知是異面直線的公垂線段，且，直線上有兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，直線上有兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若，，求二面角的余弦值；
（2）若分別為的中點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得同時(shí)成立？若存在，找出這樣的點(diǎn)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．給定實(shí)數(shù)，甲、乙兩人玩如下的游戲．首先在黑板上寫(xiě)出一個(gè)含有個(gè)絕對(duì)值的算式：，其中每個(gè)絕對(duì)值里都有兩個(gè)空格“□”，所有的空格“□”都尚未填數(shù)．每一回合，先由甲選取區(qū)間中的一個(gè)實(shí)數(shù)（不同的回合可以選取相同的數(shù)），再由乙將其填在某個(gè)空格之中．這樣個(gè)回合之后所有的空格均填了數(shù)，的值也隨之確定．若，則甲勝，否則乙勝．
（1）當(dāng)時(shí)，求所有實(shí)數(shù)，使得甲有獲勝策略，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)時(shí)，求所有實(shí)數(shù)，使得甲有獲勝策略，并說(shuō)明理由．
參考答案
1．D
2．D
3．B
4．A
5．B
6．A
7．C
8．C
9．AD
10．ABD
11．ABD
12．
13．
14．
15．（1）因，，
故
.
即綠化覆蓋率與PM2.5濃度的樣本相關(guān)系數(shù)約為.
（2）因，
則，故，
依題意由，可得，
即使得PM2.5年均濃度不超過(guò)需要的最低綠化覆蓋率約為.
16．（1）由，即，則為等差數(shù)列，
又，則數(shù)列的公差為，故.
（2）由題設(shè)，則，
故，
所以，記，
所以，
兩式相減，得，
所以，
所以.
17．（1）若與雙曲線交于兩支兩點(diǎn)，則，與軸重合時(shí)，
若與雙曲線交于右支兩點(diǎn)，則，解得，
綜上可知：
（2）時(shí)，雙曲線方程為：，漸近線，垂直，
易知四邊形為矩形，
若的斜率不存在，由，可設(shè)，
代入，可得：，不妨取，
則，漸近線的距離為，
所以，
若的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為，
聯(lián)立方程得，
整理為： ①
故 ②
③
由，
平方得
將式②、③代入得 ④
設(shè)，于是， ⑤
. ⑥
因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線相互垂直，所以四邊形是矩形，
其面積S等于點(diǎn)P到漸近線距離的乘積，
于是：
將式⑤、⑥代入上式得
由式④代入化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?br/>所以且，
所以
綜上四邊形的面積的最大值為.
18．（1），故以M為原點(diǎn)建立空間直接坐標(biāo)系，
，，，，
直線與軸平行，所以直線的一個(gè)方向向量為，，
，所以，又，
所以就是所二面角求角，
，
所以二面角的余弦值為.
（2）
設(shè)，，，，
分別為的中點(diǎn)，，，，又，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故無(wú)解，
所以不存在點(diǎn)使得同時(shí)成立.
19．（1），時(shí)甲有獲勝策略，理由如下：
甲有策略使得，
甲先選0（選1亦可），乙第一步選擇無(wú)實(shí)際意義，，
甲再選1，若乙將其與0填在同一個(gè)絕對(duì)值中，甲再選0、1，可使，
若乙將其填在另一個(gè)絕對(duì)值中，甲再選，則某個(gè)絕對(duì)值得到，最后一個(gè)數(shù)甲可以使另一個(gè)絕對(duì)值為1，此時(shí)，
乙有策略使得，
若甲的前兩個(gè)數(shù)相差不超過(guò)，乙將其填在同一個(gè)絕對(duì)值中，這樣一個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)，另一個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)1，從而，
若甲的前兩個(gè)數(shù)相差超過(guò)，乙將其填在不同絕對(duì)值中，設(shè)且，，從而，
甲的第三個(gè)數(shù)必定滿足且，或且，從而乙可以使得一個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)，另一個(gè)絕對(duì)值總不超過(guò)1，故乙可以使得，
綜上，甲有獲勝策略的是不超過(guò)的所有實(shí)數(shù)；
（2），時(shí)甲有獲勝策略，理由如下：
甲有策略使得，
甲依次選0、1，若乙填在同一個(gè)絕對(duì)值中，由的討論知甲可以使得，
若乙填在不同絕對(duì)值中，甲再選，乙若填在和0或1同一個(gè)絕對(duì)值中，由的討論知甲可以使得，若乙填在第三個(gè)絕對(duì)值中，則，
甲選，若乙放在第一個(gè)絕對(duì)值中，甲選0、0，則，
若乙放在第二個(gè)絕對(duì)值中，甲選1、1，則，
若乙放在第三個(gè)絕對(duì)值中，由的討論知甲可以使得前兩個(gè)絕對(duì)值之和不小于，故，
乙有策略使得，
若甲的前兩個(gè)數(shù)差不超過(guò)，則將數(shù)填在同一個(gè)絕對(duì)值中，甲選了第三個(gè)數(shù)，
若三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)的差不超過(guò)，乙將這兩個(gè)數(shù)放在同一個(gè)絕對(duì)值中，再由的討論知乙可以使得，
若甲的前三個(gè)數(shù)兩兩相差均大于，則乙將三個(gè)數(shù)填在不同絕對(duì)值中，
現(xiàn)假設(shè)，，，，
由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，甲的第四個(gè)數(shù)為，
情形一：若，乙將與放在同一個(gè)絕對(duì)值中，由于，，
而前兩個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)，為；
情形二：若，乙將與放在同一個(gè)絕對(duì)值中，則，
剩下，由的討論知乙可以使得剩下兩個(gè)絕對(duì)值之和不超過(guò)，從而；
情形三：若，乙將與放在同一個(gè)絕對(duì)值中，由于，，
剩下，同情形二可知乙可以使得；
最后注意到，上述三種情形包括了的所有可能性（有可能會(huì)重疊，此時(shí)可以任意選擇某個(gè)情形），
綜上，甲有獲勝策略的是不超過(guò)的所有實(shí)數(shù).

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