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天津市南開中學(xué)2024 2025學(xué)年高三下學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)試卷
一、單選題
1．已知全集，集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．設(shè)，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知變量和變量的一組成對樣本數(shù)據(jù)的散點落在一條直線附近，，，相關(guān)系數(shù)為，經(jīng)驗回歸方程為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．當(dāng)越大時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強
B．當(dāng)時，
C．，時，成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)滿足
D．必定滿足經(jīng)驗回歸方程
4．設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
5．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．在上單調(diào)遞增，且曲線存在對稱軸
B．在上單調(diào)遞增，且曲線存在對稱中心
C．在上單調(diào)遞減，且曲線存在對稱軸
D．在上單調(diào)遞減，且曲線存在對稱中心
6．已知函數(shù)的最小正周期為，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．
B．函數(shù)的最大值為
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．函數(shù)在上單調(diào)遞增
7．設(shè)為雙曲線的右焦點，，分別為的兩條漸近線的傾斜角，已知點到其中一條漸近線的距離為，且滿足，則雙曲線的焦距為（ ）
A． B．2 C． D．4
8．瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案如下圖，分別記為曲線，，，，已知所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，是對進行如下操作得到的：將的每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作等邊三角形，再去掉底邊．記為曲線所圍成圖形的面積，則（ ）
A． B． C． D．
9．歐陽南德與上官瑣艾即將畢業(yè)，為了紀念美好的高中時代，二人來到南開工坊共同制作了屬于他們的藝術(shù)品：該藝術(shù)品包括內(nèi)外兩部分，外部為一個正四棱錐形狀的中空水晶，其側(cè)面分別鐫刻“歐”、“陽”、“上”、“官”四字，內(nèi)部為一個正四面體形狀的水晶，表面上分別鐫刻“南”、“德”、“瑣”、“艾”四字，當(dāng)其在四棱錐外殼內(nèi)轉(zhuǎn)動時，好似折射出可穿越時空的永恒光芒．已知外部正四棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為，為使內(nèi)部正四面體在外部正四棱錐內(nèi)（不考慮四棱錐表面厚度）可繞四面體中心任意轉(zhuǎn)動，則該正四面體體積最大為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則 ．
11．在的展開式中，所有項系數(shù)的和為64，其展開式中項的系數(shù)是 ．（用數(shù)字填寫答案）
12．已知拋物線，圓，過軸上一點作直線分別與和相切于，兩點，其中點坐標(biāo)為，則 ．
13．已知甲箱中有2個紅球和3個黑球，乙箱中有1個紅球和3個黑球（所有球除顏色外完全相同），某學(xué)生先從甲箱中隨機取出2個球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出1個球，記“從甲箱中取出的球是一黑一紅”為事件，“從乙箱中取出的球是黑球”為事件，則 ； ．
14．在平面凸四邊形中，，分別為邊，上的動點，已知，，．
（1）當(dāng)，分別為邊，的中點時，線段的長為 ；
（2）當(dāng)時，線段長的最小值為 ．
15．已知方程恰有4個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)的取值范圍是 ．
三、解答題
16．在中，角，，所對的邊分別為，，．已知．
（1）求；
（2）若，，求邊上的高；
（3）若，求的值．
17．如圖，在直三棱柱中，，，．是的中點，是的中點，是與的交點．

（1）證明：∥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求三棱錐的體積．
18．設(shè)橢圓的下頂點為，右焦點為，離心率為．已知點是橢圓上一點，當(dāng)直線經(jīng)過點時，原點到直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，線段的垂直平分線交直線于點，交直線于點，求的最小值．
19．已知是首項為1的等差數(shù)列，是其前項和，是等比數(shù)列，且，，
（1）求與的通項公式；
（2）設(shè)是由數(shù)列及的公共項按照從小到大的順序排列而成的數(shù)列，求；
（3）設(shè)數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項和，若對于任意的正整數(shù)，恒成立，求的最大值．
20．已知函數(shù)，.設(shè)為的導(dǎo)函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）證明：有且僅有一個極值點；
（3）判斷的所有零點之和與的大小關(guān)系，并說明理由.
參考答案
1．D
2．A
3．A
4．D
5．B
6．B
7．C
8．C
9．D
10．
11．
12．
13．/0.6 /0.7
14．
15．
16．（1）因為，
由余弦定理可得，
整理可得，則，
且，所以.
（2）因為，可得，
聯(lián)立方程，解得或（舍去），
由（1）可得，則，即，
設(shè)邊上的高為，
則，即，解得，
所以邊上的高為.
（3）因為，且，則，
可得，
所以.
17．（1）因在直三棱柱中，，
以為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
且是的中點，是的中點，是與的交點，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得，
因為，可知，
且平面，所以∥平面.
（2）由（1）可得：，
可得，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）由（1）可得：，
則點到平面的距離，
又因為，則邊的高，
所以三棱錐的體積.
18．（1）因為離心率為
由題意可知：，
則直線，即，
可得原點到直線的距離為，即，
由題意得：，解得：，
所以橢圓方程為.
（2）由（1）可知：，且直線與橢圓必相交，且斜率不為0，
可設(shè)直線為，
聯(lián)立橢圓方程，消去x可得，
則，
可得，
其中，
可得，
因為直線PQ為線段MN的垂直平分線，
則直線PQ：，
令得：，即，
所以，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的最小值為.
19．（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
因為，，，
則，可得，
由，即，解得，
所以.
（2）令，則，
可得
，
若為奇數(shù)，則，不合題意；
若為偶數(shù)，則，符合題意；
綜上所述：，可知數(shù)列的首項和公比均為9，
所以.
（3）因為，
則，
兩式相加可得
，
又因為，
則
，
即，則，
又因為，則，可知數(shù)列為遞增數(shù)列，
則，
可得，解得，
且，則，
所以的最大值.
20．（1）因為，所以，
所以，，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）因為，，所以，
設(shè)，，
則，其中恒成立，
設(shè)，，
則，
因為，所以，
所以當(dāng)，即時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
又，，
，，，
所以，使得，即，
所以對于，有，
當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)的極大值點，無極小值點，
所以函數(shù)有且僅有一個極值點.
（3）函數(shù)的所有零點之和大于，理由如下：
由（2）知，
，使得當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，
又，所以，，
因為，所以，所以，
所以，使得；，使得，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
又，，所以，
又，，
所以，使得，所以，
又，所以，
所以，使得，
又，
所以函數(shù)在區(qū)間上無零點；
故函數(shù)在上有兩個零點，且，
由可得：，
所以，，
又，所以，所以，所以，
所以，
又，所以，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，
所以函數(shù)的兩個零點之和大于.

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