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天津市第一中學2024 2025學年高三下學期五月月考數學試題
一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知兩個不同的平面，一條直線，下列命題是假命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
4．函數在的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
6．下列命題中錯誤的是（ ）
A．在回歸分析中，相關系數r的絕對值越大，兩個變量的線性相關性越強
B．若變量y與x之間存在線性相關關系，且根據最小二乘法得到的經驗回歸方程為，樣本點中心為，則樣本點的殘差為1.5
C．在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好
D．對分類變量X與Y，它們的隨機變量的觀測值k越小，說明“X與Y有關系”的把握越大
7．已知函數，如圖，是直線與曲線的兩個交點，若，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
8．已知拋物線的焦點為，縱坐標為的點在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則（ ）
A． B．2 C． D．
9．如圖，由兩個平行平面截半徑為2cm且足夠高的圓柱體所得的幾何體，截面與圓柱體的軸成，上、下截面間的距離為．天津一中學數學興趣小組對該幾何體進行了探究后得出下列四個結論，其中正確結論的個數是（ ）
①截口曲線的離心率為 ②
③該幾何體的體積為 ④該幾何體的側面積為
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題
10．已知i是虛數單位，復數 .
11．在的展開式中，常數項為 ．
12．甲、乙兩人的口袋中均裝有3個球，甲的3個球為2個黑球和1個白球，乙的3個球均為黑球（黑球和白球的大小，材質一樣）．兩人決定玩一場游戲：兩人各從口袋中任取1個球與對方交換，重復進行這樣的操作．第1次交換后，甲的口袋中黑球的個數為3的概率為 ；第2次交換后，甲的口袋中依然只有1個白球的概率為 ．
13．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過且斜率為的直線交雙曲線右支于點（在第一象限），的內心為，直線交軸于點，且，則雙曲線的離心率為 ．
14．如圖，在長方形ABCD中，，以AB為直徑在長方形內作半圓E，以BC為直徑在長方形外作半圓F，M，N分別是半圓E和半圓F上的動點，則的最大值為 ．
15．已知函數有2個零點，則a的取值范圍是
三、解答題
16．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求；
(2)為邊上一點，若，且，求的面積.
17．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，，E，F分別為AB，PD的中點．
（1）求證：．
（2）已知，二面角的大小為．
（i）求PB和AD所成角的余弦值；
（ii）求直線AC與平面EFC所成角的正弦值．
18．已知對稱軸都在坐標軸上的橢圓C過點與點，過點的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，直線，分別交直線于E，F兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)是否存在，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
19．已知數列滿足，，數列滿足，
（1）求、、的值，并證明數列是等比數列；
（2）證明：；
（3）表示不超過的最大整數，如，，設，求數列的前項和．
20．已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，且在上單調遞增，求的取值范圍；
(3)證明：當時，．
參考答案
1．C
2．B
3．A
4．A
5．D
6．D
7．B
8．A
9．C
10．4
11．
12．
13．
14．
15．
16．（1）方法一：因為，
所以由正弦定理可得，
又因為，
所以，
由于，所以，
所以，因為，所以；
方法二：因為，
所以由余弦定理可得，
整理可得，
所以，
因為，所以；
（2）方法一：由（1）及題設知，，，.
在中，由正弦定理得.
在中，由正弦定理得.
兩式相除可得，即，
在中，由余弦定理可得，即，
所以的面積；
方法二：如圖所示，過作，垂足為.
在中，，所以.
由于，所以，
所以，即，
得，后同方法一；
方法三：由（1）及題設知，，.
因為兩個三角形的高相同，所以與的面積之比等于，
又因為與的面積之比還等于，
所以，，后同方法一.
17．（1）如圖，連接，由平面，平面，得，
∵四邊形為菱形，∴，，故為等邊三角形，
∵為的中點，∴，故，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴．
（2）（i）由平面，平面，得．
以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
∵為正三角形，且，∴．
設，則，
∴，
由題意得，平面的一個法向量為．
設平面的法向量為，則
取，可得．
∴，解得，
∴，
∴，
即和所成角的余弦值為．
（ii）設直線與平面所成的角為．
由（i）知，平面的法向量為，
∵，
∴，
即直線與平面所成角的正弦值為.
18．（1）設橢圓C的方程為且，
因為橢圓C過點與點，所以，解得．
所以橢圓C的標準方程為．
（2）設直線，
由，得，
即，則．
直線的方程分別為．
令，則．
則，，
所以
當，即時，
當，即（舍正）時，
故要使為定值，則或
注：設直線方程，則
19．（1）因為數列滿足，，
則，，，，
又因為，所以，，，
所以，且，
所以數列是首項和公差均為的等比數列.
（2）由（1）可得，
所以
，
因此，
.
（3）當時，，
此時，
顯然，
所以，
，
所以，顯然，，
所以，
所以，，
又因為也滿足，
故對任意的，，
所以，數列的前項和為
.
20．（1）當時，，則，
，則，
故曲線在點處的切線方程為，即．
（2）令，
則，
因為，所以，
所以恒成立，
所以是上的增函數．
因為在上單調遞增，
所以在上恒成立，
所以只需，又，
故．
（3））因為，所以要證，
只需證，
令，該二次函數的圖象的對稱軸為直線，
令，則，
令，則，，則，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以在上單調遞增．
問題可轉化為證明，即證，
即證．
令，
則，
令，
則，
所以在上單調遞減，且，
所以當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即，證畢．

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