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2025年塘沽一中高三畢業(yè)班第三次模擬考試
數(shù) 學(xué)
第I卷
一. 選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
2．若是兩條直線，是兩個(gè)平面，且．設(shè)，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）．
A． B． C． D．
4．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
5.若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，為與的等差中項(xiàng)，
則( )
（A）29 （B）33 （C）31 （D）30
6．下列說法中，正確的是（ ）
A．已知一系列樣本點(diǎn)一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，若樣本點(diǎn)與的殘差相等，則
B．已知隨機(jī)變量，若，則
C．將5名同學(xué)分到三個(gè)組開展活動(dòng)，每個(gè)組至少1名，則不同分配方法數(shù)是240
D．每人參加一次游戲，每輪游戲有三個(gè)題目，每個(gè)題目答對(duì)的概率均為且相互獨(dú)立，若答對(duì)題數(shù)多于答錯(cuò)題數(shù)可得4分，否則得2分，則某人參加游戲得分的期望為3
7．已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，有以下結(jié)論：
① ②函數(shù)為偶函數(shù)
③ ④在上單調(diào)遞增
所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①② B．①③④ C．③④ D．①④
8．如圖1，在直角梯形中， ，為線段上的一點(diǎn)，，過作的平行線交于，將矩形翻折至與梯形垂直，得到六面體，如圖2，則六面體的體積為（ ）

A． B． C． D．
9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，漸近線方程為，過且斜率為的直線與在第一象限的交點(diǎn)為，的角平分線與線段交于點(diǎn)，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
第II卷
二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.
復(fù)數(shù)=(i是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的虛部為 ．
一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，則二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為 .
12．小糖、小依、小微、小來四位同學(xué)到塘一校園“海棠幽徑”、“泰斗雕像”、“合歡樹下”、“迎賓大道”4處景點(diǎn)追憶三年讀書時(shí)光. 若每人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“只有小糖去了海棠幽徑”，則 ， .
13. 已知拋物線和圓，若拋物線與圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù) .
在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊上的一點(diǎn)，交于H．若F是的中點(diǎn)，，則 ；若F在邊上（不含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是 ．
15．設(shè)，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值集合為 .
三. 解答題：本大題共5小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分14分）
在中，角的對(duì)邊分別為.設(shè)向量，，記.
(1)求函數(shù)的最大值；
(2)若=1,a=，求的面積.
17．在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，其中是棱的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面夾角的正弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離；
18．橢圓C：，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為C，原點(diǎn)為，P是橢圓上一點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線與橢圓C交于兩點(diǎn) （在下方，在上方），線段的中點(diǎn)為，若射線與橢圓及直線分別交于 兩點(diǎn)，且成等比數(shù)列. 求點(diǎn)到直線的距離的最大值;
19. 已知數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足對(duì)任意正整數(shù)，，若，則有．
求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
；記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
若，其中，，記，求的最小值；
20．已知函數(shù)．
(1) 當(dāng)時(shí)，求在x=1處的切線方程及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，，
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②求證：．

2025年塘沽一中高三畢業(yè)班第三次模擬考試數(shù)學(xué)答案
一. 選擇題：
1. A
2. C
3.B
4. C
5. D
6. D
7. B
8. D
9. D
二. 填空題
10.
11. 60
12.
13.
14.
15.
三. 解答題：
16. （1）因?yàn)椋?br/>所以
又因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以.
（2）知若，
因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理可得，則，
可得，即，
由（1）可得，則，
即，可得，
所以的面積
17. （1）連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
則平面；
（2）直線平面平面，
所以，且，
則以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系；
，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
由，得，
令，得，且，
所以，
直線與平面夾角的正弦值為；
（3）因?yàn)椋?br/>且平面的法向量為，
則點(diǎn)到平面的距離.
18. （1）, ,
橢圓的方程為.
（2）解：（i）聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，可得，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
射線斜率為
可得且射線的方程為，
聯(lián)立方程組，解得，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，知，可得，
故，可得，解得，
所以直線的方程為，所以直線恒過定點(diǎn)，
當(dāng)直線時(shí)，可得，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.

19. 解： ，，
兩式相減得，
即數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
在中，令，得，
即，，當(dāng)時(shí)，也符合該式，故；
由（1）知 ，
令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
則，
于是得，
兩式相減得： ，
因此，，
，
數(shù)列的前項(xiàng)和.


，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，
所以，的最小值為，此時(shí)；
20. （1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得．
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域，
由，得，
由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
（2）由，得，
①函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的實(shí)根．
設(shè)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根．
設(shè)，
，
再設(shè)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
注意到，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
所以在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
只需，
即所求．
②注意到，，要證，只需證．
由①知，，故有，即．
下面證明：．
設(shè)，
有，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，故有．
又，，且在上單調(diào)遞減，所以，即得．
因此，結(jié)論得證．

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