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四川省江油中學2024 2025學年高三下學期三診考前熱身訓練（4月）數學試題
一、單選題
1．設集合 ，則 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
3．若實數數列：，a，b，m，7成等差數列，則圓錐曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
4．直三棱柱中，分別是和的中點，則異面直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
5．已知直線與圓相交于A，兩點，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．定義雙曲余弦函數表達式為，定義雙曲正弦函數的表達式為.設函數，若實數滿足不等式，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7．函數的部分圖象如圖所示，若，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
8．設橢圓的一個焦點為，為內一點，若上存在一點，使得，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．某高中舉行的數學史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進行統計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區間為，若同一組中數據用該組區間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（ ）
A．考生參賽成績的平均分約為72.8分
B．考生參賽成績的第75百分位數約為82.5分
C．分數在區間內的頻率為0.2
D．用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為200的樣本，則成績在區間應抽取30人
10．已知復數滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
11．設計一個實用的門把手，其軸截面輪廓可以看作圖中的曲線的一部分，則（ ）
A．點在上
B．將在軸上方的部分看作函數的圖象，則是的極小值點
C．在點處作的切線，其與的交點的橫、縱坐標均為有理數
D．在軸左側的部分到坐標原點的距離均大于
三、填空題
12．的展開式中含的項的系數是 ．
13．通過實驗數據可知，盛于某容器中的某液體的蒸發速度y（單位；升/小時）與液體所處的環境溫度t（單位：℃）近似滿足函數關系（e為自然對數的底數，a，b為常數）．若該液體在環境溫度為10℃時的蒸發速度是0.2升/小時，在環境溫度為20℃時的蒸發速度是0.4升/小時，則該液體在環境溫度為 ℃時的蒸發速度為1.6升/小時．
14．已知半徑為1的球內切于上、下底面半徑分別為，的圓臺，若，則圓臺表面積的最小值為 .
四、解答題
15．某高校為了加快打造一流名校步伐，生源質量不斷改善．據統計，該校2018年到2024年所招的學生高考成績不低于600分的人數y與對應年份代號x的數據如下：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代號x 1 2 3 4 5 6 7
不低于600分的人數y（單位：人） 29 33 36 44 48 52 59
（1）若y關于x具有較強的線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程，并預測2025年該校所招的學生高考成績不低于600分的人數；
（2）今有A、B、C三位同學報考該校，已知A、B被錄取的概率均為，C被錄取的概率為，且每位同學是否被錄取相互不受影響，用X表示此3人中被錄取的人數，求X的分布列與數學期望．
參考公式：．
參考數據：，．
16．記的內角的對邊分別為，如圖，已知，點在邊上，.
（1）求；
（2）若，求線段的長.
17．已知數列滿足，（），記．
（1）求證：是等比數列；
（2）設，數列的前n項和為.
(ⅰ)求．
(ⅱ)若不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍．
18．已知函數，其中．
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）求的單調區間；
（3）當時，設的兩個零點為，求證：．
19．如圖1，已知拋物線的焦點為，準線交軸于點，過點作傾斜角為的直線交拋物線于兩點（點在第一象限）．當時，．
（1）求拋物線的方程；
（2）如圖2，把沿翻折為，使得二面角的大小為．
①若，求直線與平面所成角的正弦值；
②證明：三棱錐的體積為定值．
參考答案
1．D
2．D
3．D
4．C
5．B
6．B
7．A
8．C
9．BC
10．ABC
11．ACD
12．
13．40
14．
15．（1）根據表中數據，計算可得，，
，
又，，
則，
關于的回歸直線方程為，
令，可得，
即該高校年所招的學生高考成績不低于分的人數預測值為人；
（2）由條件可知，的所有可能取值為，
，
，
，
，
的分布列如下表所示：
.
16．（1）因為，
由正弦定理可得，即.
由余弦定理可得，又，所以.
在中，由正弦定理可得，
所以.
（2）在中，由正弦定理可得，
又，所以.
因為，所以為銳角，則為鈍角，
所以.
在中，由余弦定理可得，
即，
即，解得(負值舍去).
故線段的長為3.
17．（1），
，又，
所以，
又， ，
數列中任意一項不為0，，
數列是首項為2， 公比為2的等比數列，則. .
（2）(ⅰ) 由第（1）問知， ，則，設數列的前項和為，
所以①，②，
所以①-②可得：
，
所以. .
(ⅱ)由，得，化簡得.
當為奇數時，有，即，而，所以；
當為偶數時，有，而，所以.
綜上，的取值范圍為.
18．（1）因為函數，
所以，當時，，
則，即，，
故當時，曲線在處的切線方程為.
（2）由，
則，
當時，，在上，
所以在遞減；
當，，
令，則；
令，則，
故的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（3）當時，，
由（2）知在上單調遞增，在上單調遞減，
又，是的一個較小的零點，不妨設，
要證，只需證，
因為，且在上單調遞減，
從而只需證即可.
，
令，
，在上單調遞增.
，即，即.
19．（1）當時，，所以點的坐標為，
因為，所以，
解得，
所以拋物線的方程為．
（2）①在平面直角坐標系中，若，則直線的方程為，
聯立
所以點的坐標分別為．
過O點作平面的垂線為軸，如圖建立空間直角坐標系，則，
當二面角的大小為時，點，即，
所以，
設平面的法向量為，
則即解得取，得，
設直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
②由題意得．
，
當時，，
當時，在平面直角坐標系中，設直線的斜率為，則直線的方程為，
設點的坐標分別為，
聯立得，
則，
因為，所以，得，
所以，
，
綜上所述，三棱錐的體積為定值．

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