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2025年高考數(shù)學(xué)真題匯總解析
一、單選題
1．（2025·上海·高考真題）已知數(shù)列、、的通項公式分別為，、，.若對任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（ ）
A． 4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個
【答案】B
【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、由坐標判斷向量是否共線、數(shù)列不等式恒成立問題
【分析】由可知范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點解不等式可得.
【詳解】由題意，不妨設(shè)，
三點均在第一象限內(nèi)，由可知，，
故點恒在線段上，則有.
即對任意的，恒成立，
令，構(gòu)造函數(shù)，
則，由單調(diào)遞增，
又，存在，使，
即當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
故至多個零點，
又由，
可知存在個零點，不妨設(shè)，且.
①若，即時，此時或.
則，可知成立，
要使、、的值均能構(gòu)成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，即時，此時.
則，可知成立，
要使、、的值均能構(gòu)成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得或；
綜上可知，正整數(shù)的個數(shù)有個.
故選：B.
2．（2025·天津·高考真題）下列說法中錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．越接近1，相關(guān)性越強
D．越接近0，相關(guān)性越弱
【答案】B
【知識點】相關(guān)系數(shù)的意義及辨析、特殊區(qū)間的概率、指定區(qū)間的概率
【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.
【詳解】對于A，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，，A說法正確；
對于B，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，，B說法錯誤；
對于C和D，相關(guān)系數(shù)越接近0，相關(guān)性越弱，越接近1，相關(guān)性越強，故C和D說法正確.
故選：B
3．（2025·北京·高考真題）已知平面直角坐標系中，，，設(shè)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】數(shù)量積的運算律、已知數(shù)量積求模、坐標計算向量的模
【分析】先根據(jù)，求出，進而可以用向量表示出，即可解出．
【詳解】因為，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故選：D.
4．（2025·全國二卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】求等差數(shù)列前n項和、等差數(shù)列前n項和的基本量計算
【分析】由等差數(shù)列前n項和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項和公差d的方程求出首項和公差d，再由等差數(shù)列前n項和公式即可計算求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題可得 ，
所以.
故選：B.
5．（2025·天津·高考真題）已知函數(shù)的圖象如下，則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式
【分析】先由函數(shù)奇偶性排除AB，再由時函數(shù)值正負情況可得解.
【詳解】由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)和函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項AB；
又當時，此時，
由圖可知當時，，故C不符合，D符合.
故選：D
6．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域為D，則“函數(shù)的值域為”是“對任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【知識點】判斷命題的充分不必要條件、抽象函數(shù)的值域
【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.
【詳解】若函數(shù)的值域為，則對任意，一定存在，使得，
取，則，充分性成立；
取，，則對任意，一定存在，使得，
取，則，但此時函數(shù)的值域為，必要性不成立；
所以“函數(shù)的值域為”是“對任意，存在，使得”的充分不必要條件.
故選：A.
7．（2025·北京·高考真題）在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間（單位：小時），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加20小時；當訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加（單位：小時）（ ）
A．2 B．4 C．20 D．40
【答案】B
【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題
【分析】由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時所需的時間，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)當N取個單位、個單位、個單位時所需時間分別為,
由題意，，
，
，
因為，所以，
所以，
所以當訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加4小時.
故選：B.
8．（2025·北京·高考真題）集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】交集的概念及運算
【分析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運算即可解出.
【詳解】因為，所以，
故選：D.
9．（2025·全國一卷·高考真題）帆船比賽中，運動員可借助風(fēng)力計測定風(fēng)速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級、名稱與風(fēng)速大小的對應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運動員在某時刻測得的視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風(fēng)為（ ）
等級 風(fēng)速大小m/s 名稱
2 1.1~3.3 輕風(fēng)
3 3.4~5.4 微風(fēng)
4 5.5~7.9 和風(fēng)
5 8.0~10.1 勁風(fēng)
A．輕風(fēng) B．微風(fēng) C．和風(fēng) D．勁風(fēng)
【答案】A
【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、向量坐標的線性運算解決幾何問題、坐標計算向量的模
【分析】結(jié)合題目條件和圖寫出視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量和船行風(fēng)速對應(yīng)的向量，求出真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，得出真風(fēng)風(fēng)速的大小，即可由圖得出結(jié)論.
【詳解】由題意及圖得，
視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量為：，
視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，
船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反，
設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量為，船行風(fēng)速對應(yīng)的向量為，
∴，船行風(fēng)速：，
∴，
，
∴由表得，真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng)，
故選：A.
10．（2025·北京·高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算
【分析】先求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出．
【詳解】由可得，，所以，
故選：B.
11．（2025·天津·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】交并補混合運算
【分析】由集合的并集、補集的運算即可求解.
【詳解】由，則，
集合，
故
故選：D.
12．（2025·全國二卷·高考真題）已知集合則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】交集的概念及運算
【分析】求出集合后結(jié)合交集的定義可求.
【詳解】，故，
故選：D.
13．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)全集，集合，則中元素個數(shù)為（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【知識點】補集的概念及運算
【分析】根據(jù)補集的定義即可求出．
【詳解】因為，所以， 中的元素個數(shù)為，
故選：C．
14．（2025·上海·高考真題）己知事件A、B相互獨立，事件A發(fā)生的概率為，事件B發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知識點】獨立事件的乘法公式
【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式可求.
【詳解】因為相互獨立，故，
故選：B.
15．（2025·北京·高考真題）為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點（ ）
A．橫坐標變成原來的倍，縱坐標不變 B．橫坐標變成原來的2倍，縱坐標不變
C．縱坐標變成原來的倍，橫坐標不變 D．縱坐標變成原來的3倍，橫坐標不變
【答案】A
【知識點】求圖象變化前（后）的解析式
【分析】由，根據(jù)平移法則即可解出．
【詳解】因為，所以將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變成原來的倍，縱坐標不變，即可得到函數(shù)的圖象，
故選：A.
16．（2025·北京·高考真題）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由基本不等式比較大小
【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.
【詳解】對于A,當時，，故A錯誤；
對于BD，取，此時，
，故BD錯誤；
對于C，由基本不等式可得，故C正確.
故選：C.
17．（2025·北京·高考真題）已知是公差不為0的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（ ）
A． B． C．16 D．18
【答案】C
【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、等比中項的應(yīng)用、利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項
【分析】由等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運算即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為成等比數(shù)列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故選：C.
18．（2025·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點，則的最小值為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【知識點】正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用、由正弦（型）函數(shù)的周期性求值、輔助角公式
【分析】由輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點即可求解.
【詳解】函數(shù)，
設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由可得，
所以，即；
又函數(shù)在上存在零點，且當時，，
所以，即；
綜上，的最小值為4.
故選：C.
19．（2025·北京·高考真題）雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】先將雙曲線方程化成標準方程，求出，即可求出離心率．
【詳解】由得，，所以，
即，所以，
故選：B．
20．（2025·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為，以右焦點為焦點的拋物線與雙曲線交于第一象限的點P，若，則雙曲線的離心率（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】A
【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、拋物線定義的理解、根據(jù)拋物線方程求焦點或準線
【分析】利用拋物線與雙曲線的定義與性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理從而確定P的坐標，利用點在雙曲線上構(gòu)造齊次方程計算即可.
【詳解】根據(jù)題意可設(shè)，雙曲線的半焦距為，，則，
過作軸的垂線l，過作l的垂線，垂足為A，顯然直線為拋物線的準線，
則，
由雙曲線的定義及已知條件可知，則，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即離心率為2.
故選：
21．（2025·上海·高考真題）已知，C在上，則的面積（ ）
A．有最大值，但沒有最小值 B．沒有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既沒有最大值，也沒有最小值
【答案】A
【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求點到直線的距離
【分析】設(shè)出曲線上一點為，得出，將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),分析其單調(diào)性，從而求解.
【詳解】設(shè)曲線上一點為，則，則，
，方程為：，即，
根據(jù)點到直線的距離公式，到的距離為：，
設(shè)，
由于，顯然關(guān)于單調(diào)遞減，，無最小值，
即中，邊上的高有最大值，無最小值，
又一定，故面積有最大值，無最小值.
故選：A
22．（2025·全國一卷·高考真題）若圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】求點到直線的距離、圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）、坐標法的應(yīng)用——直線與圓的位置關(guān)系
【分析】先求出圓心到直線的距離，然后結(jié)合圖象，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，
在圓中，圓心，半徑為，
到直線的距離為的點有且僅有 個，
∵圓心到直線的距離為：，

故由圖可知，
當時，
圓上有且僅有一個點（點）到直線的距離等于；
當時，
圓上有且僅有三個點（點）到直線的距離等于；
當則的取值范圍為時，
圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于.
故選：B.
23．（2025·全國一卷·高考真題）若點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】求正切（型）函數(shù)的對稱中心、正切函數(shù)對稱性的應(yīng)用
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心的結(jié)論求解.
【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，的對稱中心橫坐標滿足，
即的對稱中心是，
即，
又，則時最小，最小值是，
即.
故選：B
24．（2025·全國一卷·高考真題）若實數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
【分析】法一：設(shè)，對討論賦值求出，即可得出大小關(guān)系，利用排除法求出；
法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.
【詳解】法一：設(shè)，所以
令，則，此時，A有可能；
令，則，此時，C有可能；
令，則，此時，D有可能；
故選：B．
法二：設(shè)，所以，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，
作出函數(shù)的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)的圖象與直線的交點縱坐標，如圖所示：
易知，隨著的變化可能出現(xiàn)：，，，，
故選：B．
25．（2025·全國二卷·高考真題）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化簡、求值、二倍角的余弦公式
【分析】利用二倍角余弦公式得，則，最后再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得到答案.
【詳解】，
因為，則，則，
則.
故選：D.
26．（2025·全國二卷·高考真題）設(shè)拋物線的焦點為點A在C上，過A作的準線的垂線，垂足為B，若直線BF的方程為，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知識點】根據(jù)拋物線方程求焦點或準線、拋物線的焦半徑公式
【分析】先由直線求出焦點和即拋物線的方程，進而依次得拋物線的準線方程和點B，從而可依次求出和，再由焦半徑公式即可得解.
【詳解】對，令，則，
所以，即拋物線，故拋物線的準線方程為，
故，則，代入拋物線得.
所以.
故選：C
27．（2025·全國二卷·高考真題）在中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】余弦定理解三角形
【分析】由余弦定理直接計算求解即可.
【詳解】由題意得，
又，所以.
故選：A
28．（2025·全國二卷·高考真題）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】分式不等式
【分析】移項后轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式的解即可.
【詳解】即為即，故，
故解集為，
故選：C.
29．（2025·全國二卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算
【分析】由復(fù)數(shù)除法即可求解.
【詳解】因為，所以.
故選：A.
30．（2025·全國二卷·高考真題）樣本數(shù)據(jù)2，8，14，16，20的平均數(shù)為（ ）
A．8 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【知識點】計算幾個數(shù)的平均數(shù)
【分析】由平均數(shù)的計算公式即可求解.
【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.
故選：C.
31．（2025·天津·高考真題），在上單調(diào)遞增，且為它的一條對稱軸，是它的一個對稱中心，當時，的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【知識點】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)、由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）
【分析】利用正弦函數(shù)的對稱性得出，根據(jù)單調(diào)性得出，從而確定，結(jié)合對稱軸與對稱中心再求出，得出函數(shù)解析式，利用整體思想及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】設(shè)的最小正周期為，根據(jù)題意有，，
由正弦函數(shù)的對稱性可知，
即，
又在上單調(diào)遞增，則，
∴，則，
∵，∴時，，∴，
當時，，
由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知.
故選：A
32．（2025·天津·高考真題）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】比較指數(shù)冪的大小、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小、判斷零點所在的區(qū)間
【分析】利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理計算即可.
【詳解】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以在定義域上單調(diào)遞減，
顯然，
所以根據(jù)零點存在性定理可知的零點位于.
故選：B
33．（2025·天津·高考真題），則數(shù)列的前項和為（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
【答案】C
【知識點】含絕對值的等差數(shù)列前n項和、利用an與sn關(guān)系求通項或項
【分析】先由題設(shè)結(jié)合求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合數(shù)列各項正負情況即可求解.
【詳解】因為，
所以當時，，
當時，，
經(jīng)檢驗，滿足上式，
所以，令，，
設(shè)數(shù)列的前n項和為，
則數(shù)列的前項和為
數(shù)列的前項和為
.
故選：C
34．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當時，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值
【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為的范圍中求解.
【詳解】由題知對一切成立，
于是.
故選：A
35．（2025·天津·高考真題）若m為直線，為兩個平面，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【知識點】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷
【分析】根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷BCD的正誤.
【詳解】對于A，若，則可平行或異面，故A錯誤；
對于B，若，則，故B錯誤；
對于C，兩條平行線有一條垂直于一個平面，則另一個必定垂直這個平面，
現(xiàn)，故，故C正確；
對于D，，則與可平行或相交或，故D錯誤；
故選：C.
36．（2025·全國一卷·高考真題）若雙曲線C的虛軸長為實軸長的倍，則C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】由題可知雙曲線中的關(guān)系，結(jié)合和離心率公式求解
【詳解】設(shè)雙曲線的實軸，虛軸，焦距分別為，
由題知，，
于是，則，
即.
故選：D
37．（2025·天津·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【知識點】判斷命題的充分不必要條件、特殊角的三角函數(shù)值
【分析】通過判斷是否能相互推出，由充分條件與必要條件的定義可得.
【詳解】由，則“”是“”的充分條件；
又當時，，可知，
故“”不是“”的必要條件，
綜上可知，“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
38．（2025·全國一卷·高考真題）的虛部為（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【知識點】求復(fù)數(shù)的實部與虛部、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及虛部的定義即可求出.
【詳解】因為，所以其虛部為1，
故選：C.
39．（2025·上海·高考真題）設(shè)．下列各項中，能推出的一項是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【知識點】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分類討論與1的關(guān)系即可判定選項.
【詳解】∵，∴，
當時，定義域上嚴格單調(diào)遞減，
此時若，則一定有成立，故D正確，C錯誤；
當時，定義域上嚴格單調(diào)遞增，要滿足，需，即A、B錯誤.
故選：D
二、多選題
40．（2025·全國二卷·高考真題）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則（ ）
A． B．當時，
C．當且僅當 D．是的極大值點
【答案】ABD
【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、求已知函數(shù)的極值點
【分析】對A，根據(jù)奇函數(shù)特點即可判斷；對B，利用代入求解即可；對C，舉反例即可；對D，直接求導(dǎo)，根據(jù)極大值點判定方法即可判斷.
【詳解】對A，因為定義在上奇函數(shù)，則，故A正確；
對B，當時，，則，故B正確；
對C，， 故C錯誤；
對D，當時，，則，
令，解得或（舍去），
當時，，此時單調(diào)遞增，
當時，，此時單調(diào)遞減，
則是極大值點，故D正確；
故選：ABD.
41．（2025·全國一卷·高考真題）已知的面積為，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【知識點】比較正弦值的大小、二倍角的余弦公式、三角恒等變換的化簡問題
【分析】對由二倍角公式先可推知A選項正確，方法一分情況比較和的大小，方法二亦可使用正余弦定理討論解決，方法三可結(jié)合射影定理解決，方法四可在法三的基礎(chǔ)上，利用和差化積公式，回避討論過程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面積求出三邊長，即可判斷每個選項.
【詳解】，由二倍角公式，，
整理可得，，A選項正確；
由誘導(dǎo)公式，，
展開可得，
即，
下證.
方法一：分類討論
若，則可知等式成立；
若，即，由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，同理，
又，于是，
與條件不符，則不成立；
若，類似可推導(dǎo)出，則不成立.
綜上討論可知，，即.
方法二：邊角轉(zhuǎn)化
時，由，則，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，則，
若，則，注意到，則，
于是（兩者同負會有兩個鈍角，不成立），于是，
結(jié)合，而都是銳角，則，
于是，這和相矛盾，
故不成立，則
方法三：結(jié)合射影定理（方法一改進）
由，結(jié)合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，
則，可同方法一種討論的角度，推出，
方法四：和差化積（方法一改進）
續(xù)法三：
，可知同時為或者異號，即，展開可得，
，
即，結(jié)合和差化積，，由上述分析，，則，則，則，即，于是，可知.
由，由，則，即，
則，同理，由上述推導(dǎo)，，則，
不妨設(shè)，則，即，
由兩角和差的正弦公式可知，C選項正確
由兩角和的正切公式可得，，
設(shè)，則，
由，則，則，
于是，B選項正確，由勾股定理可知，，D選項錯誤.
故選：ABC
42．（2025·全國二卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，為的公比，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【知識點】等比數(shù)列通項公式的基本量計算、求等比數(shù)列前n項和、等比數(shù)列前n項和的基本量計算
【分析】對A，根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前項和公式得到方程組，解出，再利用其通項公式和前項和公式一一計算分析即可.
【詳解】對A，由題意得，結(jié)合，解得或（舍去），故A正確；
對B，則，故B錯誤；
對C，，故C錯誤；
對D，，，
則，故D正確；
故選：AD.
43．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)拋物線的焦點為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于的直線交于E，過點A作準線l的垂線，垂足為D，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【知識點】拋物線定義的理解、求直線與拋物線相交所得弦的弦長、與拋物線焦點弦有關(guān)的幾何性質(zhì)
【分析】對于A，先判斷得直線為拋物線的準線，再利用拋物線的定義即可判斷；對于B，利用三角形相似證得，進而得以判斷；對于C，利用直線的反設(shè)法（法一）與正設(shè)法（法二），聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理與焦點弦公式可判斷C；利用利用三角形相似證得，，結(jié)合焦半徑公式可判斷D.
【詳解】法一：對于A，對于拋物線，
則，其準線方程為，焦點，
則為拋物線上點到準線的距離，為拋物線上點到焦點的距離，
由拋物線的定義可知，，故A正確；
對于B，過點作準線的垂線，交于點，
由題意可知，則，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
顯然為的斜邊，則，故B錯誤；
對于C，易知直線的斜率不為，
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，得，
易知，則，
又，，
所以，
當且僅當時取等號，故C正確；
對于D，在與中，，
所以，則，即，
同理，
又
，
，
所以，
則，故D正確.
故選：ACD.
法二：對于A，對于拋物線，
則，其準線方程為，焦點，
則為拋物線上點到準線的距離，為拋物線上點到焦點的距離，
由拋物線的定義可知，，故A正確；
對于B，過點作準線的垂線，交于點，
由題意可知，則，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
顯然為的斜邊，則，故B錯誤；
對于C，當直線的斜率不存在時，；
當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，消去，得，
易知，則，
所以
，
綜上，，故C正確；
對于D，在與中，，
所以，則，即，
同理，
當直線的斜率不存在時，，；
所以，即；
當直線的斜率存在時，，
，
所以，
則；
綜上，，故D正確.
故選：ACD.
44．（2025·全國一卷·高考真題）在正三棱柱中，D為BC中點，則（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】BD
【知識點】證明線面平行、證明線面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明、求平面的法向量
【分析】法一：對于A，利用空間向量的線性運算與數(shù)量積運算即可判斷；對于B，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷；對于D，利用線面平行的判定定理即可判斷；對于C，利用反證法即可判斷；法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項即可得解.
【詳解】法一：對于A，在正三棱柱中，平面，
又平面，則，則，
因為是正三角形，為中點，則，則
又，
所以，
則不成立，故A錯誤；
對于B，因為在正三棱柱中，平面，
又平面，則，
因為是正三角形，為中點，則，
又平面，
所以平面，故B正確；
對于D，因為在正三棱柱中，
又平面平面，所以平面，故D正確；
對于C，因為在正三棱柱中，，
假設(shè)，則，這與矛盾，
所以不成立，故C錯誤；
故選：BD.
法二：如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)該正三棱柱的底邊為，高為，
則，
對于A，，
則，
則不成立，故A錯誤；
對于BD，，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，令，則，
所以，，
則平面，平面，故BD正確；
對于C，，
則，顯然不成立，故C錯誤；
故選：BD.
45．（2025·全國二卷·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別是，左、右頂點分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點，且，則（ ）
A． B．
C．C的離心率為 D．當時，四邊形的面積為
【答案】ACD
【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、已知數(shù)量積求模、雙曲線的對稱性、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)判斷A；由且結(jié)合在漸近線上可求的坐標，從而可判斷B的正誤，或者利用三角函數(shù)定義和余弦定理也可判斷；由中線向量結(jié)合B的結(jié)果可得，計算后可判斷C的正誤，或者利用并結(jié)合離心率變形公式即可判斷；結(jié)合BC的結(jié)果求出面積后可判斷D的正誤.
【詳解】不妨設(shè)漸近線為，在第一象限，在第三象限，
對于A，由雙曲線的對稱性可得為平行四邊形，故，
故A正確；
對于B，方法一：因為在以為直徑的圓上，故且，
設(shè)，則，故，故，
由A得，故即，故B錯誤；
方法二：因為，因為雙曲線中，，
則，又因為以為直徑的圓與的一條漸近線交于、，則，
則若過點往軸作垂線，垂足為，則，則點與重合，則軸，則，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，則，
則為直角三角形，且，則，故B錯誤；
對于C，方法一：因為，故，
由B可知，
故即，
故離心率，故C正確；
方法二：因為，則，則，故C正確；
對于D，當時，由C可知，故，
故，故四邊形為，
故D正確，
故選：ACD.
三、填空題
46．（2025·全國一卷·高考真題）若直線是曲線的切線，則 .
【答案】
【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、導(dǎo)數(shù)的加減法
【分析】法一：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運算求得切點，進而代入曲線方程即可得解；法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運算得到關(guān)于切點與的方程組，解之即可得解.
【詳解】法一：對于，其導(dǎo)數(shù)為，
因為直線是曲線的切線，直線的斜率為2，
令，即，解得，
將代入切線方程，可得，
所以切點坐標為，
因為切點在曲線上，
所以，即，解得.
故答案為：.
法二：對于，其導(dǎo)數(shù)為，
假設(shè)與的切點為，
則，解得.
故答案為：.
47．（2025·全國二卷·高考真題）若是函數(shù)的極值點，則
【答案】
【知識點】求函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)的運算法則、根據(jù)極值點求參數(shù)
【分析】由題意得即可求解，再代入即可求解.
【詳解】由題意有，
所以，
因為是函數(shù)極值點，所以，得，
當時，，
當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，
當單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極小值點，符合題意；
所以.
故答案為：.
48．（2025·全國二卷·高考真題）一個底面半徑為，高為的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為 ．
【答案】
【知識點】圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析、球的截面的性質(zhì)及計算
【分析】根據(jù)圓柱與球的性質(zhì)以及球的體積公式可求出球的半徑；
【詳解】
圓柱的底面半徑為，設(shè)鐵球的半徑為r，且，
由圓柱與球的性質(zhì)知，
即，，
故答案為：.
49．（2025·上海·高考真題）已知全集，集合，則 ．
【答案】/
【知識點】補集的概念及運算、區(qū)間的定義與表示
【分析】根據(jù)補集的含義即可得到答案.
【詳解】根據(jù)補集的含義知.
故答案為：.
50．（2025·天津·高考真題）中，D為AB邊中點，，則 （用，表示），若，，則
【答案】 ；
【知識點】向量減法的法則、用基底表示向量、數(shù)量積的運算律
【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可空一，應(yīng)用數(shù)量積運算律計算求解空二.
【詳解】如圖，
因為，所以，所以．
因為D為線段的中點，所以；
又因為，所以，
，所以
所以，
所以
．
故答案為：；.
51．（2025·全國一卷·高考真題）一個箱子里有5個相同的球，分別以1~5標號，若每次取一顆，有放回地取三次，記至少取出一次的球的個數(shù)X，則數(shù)學(xué)期望 .
【答案】/
【知識點】寫出簡單離散型隨機變量分布列、求離散型隨機變量的均值、均值的性質(zhì)
【分析】法一：根據(jù)題意得到的可能取值，再利用分步乘法原理與古典概型的概率公式求得的分布列，從而求得；法二，根據(jù)題意假設(shè)隨機變量，利用對立事件與獨立事件的概率公式求得，進而利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求得.
【詳解】法一：依題意，的可能取值為1、2、3，
總的選取可能數(shù)為，
其中：三次抽取同一球，選擇球的編號有5種方式，
故，
：恰好兩種不同球被取出（即一球出現(xiàn)兩次，另一球出現(xiàn)一次），
選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式，選取出現(xiàn)一次的球有4種方式，
其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能，故事件的可能情況有種，
故，
：三種不同球被取出，
由排列數(shù)可知事件的可能情有況種，
故，
所以
.
故答案為：.
法二：依題意，假設(shè)隨機變量，其中：
其中，則，
由于球的對稱性，易知所有相等，
則由期望的線性性質(zhì)，得，
由題意可知，球在單次抽取中未被取出的概率為，
由于抽取獨立，三次均未取出球的概率為，
因此球至少被取出一次的概率為：，
故，
所以.
故答案為：.
52．（2025·天津·高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為 ；若一周至少跑11圈為動量達標，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望
【答案】
【知識點】計算條件概率、二項分布的均值、利用全概率公式求概率
【分析】先根據(jù)全概率公式計算求解空一，再求出概率根據(jù)二項分布數(shù)學(xué)期望公式計算求解.
【詳解】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A，設(shè)第一次跑5圈為事件，設(shè)第二次跑5圈為事件，
則；
若至少跑11圈為運動量達標為事件，，
所以，；
故答案為：；
53．（2025·北京·高考真題）某科技興趣小組通過3D打印機的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個平行多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，則該多面體的體積為 ．
【答案】
【知識點】柱體體積的有關(guān)計算、錐體體積的有關(guān)計算、證明線面垂直、證明面面垂直
【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱和四棱錐后結(jié)合體積公式可求幾何體的體積.
【詳解】先證明一個結(jié)論：如果平面平面，平面平面，平面，則.
證明：設(shè)，， 在平面取一點，，
在平面內(nèi)過作直線，使得，作直線，使得，
因為平面平面，，故，而，故，
同理，而，故 .
下面回歸問題.
連接，因為且，故，同理，，
而，故直角梯形與直角梯形全等，
故，
在直角梯形中，過作，垂足為，
則四邊形為矩形，且為以為直角的等腰直角三角形，
故，
平面平面，平面平面，,
平面，故平面，
取的中點為，的中點為，的中點為，連接，
則，同理可證平面，而平面，
故平面平面，同理平面平面，
而平面平面，故平面，
故，故四邊形為平行四邊形，故.
在平面中過作，交于，連接.
則四邊形為平行四邊形，且，故，
故四邊形為平行四邊形，
而平面，
故平面，故平面平面，
而，故，
故幾何體為直棱柱，
而，故,
因為，故平面，
而平面，故平面平面，
在平面中過作，垂足為，同理可證平面，
而，故，故，
由對稱性可得幾何體的體積為，
故答案為：.
54．（2025·北京·高考真題）已知，且，，寫出滿足條件的一組 ， ．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【知識點】找出終邊相同的角、誘導(dǎo)公式二、三、四
【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)的關(guān)系可得角的等量關(guān)系，從而可得滿足條件的一組解.
【詳解】因為，，
所以的終邊關(guān)于軸，且不與軸重合，
故且，
即，
故取可滿足題設(shè)要求；
故答案為：，（答案不唯一）
55．（2025·北京·高考真題）關(guān)于定義域為R的函數(shù)，以下說法正確的有 ．
①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；
②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；
③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個；
④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個．
【答案】②③
【知識點】求抽象函數(shù)的解析式、誘導(dǎo)公式二、三、四
【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗證后可判斷②③的正誤.
【詳解】對于①，若存在上的增函數(shù)，滿足，
則即，
故時，，故，
故即，矛盾，故①錯誤；
對于②，取，該函數(shù)為上的減函數(shù)且，
故該函數(shù)符合，故②正確；
對于③，取，
此時，由可得有無窮多個，
故③正確；
對于④，若存在，使得，
令，則，但，矛盾，
故滿足的函數(shù)不存在，故④錯誤.
故答案為：②③
56．（2025·北京·高考真題）拋物線的頂點到焦點的距離為3，則 ．
【答案】
【知識點】根據(jù)拋物線方程求焦點或準線
【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可求的值.
【詳解】因為拋物線的頂點到焦距的距離為，故，故，
故答案為：.
57．（2025·北京·高考真題）已知，則 ； ．
【答案】
【知識點】求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和
【分析】利用賦值法可求，利用換元法結(jié)合賦值法可求的值.
【詳解】令，則，
又，
故，
令，則，
令，則，故
故答案為：.
58．（2025·全國一卷·高考真題）若一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為 .
【答案】
【知識點】等比數(shù)列通項公式的基本量計算、等比數(shù)列前n項和的基本量計算
【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項公式與前項和的定義，得到關(guān)于的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前項和性質(zhì)得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，
設(shè)的公比為，
當時，，即，則，顯然不成立，舍去；
當時，則，
兩式相除得，即，
則，所以，
所以該等比數(shù)列公比為2.
故答案為：.
法二：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，
設(shè)的公比為，
所以，
，
所以，則，所以，
所以該等比數(shù)列公比為2.
故答案為：2.
法三：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，
設(shè)的公比為，
因為，
又，
所以，所以，
所以該等比數(shù)列公比為.
故答案為：.
59．（2025·上海·高考真題）小申同學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有兩根長為1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點分別為A、B，它們在陽光的照射下呈現(xiàn)出影子，陽光可視為平行光：其中一根桿子的影子在水平面上，長度為0.4米；另一根桿子的影子完全在斜面上，長度為0.45米．則斜面的底角 ．（結(jié)果用角度制表示，精確到）
【答案】
【知識點】三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用
【分析】先根據(jù)在處的旗桿算出陽光和水平面的夾角，然后結(jié)合處的旗桿算出斜面角.
【詳解】如圖，在處，，在處滿足，
（其中水平面，是射過處桿子最高點的光線，光線交斜面于），
故設(shè)，則，
由勾股定理，，解得，
于是
故答案為：
60．（2025·天津·高考真題）若，對，均有恒成立，則的最小值為
【答案】
【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】先設(shè)，根據(jù)不等式的形式，為了消可以取，得到，驗證時，是否可以取到，進而判斷該最小值是否可取即可得到答案.
【詳解】設(shè)，原題轉(zhuǎn)化為求的最小值，
原不等式可化為對任意的，，
不妨代入，得，得，
當時，原不等式可化為，
即，
觀察可知，當時，對一定成立，當且僅當取等號，
此時，，說明時，均可取到，滿足題意，
故的最小值為.
故答案為：
61．（2025·全國二卷·高考真題）已知平面向量若，則
【答案】
【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、坐標計算向量的模、向量垂直的坐標表示
【分析】根據(jù)向量坐標化運算得，再利用向量垂直的坐標表示得到方程，解出即可.
【詳解】，因為，則，
則，解得.
則，則.
故答案為：.
62．（2025·天津·高考真題），與x軸交于點A，與y軸交于點B，與交于C、D兩點，，則 ．
【答案】2
【知識點】圓的弦長與中點弦、已知圓的弦長求方程或參數(shù)
【分析】先根據(jù)兩點間距離公式得出，再計算出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式列等式求解即可.
【詳解】因為直線與軸交于，與軸交于，所以，所以，
圓的半徑為，圓心到直線的距離為，
故，解得；
故答案為：2.
63．（2025·天津·高考真題）在的展開式中，項的系數(shù)為 ．
【答案】
【知識點】求指定項的系數(shù)
【分析】根據(jù)二項式定理相關(guān)知識直接計算即可.
【詳解】展開式的通項公式為，
當時，，
即展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
64．（2025·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，則 ．
【答案】
【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算
【分析】先由復(fù)數(shù)除法運算化簡，再由復(fù)數(shù)模長公式即可計算求解.
【詳解】先由題得，所以.
故答案為：
65．（2025·上海·高考真題）已知，是平面內(nèi)三個不同的單位向量．若，則可的取值范圍是 ．
【答案】
【知識點】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、輔助角公式、垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的坐標表示
【分析】利用分段函數(shù)值分類討論，可得，再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系設(shè)出坐標，利用坐標運算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.
【詳解】若，則，
又三個向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量兩兩垂直，顯然不成立；
故.
不妨設(shè)，則，
不妨設(shè)，，
則，則，
則
，
由，，
則，
故.
故答案為：.
66．（2025·上海·高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是 ．
【答案】
【知識點】求復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念及計算
【分析】先設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘方運算及概念確定，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合計算即可.
【詳解】設(shè)，
由題意可知，則，
又，由復(fù)數(shù)的幾何意義知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在單位圓內(nèi)部（含邊界）的坐標軸上運動，如圖所示即線段上運動，
設(shè)，則，由圖象可知，
所以.
故答案為：
67．（2025·上海·高考真題）4個家長和2個兒童去爬山，6個人需要排成一條隊列，要求隊列的頭和尾均是家長，則不同的排列個數(shù)有 種．
【答案】288
【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、元素（位置）有限制的排列問題
【分析】先選家長作隊尾和隊首，再排中間四人即可.
【詳解】先選兩位家長排在首尾有種排法；再排對中的四人有種排法，
故有種排法.
故答案為：288
68．（2025·上海·高考真題）設(shè)，則的最小值為 ．
【答案】4
【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】靈活利用“1”將展開利用基本不等式計算即可.
【詳解】易知，
當且僅當，即時取得最小值.
故答案為：4
69．（2025·上海·高考真題）如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為 ．

【答案】
【知識點】柱體體積的有關(guān)計算
【分析】求出側(cè)棱長和底面邊長后可求體積.
【詳解】因為且四邊形為正方形，故，
而，故，故，
故所求體積為，
故答案為：.
70．（2025·上海·高考真題）已知隨機變量X的分布為，則期望 ．
【答案】
【知識點】求離散型隨機變量的均值
【分析】根據(jù)分布列結(jié)合期望公式可求期望.
【詳解】由題設(shè)有.
故答案為：.
71．（2025·上海·高考真題）在二項式的展開式中，的系數(shù)為 ．
【答案】
【知識點】求指定項的系數(shù)
【分析】利用通項公式求解可得.
【詳解】由通項公式，
令，得，
可得項的系數(shù)為.
故答案為：.
72．（2025·上海·高考真題）己知等差數(shù)列的首項，公差，則該數(shù)列的前6項和為 ．
【答案】
【知識點】求等差數(shù)列前n項和
【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.
【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，.
故答案為：
73．（2025·上海·高考真題）不等式的解集為 ．
【答案】
【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式
【分析】轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解出即可.
【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為，解得，
則其解集為.
故答案為：.
四、解答題
74．（2025·北京·高考真題）函數(shù)的定義域為，為處的切線．
(1)的最大值；
(2)證明：當時，除點A外，曲線均在上方；
(3)若時，直線過A且與垂直，，分別于x軸的交點為與，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；
（2）求出直線的方程，再構(gòu)造函數(shù)，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；
（3）求出直線的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母表示出，從而求出范圍.
【詳解】（1）設(shè)，，
由可得，當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以的最大值為.
（2）因為，所以直線的方程為，即，
設(shè)，，
由（1）可知，在上單調(diào)遞增，而，
所以，當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，且，
而當時，，所以總有，單調(diào)遞增
故，從而命題得證；
（3）由可設(shè)，又，所以，即，
因為直線的方程為，易知，
所以直線的方程為,
，.
所以
,由（1）知,當時，，所以,
所以.
75．（2025·上海·高考真題）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；
【答案】(1)
(2)且.
【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）先求出，從而原不等式即為，構(gòu)建新函數(shù)，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式的解；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因為，故，故，故，
故即為，
設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，
而即為，故，
故原不等式的解為.
（2）在有極大值即為有極大值點.
，
若，則時，，時，，
故為的極小值點，無極大值點，故舍；
若即，則時，，
時，，
故為的極大值點，符合題設(shè)要求；
若，則時，，無極值點，舍；
若即，則時，，
時，，
故為的極大值點，符合題設(shè)要求；
綜上，且.
76．（2025·全國二卷·高考真題）已知函數(shù)，其中．
(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點和唯一的零點；
(2)設(shè)分別為在區(qū)間的極值點和零點.
（i）設(shè)函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；
（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)證明見解析；
(2)（i）證明見解析；（ii），證明見解析.
【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、求已知函數(shù)的極值點
【分析】（1）先由題意求得，接著構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進而得證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點；再結(jié)合和時的正負情況即可得證在區(qū)間上存在唯一零點；
（2）（i）由（1）和結(jié)合（1）中所得導(dǎo)函數(shù)計算得到，再結(jié)合得即可得證；
（ii）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減得到，再結(jié)合，
和函數(shù)的單調(diào)性以以及函數(shù)值的情況即可得證.
【詳解】（1）由題得，
因為，所以，設(shè)，
則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
，令，
所以當時，，則；當時，，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上存在唯一極值點，
對函數(shù)有在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，
又因為，時，
所以時，
所以存在唯一使得，即在上存在唯一零點.
（2）（i）由（1）知，則，，
，
則
，
，
，
即在上單調(diào)遞減.
（ii），證明如下：
由（i）知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以即，又，
由（1）可知在上單調(diào)遞減，，且對任意，
所以.
77．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足，
(1)證明：為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【知識點】導(dǎo)數(shù)的運算法則、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、求等比數(shù)列前n項和、錯位相減法求和
【分析】（1）根據(jù)題目所給條件化簡，即可證明結(jié)論；
（2）先求出的通項公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以，作差并利用等比數(shù)列前項和得出導(dǎo)函數(shù)表達式，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）由題意證明如下，，
在數(shù)列中，，，
∴，即，
∴是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.
（2）由題意及（1）得，，
在數(shù)列中，首項為3，公差為1，
∴，即，
在中，
，
∴，
當且時，
∴，
∴
∴
.
78．（2025·北京·高考真題）有一道選擇題考查了一個知識點，甲、乙兩校各隨機抽取100人，甲校有80人答對，乙校有75人答對，用頻率估計概率．
(1)從甲校隨機抽取1人，求這個人做對該題目的概率．
(2)從甲、乙兩校各隨機抽取1人，設(shè)X為做對的人數(shù)，求恰有1人做對的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．
(3)若甲校同學(xué)掌握這個知識點則有的概率做對該題目，乙校同學(xué)掌握這個知識點則有的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學(xué)都是從四個選項里面隨機選擇一個，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識點的概率為，乙校學(xué)生掌握該知識點的概率為，試比較與的大小（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)，
(3)
【知識點】用頻率估計概率、獨立事件的乘法公式、求離散型隨機變量的均值、利用全概率公式求概率
【分析】（1）用頻率估計概率后可得從甲校隨機抽取1人做對該題目的概率；
（2）利用獨立事件可求恰有1人做對的概率及的分布列，從而可求其期望；
（3）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的方程，求出其解后可得它們的大小關(guān)系.
【詳解】（1）用頻率估計概率，從甲校隨機抽取1人，做對題目的概率為.
（2）設(shè)為“從甲校抽取1人做對”，則，則，
設(shè)為“從乙校抽取1人做對”，則，則，
設(shè)為“恰有1人做對”，故，
而可取，
，，，
故的分布列如下表：
故.
（3）設(shè)為 “甲校掌握該知識的學(xué)生”，
因為甲校掌握這個知識點則有的概率做對該題目，
未掌握該知識點的同學(xué)都是從四個選項里面隨機選擇一個，
故即，故，
同理有，故，
故.
79．（2025·全國一卷·高考真題）（1）設(shè)函數(shù),求在的最大值；
（2）給定，設(shè)a為實數(shù)，證明：存在，使得；
（3）若存在使得對任意x，都有，求b的最小值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、解余弦不等式
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角變換得導(dǎo)數(shù)零點，討論導(dǎo)數(shù)的符號后得單調(diào)性，從而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反證法可證三角不等式有解；
（3）先考慮時的范圍，對于時，可利用（2）中的結(jié)論結(jié)合特值法求得，從而可得的最小值；或者先根據(jù)函數(shù)解析特征得，再結(jié)合特值法可得，結(jié)合（1）的結(jié)果可得的最小值.
【詳解】（1）法1：，
因為，故，故，
當時，即，
當時，即，
故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
故在上的最大值為.
法2：我們有
.
所以：
.
這得到，同時又有，
故在上的最大值為，在上的最大值也是.
（2）法1：由余弦函數(shù)的性質(zhì)得的解為，，
若任意與交集為空，
則且，此時無解，
矛盾，故無解；故存在，使得，
法2：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知的解為，
若每個與交集都為空，
則對每個，必有或之一成立.
此即或，但長度為的閉區(qū)間上必有一整數(shù)，該整數(shù)不滿足條件，矛盾.
故存在，使得成立.
（3）法1：記，
因為，
故為周期函數(shù)且周期為,故只需討論的情況.
當時，，
當時，，
此時，
令，則，
而，
，故，
當，在（2）中取，則存在，使得，
取，則，取即，
故，故，
綜上，可取，使得等號成立.
綜上，.
法2：設(shè).
①一方面，若存在，使得對任意恒成立，則對這樣的，同樣有.
所以對任意恒成立，這直接得到.
設(shè)，則根據(jù)恒成立，有
所以均不超過，
再結(jié)合，
就得到均不超過.
假設(shè)，則，
故.
但這是不可能的，因為三個角和單位圓的交點將單位圓三等分，這三個點不可能都在直線左側(cè).
所以假設(shè)不成立，這意味著.
②另一方面，若，則由（1）中已經(jīng)證明，
知存在，使得
.
從而滿足題目要求.
綜合上述兩個方面，可知的最小值是.
80．（2025·北京·高考真題）已知的離心率為，橢圓上的點到兩焦點距離之和為4，
(1)求橢圓方程；
(2)設(shè)O為原點，為橢圓上一點，直線與直線，交于A，B．與的面積為，比較與的大小．
【答案】(1)
(2)
【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積
【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出，再根據(jù)的關(guān)系求出，即可得到橢圓方程；
（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點坐標，即可求出，再根據(jù)，即可得出它們的大小關(guān)系.
法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關(guān)系得到，再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.
【詳解】（1）由橢圓可知，，所以，又，所以，，
故橢圓方程為；
（2）聯(lián)立，消去得，，
整理得，①，
又，所以，，
故①式可化簡為，即，所以，
所以直線與橢圓相切，為切點.
設(shè)，易知，當時，由對稱性可知，．
故設(shè)，易知，
聯(lián)立，解得，
聯(lián)立，解得，
所以
，
，
故．
法二：不妨設(shè)，易知，當時，由對稱性可知，．
故設(shè)，
聯(lián)立，解得，
聯(lián)立，解得，
則，，,
又，所以，
所以
，
，
則，即，
所以.
81．（2025·北京·高考真題），從M中選出n個有序數(shù)對構(gòu)成一列：．相鄰兩項滿足：或，稱為k列．
(1)若k列的第一項為，求第二項．
(2)若為k列，且滿足i為奇數(shù)時，：i為偶數(shù)時，；判斷：與能否同時在中，并說明；
(3)證明：M中所有元素都不構(gòu)成k列．
【答案】(1)或
(2)不能，理由見解析
(3)證明過程見解析
【知識點】集合新定義
【分析】（1）根據(jù)新定義即可得解；
（2）假設(shè)與能同時在中，導(dǎo)出矛盾，從而得出與不能同時在中的結(jié)論；
（3）假設(shè)全體元素構(gòu)成一個列，通過構(gòu)造導(dǎo)出矛盾，從而得到要證明的結(jié)論.
【詳解】（1）根據(jù)題目定義可知，或，
若第一項為，顯然或不符合題意（不在集合中），所以下一項是或；
（2）假設(shè)二者同時出現(xiàn)在中，由于列取反序后仍是列，故可以不妨設(shè)在之前.
顯然，在列中，相鄰兩項的橫縱坐標之和的奇偶性總是相反的，所以從到必定要向下一項走奇數(shù)次.
但又根據(jù)題目條件，這兩個點的橫坐標均在中，所以從到必定要向下一項走偶數(shù)次.
這導(dǎo)致矛盾，所以二者不能同時出現(xiàn)在中.
（3）法1：若中的所有元素構(gòu)成列，考慮列中形如的項，
這樣的項共有個，由題知其下一項為，共計16個，
而，因為只能6由2來，3只能由7來，
橫、縱坐標不能同時相差4，這樣下一項只能有12個點，
即對于16個，有12個與之相對應(yīng)，矛盾．
綜上，M中所有元素都無法構(gòu)成列．
法2：全體元素構(gòu)成一個列，則.
設(shè)，.
則和都包含個元素，且中元素的相鄰項必定在中.
如果存在至少兩對相鄰的項屬于，那么屬于的項的數(shù)目一定多于屬于的項的數(shù)目，
所以至多存在一對相鄰的項屬于.
如果存在，則這對相鄰的項的序號必定形如和，
否則將導(dǎo)致屬于的項的個數(shù)比屬于的項的個數(shù)多2，此時.
從而這個序列的前項中，第奇數(shù)項屬于，第偶數(shù)項屬于；
這個序列的后項中，第奇數(shù)項屬于，第偶數(shù)項屬于.
如果不存在相鄰的屬于的項，那么也可以看作上述表示在或的特殊情況.
這意味著必定存在，使得.
由于相鄰兩項的橫縱坐標之和的奇偶性必定相反，故中橫縱坐標之和為奇數(shù)的點和橫縱坐標之和為偶數(shù)的點的數(shù)量一定分別是和（不一定對應(yīng)）.
但容易驗證，和都包含個橫縱坐標之和為奇數(shù)的點和個橫縱坐標之和為偶數(shù)的點，所以，得.
從而有.
這就得到.
再設(shè)，.
則同理有.
這意味著.
從而得到，但顯然它們是不同的集合，矛盾.
所以全體元素不能構(gòu)成一個列.
82．（2025·全國二卷·高考真題）甲、乙兩人進行乒乓球練習(xí)，每個球勝者得1分，負者得0分．設(shè)每個球甲勝的概率為，乙勝的概率為q，，且各球的勝負相互獨立，對正整數(shù)，記為打完k個球后甲比乙至少多得2分的概率，為打完k個球后乙比甲至少多得2分的概率．
(1)求（用p表示）．
(2)若，求p．
(3)證明：對任意正整數(shù)m，．
【答案】(1)，
(2)
(3)證明過程見解析
【知識點】計算古典概型問題的概率、服從二項分布的隨機變量概率最大問題、建立二項分布模型解決實際問題
【分析】（1）直接由二項分布概率計算公式即可求解；
（2）由題意，聯(lián)立，即可求解；
（3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得證.
【詳解】（1）為打完3個球后甲比乙至少多得兩分的概率，故只能甲勝三場，
故所求為，
為打完4個球后甲比乙至少多得兩分的概率，故甲勝三場或四場，
故所求為；
（2）由（1）得，，同理，
若，，
則，
由于，所以，解得；
（3）我們有
.
以及
.
至此我們得到，，同理有，.
故，即.
另一方面，由于
且同理有.
故結(jié)合，
就能得到，即，證畢.
83．（2025·北京·高考真題）四棱錐中，與為等腰直角三角形，，E為BC的中點．
(1)F為的中點，G為PE的中點，證明：面PAB；
(2)若面ABCD，，求AB與面PCD所成角的正弦值．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【知識點】證明線面平行、線面角的向量求法
【分析】（1）取PA的中點N，PB的中點M，連接FN、MN，只需證明即可；
（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.
【詳解】（1）取PA的中點N，PB的中點M，連接FN、MN，
與為等腰直角三角形
不妨設(shè)
，E、F分別為BC、PD的中點，，
，
，
，
∴四邊形FGMN為平行四邊形，
，
面PAB，面PAB，面PAB；
（2）面ABCD，以A為原點，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)，則
設(shè)面PCD的一個法向量為
取
設(shè)AB與面PCD成的角為
則
即AB與平面PCD成角的正弦值為.
84．（2025·北京·高考真題）在中，．
(1)求c；
(2)在以下三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求BC的高．
①；②；③面積為．
【答案】(1)6
(2)答案見解析
【知識點】正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；
（2）若選①，可得都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理、平方關(guān)系求得，，進一步由求得高，并說明此時三角形存在即可；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得，再根據(jù)余弦定理可求得，由此可說明三角形存在，且可由等面積法求解.
【詳解】（1）因為，所以，
由正弦定理有，解得；
（2）如圖所示，若存在，則設(shè)其邊上的高為，
若選①，，因為，所以，因為，這表明此時三角形有兩個鈍角，
而這是不可能的，所以此時三角形不存在，故邊上的高也不存在；
若選②，，由正弦定理有，解得，
此時，，
而，，，
所以，可以唯一確定，
所以此時也可以唯一確定，
這表明此時三角形是存在的，且邊上的高；
若選③，的面積是，則，
解得，由余弦定理可得可以唯一確定，
進一步由余弦定理可得也可以唯一確定，即可以唯一確定，
這表明此時三角形是存在的，且邊上的高滿足：，即.
85．（2025·全國一卷·高考真題）如圖所示的四棱錐中，平面，．
(1)證明：平面平面；
(2)，，，，在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為．
（i）證明：在平面上；
（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)（i）證明見解析；
（ii）.
【知識點】多面體與球體內(nèi)切外接問題、求異面直線所成的角、證明面面垂直、異面直線夾角的向量求法
【分析】（1）通過證明，，得出平面，即可證明面面垂直；
（2）（i）法一：建立空間直角坐標系并表達出各點的坐標，假設(shè)在同一球面上，在平面中，得出點坐標，進而得出點在空間中的坐標，計算出，即可證明結(jié)論；
法二：作出的邊和的垂直平分線，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距離相等，得出外心即為，，，所在球的球心，即可證明結(jié)論；
（ii）法一：寫出直線和的方向向量，即可求出余弦值.
法二：求出的長，過點作的平行線，交的延長線為，連接，，利用勾股定理求出的長，進而得出的長，在中由余弦定理求出，即可求出直線與直線所成角的余弦值.
【詳解】（1）由題意證明如下，
在四棱錐中，⊥平面，，
平面，平面，
∴，，
∵平面，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）（i）由題意及（1）證明如下，
法一：
在四棱錐中，，，，∥，
，，
建立空間直角坐標系如下圖所示，
∴，
若，，，在同一個球面上，
則，
在平面中，
∴，
∴線段中點坐標，
直線的斜率：，
直線的垂直平分線斜率：，
∴直線的方程：，
即，
當時，，解得：，
∴
在立體幾何中，，
∵
解得：，
∴點在平面上.
法二：
∵，，，在同一個球面上，
∴球心到四個點的距離相等
在中，到三角形三點距離相等的點是該三角形的外心，
作出和的垂直平分線，如下圖所示，
由幾何知識得，
，，
，
∴，
∴點是的外心，
在Rt中，，，
由勾股定理得，
∴，
∴點即為點，，，所在球的球心，
此時點在線段上，平面，
∴點在平面上.
（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，
，
設(shè)直線與直線所成角為，
∴.
法2：
由幾何知識得，，
，∥，
∴，
在Rt中，，，由勾股定理得，
，
過點作的平行線，交的延長線為，連接，，
則，直線與直線所成角即為中或其補角.
∵平面，平面，，
∴，
在Rt中，，，由勾股定理得，
，
在Rt中，，由勾股定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直線與直線所成角的余弦值為：.
86．（2025·全國二卷·高考真題）已知橢圓的離心率為，長軸長為4．
(1)求C的方程；
(2)過點的直線l與C交于兩點，為坐標原點，若的面積為，求．
【答案】(1)
(2)
【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積
【分析】（1）根據(jù)長軸長和離心率求出基本量后可得橢圓方程；
（2）設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程后結(jié)合韋達定理用參數(shù)表示面積后可求的值，從而可求弦長.
【詳解】（1）因為長軸長為4，故，而離心率為，故，
故，故橢圓方程為：.
（2）
由題設(shè)直線的斜率不為0，故設(shè)直線，，
由可得，
故即，
且，
故，
解得，
故.
87．（2025·全國二卷·高考真題）如圖，在四邊形中，，F(xiàn)為CD的中點，點E在AB上，，，將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．
(1)證明:平面；
(2)求面與面所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】證明線面平行、求二面角、面面角的向量求法
【分析】（1）先應(yīng)用線面平行判定定理得出平面及平面，
再應(yīng)用面面平行判定定理得出平面平面，進而得出線面平行；
（2）建立空間直角坐標系，利用已知條件將點的坐標表示出來，然后將平面及平面的法向量求出來，利用兩個法向量的數(shù)量積公式可將兩平面的夾角余弦值求出來，進而可求得其正弦值.
【詳解】（1）設(shè)，所以，因為為中點，所以，因為，，所以是平行四邊形， 所以，所以，
因為平面平面，所以平面，
因為平面平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）
因為，所以，又因為，所以，
以為原點，以及垂直于平面的直線分別為軸，建立空間直角坐標系.
因為，平面與平面所成二面角為60° ，
所以.
則，，，，，.
所以.
設(shè)平面的法向量為，則
，所以，令，則，則.
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，
令，則，所以.
所以.
所以平面與平面夾角的正弦值為.
88．（2025·全國二卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求;
(2)設(shè)函數(shù)，求的值域和單調(diào)區(qū)間．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【知識點】求含cosx的函數(shù)的單調(diào)性、利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、求cosx(型)函數(shù)的值域
【分析】（1）直接由題意得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；
（2）由三角恒等變換得，由此可得值域，進一步由整體代入法可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【詳解】（1）由題意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函數(shù)的值域為，
令，解得，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
89．（2025·天津·高考真題）已知函數(shù)
(1)時，求在點處的切線方程；
(2)有3個零點，且.
（i）求a的取值范圍；
（ii）證明．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析.
【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)數(shù)值得斜率，由點斜式方程可得；
（2）（i）令，分離參數(shù)得，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得范圍；（ii）由（2）結(jié)合圖象，可得范圍，整體換元，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合由可得，兩式作差，利用對數(shù)平均不等式可得，再由得，結(jié)合減元處理，再構(gòu)造函數(shù)求最值，放縮法可證明不等式.
【詳解】（1）當時，，，
則，則，且，
則切點，且切線的斜率為，
故函數(shù)在點處的切線方程為；
（2）（i）令，，
得，
設(shè)，
則，
由解得或，其中，；
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，，在上單調(diào)遞減；
且當時，； 當時，；
如圖作出函數(shù)的圖象，
要使函數(shù)有3個零點，
則方程在內(nèi)有個根，即直線與函數(shù)的圖象有個交點.
結(jié)合圖象可知，.
故的取值范圍為；
（ii）由圖象可知，，
設(shè)，則，
滿足，由可得，
兩式作差可得，
則由對數(shù)均值不等式可得，
則，故要證，
即證，只需證，
即證，又因為，則，
所以，故只需證，
設(shè)函數(shù)，則，
當時，，則在上單調(diào)遞增；
當時，，則在上單調(diào)遞減；
故，即.
而由，
可知成立，故命題得證.
90．（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．
(1)求，的通項公式；
(2)，，有，
（i）求證：對任意實數(shù)，均有;
（ii）求所有元素之和．
【答案】(1)；
(2)（i）證明見解析；（ii）
【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、寫出等比數(shù)列的通項公式、錯位相減法求和、二項式定理與數(shù)列求和
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，由題設(shè)列出關(guān)于d和的方程求解，再結(jié)合等差和等比數(shù)列通項公式即可得解；
（2）（i）由題意結(jié)合（1）求出和的最大值，再作差比較兩者大小即可證明；
（ii）法一：根據(jù)中全為1、一個為0其余為1、2個為0其余為、…、全為0幾個情況將中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后將所有系列所得的和加起來即可得解；
法二：根據(jù)元素的特征得到中的所有元素的和中各項出現(xiàn)的次數(shù)均為次即可求解.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，
則由題得，
所以；
（2）（i）證明：由（1）或，，
當時，
設(shè)，
所以，
所以，
所以，為中的最大元素，
此時恒成立，
所以對，均有.
（ii）法一：由（i）得，為中的最大元素，
由題意可得中的所有元素由以下系列中所有元素組成：
當均為1時：此時該系列元素只有即個；
當中只有一個為0，其余均為1時：
此時該系列的元素有共有個，
則這個元素的和為；
當中只有2個為0，其余均為1時：
此時該系列的元素為共有個，
則這個元素的和為；
當中有個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，
則這個元素的和為；
…
當中有個為0，1個為1時：此時該系列的元素為共有個，
則這個元素的和為；
當均為0時：此時該系列的元素為即個，
綜上所述，中的所有元素之和為
；
法二：由（i）得，為中的最大元素，
由題意可得，
所以的所有的元素的和中各項出現(xiàn)的次數(shù)均為次，
所以中的所有元素之和為.
91．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)橢圓的離心率為，下頂點為A，右頂點為B，．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知動點P不在y軸上，點R在射線AP上，且滿足．
（i）設(shè)，求點的坐標（用m，n表示）；
（ⅱ）設(shè)O為坐標原點，是橢圓上的動點，直線OR的斜率為直線的斜率的3倍，求的最大值．
【答案】(1)
(2)(ⅰ) (ⅱ)
【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、求橢圓中的最值問題
【分析】（1）根據(jù)題意列出的關(guān)系式,解方程求出,即可得到橢圓的標準方程；
（2）(ⅰ)設(shè),根據(jù)斜率相等以及題目條件列式,化簡即可求出或者利用數(shù)乘向量求出；
(ⅱ) 根據(jù)斜率關(guān)系可得到點的軌跡為圓（除去兩點），再根據(jù)點與圓的最值求法結(jié)合三角換元或者直接運算即可解出.
【詳解】（1）由題可知,，所以，解得，
故橢圓的標準方程為；
（2）(ⅰ)設(shè)，易知，
法一：所以，故，且．
因為，，所以，
即，解得，所以，
所以點的坐標為.
法二：設(shè)，則，所以
，，故
點的坐標為.
(ⅱ)因為,,由,可得
,化簡得,即,
所以點在以為圓心,為半徑的圓上（除去兩個點）,
為到圓心的距離加上半徑,
法一：設(shè),所以
,當且僅當時取等號,
所以.
法二：設(shè)，則，
，當且僅當時取等號,
故.
92．（2025·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，P為上一點，且直線的斜率為，的面積為，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點P的直線與橢圓有唯一交點B（異于點A），求證：PF平分.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【知識點】用向量解決夾角問題、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍
【分析】（1）根據(jù)題意，利用橢圓的離心率得到，再由直線的斜率得到，從而利用三角形的面積公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用其位置關(guān)系求得，進而得到直線的方程與點的坐標，法一：利用向量的夾角公式即可得證；法二：利用兩直線的夾角公式即可得證；法三利用正切的倍角公式即可得證；法四：利用角平分線的性質(zhì)與點線距離公式即可得證.
【詳解】（1）依題意，設(shè)橢圓的半焦距為，
則左焦點，右頂點，離心率，即，
因為為上一點，設(shè)，
又直線的斜率為，則，即，
所以，解得，則，即，
因為的面積為，，高為，
所以，解得，
則，，
所以橢圓的方程為.
.
（2）由（1）可知，，，
易知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，則，即，
聯(lián)立，消去得，，
因為直線與橢圓有唯一交點，所以，
即，則，解得，則，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，
以下分別用四種方法證明結(jié)論：
法一：則，
所以，
，
則，又，
所以，即平分.
法二：所以，，，
由兩直線夾角公式，得，，
則，又，
所以，即平分.
法三：則，，
故，
又，
所以，即平分.
法四：則，
所以直線的方程為，即，
則點到直線的距離為，
又點到直線的距離也為，
所以平分.
93．（2025·天津·高考真題）正方體的棱長為4，分別為中點，．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【知識點】錐體體積的有關(guān)計算、證明線面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明、面面角的向量求法
【分析】（1）法一、利用正方形的性質(zhì)先證明，再結(jié)合正方體的性質(zhì)得出平面，利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理證明即可；法二、建立空間直角坐標系，利用空間向量證明線面垂直即可；
（2）利用空間向量計算面面夾角即可；
（3）利用空間向量計算點面距離，再利用錐體的體積公式計算即可.
【詳解】（1）法一、在正方形中，
由條件易知，所以，
則，
故，即，
在正方體中，易知平面，且，
所以平面，
又平面，∴，
∵平面，∴平面；
法二、如圖以D為中心建立空間直角坐標系，
則，
所以，
設(shè)是平面的一個法向量，
則，令，則，所以，
易知，則也是平面的一個法向量，∴平面；
（2）同上法二建立的空間直角坐標系，
所以，
由（1）知是平面的一個法向量，
設(shè)平面的一個法向量為，所以，
令，則，即，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則；
（3）由（1）知平面，平面，∴，
易知，
又，則D到平面的距離為，
由棱錐的體積公式知：.
94．（2025·天津·高考真題）在中，角的對邊分別為．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）由正弦定理化邊為角再化簡可求；
（2）由余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論與已知代入可得關(guān)于的方程，求解可得，進而求得；
（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分別求，由兩角和的正弦可得.
【詳解】（1）已知，由正弦定理，
得，顯然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
則，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，則為銳角，
故，故，
且；
故.
95．（2025·全國一卷·高考真題）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：
超聲波檢查結(jié)果組別 正常 不正常 合計
患該疾病 20 180 200
未患該疾病 780 20 800
合計 800 200 1000
(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計值；
(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).
附，
0.005 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)
(2)有關(guān)
【知識點】獨立性檢驗解決實際問題、計算古典概型問題的概率
【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；
（2）根據(jù)獨立性檢驗的基本思想,求出,然后與小概率值對應(yīng)的臨界值比較,即可判斷.
【詳解】（1）根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的人中有人患病，所以的估計值為；
（2）零假設(shè)為：超聲波檢查結(jié)果與患病無關(guān)，
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推斷犯錯誤的概率不超過.
96．（2025·上海·高考真題）已知函數(shù)的定義域為．對于正實數(shù)a，定義集合．
(1)若，判斷是否是中的元素，請說明理由；
(2)若，求a的取值范圍；
(3)若是偶函數(shù)，當時，，且對任意，均有．寫出，解析式，并證明：對任意實數(shù)c，函數(shù)在上至多有9個零點．
【答案】(1)不是；
(2)；
(3)證明見解析.
【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、集合新定義
【分析】（1）直接代入計算和即可；
（2）法一：轉(zhuǎn)化為在實數(shù)使得，分析得，再計算得，最后根據(jù)的范圍即可得到答案；法二：畫出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線與該函數(shù)有兩個交點，將用表示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；
（3）利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出時解析式，再分析出，最后對的范圍進行分類討論即可.
【詳解】（1）（1），，則不是中的元素.
（2）法一：因為，則存在實數(shù)使得，且，
當時，，其在上嚴格單調(diào)遞增，
當時，，其在上也嚴格單調(diào)遞增，
則，則，
令，解得，則，
則.
法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線與該函數(shù)有兩個交點，
由圖知，假設(shè)交點分別為，，
聯(lián)立方程組得
（3）（3）對任意，因為其是偶函數(shù)，
則，而，
所以，
所以，因為，則，
所以，所以，
所以當時，，，則，
，則，
而，，
則，則，
所以當時，，而為偶函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如下：
其中，但其對應(yīng)的值均未知.
首先說明，
若，則，易知此時，
則，所以，而時，，
所以，與矛盾，所以，即，
令，則，
當時，即使讓，此時最多7個零點，
當時，若，此時有5個零點，
故此時最多5個零點；
當時，若，此時有5個零點，
故此時最多5個零點；
當時，若，此時有3個零點，
若，則，易知此時，
則，所以，而時，，
所以，與矛盾，所以，
則最多在之間取得6個零點，
以及在處成為零點，故不超過9個零點.
綜上，零點不超過9個.
97．（2025·上海·高考真題）已知橢圓，，A是的右頂點．
(1)若的焦點，求離心率e；
(2)若，且上存在一點P，滿足，求m；
(3)已知AM的中垂線l的斜率為2，l與交于C、D兩點，為鈍角，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識點】由向量共線（平行）求參數(shù)、根據(jù)橢圓方程求a、b、c、向量夾角的坐標表示、根據(jù)韋達定理求參數(shù)
【分析】（1）由方程可得，再由焦點坐標得，從而求出得離心率；
（2）設(shè)點坐標，由向量關(guān)系坐標化可解得坐標，代入橢圓方程可得；
（3）根據(jù)中垂線性質(zhì)，由斜率與中點坐標得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，將鈍角條件轉(zhuǎn)化為向量不等式，再坐標化利用韋達定理代入化簡不等式求解可得范圍.
【詳解】（1）由題意知，，則，
由右焦點，可知，則，
故離心率.
（2）由題意，
由得，，
解得，代入，
得，又，解得.
（3）由線段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為，
則，解得，
由得中點坐標為，
故直線，顯然直線過橢圓內(nèi)點，
故直線與橢圓恒有兩不同交點，
設(shè)，
由消得，
由韋達定理得，
因為為鈍角，則，且，
則有，
所以，
即，解得，
又，
故，即的取值范圍是.
98．（2025·上海·高考真題）如圖，P是圓錐的頂點，O是底面圓心，AB是底面直徑，且．

(1)若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；
(2)已知Q是母線PA的中點，點C、D在底面圓周上，且弧AC的長為，．設(shè)點M在線段OC上，證明：直線平面PBD．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【知識點】圓錐表面積的有關(guān)計算、證明面面平行、面面平行證明線面平行
【分析】（1）由線面角先算出母線長，然后根據(jù)側(cè)面積公式求解.
（2）證明平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得.
【詳解】（1）由題知，，即軸截面是等邊三角形，故，
底面周長為，則側(cè)面積為：;
（2）由題知，則根據(jù)中位線性質(zhì)，，
又平面，平面，則平面
由于，底面圓半徑是，則，又，則，
又，則為等邊三角形，則，
于是且，則四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，故平面.
又平面，
根據(jù)面面平行的判定，于是平面平面，
又，則平面，則平面

99．（2025·上海·高考真題）2024年東京奧運會，中國獲得了男子米混合泳接力金牌．以下是歷屆奧運會男子米混合泳接力項目冠軍成績記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；
(2)從這10個數(shù)據(jù)中任選3個，求恰有2個數(shù)據(jù)在211以上的概率；
(3)若比賽成績y關(guān)于年份x的回歸方程為，年份x的平均數(shù)為2006，預(yù)測2028年冠軍隊的成績（精確到0.01秒）．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【知識點】計算幾個數(shù)的中位數(shù)、計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標準差、計算古典概型問題的概率、根據(jù)回歸方程進行數(shù)據(jù)估計
【分析】（1）由最長與最短用時可得極差，由中間兩數(shù)平均數(shù)可得中位數(shù)；
（2）由古典概型概率公式可得；
（3）先求成績平均數(shù)，再由在回歸直線上，代入方程可得，再代入年份預(yù)測可得.
【詳解】（1）由題意，數(shù)據(jù)的最大值為，最小值為，
則極差為；
數(shù)據(jù)中間兩數(shù)為與，
則中位數(shù)為.
故極差為，中位數(shù)為；
（2）由題意，數(shù)據(jù)共個，以上數(shù)據(jù)共有個，
故設(shè)事件“恰有個數(shù)據(jù)在以上”，
則，
故恰有個數(shù)據(jù)在以上的概率為；
（3）由題意，成績的平均數(shù)
，
由直線過，
則，
故回歸直線方程為.
當時,.
故預(yù)測年冠軍隊的成績?yōu)槊?

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