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2024-2025學年廣西南寧市第二中學高一下學期期中考試
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數滿足，則( )
A. B. C. D.
2.四邊形中，若，則四邊形是( )
A. 平行四邊形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形
3.若復數為純虛數，則實數( )
A. B. C. D.
4.設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是( )
A. 若，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，，則
D. 若，，，，，則
5.中，角，，的對邊分別為，，并且，，設，，則向量在向量上的投影向量為( )
A. B. C. D.
6.雷峰塔是“西湖十景”之一，中國九大名塔之一，為中國首座彩色銅雕寶塔．如圖，某同學為了測量雷峰塔的高度，在地面處時測得塔頂在東偏北的方向上，向正東方向行走米后到達處，測得塔頂在東偏北的方向上，仰角為，則可得雷峰塔離地面的高度值為( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.已知向量，，滿足：，，且，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱柱的底面邊長為，高為，經過上底面棱的中點與下底面的頂點截去該三棱柱的三個角，如圖，得到一個幾何體，如圖所示，若所得幾何體的六個頂點都在球的球面上，則球的體積為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知是邊長為的正三角形，該三角形重心為點，點為所在平面內任一點，下列等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
10.對于，下列說法正確的有( )
A. 若，，，則符合條件的有兩個
B. 若，則為等腰三角形
C. 若，則是鈍角三角形
D. 若，則
11.如圖，在棱長為的正方體中，點為線段上的一個動點，則下列說法正確的有( )
A. 線段長度的最小值為
B. 直線與直線所成角的最大值為
C. 面
D. 的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.一個正四棱錐的底面周長為，高為，則該正四棱錐的體積為 ．
13.已知向量，若，則實數 ．
14.剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術，是中國漢族最古老的民間藝術之一．如圖，紙片為一圓形，直徑，需要剪去四邊形，可以經過對折、沿裁剪、展開就可以得到．
已知點在圓上且要使得鏤空的四邊形面積最小，的長應為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在中，為鈍角，，．
求；
若，求的面積．
16.本小題分
將棱長為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點．
求證：平面；
求幾何體的體積．
17.本小題分
在四棱錐中，底面為平行四邊形，為底面中心，，分別為，的中點，為等腰直角三角形，且．
求證：平面；
求異面直線與所成角的余弦值；
若，分為，的中點，點在線段上，且求證：平面平面．
18.本小題分
已知為銳角三角形，角所對的邊分別為，．
求證：；
若，求周長的取值范圍．
19.本小題分
“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”意大利數學家托里拆利給出了解答，即三角形中的費馬點是唯一的，且當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點試用以上知識解決下面問題：
若是邊長為的等邊三角形，求該三角形的費馬點到各頂點的距離之和；
的內角，，所對的邊分別為，，，且，點為的費馬點．
若，求；
若，，，求的最小值．
參考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.由題意得，因為為鈍角，
得，則，
由正弦定理得，
解得，
因為為鈍角，則．
當時，由余弦定理，
得，即，解得，
則．
16.取中點為，連接、、．
在正方形中，為的中點，為的中點．
在正方體中，
且，四邊形為平行四邊形，且，
、分別為、的中點，且，
所以，四邊形為平行四邊形，且，
且，且，
所以，四邊形為平行四邊形，且，
為的中點，且，則四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，因此，平面；
正方體的棱長為，
，．
又，且，而，
．
17.連接，則為中點，又點為中點，所以，
又平面，平面，
所以平面．
由得，異面直線與所成角即為與夾角，
在等腰直角三角形中，設，
則，，，
在中，由余弦定理，可得，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
連接，如圖所示，因為，分為，的中點，所以，
因為為的中點，所以，
因為點在線段上，且，所以，所以，
因為平面，平面，所以平面，
同理，可得平面，
又，，平面，
所以平面平面．
18.由，得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理得，所以．
所以，即．
所以或，
即或．
因為，，所以．
因為為銳角三角形，所以即解得．
因為，由正弦定理得，所以，
由正弦定理得
，
故的周長．
令，由知，所以．
因為函數在上單調遞增，
所以周長的取值范圍為．
19.由費馬點的定義可得：即為該等邊三角形的中心，
如圖：過作于，則，，故，同理，
所以該三角形的費馬點到各頂點的距離之和為

因為，由正弦定理，得，
且，所以得，
所以的三個角都小于，則由費馬點定義可知，，
設，，，，，，由，
得，整理得，
則
由余弦定理得
，，
，
由勾股定理得，，
即，
所以，即，
而，，，當且僅當時，等號成立．
設，則，解得或舍去，
故最小值為．

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