資源簡介

2024-2025學年福建省永春第一中學高一下學期5月月考
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若，則復平面內復數對應的點位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，滿足，則( )
A. B. C. 或 D. 或
3.某地為促進消費，向當地市民隨機發放了面值元、元、元的線下消費滿減電子券，每位市民可以領取一張，且每筆消費僅能使用一張某支持使用該消費券的大型商場統計到某日使用了元、元、元消費券的消費賬單的數量之比為，若對這些賬單用等比例分層隨機抽樣的方法進行抽樣調查，抽取一個容量為的樣本，則樣本中使用了元消費券的消費賬單的份數為( )
A. B. C. D.
4.下列頻率分布直方圖中，平均數大于中位數的是( )
A. B.
C. D.
5.有下列命題，其中錯誤命題個數是( )圓柱是將矩形旋轉一周所得的幾何體；過圓錐頂點的截面是等腰三角形；以直角三角形一邊為旋轉軸，旋轉所得的旋轉體是圓錐；平行于母線的平面截圓錐，截面是等腰三角形．
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
6.下列正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，分別為其所在棱的中點，則能滿足平面的是( )
A. B. C. D.
7.某中學的學生社團準備進行一次針對本校學生在食堂加塞插隊行為的調查，為了消除被調查者的顧慮，
使他們能如實作答，學生社團精心設計了一份問卷：
在回答問題前，請自行拋一個硬幣：如果得到正面，請按照問題一勾選“是”或“否”；如果得到反面，請按照問題二勾選“是”或“否” 友情提示：為了不泄露您的隱私，請不要讓其他人知道您拋硬幣的結果． 問題一：您的身份證號碼最后一個數是奇數嗎？問題二：您是否有在食堂加塞插隊的行為？ “是” “否”
學生社團隨機選取了名學生進行問卷調查，問卷全部被收回，且有效．已知問卷中有張勾選“是”根據上述的調查結果，估計該校學生在食堂有加塞插隊行為的概率為( )
A. B. C. D.
8.已知與是平面內兩個非零向量，，，，點是平分線上的動點當取最小值時，的值為 ．
A. B. ． C. D. ．
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數是的共軛復數，則下列說法正確的是( )
A. 的虛部為 B.
C. 在復平面內對應的點位于第二象限 D. 為方程的一個根
10.甲、乙兩名籃球運動員連續場比賽的得分如圖所示，則( )
A. 甲得分的極差大于乙得分的極差 B. 甲得分的平均數大于乙得分的平均數
C. 甲得分的中位數大于乙得分的中位數 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
11.如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿向上翻折，得三棱錐設，點，分別為棱，的中點．下列說法正確的是 ．
A. 若平面與平面交于直線，則平面
B. 當三棱錐體積取得最大值時，與平面成角的正切值為
C. 存在某個位置，使
D. 若為線段上的動點，當時，的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知角滿足，則 ．
13.垃圾分類，一般是指按一定規定或標準將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運，從而轉變成公共資源的一系列活動的總稱．垃圾分類可以提高垃圾的資源價值和經濟價值，力爭物盡其用．為進一步在社會上普及垃圾分類知識，某中學學生積極到社會上舉行垃圾分類的公益講座，該校學生會為了解本校高一年級名學生課余時間參加公益講座的情況，隨機抽取名學生進行調查，將數據分組整理后，列表如下：
參加場數
參加人數占調查人數的百分比
下列估計該校高一學生參加公益講座的情況正確的是 ．
參加公益講座次數是場的學生約為人；
參加公益講座次數場和場的學生約為人；
參加公益講座次數不高于場的學生約為人；
參加公益講座次數不低于場的學生約為人．
14.已知正三棱錐，底面邊長為，二面角的正切值為，則正三棱錐的外接球半徑為 ，分別為正三棱錐內切球，外接球球面上的動點，則線段長度的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知向量和，且，求：
的值
的值
的夾角的余弦值．
16.本小題分
在銳角中，角，，的對邊分別為，，，且．
求；
若，求的面積的取值范圍．
17.本小題分
云南師大附中在組織選拔數學英才班的過程中，對高一年級的名學生進行了一次測試．已知參加此次測試的學生的分數全部介于分到分之間，學校將所有分數分成組：，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖同組數據以這組數據的中間值作為代表．
求的值，并估計此次校內測試分數的平均值；
學校要求按照分數從高到低選拔首名的學生進行培訓，試估計這名學生的最低分數計算結果保留一位小數；
試估計這名學生的分數的方差，并判斷此次得分為分和分的兩名同學的成績是否進人到了范圍內？
參考公式：，其中為各組頻數，參考數據：
18.本小題分
如圖，設半圓的半徑為，點，三等分半圓，，，分別是，，的中點，將此半圓以為母線卷成一個圓錐如圖在圖中完成下列各題．
求證：平面平面．
求四面體的體積．
若是的中點，在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求的值，并證明你的結論；若不存在，說明理由
19.本小題分
已知集合對于，，定義；；與之間的距離為．
Ⅰ當時，設，若，求；
Ⅱ證明：若，且，使，則；
(ⅱ)設，且是否一定，使？說明理由；
Ⅲ記若，，且，求的最大值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.．
，
，
16.因為
，
所以，所以，因為為銳角三角形，所以；
因為，，所以，
由正弦定理得，
所以，
所以，
由可得，所以，所以，
所以，即．
17.，所以，
所以該次校內考試測試分數的平均數的估計值為：
分
因為，
設這名學生的最低分數為，
則，解得
所以這名學生的最低分數的估計值為分
，
，
故得分為分的同學的成績沒有進入到內，
得分為分的同學的成績進入到了內
即：得分為分的同學的成績沒有進入到范圍，
得分為分的同學的成績進入到范圍了．
18.證明：因為，分別是，的中點，所以，
又平面，平面，
所以平面，同理得平面，
又平面，平面，，
所以平面平面．
如圖所示：
設圓錐的底面圓半徑為，則，解得．
所以在圖中，，為圓錐的底面圓周的三等分點，
所以為等邊三角形，所以，所以．
，圓錐的高，
所以，
所以，
即四面體的體積為．
如圖所示：
在線段上存在點，且，使得平面，
理由如下：
取的中點，且是的中點，連接，
所以，．
取的四等分點，使，連接，．
因為，所以，，
所以，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，又平面，平面，所以平面．
19.Ⅰ當時，由，
得，即．
由，得，或．
Ⅱ證明：設，，．
因為，使，
所以，使得
即，使得，其中．
所以與同為非負數或同為負數．
所以
．
(ⅱ)設，且，此時不一定，使得
．
反例如下：取，，，
則，，，顯然．
因為，，
所以不存在，使得．
Ⅲ解法一：因為，
設中有項為非負數，項為負數．不妨設時；時，．
所以
因為，
所以， 整理得．
所以．
因為
；
又，
所以
．
即．
對于，，有，，且，．
綜上，的最大值為．
解法二：首先證明如下引理：設，則有．
證明：因為，，
所以，
即．
所以
．
上式等號成立的條件為，或，所以．
對于，，有，，且，．
綜上，的最大值為．

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