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2024-2025學(xué)年吉林省吉林市第十二中學(xué)高一下學(xué)期期中考試
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若點(diǎn)在直線上，直線在平面內(nèi)，則下列關(guān)系表示正確的是( )
A. B. C. D.
2.若，則( )
A. B. C. D.
3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為( )
A. B. C. D.
4.已知，，為三條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，若，，，且與異面，則( )
A. 至多與，中的一條相交 B. 與，均相交
C. 與，均平行 D. 至少與，中的一條相交
5.某款廚房用具中的香料收納罐的實(shí)物圖如圖所示，可抽象為如圖所示的幾何體，該幾何體是上、下底面周長(zhǎng)分別為，的正四棱臺(tái)，若棱臺(tái)的高為，忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為( )
A. B. C. D.
6.已知，，是直線上三個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)是直線外的一點(diǎn)，若，則( )
A. B. C. D.
7.為了測(cè)量、兩島嶼之間的距離，一艘測(cè)量船在處觀測(cè)，、分別在處的北偏西、北偏東方向．再往正東方向行駛海里至處，觀測(cè)在處的正北方向，在處的北偏西方向，則、兩島嶼之間的距離為( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
8.在三棱錐中，平面平面．，，，則三棱錐的外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的結(jié)論正確的是( )
A. 的虛部是
B.
C.
D. 方程的根是
10.已知是邊長(zhǎng)為的正六邊形內(nèi)一點(diǎn)含邊界，且，，則( )
A. 的面積恒為 B. 存在，使得
C. D. 的取值范圍是
11.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)不包括端點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 該四棱錐的體積為 B. 一定存在點(diǎn)，使平面
C. 一定存在點(diǎn)，使平面 D. 的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)、對(duì)應(yīng)的向量分別是、，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 ．
13.在中，為外心，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的 心．
14.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，若過(guò)的平面平面，則截該正方體所得截面圖形的面積為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.本小題分
已知向量，，，
設(shè)，求，的值；
若，求的值．
16.本小題分
如圖所示，為四邊形的直觀圖，其中，，，．
畫(huà)出四邊形的平面圖并標(biāo)出邊長(zhǎng)，并求平面四邊形的面積；
若該四邊形以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．
17.本小題分
如圖，已知平面，為矩形，分別為的中點(diǎn)．
證明：；
若，求證：平面平面．
18.本小題分
如圖，在正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且．
求證：四點(diǎn)共面；
求證：平面；
已知點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且平面平面，求的值．
19.本小題分
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，且．
求角的大小；
若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，求的值；
已知的面積為，且所在平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，求的值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.垂
14.
15.，
所以，解得，即，；
，
，
因?yàn)椋裕獾茫海?br/>16.在直觀圖中，，，，
則在平面圖形中，，，，，
于是，
所以平面四邊形的平面圖形如下圖所示：
由上圖可知，平面四邊形為直角梯形，所以面積為．
直角梯形以為軸，旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體可以看成圓柱加上一個(gè)同底的圓錐，
由可知幾何體底面圓半徑為，圓柱母線長(zhǎng)和高都為，即；
圓錐的高為，母線長(zhǎng)為，
所以體積；
所以表面積．
17.設(shè)為的中點(diǎn)，連接．
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，．
所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以．
因?yàn)槠矫妫?br/>所以．
又因?yàn)椋移矫?br/>所以平面，
所以．
因?yàn)椋?br/>所以．
因?yàn)椋?br/>所以，
所以．
又平面，，
所以平面，
所以．
又因?yàn)槠矫?br/>所以平面．
因?yàn)椋?br/>所以平面．
又因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面平面．
18.連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，
所以，
又在正方體中且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以，所以四點(diǎn)共面；
連接、分別交、于點(diǎn)、，連接，
在正方體中，且，
所以，則，
同理可得，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面；
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>平面平面，平面平面，
所以，
又，所以，因?yàn)椋裕?br/>19.因?yàn)樗裕?br/>角化邊可得：，
整理可得，
又因?yàn)椋?br/>又因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以．
在中由余弦定理可得：，
整理得：；
在中由余弦定理可得：，
在中由余弦定理可得：，
又因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>解方程組：，解得或
所以或．
方法一：因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在的外部，
設(shè)，，，
當(dāng)在直線的異側(cè)時(shí)，
在中由余弦定理有：，
又因?yàn)榈拿娣e為，即，所以，
所以，
在中由余弦定理有：，
在中由余弦定理有：，
在中由余弦定理有：，
所以，
整理得：，
又因?yàn)椋?br/>所以，
整理得：，即，
又因?yàn)?br/>所以即，
所以；
當(dāng)在直線的同側(cè)時(shí)，
分別在，，，中用余弦定理及的面積為
依然可以得出，
又因?yàn)椋?br/>即
整理得：，又因?yàn)椋?br/>所以，
即，
所以．
綜上所述的值為或
方法二：因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，
若點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)，設(shè)，
則，，，
在中由正弦定理，所以，；
在中由正弦定理，所以，；
所以
；
若點(diǎn)與點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)，
則，，，
在中由正弦定理，所以，；
在中由正弦定理，所以，；
所以
；
綜上可得的值為或．

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