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2024-2025學年江蘇省常州市北郊高級中學高一下學期5月階段調研
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數在復平面內對應的點是，則( )
A. B. C. D.
2.已知表示兩個不同的平面，表示三條不同的直線，( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
3.如圖，某四邊形的直觀圖是正方形，且，則原四邊形的面積等于( )
A. B. C. D.
4.已知是單位向量，滿足，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
5.如圖是一個邊長為的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法中正確的是( )
A. 直線與直線相交； B. 直線與直線平行；
C. 直線與直線垂直； D. 直線與直線垂直；
6.已知，則的值為( )
A. B. C. D.
7.已知為銳角，，，則( )
A. B. C. D. 或
8.如圖，在三棱錐中，，二面角的正切值是，則三棱錐外接球的表面積是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數，，則下列命題正確的有( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
10.在中，，，下列結論正確的是( )
A. 若，則
B. 若，則
C. 若有兩解，則
D. 若是銳角三角形，則
11.如圖，點是棱長為的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則( )
A. 若點滿足，則動點的軌跡長度為
B. 當點在棱上時，的最小值為
C. 當直線與所成的角為時，點的軌跡長度為
D. 當在底面上運動，且滿足平面時，線段長度最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知圓錐的底面半徑為，且它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的表面積為 ．
13.已知正三棱柱的各條棱長都是，則直線與平面所成角的正切值為 ．
14.古代數學家劉徽編撰的重差是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數學基礎現根據劉徽的重差測量一個球體建筑物的高度，已知點是球體建筑物與水平地面的接觸點切點，地面上，兩點與點在同一條直線上，且在點的同側若在，處分別測得球體建筑物的最大仰角為和，且，則根據測得的球體高度可計算出球體建筑物的體積為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在中，，是的中點，設，．

試用，表示，；
若，與的夾角為，求．
16.本小題分
在直棱柱中，底面為平行四邊形，，分別為線段的中點．
證明：；
證明：平面平面．
17.本小題分
已知的內角所對的邊分別為，且．
求；
若，求周長的最大值．
18.本小題分
如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在底面圓上，圓的半徑為，，點是線段的中點．
證明：平面；
若直線與圓柱底面所成角為，求三棱錐的體積．
19.本小題分
如圖，在四棱錐中，平面平面，，底面為等腰梯形，，且．
證明：平面平面；
若點到平面的距離為，求平面與平面夾角的余弦值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因為，所以，
所以．
因為是的中點，
所以
．
因為，與的夾角為，
所以，
由知，，，
所以
．

16.連接，，
因為底面為平行四邊形，且為的中點，
所以為的中點，
因為棱柱為直棱柱，
所以平面，且平面，所以，
因為，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
因為為的中點，所以是邊上的中線，
所以．
．
因為中，分別為線段的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為中，分別為線段的中點，所以，
因為直棱柱，所以，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為，且平面，平面，
所以平面平面．
．

17.由正弦定理及，得，
，
，
．
設的外接圓半徑為，
由及正弦定理，
得，
．
由余弦定理得，，
，當且僅當時取等號，，
周長的最大值為．

18.如圖，取的中點，連接，則且，
又且，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，
所以平面．
如圖，連接，過作于點，
因為底面圓，底面圓，所以，
又平面，所以平面．
則．
因為直線與圓柱底面所成角為，底面圓，底面圓，
所以，則即為直線與圓柱底面所成角，
即，由，得，
所以，
在中，，所以，
由，得，
解得所以．

19.因為平面平面，平面平面，
又平面，，
所以平面，又平面，
所以，
過作交于點，則由題意，
所以，，
所以，即，又，、平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
過作交于點，
由可得平面平面，又平面平面，
所以平面，點到平面的距離為，
所以，
又由平面可得，
所以，所以，
延長交于點，則平面平面，
又由為等腰梯形，且以及，可得
，分別為的中點，
連接，則，且，
又由平面，可得，又，、平面，
所以平面，又平面，
所以，過作，交于點，連接，
則由得平面，所以為二面角的的平面角，
又在和中，，
所以，故，
所以．
故平面與平面夾角的余弦值為．

第1頁，共3頁

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