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2024-2025學年江西省南昌市第十中學高一下學期第二次月考
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若為虛數單位，其中，為實數，則的值為( )
A. B. C. D.
2.已知角的終邊經過點，則( )
A. B. C. D.
3.化簡向量等于( )
A. B. C. D.
4.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中，則原平面圖形的面積為( )
A. B. C. D.
5.已知向量，若向量的夾角是銳角，則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
6.若，都是銳角，且，，則( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知復數，在復平面內，復數對應的點分別為，，且點與點關于直線對稱，則( )
A. B. C. D.
8.如圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則的值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數，則( )
A. B. 在區間上只有個零點
C. 的最小正周期為 D.
10.下列結論正確的是( )
A. 若的內角滿足，則一定是鈍角三角形
B. 繞直角三角形一條邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體是圓錐
C. 若是純虛數，則
D. 若向量，則向量在向量上的投影向量是
11.已知為所在平面內的一點，則下列結論正確的是( )
A. ，則為內心
B. 若，則為等腰三角形
C. 若，則為的外心
D. 若，則點的軌跡經過的重心
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.一個圓臺的母線長為，上、下底面圓直徑長分別為，，則圓臺的高為 ．
13.已知銳角，滿足，則的值為 ．
14.已知函數滿足：，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知復數為虛數單位，其共軛復數為．
若復數是實數，求實數的值；
若，且復數在復平面內所對應的點位于第四象限，求實數的取值范圍
16.本小題分
已知向量，，函數．
求的單調遞減區間；
將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再向右平移個單位得到的圖象，求在上的值域．
17.本小題分
如圖，、分別是的邊、上的點，且，，交于．
若，求的值；
若，，，求的值．
18.本小題分
已知的內角，，的對邊分別為，，，且，．
求邊長和角；
若的面積為，求中線的長度；
若，求角平分線的長度．
19.本小題分
定義函數的“積向量”為，向量的“積函數”為．
若，，求最大值及對應的取值集合；
若向量的“積函數”滿足，求的值；
已知，，設，且的“積函數”為，其最大值為，求的最小值，并判斷此時，的關系．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由可得，
所以，
若復數是實數，可得，
解得；
，
易知復數在復平面內所對應的點坐標為，
又復數在復平面內所對應的點位于第四象限，可得
解得，
即實數的取值范圍為．
16.因為向量，，函數，
所以
，
令，，
解得，，
所以的單調遞減區間為，．
由知，
函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再向右平移個單位，
則，
當時，，，
則．
所以在的值域為．
17.，
，，因此，；
設，
再設，則，即，
所以，，解得，所以，
因此，．
18.，
由正弦定理得．
可得．
由，得，
得，
得或，故或舍去．
由，得，
由余弦定理可知，，
由可得，所以，
又，
所以
，
即，
所以中線的長度為；
若，由余弦定理，，
可知，所以，即，
因為為角平分線，所以，
即，
則，所以．
19.若，，則，
當時，即，，函數有最大值，
函數的最大值為，對應的取值集合為；
，
令，所以，
所以，，
即，，所以；
因為，，
所以
，
所以
，
此時存在滿足
當且僅當時等號成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
則，
，
當時有最小值，
所以的最小值為．

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