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2024-2025學(xué)年山東省棗莊市市中區(qū)輔仁高級中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為( )
A. B. C. D.
2.的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則外接圓的半徑為( )
A. B. C. D.
3.已知復(fù)數(shù)，則“”是“”的( )
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
4.已知非零向量，滿足，若，則與的夾角為 ．
A. B. C. D.
5.已知是兩個不重合的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中錯誤的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
6.已知、、是單位圓上的三個點(diǎn)，若，則的最大值為 ．
A. B. C. D.
7.如圖，在四邊形中，，則的最小值為( )
A. B. C. D.
8.在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)面是正三角形，底面是邊長為的正方形，則該四棱錐外接球表面積為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.正方形的邊長為，動點(diǎn)在正方形內(nèi)部及邊上運(yùn)動，，則下列結(jié)論正確的有( )
A. 點(diǎn)在線段上時，為定值 B. 點(diǎn)在線段上時，為定值
C. 的最大值為 D. 使的點(diǎn)軌跡長度為
10.如圖，正方體的棱長為，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面內(nèi)一動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為( )
A. 不存在點(diǎn)，使得平面
B. 過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形是梯形
C. 三棱錐的體積為
D. 三棱錐的外接球表面積為
11.在中，，，分別是內(nèi)角，，的對邊，下列說法正確的是( )
A. 若為銳角，則
B. 若為銳角，則
C. 若，則
D. 若為銳角三角形，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，“、、成等差數(shù)列且、、成等比數(shù)列”是“是正三角形”的 條件．
13.已知的面積為，，，則 ．
14.九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑如圖，四面體為鱉臑，平面，，且，則直線與平面所成角的大小為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在四棱柱中，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．

求證：平面；
若四棱柱的體積為，且底面為平行四邊形，求三棱錐的體積的值．
16.本小題分
在中，為銳角，．
求；
若，求的面積．
17.本小題分
如圖，在直角梯形中，，是線段包括端點(diǎn)上的一個動點(diǎn)．
當(dāng)時，求的值；
在的條件下，若，求；
求的最小值．
18.本小題分
如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．
求證：平面平面；
求點(diǎn)到平面的距離以及三棱錐的體積．
19.本小題分
在中，．
若，的面積為，求；
若，
求面積的最大值；
求周長的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.充要
13.
14.或
15.解：在四棱柱中，連接，如圖，

因，分別是，的中點(diǎn)，則有，又平面，平面，
所以平面；
由是的中點(diǎn)得，
又，平面，平面，則平面，
又點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，則，
所以三棱錐的體積的值．
16.解：由及正弦定理，
得．
因?yàn)樵谥校裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)闉殇J角，所以．
由，且，解得．
由余弦定理，得，解得或舍．
所以的面積．
17.解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
當(dāng)時，，，，
因此，
設(shè)，即點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，，
，
當(dāng)時，，即，
設(shè)、，又，
則，
，當(dāng)時取到等號，
因此的最小值為．

18.解：
連接，取的中點(diǎn)，連接，，
，，
在直三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
分別為，的中點(diǎn)，且，
點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，且，
且，四邊形是平行四邊形，
，平面，
平面，平面平面；
，，，
點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，
，，
由知平面，，
，
，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
，
，，
點(diǎn)到平面的距離為，三棱錐的體積為．
19.解：因?yàn)椋谜叶ɡ恚傻茫?br/>，
所以，
因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，所以．
又，所以．
由．
由余弦定理：，
所以．
在中，，，
由余弦定理：．
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取“”，
所以．
所以．
所以當(dāng)為等邊三角形時，面積取得最大值為．
又，且，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，
所以．
所以，
所以周長的取值范圍為：．

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