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2024-2025學年上海市浦東新區上海海事大學附屬北蔡高級中學高一下學期5月月考數學試卷
一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若復數滿足，則的取值范圍為 ．
A. B. C. D.
2.設平面向量與不共線，，則“與共線”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示，軸，軸，，則的原圖形的面積為( )
A. B. C. D.
4.設，函數，若函數在區間內恰有個零點，則實數的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。
5.空間三點最多可確定 條直線．
6.已知直線，則直線與直線的位置關系為 ．
7.已知復數滿足，則的值為 ．
8.若關于的方程的一個虛根的模為，則實數的值為 ．
9.已知向量，，則在上的投影向量的坐標為 ．
10.已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是 ．
11.已知向量，，且，則 ．
12.在空間四邊形中，，，，分別是棱，，，的中點，則當，滿足條件 時，四邊形是正方形．
13.寧化縣的慈恩塔始建于唐末年間，現在的慈恩塔是年重建的，如圖某人為了測量塔高，在點處測得仰角為，在點處測得仰角為，兩點間的距離為米，，如圖，則塔的高度為 米
14.如圖是一個邊長為的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法中正確的序號是 ．
直線與直線垂直；
直線與直線相交；
直線與直線平行；
直線與直線異面；
15.已知四面體中，，、分別為、的中點，且異面直線與所成的角為，則 ．
16.已知向量與夾角為銳角，且，任意，的最小值為，若向量滿足，則的取值范圍為 ．
三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
已知復數，其中是實數．
若，求實數的值；
若是純虛數，求
18.本小題分
如圖所示，已知不共面的直線，，相交于，，是直線上兩點，，分別是直線，上一點求證：與是異面直線．
19.本小題分
已知函數，若先將其圖象向右平移個單位長度，再將所得曲線上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象．
求函數在上的值域；
在中，角的對邊分別為，若，且，求．
20.本小題分
如圖，在正方體中，、、、分別是棱、、、的中點．

判斷直線與的位置關系，并說明理由；
求異面直線與所成的角的大小；
求異面直線與所成角的大小．
21.本小題分
已知兩個函數，，，若對任意的，存在唯一的，使得成立，則稱為的“友好函數”．
判斷函數，是否為，的“友好函數”，并說明理由；
若函數，是，的“友好函數”，求的最小值；
已知函數，，，，若是的“友好函數”，且也是的“友好函數”，求實數的值及的最大值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.異面或平行或相交
7.
8.
9.
10.
11.或
12.且
13.
14.
15.或
16.
17.解：復數，則，又是實數，
因此，解得，
所以實數的值是．
復數，，
則，
因為是純虛數，于是，解得，
因此，又，，，，
則，，，，，
即有，，
所以．
18.解：證明：方法一：反證法假設與不是異面直線
則與在同一平面內，設此平面為
，，，
，
又
又，，，
，
，，共面于，這與，，不共面矛盾
假設不成立
與是異面直線
方法二：
由，確定一個平面，設為
，
，
，且，
又，，不共面，
與是異面直線
19.解：將圖象向右平移個單位長度，
得的圖象，
再將所得曲線上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，
得的圖象，
由，得，所以
故函數在上的值域為；
由得，
因為，所以，
由余弦定理得，又，所以，
由正弦定理得，又，
故．
20.解：連接、、，如下圖所示，

因為、分別為、的中點，所以，，
在正方體中，，，
因為、分別是、的中點，所以，，
因為四邊形為平行四邊形，所以，，
所以，，所以、是梯形的兩腰．
因此直線與相交．
連接、、，如下圖所示：

因為、分別為、的中點，所以，
在正方體中，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以、所成的角為或其補角，
易知為等邊三角形，故，
因此異面直線與所成的角為．
取線段的中點，連接、、，如下圖所示：

在正方體中，，，
因為、分別為、的中點，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，，
因為，，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，則，
所以異面直線與所成角為，
不妨設正方體的棱長為，則，
同理可得，，
由余弦定理可得．
因此，異面直線與所成角為．
21.解：，不是，的“友好函數”，理由如下：
取，因為，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函數”；
由題意，對任意，存在唯一使成立，
即，所以函數的值域是函數值域的子集．
因為，，所以，其值域為，
而在上單調遞增，故值域為，
從而，即，所以；
當是的“友好函數”時，
由題意，對任意的，存在唯一的，使成立，
即，則的值域是值域的子集．
當是的“友好函數”時，
由題意，對任意的，存在唯一的使成立，
即，則的值域是值域的子集．
所以的值域與值域相同且值域中的數值一一對應．
當是的“友好函數”時，因為，
若存在使得，則不存在，使得，
所以當時，，所以，
因為在上單調遞減，所以，
當時，，不符合要求；
當時，，，
因為，所以，不符合要求；
當時，，
若，則在上單調遞減，
從而在上單調遞增，故
從而時，，
因為的值域與值域相同，所以
即，所以，又在上單調遞增，
所以當時，的最大值為．
若，則在上單調遞減，在上單調遞增，
此時值域與值域中的數值不可能一一對應，不符合要求．
綜上：，的最大值為．

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