資源簡介

2024-2025學年云南民族大學附屬高級中學高一下學期5月月考
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設集合，，則( )
A. B. C. D.
2.在某次全市高三模擬考試后，數學老師隨機抽取了名同學的第一個解答題的得分情況如下：，，，，，，則這組數據的平均數和分位數分別為( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.已知，其中為虛數單位，是的共軛復數，則( )
A. B. C. D.
4.函數的最小正周期是( )
A. B. C. D.
5.設為兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
6.已知向量，，則( )
A. B. C. D.
7.已知定義在上的函數與函數的圖象有唯一公共點，則實數的值為( )
A. B. C. D.
8.如圖，伊麗莎白圈是小動物戴在頸子上防止他們自己抓撓傷口和患處或咬傷他人的一種保護器具，其形狀可看作上下均無底蓋的圓臺形物體某個伊麗莎白圈的上底面直徑為分米，下底面直徑為分米，母線長為分米，若要在伊麗莎白圈與寵物接觸的一面進行涂層，每平方分米需要消耗克涂層材料，不考慮伊麗莎白圈的厚度與連接處，則制作該伊麗莎白圈需要消耗涂層材料( )
A. 克 B. 克 C. 克 D. 克
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列給出的命題正確的是( )
A. 若為空間的一組基底，則也是空間的一組基底
B. 點為平面上的一點，且，則
C. 若直線的方向向量為，平面的法向量，則或
D. 兩個不重合的平面的法向量分別是，，則
10.銳角三角形中，角所對的邊分別是，已知，，，則( )
A. B.
C. D. 的面積為
11.如圖，在棱長為的正方體中，分別是的中點，是線段上的動點，則 ．
A. 存在點，使平面
B. 不存在點，使四點共面
C. 三棱錐的體積是定值
D. 經過四點的球的表面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，則 ．
13.在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為 ．
14.內一點見圖，式子可以寫成，這個式子中、、的系數均為，以三個系數作為邊長可構造一個等邊三角形，因此我們嘗試把繞點順時針旋轉，得到見圖，所以等于，顯然，
當、、、四點共線時見圖，最小．

試用類似的方法解決下面這道題目：
已知是平面內的任意一個向量，向量、滿足，且，，則的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
有名學生參加“環保知識競賽”，為考察競賽成績情況，從中抽取部分學生的成績得分均整數，滿分為分進行統計，請你根據尚未完成并有局部污損的頻率分面表和頻率分布直方圖如圖解釋下列問題．
分組 頻數 頻率



合計
填滿頻率分布表；
補全頻率分布直方圖；
若成績在的學生可以獲得二等獎，求獲得二等獎的學生人數．
16.本小題分
如圖，在中，，，，點在邊的延長線上．
求；
若，，求的長．
17.本小題分
已知函數為奇函數，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為．
求的解析式與單調遞減區間；
將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的縱坐標不變，得到函數的圖象，當時，求方程的所有根的和．
18.本小題分
如圖，在四棱錐中，側面平面，是邊長為的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，，為線段中點，連接．
證明：平面；
求到平面的距離；
線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
19.本小題分
如圖，設，且，當時，定義平面坐標系為的斜坐標系．在的斜坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：設，分別為，正方向同向的單位向量，若向量，記向量在的斜坐標系中．

若向量，求．
已知向量，，證明：．
若向量，的斜坐標分別為和，，設函數，，．
證明：有且只有一個零點．
比較與的大小，并說明理由．參考數據：，
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因為，，，，且所有頻率和為，
據此填滿頻率分布表，如下表所示：
分組 頻數 頻率
合計
根據中數據可得頻率分布直方圖，如圖所示：
由題意可知：成績在頻率為，
估計獲得二等獎的學生人數為．
16.中，由正弦定理，
因為，，所以，
所以，
則
．
方法：因為，所以，
所以，
則．
方法：在中，由余弦定理得
，
因為為線段上靠近的三等分點，所以．
因為，所以，
因為為銳角，所以，
在中，由余弦定理得，，
所以．
17.，
圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，
的最小正周期為，即可得，
又為奇函數，則，
又，，故，
令，，得，．
函數的遞減區間為，．
將函數的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，
再把橫坐標縮小為原來的，得到函數的圖象，
又，則或，
即或．
令，當時，，
畫出的圖象如圖所示：
有兩個根，，關于對稱，
即，
，則，，，
在上有兩個不同的根，，，
；
又的根為，，，
所以方程在內所有根的和為．
18.在四棱錐中，取中點，連接，
由為的中點，且，，得，，
則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，
所以平面．
取的中點，連接，，由為等邊三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
則平面，由，得四邊形是平行四邊形，
于是，而，則，直線兩兩垂直，
以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，
設平面的法向量為，則
取，得，
又，所以到平面的距離，
因為平面，所以到平面的距離為到平面的距離，即．
令，
，，
設平面的法向量為，則
取，得，
平面的法向量為，
于是，
化簡得，又，解得，即，
所以線段上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為，．
19.因為向量，所以，又因為，，
所以，
所以．
因為向量，，所以，，
所以
化簡得．
由得，
化簡得，
所以，
當時，單調遞增，因為，
又因為，，所以，
又因為，所以，
由零點存在定理可得，存在，使得，
所以在上有一個零點．
當時，，，所以，
故在上沒有零點．
當時，，，
所以，故在上沒有零點．
綜上可得，有且只有一個零點．
．
理由如下：在上單調遞減，
所以，即，所以．

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