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第4章《 平行四邊形》章節測試卷
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分。)
1．下列航天圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是( )
A． B．
C． D．
2．若一個正邊形的每個外角為，則這個正邊形的邊數是( )
A． B． C． D．
3．如圖，在中，D，E分別是，的中點，，F是上一點，連接，，．若，則的長度為(　　)
AI
A．10 B．12 C．14 D．16
4．如圖，在中，，點A、C、D分別在、、上，四邊形為平行四邊形，且，則的周長是(　　)
A．24 B．18 C．16 D．12
5．已知中，，求證：，下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：
①∴，這與三角形內角和為矛盾
②因此假設不成立．∴
③假設在中，
④由，得，即．
這四個步驟正確的順序應是( )
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
6．如圖，點在的邊上，連接，作交于點，點是的中點，且，若，則的長為( )

A．10 B．9 C． D．8
7．如圖，在平行四邊形中，，，，為上一點，將 ADE沿著翻折，點恰好落在邊上的點處，連接，則長度為( )
A． B． C． D．
8．如圖，，分別是平行四邊形的邊，上的點，與相交于點，與相交于點，若，，，則陰影部分的面積為(　　)

A． B． C． D．
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線與相交于點E，，，將沿直線翻折后與原圖形在同一平面內，若點B的落點記為，則的長為( )

A． B． C． D．
10．如圖，點是的邊的延長線上一點，點是邊上的一個動點(不與點B重合)．以、為鄰邊作平行四邊形，又平行且相等于(點P、E在直線的同側)，如果，那么的面積與面積之比為( )

A． B． C． D．
二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)
11．已知點與點關于原點對稱，則點的坐標是 ．
12．如圖①是我國古建筑上采用的八角形空窗，輪廓是正八邊形，其示意圖如圖②所示，則它的外角 ．
13．如圖，在平面直角坐標系中，已知平行四邊形，，，直線與，分別交于，，且將的面積分成相等的兩部分，則的值是 ．
14．圖1是由兩個全等直角三角形和兩個長方形組成的平行四邊形，將其剪拼成不重疊，無縫隙的大正方形(如圖2)，若長方形③面積是長方形②面積的4倍，平行四邊形的周長比長方形③的周長大18，則線段的值為 ．

15．圖1表示一雙開門關閉時的狀態圖，圖2表示打開雙門過程中，某一時刻的示意圖，其中為門檻寬度．
(1)當時，雙門間隙與門檻寬度的比值為 ．
(2)若雙門間隙的距離為4寸，點和點距離都為1尺(1尺＝10寸)，則門檻寬度是 寸．
16．如圖，點是平行四邊形ABCD的邊上的中點，連接，點為中點，若，，，則的長為 ．

三、解答題(本大題共7小題,共66分)
17．如圖，在的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，已知格點線段，請按要求畫出格點三角形(頂點在格點上)．
(1)在圖1中畫一個等腰三角形．
(2)在圖2中畫一個，使得恰好平分的面積．
18．如果一個多邊形的各邊都相等，且各內角也都相等，那么這個多邊形就叫做正多邊形，下圖是一組正多邊形，觀察每個正多邊形中∠α的變化情況，解答下列問題．

(1)將下面的表格補充完整：
正多邊形的邊數 3 4 5 6 …… n
∠α的度數 60°　 　 　 　 　 　 　 　 ……
(2)根據規律，是否存在一個正n邊形，使其中的？若存在，直接寫出n的值；若不存在，請說明理由．
19．如圖，平行四邊形ABCD中，把沿翻折得到，相交于點．
(1)求證：DE∥AC；
(2)連接交于點，連接，在不添加輔助線的條件下請直接寫出圖中所有等腰三角形．
20．如圖，在平行四邊形中，E，F是直線上的兩點，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，且，求的長．
21．如圖，已知在矩形中，E是邊的中點，連接并延長，與的延長線交于點F，連接和．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，求的長．
22．在平行四邊形中，，，∠BAD＝120°．
(1)若，則______；
(2)如圖，求對角線的長(用含，的式子表示)；
(3)如圖，四邊形也是平行四邊形，連結并延長交于點，若AG⊥BE，，，，求的長．
23．問題：如圖，在平行四邊形中，，的平分線分別與直線交于點E、F，請直接寫出的長．
(1)探究：把“問題”中的條件“”去掉，其余條件不變．
①當點E與點F重合時，的長為　　．
②當點E與點C重合時，的長為　　．
(2)把“問題”中的條件“”去掉，其余條件不變，當點C，D，E，F相鄰兩點間的距離相等時，求的值．
24．已知菱形和等邊，．

(1)當E，F分別在的延長線上時(如圖1)，連結．
①求證：；
②連結，交于點N(如圖2)，取的中點M連結．若，求的長；
(2)當點F在的延長線上時(如圖3)，連結，分別取的中點M，N，連結．若，，求的長．
參考答案
一、選擇題
1．A
【分析】本題考查中心對稱圖形，熟知中心對稱圖形的定義是解題的關鍵．
中心對稱圖形是指圖形繞著某個點旋轉180°能與原來的圖形重合，據此即可求解．
【詳解】解：A、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．
故選：A．
2．B
【分析】本題考查了多邊形的外角和，由多邊形的外角和為，結合每個外角的度數，即可求出的值，此題得解，熟記多邊形的外角和為是解題的關鍵．
【詳解】∵一個正邊形的每一個外角都是，
∴，
故選：．
3．B
【分析】本題考查了三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線的性質；
根據直角三角形斜邊中線的性質求出，可得的長，再根據為的中位線，即可求出．
【詳解】解：∵，E是的中點，
∴，
∴，
∵D，E分別是，的中點，
∴為的中位線，
∴，
故選：B．
4．D
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質以及平行線的性質，根據四邊形為平行四邊形，得出，，，，進而得出 ，，，即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴平行四邊形的周長是，
故選：D．
5．D
【分析】本題考查的是反證法．根據反證法的一般步驟判斷即可．
【詳解】解：運用反證法證明這個命題的四個步驟，
1、假設在中，，
2、由，得，即，
3、，這與三角形內角和為矛盾，
4、因此假設不成立．，
綜上所述，這四個步驟正確的順序應是：③④①②．
故選：D．
6．B
【分析】延長交于點，可推出四邊形是平行四邊形，得；根據“點是的中點”可得、，設，根據即可求解．
【詳解】解：延長交于點，如圖：

∵，，
，
∵CE∥GH，
∴四邊形是平行四邊形，
，
∵點是的中點且，
，
∵點是的中點且，
，
，
設，
，
解得：，
∴，
故選：B．
7．A
【分析】連接，作 于點，根據四邊形是平行四邊形，，，和沿著翻折，點恰好落在上的點處，可得是等邊三角形，根據含30度角的直角三角形和等腰直角三角形，可得的長，再證明，可得．進而可得結論．
【詳解】解：如圖，連接，作于點，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，，
，，
沿著翻折，點恰好落在上的點處，
，，
是等邊三角形，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∵BC=AD，，
，
，
．
故選：A．
8．B
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，三角形的面積，解題的關鍵在于求出各三角形之間的面積關系．根據平行四邊形的面積與三角形的面積公式可得三角形的面積，連接、兩點，由三角形的面積公式我們可以推出，，所以，，因此可以推出四邊形的面積就是．再根據面積差可得答案．
【詳解】解：連接、兩點，過點作于點，

，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
的邊上的高與的邊上的高相等，
，
，
同理：，
，
，，
，
故陰影部分的面積為．
故選：B．
9．A
【分析】由四邊形是平行四邊形，，可得．如圖，連接．根據折疊的性質知，，．證明是等腰直角三角形，則，結合線段的垂直平分線的性質可得答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，
∴．
如圖，連接．根據折疊的性質知，，．

∴，
∴是等腰直角三角形，則．
又∵，，
∴．
故選：A．
10．C
【分析】首先過點作交于，連接，，易得四邊形，是平行四邊形，又由四邊形是平行四邊形，設，則，可得，又由，，即可求得的面積與面積之比．
【詳解】解：如圖：過點作交于，連接，，

，，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形是平行四邊形，
，，
即，
，，共線，
設，
，
，
則，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
．
故選：C．
二、填空題
11．
【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征，根據關于原點對稱的點的坐標的橫、縱坐標均互為相反數即可得出答案．
【詳解】解：點與點關于原點對稱，
點的坐標是，
故答案為：．
12．45
【分析】本題主要考查的是正多邊形的外角問題，理解多邊形的內角和為是解題關鍵．由正八邊形的外角和為，結合正八邊形的每一個外角都相等，再列式計算即可．
【詳解】解：因為正八邊形的外角和為，
所以，．
故答案為：45．
13．
【分析】本題主要考查了求一次函數解析式，平行四邊形的性質．根據平行四邊形的性質得的中點為平行四邊形的對角線的交點，則利用線段的中點坐標公式得到平行四邊形的對角線的交點坐標為，然后把代入 可得到k的值．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴的中點為平行四邊形的對角線的交點，
∵，，
∴平行四邊形的對角線的交點坐標為，
即，
∵直線將的面積分成相等的兩部分，
∴直線經過點，
∴，
解得：．
故答案為：．
14．
【分析】如圖，由題意設，則，，，根據平行四邊形的周長比長方形③的周長大18，構建方程求出即可．
【詳解】如圖，由題意設，則，，，

，
，，
又平行四邊形的周長比長方形③的周長大18，
，
，
．
故答案為：．
15． 52
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形，平行四邊形的判定和性質，勾股定理；
(1)連接，作于，于，根據和直角三角形30°角所對直角邊等于斜邊的一半可得，于是，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得是平行四邊形，于是，求得線段差再計算比值即可；
(2)設結合(1)解答，在中利用勾股定理建立方程求解即可；
【詳解】解：如下圖連接，作于，于，則，
(1)∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由，可得，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴；
(2)設寸，則寸，
由，可得四邊形是平行四邊形，
∴
由，可得，
∴，
中由勾股定理可得，
∴，
解得：；
故答案為：，；
16．
【分析】過點作交于點，首先根據梯形的中位線得出的值，再證明為直角三角形、和為等腰三角形，進而解得，易得，根據勾股定理即可求得答案．
【詳解】解：過點作交于點，如下圖，

∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，
∵為中點，且，
∴為中點，，
∴，
∵，
∴，
∵點是的邊上的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
三、解答題
17．(1)解：如圖1中，即為所求(答案不唯一)；
(2)解：如圖2中，即為所求(答案不唯一)．
．
18．(1)解：觀察上面每個正多邊形中的，填寫下表：
正多邊形邊數 3 4 5 6
的度數
故答案為：，，，；
(2)解：不存在，理由如下：
∵設存在正邊形使得，
∴．
解得：，n不為正整數，不合題意，舍去，
∴不存在正邊形使得．
19．(1)證明：∵四邊形是平行四邊形，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
；
(2)解：，
是等腰三角形，
∵四邊形是平行四邊形，
，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
20．(1)證明：如圖，連接交于點，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，即，
四邊形是平行四邊形．
(2)解：四邊形是平行四邊形，，
，
，，
，
設，則，，
，
，
在中，，即，
解得或(不符合題意，舍去)，
則的長為．
21．(1)解：在矩形中，，
∴，
∵E是邊的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴四邊形是平行四邊形；
(2)∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，，
∴．
22.(1)解：如圖1，延長，過點作的延長線于點，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，．
，
，
．
故答案為：；
(2)解：如圖1，延長，過點作的延長線于點，
，
．
，
，．
∵BC=b，
，
；
(3)解：過點作，交的延長線于點，連接、，如圖所示：
四邊形是平行四邊形，，，
，，
，
，
在中，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形是平行四邊形，
∴，，
，
，
，
．
23．解：問題：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
探究：(1)①如圖1所示：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，同理：，
∵點E與點F重合，
∴；
故答案為：12；
②如圖2所示：
∵點E與點C重合，
∴，
∵，
∴點F與點D重合，
∴；
故答案為：6；
(2)分三種情況
①如圖3所示：
同(1)得：，
∵點C，D，E，F相鄰兩點間的距離相等，
∴，
∴；
②如圖4所示：
同(1)得：，
∵，
∴；
③如圖5所示：
同(1)得：，
∵，
∴；
綜上所述，的值為2或或．
24．(1)①∵四邊形是菱形，
∴，
∵
∴是等邊三角形
∴
∴也是等邊三角形．
∴
即．
∵是等邊三角形，
∴
在中，
∴
∴
②連結，

∵，，
∴，
∵，
∴，，又
∴
∴
∵M是中點
∴是的中位線
∴，
∵是等邊三角形，
∴，又由是等邊三角形得
∴，
∴
(2)過點C作于點G，取的中點Q，連結，，

∵是等邊三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴
又∵，，
∴
∴
∵是的中位線，是的中位線
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴是等邊三角形，
∴．

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