資源簡介

2024-2025學年七年級數學下冊期末復習題--解答壓軸題
【題型1 相交線中的旋轉問題】
1.如圖，O，D兩點在直線上，在的同側作直角三角形和射線，使．
(1)分別求的余角和補角的度數；
(2)將繞點O按每秒的速度逆時針方向旋轉．
①在旋轉一周的過程中，第幾秒時，直線恰好平分，則此時直線是否平分？請說明理由
②在旋轉一周的過程中，滿足在的內部，請探究此時與之間的數量關系，請說明理由．
2.“蒼南1號”是我國第一個平價海上風電項目，服務于國家“雙碳”戰略，具有顯著的環境效益和經濟效益．如圖1所示，風電機的塔架垂直于海平面，葉片，，可繞著軸心旋轉，且．
(1)如圖2，當時，求的度數．
(2)葉片從圖3位置（與重合）開始繞點順時針旋轉，若旋轉后與互補，則旋轉的最小角度是多少度？
3.將三角板的直角頂點O放置在直線上．
(1)若按圖1的方式擺放，且，射線平分，則________．
(2)如圖2，，將三角尺繞點O按順時針方向旋轉一個角度（即，）．
①當平分由，，其中兩條射線組成的角時，求滿足要求的所有的值．
②在旋轉過程中是否存在？若存在，求此時的值；若不存在，請說明理由．
4.【綜合實踐】根據以下素材，探索完成任務：
小江和小南在做物理實驗時發現：當光發生反射時，反射光線與平面鏡的夾角總是等于入射光線與平面鏡的夾角．于是，他們想進一步探究轉動的平面鏡對光線反射的影響．如圖1，點O為水平放置的平面鏡上一點，將一塊三角板的直角頂點擺放在O處，滿足斜邊，．現有一束光線經平面鏡反射后沿射出，當光發生反射時，總是等于．若使光線從與重合處開始繞著點O以每秒的速度順時針旋轉，設旋轉時間為t秒．
【探究1】當時，請用無刻度的直尺和圓規在圖2中畫出此時入射光線和反射光線所在位置；
【探究2】當，且時，求出滿足條件的t的值；
【探究3】若在光線開始轉動的同時，平面鏡也繞點O以每秒的速度逆時針旋轉，當時，請直接寫出和之間的數量關系．
【題型2 相交線中的角度綜合問題】
1.）我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1，，相交于點，連接，得到“8”字圖形．
(1)如圖1，試說明的理由；
(2)如圖2，和的平分線相交于點E，利用（1）中的結論探索與、間的關系；
(3)如圖3，點為延長線上一點，、分別是、的四等分線，且，，的延長線與交于點，請探索與、的關系．（直接寫結論）
2.如圖，相交于點O，，平分．

(1)求的度數；
(2)過點作的垂線，點N，E是垂線上的點，點在直線的上方，點在直線的下方，連接線段．
①依題意補全圖形；
②線段與長度的大小關系為：_____（填“>”“=”或“<”），依據是_____；
③的度數是_____．
3.在一節數學課上，老師與同學們以“同一平面內，點O在直線上，用三角尺畫，使；作射線，使平分”為問題背景，展開研究．
(1)如圖1，當時，求的度數；
(2)如圖2，請你通過所學習的相關知識說明．
4.已知直線相交于點，點在內部，作射線．
(1)如圖①，，則_______；_______；
(2)如圖②，，則_______；
(3)如圖③，平分，求的度數及點到直線的距離．
【題型3 平行線中的輔助線構造】
1.如圖，已知，點在射線上，．
(1)如圖①，若，，求的度數；
(2)如圖②，若，射線沿射線移動得到，點在射線上，探究和的關系；
(3)如圖③，在（2）的條件下，作，垂足為，與的平分線交于點．若，試用含的式子表示的度數．
2.直線，點、分別是直線、上的點，點為直線、之間的點．
(1)如圖1，判斷、、之間的數量關系，并說明理由．
(2)如圖2，點為直線上一點，且點在點右側，，的平分線交直線于點，點在點右側，求的值．
(3)如圖3，繞點轉動，與交于點，且始終在的內部，平分，交直線于點，平分，交直線于點，若，，則 （用含α、β的代數式表示）．
3.已知點，，不在同一條直線上，．
(1)如圖①，當 ， 時，求的度數；
(2)如圖②，為的平分線，的反向延長線與的平分線交于點，試探究與之間的數量關系；
(3)如圖③，在（2）的前提下，有，，直接寫出的值．
4.在現代化的智能工廠中，機械臂的精準操作依賴于精確的方向控制．如圖所示，有兩條平行的機械軌道與，即，將機械臂與軌道的接觸點記為，機械臂與軌道的接觸點記為，為了實現復雜的操作任務，通過關節和關節來調節三個機械臂、和的位置，在實際運行過程中，為確保穩定，三個機械臂、和不共線．
(1)如圖1所示，當機械臂時，證明．
(2)如圖2所示，當，，時，______（用含的式子表示）
(3)當，時，直接寫出與的數量關系．（用含的式子表示）
【題型4 平行線中的定值問題】
1.已知：點A在直線上，點都在直線上（點B在點C的左側），連接，AC，AB平分，且．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，點K為線段上一動點，連結，且始終滿足，
①當時，在直線上取點，連接，使得，求此時的度數．
②在點K的運動過程中，與的度數之比為定值，請直接寫出這個定值，不需要說明理由．
2.如圖所示，將一副三角板中的兩塊直角三角板按圖1放置，，，，，此時點A與點D重合，點A，C，E三點共線．

(1)對于圖1，固定三角形的位置不變，將三角形繞點A按順時針方向進行旋轉，旋轉至與首次垂直，如圖2所示，此時的度數是______；
(2)若直線，固定三角形的位置不變，將圖1中的三角形沿方向平移，使得點C正好落在直線上，再將三角形繞點C按逆時針方向進行旋轉，如圖3所示．
①若邊與邊相交于點G，試判斷的值是否為定值，若是定值，則求出該定值；若不是定值，請說明理由；
②固定三角形的位置不變，將三角形繞點C按逆時針方向以每秒的速度旋轉，至與直線首次重合時停止運動．設旋轉時間為t．
問：當t為何值時，線段與三角形的一條邊平行（選擇你喜歡的一條邊探究，如果符合條件的t不存在，只要理由充分，也可得分）
3.如圖，，點E在直線和之間，且在直線的左側，．
(1)如圖1，求的度數（用含的式子表示）；
(2)連接，過點E作，交于點F，動點G在射線上，．
①如圖2，若，平分，判斷與的位置關系并說明理由．
②連接，若，于點G，是否存在常數k，使為定值，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．
4.如圖①，點A、點B分別在直線和直線上，，，射線從射線的位置開始，繞點A以每秒的速度順時針旋轉，同時射線從射線的位置開始，繞點B以每秒的速度順時針旋轉，射線旋轉到的位置時，兩者停止運動．設旋轉時間為t秒．
(1)______；
(2)在轉動過程中，當射線與射線所在直線的夾角為，直接寫出t的值______．
(3)在轉動過程中，若射線與射線交于點H，過點H作交直線于點K，的值是否會發生改變？如果不變，請求出這個定值：如果改變，請說明理由．
【題型5 平行線中的角度綜合問題】
1.【動手操作】在數學活動課上，陳老師引導同學們探究畫平行線的方法，張華通過折紙想出了過點P畫直線的平行線的方法，折紙過程如下：①②③④．
【問題初探】
（1）通過上述的折紙過程，圖②的折痕與直線的位置關系是________；如圖④，________，則與的位置關系為平行．
【問題二探】
（2）張華在（1）的條件下繼續探究，他在P、Q兩點處安裝了絢麗的小射燈，射燈P發出的射線從開始繞點P順時針旋轉至后立即回轉，射燈Q發出的射線從開始繞點Q順時針旋轉至后立即回轉．兩燈不停旋轉交叉照射，射燈P、射燈Q轉動的速度分別是秒、秒，若射線轉動20秒后，射線開始轉動，在射線第一次到達之前．當射燈Q轉動t秒時，射線轉動到如圖⑤的位置．
①________（用含t的式子表示）；
②記射線與射線的交點為點O，在圖⑥中畫出時的圖形，并求出此時的大小；
【問題三探】
（3）在（2）的條件下，在射線第一次到達之前，射燈Q燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？并說明理由．

2.在學習完《相交線與平行線》后，同學們對平行線產生了濃厚的興趣，蔡老師圍繞平行線的知識在班級開展課題學習活動，探究平行線的“等角轉化”功能．
(1)【問題初探】如圖1，，，求證：．
(2)【拓展探究】在（1）的條件下，試問與之間滿足怎樣的數量關系？并說明理由．
(3)【遷移應用】
① 路燈維護工程車的工作示意圖如圖2，工作籃底部與支撐平臺平行，已知，則 ；
② 一種路燈的示意圖如圖3所示，其底部支架與吊線平行，燈桿與底部支架所成銳角，頂部支架與燈桿所成銳角，求與所成銳角的度數．
3.（1）問題情景：如圖1，已知，．
①問題初探：請對說明理由；
②拓展探究：請對說明理由．
（2）遷移應用：如圖2是路燈維護工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若，則的度數為______．
4.學行線的性質與判定之后，我們繼續探究折紙中的平行線．
(1)如圖1，長方形紙條中，，，，將紙條沿直線折疊，點A落在處，點D落在處，交于點G．
①若，求的度數．
②若，則________（用含α的式子表示）．
(2)如圖2，在圖1的基礎上將對折，點C落在直線上的處．點B落在處，得到折痕，則折痕與有怎樣的位置關系？說明理由．
(3)如圖3，在圖2的基礎上，過點作的平行線，直接寫出和的數量關系．
【題型6 無理數的估算】
1.閱讀材料：
大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部寫出來，于是小明用來表示的小數部分，你同意小明的表示方法嗎
事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分．
又例如：因為，即，所以的整數部分為2，小數部分為．
請解答下列問題：
(1)的整數部分是_____，小數部分是_____；
(2)如果的小數部分為，的整數部分為，求的值；
(3)已知，其中是整數，且，求的相反數．
2.大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數部分，事實上，小明的表示方法是有道理的，因為，所以的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分．
請根據上述材料解答：
(1)已知的立方根是2，b是的整數部分，求的平方根；
(2)已知，其中x是整數，且，請你求出的值．
3.閱讀下面的文字，解答問題：
（一）大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數部分．
例如：，即，的整數部分為2，小數部分為．
（1）如果的小數部分為，的整數部分為，則_____，_____．
（2）已知是的整數部分，是它的小數部分，求的平方根．
（二）據說，我國著名數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有道智力題：一個數是59319，希望求它的立方根，華羅庚脫口而出：39．鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙．
你知道華羅庚是怎樣迅速準確地計算出來的嗎？請按照下面的問題試一試：
（1）由，，，能確定是兩位數；
（2）由59319的個位上的數是9，能確定的個位上的數是9；
（3）如果劃去59319后面的三位319得到數59，而，由此你能確定的十位上的數是3；
（4）已知110592是整數的立方，按照上述方法，請你直接寫出：_____．
4.閱讀材料1．
是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分不能全部寫出來，但由于，所以的整數部分為1，將減去其整數部分1，差就是小數部分，其小數部分為．
（1）已知，其中x是整數，且，求的值；
閱讀材料2．
小李同學探索的近似值的過程如下：
∵面積為167的正方形的邊長是且，
∴可設，其中，畫出示意圖，如圖所示．根據示意圖，可得圖中正方形的面積；又∵，∴．由，可忽略，得，得到，即．
（2）仿照材料2中的方法，探究解答的近似值．（要求：畫出圖形，標明數據，結果保留兩位小數）
【題型7 與實數有關的規律探究】
1.先觀察下列等式，再回答問題：
①；②；③
(1)請寫出第④個等式：_________；
(2)猜想第n個等式：________；（用含n的式子表示）
(3)根據上述規律計算：
2.（1）填表：
… 1 100 10000 …
… 100 …
（2）利用上表中的規律，解決下列問題：已知，，則的值為 ；
（3）當時，比較和的大小．
3.觀察下列規律回答問題：
(1)_______，_______；
(2)已知，若，用含x的代數式表示y，則_______；
(3)根據規律寫出與a的大小情況．
4.觀察下列一組算式的特征及運算結果，探索規律：
第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……
規律發現：
(1)根據上述規律，直接寫出下列算式的值：
①______；
②______．
(2)用含（為正整數）的代數式表示出第個等式：______．
(3)根據上述規律計算：
【題型8 與實數有關的應用】
1.2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊進行決賽階段的比賽．決賽階段分為分組積分賽和復賽．32支球隊通過抽簽被分成8個小組，每個小組4支球隊，進行分組積分賽，分組積分賽采取單循環比賽（同組內每2支球隊之間都只進行一場比賽），各個小組的前兩名共16支球隊將獲得出線資格，進入復賽；進入復賽后均進行單場淘汰賽，16支球隊按照既定的規則確定賽程，不再抽簽，然后進行決賽，決賽，最后勝出的4支球隊進行半決賽，半決賽勝出的2支球隊決出冠、亞軍，另外2支球隊決出三、四名．
(1)本屆世界杯分在組的4支球隊有阿根廷、沙特、墨西哥、波蘭，請用表格列一個組分組積分賽對陣表（不要求寫對陣時間）．
(2)請簡要說明本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？
(3)請簡要說明本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？
2.座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其計算公式為，其中T表示周期（單位：s），l表示擺長（單位：m）．假如一臺座鐘的擺長為0.2m．（取3，）
(1)求擺針擺動的周期．
(2)如果座鐘每擺動一個來回發出一次滴答聲，那么在6分鐘內，該座鐘大約發出了多少次滴答聲？
3.將一個半徑為10cm的圓柱體容器里的藥液倒進一個底面是正方形的長方體容器內，如果藥液在兩個容器里的高度是一樣的，那么長方體容器的底面邊長是多少？（結果精確到0.1）
4.我們知道，每個自然數都有正因數，將這個自然數的所有正奇數因數之和減去所有正偶數因數之和，再除以這個自然數所得的商叫做這個自然數的“完美指標"．例如：10的正因數有1，2，5，10，它的正奇數因數是1，5，它的正偶數因數是2，10． 所以10的“完美指標”是：．我們規定，若一個自然數的“完美指標”的絕對值越小，這個數就越“完美”．例如：因為6的“完美指標”是，沒有正偶數因數，7的“完美指標”是，且，所以6比7更“完美”．
根據上述材料，求出18，19，20，21 這四個自然數中最“完美”的數．
【題型9 平面直角坐標系中點的坐標特征】
1.在平面直角坐標系xOy中，對于點，，將的值叫做點A與點B的“縱橫距離”，記為，即．已知點，，．
(1)點A與點B的“縱橫距離”的值為_______；已知點M在x軸上，的值為4，則點M的坐標為________．
(2)若平面上有一點D，使得最小，則D點坐標為________．
(3)如果P是不同于A，O的點，且滿足，請用文字語言描述出所有符合條件的點P所在的位置．
2.若點的坐標滿足，我們稱點為“橫和點”．
(1)已知點為“橫和點”，求的值；
(2)在平面直角坐標系中，將三角形平移得到三角形，點的對應點分別是點，已知點，點，點，點為“橫和點”，點的橫坐標為．
①若點為“橫和點”，且三角形的面積為8，求點的坐標；
②若點的坐標是，點在軸上，判斷點是否為“橫和點”，并說明理由．
3.在平面直角坐標系中，對于點和點，若點的坐標為，則稱點N和點互為“對分點”．若圖形W上存在一點T且點T的“對分點”恰好也在圖形W上，則稱圖形W為“對分圖形”．

已知點，，，，．
(1)①點A的“對分點”的坐標是______；
②若點A的“對分點”是點B，則點的坐標是______．
(2)點（其中b為非零整數）與線段組成的圖形記為圖形U，圖形U是“對分圖形”，則所有滿足條件的點C坐標為______．
(3)已知點，，將線段，，，首尾順次連接，組成正方形，正方形與線段組成的圖形記為圖形V．若圖形V是“對分圖形”，則k的取值范圍為______．
4.在平面直角坐標系中，對于點，若點Q的坐標為，則稱點Q是點P的“a階智慧點”（a為常數，且）．例如：點的“2階智慧點”為點，即點．
(1)點的“3階智慧點”的坐標為______．
(2)若點B的“4階智慧點”為，求點B的坐標．
(3)若點的“階智慧點”到x軸的距離為1，求m的值．
【題型10 平面直角坐標系中的面積問題】
1.如圖，在平面直角坐標系中，點坐標為，點坐標為，點坐標為，將點向右平行移動個單位長度到點，動點從點出發沿射線的方向以個單位長度/秒的速度運動，運動時間為秒．
(1)求四邊形的面積；
(2)當三角形 的面積為四邊形的面積的時，求的值；
(3)當為何值時，．
2.已知，如圖，在直角坐標系中，軸，軸，，，有個點從運動，每秒鐘1個單位，同時點從也以每秒1個單位運動，運動時間為，
(1)寫出，，三個點坐標．
(2)當秒時，求的面積．
(3)當到軸距離等于到軸距離時，求時間．
3.如圖，在平面直角坐標系中，已知點，且．點在第四象限．
(1)求a，b的值；
(2)若點C到y軸的距離是到x軸距離的兩倍，求點C的坐標；
(3)在（2）的條件下，點D從原點O出發以每秒2個單位的速度沿x軸負方向運動，連接交y軸于點E，則當點D運動多少秒時，三角形與三角形面積相等？
4.如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為．將線段向右平移3個單位，再向上平移1個單位后，得到線段．
(1)直接寫出點E，F的坐標：
(2)如圖2，將線段沿y軸向下平移個單位后得到線段（點A與點B對應），過點B作軸于點D．若，求a的值；
(3)如圖1，在x軸上是否存在一點P，使得（和分別表示和的面積），若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【題型11 坐標與圖形】
1.如圖1，在平面直角坐標系中，，，將線段沿軸向右平移個單位得到線段，點為射線上一動點．
(1)填空：點的坐標為__________，點的坐標為__________．
(2)如圖1，點是線段上一點（不與點、重合），當點在射線上運動時（點不與點重合），連接，請用等式表示，，之間滿足的數量關系，直接寫出答案；
(3)如圖2，點在軸上，且，連接，，，當的面積等于的面積時，請求出點的坐標．
2.在平面直角坐標系中、，a、b滿足．
(1)如圖1，求點A、B的坐標；
(2)如圖2，y軸上有一點E，的面積是6，求點E的坐標；
(3)如圖3，將線段沿x軸的正方向平移4個單位長度，過A、B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為D、C，在坐標平面內是否存在點，使得與的面積相等，且與的面積相等？若存在，請求P點的坐標；若不存在，請說明理由．
3.如圖1，在平面直角坐標系中；，且滿足，過作軸于．
(1)___________，___________，三角形的面積___________；
(2)若過作交軸于，，分別平分，，如圖2，求的度數；
(3)在軸上存在點，使得三角形和三角形的面積相等，則點坐標為___________．
4.如圖1，點，，且滿足．
(1)直接寫出、的坐標：（0，______），（________，0）；
(2)點以每秒2個單位長度從點向軸負半軸運動，同時，點以每秒3個單位長度從點向軸正半軸運動，直線，交于點，設點，運動的時間為秒．
①當時，求證：；
②如圖2，當時，在線段上任取一點，連接．點為的角平分線上一點，連接，且滿足．請將圖2補全，直接寫出、、之間的數量關系．
【題型12 二元一次方程（組）的解】
1.在解方程組時，甲由于粗心看錯了方程組中的，求得方程組的解為；乙看錯了方程組中的，求得方程組的解為；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程組的正確解．
2.閱讀下列材料：我們知道方程有無數個解，但在實際生活中我們往往只需求出其正整數解．
例：由，得：（、為正整數）．要使為正整數，則為正整數，由2，3互質，可知：為3的倍數，將，代入得．所以的一組正整數解為．
問題：
（1）請你直接寫出方程的一組正整數解_______；
（2）若為自然數，則滿足條件的正整數的值有（ ）個．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）為獎勵消防演練活動中表現優異的同學，某校決定用1200元購買籃球和排球作為獎品，其中籃球每個120元，排球每個90元，在購買資金恰好用盡的情況下，寫出購買方案．
3.已知二元一次方程（a，b均為常數，且a≠0）．
(1)當a＝3，b＝﹣4時，用x的代數式表示y；
(2)若是該二元一次方程的一個解，
①探索a與b關系，并說明理由；
②無論a、b取何值，該方程有一組固定解，請求出這組解．
4.閱讀材料：
關于x，y的二元一次方程有一組整數解，則方程的全部整數解可表示為（t為整數）．問題：求方程的所有正整數解．
小明參考閱讀材料，解決該問題如下：
解：該方程一組整數解為，則全部整數解可表示為（t為整數）．
因為解得．因為t為整數，所以t=0或-1．
所以該方程的正整數解為和 ．
(1)方程的全部整數解表示為：（t為整數），則= ；
(2)請你參考小明的解題方法，求方程的全部正整數解；
(3)方程的正整數解有多少組 請直接寫出答案．
【題型13 求二元一次方程（組）中的參數】
1.已知關于，的方程組（是常數）．
(1)當時，則方程組可化為．
①請直接寫出方程的所有非負整數解．
②若該方程組的解也滿足方程，求的值．
(2)當時，如果方程組有整數解，求整數的值．
2.閱讀下列材料，解答下面的問題：我們知道方程有無數個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數解．例：由，得：（、為正整數）．要使為正整數，則為正整數，可知：為3的倍數，從而，代入．所以的正整數解為．問題：
（1）請你直接寫出方程的正整數解___________．
（2）若為自然數，則求出滿足條件的正整數的值．
（3）關于，的二元一次方程組的解是正整數，求整數的值．
3.在解決“已知有理數x、y、z滿足方程組，求的值”時，小華是這樣分析與解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
當時，
即，解得．
∴①②，得．
請你根據小華的分析過程，解決如下問題：
(1)若有理數a、b滿足，求a、b的值；
(2)母親節將至，小新準備給媽媽購買一束組合鮮花，若購買2枝紅花、3枝黃花、1枝粉花共需18元；購買3枝紅花、5枝黃花、2枝粉花共需28元．則購買1枝紅花、3枝黃花、2枝粉花共需多少元？
4.已知關于，的方程組
（1）請寫出方程的所有正整數解；
（2）若方程組的解滿足，求的值；
（3）無論實數取何值，方程總有一個公共解，你能把求出這個公共解嗎？
（4）如果方程組有整數解，求整數的值．
【題型14 二元一次方程組的特殊解法】
1.換元法是把一個比較復雜的代數式的一部分看成一個整體，用另一個字母代替這整體（即換元）的方法，好處是能使式子得到簡化，便于解決問題，充分體現數學的整體思想．
(1)填空：解方程組時，把和分別看成一個整體，即設，，則原方程組可化為關于a、b的方程組解得a、b的值；這樣可得，從而得到原方程組的解為．
(2)請用換元法解方程：．
2.解下列方程組：
(1)
(2)
(3)已知的解為，則關于的方程的解為___________．
3.閱讀下列解方程組的方法，然后回答問題．
解方程組
解：由①②，得，即③，
③，得④，
②④得，
從而可得，
∴原方程組的解是．
(1)請你仿照上面的解題方法解方程組；
(2)請你仿照上面的解題方法解方程組；
(3)請大膽猜測關于的方程組 的解是什么？并用方程組的解加以驗證．
4.規定：形如關于、的方程與的兩個方程互為共軛二元一次方程，其中；由這兩個方程組成的方程組叫做共軛方程組．
(1)方程的共軛二元一次方程是 ；
(2)若關于、的方程組為共軛方程組，則 ， ；
(3)拓展：閱讀下列解共軛方程組的方法，然后解答問題：
解共軛方程組時，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，從而得
所以原方程組的解是
用上述方法求共軛方程組的解．
【題型15 二元一次方程（組）的應用】
1.圖中是一把學生椅，主要由靠背、座板及鐵架組成，經測量，該款學生椅的座板尺寸為，靠背由兩塊相同的靠背板組成，其尺寸均為．
因學校需要，某工廠配合制作該款式學生椅，清點庫存時發現，工廠倉庫已有大量的學生椅鐵架，故只需在市場上購進某型號板材加工制作該款式學生椅的靠背與座板，如下圖，該型號板材長為，寬為．（裁切時不計損耗）
【任務一】擬定裁切方案
（1）在不造成板材浪費的前提下，若將一張該板材全部用來裁切靠背板，則可裁切靠背板______塊．
（2）在不造成板材浪費的前提下，若將一張該板材同時裁切出靠背板和座板，請你設計出所有符合要求的裁切方案：
方案一：裁切靠背板______塊和座板______塊．
方案二：裁切靠背板______塊和座板______塊．
方案三：裁切靠背板______塊和座板______塊．
【任務二】確定搭配數量
（3）現需要制作700張學生椅，該工廠倉庫現有10塊靠背板，沒有座板，請問還需要購買該型號板材多少張（恰好全部用完）？為方便加工，需在上述裁切方案中選定兩種，并說出你選定的兩種裁切方案分別需要多少塊板材．
2.一個游樂場里有一段直線巡游路，琪琪和佳佳分別以相同速度相對而行，一輛巡游電車從琪琪身邊通過用了3秒，5分鐘后這輛車與佳佳迎面相遇，從佳佳身邊通過用了2秒，巡游電車離開佳佳后多少分鐘琪琪和佳佳碰面了？
3.一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同進行晨跑，下面是兩個孩子與記者的對話：
根據對話內容，請你用方程的知識幫記者求出哥哥和妹妹的年齡．
4.列二元一次方程組解應用題：
爸爸騎摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時間看到的里程表上的數如下：
時刻
里程表上的數 是一個兩位數，它的兩個數字之和是6 是一個兩位數，它的十位與個位數字與所看到的正好互換了 是一個三位數，它比9時看到的兩位數中間多了個0
設：時里程碑上的這個兩位數十位數字為x，個位數字為y，回答下列問題：
(1)用含x，y代數式表示：時里程碑上的數字______；時看到里程表上的數______；時看到里程表上的數______；
(2)列方程組并求出時里程碑上的數．
【題型16 求一元一次不等式（組）中參數】
1.我們定義：如果兩個一元一次不等式有公共解（兩個不等式解集的公共部分），那么稱這兩個不等式互為“云不等式”，其中一個不等式是另一個不等式的“云不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，不等式的“云不等式”是_____________．（填序號）
(2)若，若關于的不等式與不等式互為“云不等式”，求的取值范圍．
2.我們約定：不等式組，，，的“長度”均為，，不等式組的整數解稱為不等式組的“整點”．例如：的“長度”，“整點”為，0，1，2．根據該約定，解答下列問題：
(1)不等式組的“長度”______；“整點”為______；
(2)若不等式組的“長度”，求a的取值范圍；
(3)若不等式組的“長度”，此時是否存在實數m使得關于y的不等式組恰有4個“整點”，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
3.閱讀下面材料：
關于x的不等式的所有解都滿足，求a的取值范圍．

解：∵，∴當時，，當時，．
∵x的不等式的所有解都滿足，
∴．
根據材料，完成下列各題：
(1)解關于x的不等式．
(2)關于x不等式的所有解都滿足不等式，求a的取值范圍．
(3)如果不等式組非負整數解的和為3，求a的取值范圍．
4.若點的坐標滿足．
(1)若點的坐標為，求，的值；
(2)若點在第二象限，且符合要求的整數只有五個，求的取值范圍；
(3)若點為不在軸上的點，且關于的不等式的解集為，求關于的不等式的解集．
【題型17 解特殊不等式組】
1.閱讀下列材料：
我們知道的幾何意義是在數軸上數對應的點與原點的距離，即，也就是說，表示在數軸上數與數對應的點之間的距離；
例 1．解方程，因為在數軸上到原點的距離為的點對應的數為，所以方程的解為．
例 2．解不等式，在數軸上找出的解（如圖），因為在數軸上到對應的點的距離等于的點對應的數為或，所以方程的解為或，因此不等式的解集為或．
參考閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程的解為 ；
（2）解不等式：；
（3）解不等式：．
2.記表示正數x四舍五入后的結果，例如
(1) =_ , =
(2)若,則x的取值范圍是 ．
(3)若則x的取值范圍是
3.【閱讀思考】閱讀下列材料：
已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2
又∵x＞1
∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0 ①
同理1＜x ＜2 ②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y 的取值范圍是0＜x+y ＜2
【啟發應用】請按照上述方法，完成下列問題：
已知x ﹣y ＝3，且x ＞ 2，y ＜1，則x+y的取值范圍是 ；
【拓展推廣】請按照上述方法，完成下列問題：
已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，試確定x﹣y的取值范圍．
4.已知，若，則稱x為a，b的偏小值；若，則稱x為a，b的偏大值．
(1)已知x為和3的偏小值，且x為整數，求x的值；
(2)若m為整數，且在和m的所有偏大值x中，僅存在一個整數，請直接寫出所有符合條件的m的值．
【題型18 一元一次不等式（組）的應用】
1.根據以下素材，探索完成任務．
背景 深外初中部與南科大物理系聯合開發“高階科學實驗之旅”拓展課程，學校擬向公交公司租借A、B兩種車共8輛，帶領學生走進南科大，了解量子物理全球前沿發展動態，參觀高精尖實驗室．
素材1 A型車最大載客量是60人，B型車的最大載客量是40人，已知A型車每輛的租金是500元，B型車每輛的租金是350元．
素材2 七年級的師生共有360人，根據學校預算，租車的費用需要控制在3300元（包含3300元）以內．
問題解決
任務1 根據素材2中該校七年級師生的實際情況，該如何租車？請給出所有滿足條件的租車方案．（用一元一次不等式組求解）
任務2 在所有滿足條件的租車方案中，花費最少的方案比預算3300元省多少錢？
2.某學校為慶祝辦學周年校慶活動，特訂購校慶紀念冊和校慶紀念品．經了解，以紀念冊和紀念品的平均單價計算，訂購本紀念冊和件紀念品共需元；訂購本紀念冊比件紀念品多花元．
(1)求平均每本校慶紀念冊和每個校慶紀念品各是多少元．
(2)計劃訂購校慶紀念冊和校慶紀念品總費用不超過元，其中訂購校慶紀念冊大于本，校慶紀念冊的數量比校慶紀念品的數量多，請求出所有符合條件的訂購方案．
3.隨著技術的飛速發展，人工智能已經成為商場中不可或缺的一部分，大大提升了購物效率和顧客的滿意度．某商場計劃購進一批智能機器人，其計劃單中部分信息如下：
型號 單價（元） 數量（臺） 總金額（元）
型 27000
型 12000
已知計劃購進型機器人比購進型機器人多2臺，且型機器人的進價比型機器人的進價每臺高50%．
(1)求，兩種型號的機器人的進價各是多少？
(2)春節將至，為應對購物高峰，商場決定用不超過20000元再次購買這兩種型號的機器人共5臺，并要求再次購買的型機器人的數量不少于型機器人的數量，問該商場如何采購這批機器人？總費用是多少？
4.據燈塔專業版數據，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童鬧海》總票房達億元，登頂全球動畫電影票房榜，是亞洲首部票房過百億的影片，并創造了全球單一電影市場最高票房紀錄．該片來源于哪吒鬧海的傳統故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊兒郎當，實則勇敢堅毅，強烈反差引發情感共鳴；“我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚目．為滿足兒童對哪吒的喜愛，商家推出、兩種類型的哪吒紀念娃娃．已知購進50件種娃娃和40件種娃娃的費用共2000元；且每個種娃娃的進價比每個種娃娃的進價多5元．
(1)每個種娃娃和每個種娃娃的進價分別是多少元？
(2)因銷售效果不錯，某玩具店決定購進、兩種哪吒玩偶共100個，且種娃娃的數量不多于種娃娃數量，且購買資金不超過2260元．請問共有幾種購買方案？哪一種方案最省錢？
參考答案
【題型1 相交線中的旋轉問題】
1.（1）解：，
的余角的度數是，補角的度數是；
（2）解：①有兩種情況：
如圖1，當在的下方時，
恰好平分，，
，
未旋轉之前，，則未旋轉之前，
旋轉角，（秒，即在旋轉一周的過程中，第15秒時，直線恰好平分，
，
，
∴，
平分；
當在的上方時，過點O作的垂線，
此時，
∴，
∴旋轉角：，（秒，即在旋轉一周的過程中，第51秒時，直線恰好平分，
∵，
∴，
而，
∴，
∴直線平分；
綜上，在旋轉一周的過程中，第15秒或51秒時，直線恰好平分，則此時直線平分；
②有兩種情況：
當在的下方時，有，理由是：
如圖2，在的內部，
，
，
，
，
．
當在的上方時，有，理由是：
如圖3，在的內部，
，
．
2.（1）解：因為，
又因為，
所以．
因為，
所以，
所以，
所以．
（2）解：設旋轉的最小角度是，則，，
因為與互補，
所以，即，
解得，
所以旋轉的最小角度是．
3.（1）解：∵，
∴，
∵射線平分，
∴，
故答案為：．
（2）解：①（Ⅰ）如圖，當平分由，兩條射線組成的角時，
∴，
∵，
∴，
∴；
（Ⅱ）如圖，當平分由，兩條射線組成的角時，
∴；
（Ⅲ）如圖，當平分由，兩條射線組成的角時，
∴，
∴此時旋轉角大于，不符合題意，舍去；
綜上，滿足要求的所有的值為或．
②（Ⅰ）如圖，當時，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，符合題設；
（Ⅱ）如圖，當時，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，符合題設；
（Ⅲ）如圖，當時，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，不符合題設，舍去；
綜上，在旋轉過程中存在，此時的值為或．
4.解：探究1：如圖所示，作的角平分線，再作，則入射光線和反射光線即為所求；
由平行線的性質可得，由題意得；
探究2：當時，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
當時，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
當時，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去）；
綜上所述，或；
探究3：如圖3-1所示，當射線恰好經過點B時，
由題意得，
∴，，
∴，
解得；
如圖3-2所示，當時，
由題意得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
如圖3-3所示，當射線和重合時，則，
解得；
如圖3-4所示，當時，
同理可得，
∴，
∵，
∴，，
∴；
綜上所述，當時，；當時，．
【題型2 相交線中的角度綜合問題】
1.（1）解：如圖1，
，，
．
（2）解：如圖2，
和的平分線相交于點，
，，
由（1）可得：，，
，
．
（3）由（1）得：，
，
，
設與的交點為點，則，
兩式相減可得：，
，
，
，
，
即．
2.（1）解：（1）因為，，
所以，
因為平分，
所以；
（2）解：①如圖所示：

②∵是垂線段，
∴（垂線段最短）；
故答案為：>，垂線段最短；
③∵，平分，
∴，
∴．
∴．
故答案為：．
3.（1）解：由圖1可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即；
（2）解：由圖2知：
∵平分，
∴，
設，所以，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴
4.（1）解： ，
當時，，
，
，
故答案為：100，50．
（2）解：，
，
，
故答案為：60．
（3）解：，平分，
，
，，
點到直線的距離等于的長，即為2，
∴的度數為，點到直線的距離為2．
【題型3 平行線中的輔助線構造】
1.（1）解：，
，
∵，
；
（2）解：如圖②，過點作，
，，
，
，，
，
；
（3）解：如圖所示，過點P作，延長到，
，，
∴，
∴，
是的平分線，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得，，
∴，
∴，
∴
．
2.（1）解：，理由如下：
過點作，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴ ，
由（1）同理得，
∴，
∴；
（3）解：∵平分，平分，
∴，，
設，，則，，
∴，
∵，
∴，
由（1）同理得：，
∴；
故答案為：．
3.（1）解：如圖，過點作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵ ，，
∴ ．
（2）解：如圖，過點作，
同理可得：．
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
∴．
由（1）得，
∴，
∴ ．
（3）解：∵，
∴，，．
∵，
∴．
又∵，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
4.（1）證明：如圖，延長交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解： ；
理由：如圖，分別過點P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當，，時，
；
（3）解：或或或；
理由如下：如圖2-1，分別過點P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當，時，
，
∴；
如圖2-2，分別過點P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當，時，
∴；
如圖2-3，分別過點P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當，時，
∴；
如圖2-4，分別過點P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當，時，
∴；
綜上可得：或或或．
【題型4 平行線中的定值問題】
1.（1）證明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）①如圖1，當F在A點右邊時，
∵，
∴，
又∵，
∴，
設，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴；
如圖：當F在A點左側時，
∵，
∴，
又∵，
∴，
設，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴；
綜上，的度數為或；
②，理由為：
設，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴
∴．
2.（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
根據旋轉可知，．
故答案為：．

（2）解：①是；；
過點G作，如圖所示：

∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
②當旋轉到的位置，且時，如圖所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴此時C、，E在同一直線上，
∴旋轉角為：，
∴（秒）；
當旋轉到的位置，且時，如圖所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
當旋轉到的位置，且時，如圖所示：

∵，
∴，
∴，
∴（秒），
綜上分析可知，當t為3秒或5秒或9秒時，線段與三角形的一條邊平行．
3.（1）解：如圖所示，過點E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②如圖所示，當在左側時，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴此時不存在常數k使得為定值，
如圖所示，當在右側時，
同理可得，
∴當，即時，，為定值；
綜上所述，存在使得，為定值．
4.（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案為135；
（2）解：設射線與射線所在直線的交點為點，
旋轉時間為秒時，，，
即，
①如圖，當時，過點P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，

②如上圖，當時，則，
由①可知，即，
解得，
綜上所述，當時，射線與射線所在直線的夾角為，
（3）的值不變，理由為：
解：如圖，由（2）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
【題型5 平行線中的角度綜合問題】
1.解：（1）如圖，
∵折疊，
∴直線折疊重合為兩個角，平角為，
∴，即，
∴與直線的位置關系是：垂直，
如圖：
∵如圖④所示：，
，
由折疊可知：，
，
（內錯角相等，兩直線平行），
故答案為：垂直；；
（2）①∵燈，燈轉動的速度分別是/秒，/秒，燈射線轉動20秒后，燈射線開始轉動，
∴燈轉動20秒后度數為，
又∵當燈轉動秒時，燈射線轉動到如圖⑤的位置，
∴此時燈再次轉動了，
，
故答案為：；
②如圖為大致圖形：
當時，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）當為10秒或85秒或130秒時，兩燈的光束互相平行，理由如下：
設燈轉動秒，兩燈的光束互相平行，
①當時，如圖，
，
，
，
，
∴，
解得：；
②當時，如圖，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得：；
③當時，如圖，
，
，
，
，
∴，
∴
∴，
解得：，
綜上所述：當為10秒或85秒或130秒時，兩燈的光束互相平行．
2.（1）證明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
證明：過點F作交于點G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：①如圖，作，則，
，，
，
故答案為：；
② 過點E作，
由題意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：與所成銳角的度數為．
3.（1）解：①證明：∵，
∴，
∴
∵
∴
∴；
②如圖所示，過點作，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）解：如圖所示，的頂點分別為，
依題意，，作，
∴
∴，
∴，
故答案為：．
4.（1）解：①由題意得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由題意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：，理由如下：
由題意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【題型6 無理數的估算】
1.（1）解：，
，即，
的整數部分是，小數部分是，
故答案為：4，；
（2）解：，
，即，
，
，
，即，
，
；
（3）解：，
，即，
．
，其中m是整數，且，
，，
，
∴的相反數為．
2.（1）解：∵的立方根是2，
∴，
解得，
∵，
∴的整數部分是3，
∴，
∴，
∵4的平方根為，
∴的平方根為；
（2）解：∵，其中x是整數，且，而，
∴，
∴，
∴，
∴，則的值為．
3.解：（一）（1）∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的平方根為．
（二）由，，而，
則110592的立方根也是兩位數；
由110592的個位數字是2，因此可知110592的個位數字為8，
劃去110592后面的三位592得到數110，而，，
由此可以確定義110592的十位數字為4
所以110592的立方根，即．
4.解：（1）∵
∴
∴
∵，其中x是整數，且，
∴，
∴；
（2）∵，
∴可設，其中，畫出示意圖，如圖所示，
根據示意圖，可得圖中正方形的面積，
又∵，
∴，
由，可忽略，
∴，得到，即．
【題型7 與實數有關的規律探究】
1.（1）解：∵①；②；③
根據以上規律可得第④個等式是：．
（2）解：根據以上規律可得第n個等式是：．
（3）解：
．
2.解：（1）填表如下：
… 1 100 10000 …
… 100 …
（2）觀察表格可得規律：當被開方數a的小數點向左或向右移動2位，它的算術平方根的小數點相應地向左或向右移動1位；
，，
即從19到1900小數點向右移動2位，則a的小數點向右移動了4位
；
（3）根據題意得：當時，；
當時，；
當或時，
3.（1）解：（1）；；
按上述規律，被開方數小數點向右（或左）移三位，則所得數的小數點向右（或左）移一位，
故答案為：0.01、100；
（2）已知，若，用含的代數式表示，則，
故答案為：；
（3） ，，，，，
與的大小情況為：
當或時，；
當或或時，；
當或時，．
4.（1）解：①由題意得：；
②；
（2）解：第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
第5個等式：；
……
第個等式：；
（3）解：
．
【題型8 與實數有關的應用】
1.（1）組分組積分賽對陣表：
阿根廷 沙特 墨西哥 波蘭
阿根廷 阿根廷：沙特 阿根廷：墨西哥 阿根廷：波蘭
沙特 沙特：阿根廷 沙特：墨西哥 沙特：波蘭
墨西哥 墨西哥：阿根廷 墨西哥：沙特 墨西哥：波蘭
波蘭 波蘭：阿根廷 波蘭：沙特 波蘭：墨西哥
（2）冠軍阿根廷隊分組積分賽踢了3場，決賽，決賽，半決賽，決賽又踢了4場，
一共踢了（場），
本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了7場比賽；
（3）分組積分賽每個小組6場，8個小組一共（場）；
決賽一共8場，決賽一共4場，半決賽2場，冠、亞軍決賽和三、四名決賽各1場；
一共踢了（場）；
本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了64場比賽．
2.（1）解：∵，
∴當時，；
（2）（次）．
答：該座鐘大約發出了420次滴答聲．
3.解：由題意得兩個容器底面積相等，所以體積相同，再根據體積公式可得兩個容器的底面積相等，即正方形面積為π×102＝100π
設長方體容器底面邊長為x
∴x2=100π
∴x==
長方體容器底面邊長為≈17.7cm．
答：長方體容器的底面邊長約為17.7cm．
4.解：18的正因數有1、2、3、6、9、18，其中1、3、9是正奇數因數，
18的完美指標為；
19的正因數有1、19，其中1、19是正奇數因數，
19的完美指標為，
20的正因數有1、2、4、5、10、20，其中1、5是正奇數因數，
20的完美指標為；
21的正因數有1、3、7、21，其中1、3、7、21是正奇數因數，
21的完美指標為；
因為
所以四個自然數中最“完美”的數是18．
【題型9 平面直角坐標系中點的坐標特征】
1.（1）解： ，，
；
設點M，
，
，
，
或，
點M的坐標為或；
故答案為：；或；
（2）解：設點的坐標為，
，，，
由絕對值的幾何意義可知：表示分別與的距離和，
表示分別與的距離和，
當時，其距離和最小，
最小，則D點坐標為；
故答案為：；
（3）解：設點的坐標為，且；，
，，
，
，
化簡得：，
，
由絕對值的幾何意義可知：
至0的距離與至2的距離之差比至3的距離與至0的距離之差小5，
滿足的條件有或或，
符合條件的點P所在的位置為：軸負半軸或軸負半軸或第三象限．
2.（1）∵點是“橫和點”，
，
．
∴q的值為4．
（2）①∵點和點是“橫和點”，
，
，，
，
，
點和點的縱坐標相同，
軸
，
點的橫坐標為
點，點分別對應點和點，
，
，解得：，
當時，
當時，
或．
②點是“橫和點”，
理由：點，點分別對應點和點，
，
，
，
點的對應點，
，
，
，
點是“橫和點”．
3.（1）解：①，
點A的“對分點”的坐標是．
故答案為：；
②點A的“對分點”是點B，，
點B的坐標為，
又，
，，
解得：，，
點的坐標是
故答案為：．
（2）解：圖形U是“對分圖形”，線段不是“對分圖形”，
點的“對分點”在線段上，
點的坐標是，
b為非零整數
是整數，且，
若點與點重合，則，解得，
；
若點與線段的中點重合，則，解得，
；
若點與點重合，則，不符合題意，舍去；
所有滿足條件的點C坐標為或．
故答案為：或．
（3）解：點，，
點的“對分點”坐標為，點的“對分點”坐標為，
圖形V是“對分圖形”，正方形和線段不是“對分圖形”，
正方形與線段有交點，
當點在上，則；當點在上，則；
當點在上，則，解得；當點在上，則，解得；
結合圖形可得，k的取值范圍為或．
故答案為：或．
4.（1）解：點的“3階智慧點”的坐標為，
即坐標為；
故答案為：；
（2）解：設點B的坐標為，
∵點B的“4階智慧點”為，
∴，
解得，
∴點B的坐標為；
（3）解：∵點，
∴點C的“階智慧點”為．
∵點C的“階智慧點”到x軸的距離為1，
∴，
∴或．
解得或．
【題型10 平面直角坐標系中的面積問題】
1.（1）解：過點作交的延長線于，則，如圖所示，
∵將點向右平行移動個單位長度到點，
∴，軸，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，，，交的延長線于，
∴，，
∴
，
∴四邊形的面積為；
（2）解∵四邊形的面積為，
∴，
∵點在任何位置(不包括點)，的邊上的高的長都等于點到軸的距離，
即的邊上的高的長都等于，
∵動點從點出發沿射線的方向以個單位長度/秒的速度運動，運動的時間為秒， ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴的值是或；
（3）解：時，如圖，
∵，
∴兩點的橫坐標相同，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴當時，．
2.（1）解： 軸，軸，，，
，，
，，；
（2）解：當秒時，有個點從運動，每秒鐘1個單位，同時點從也以每秒1個單位運動，
點走了6個單位長度，點走了6個單位長度，
點在線段上，此時，點在線段上，
的縱坐標為，，
，
；
（3）解：①時，點在線段時，到軸距離為，此時點在線段上，
當到軸距離等于到軸距離時，；
②，點在線段時，到軸距離為，此時點在線段上，
當到軸距離等于到軸距離時，，；
③，點在線段時，到軸距離為，此時點在線段上，
當到軸距離等于到軸距離時，，即，不符合題意；
④，點在線段時，到軸距離為，此時點在線段上, 到軸距離為8，不符合題意；
綜上，或．
3.（1）解：∵式子有意義，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解；∵到y軸的距離是到x軸距離的兩倍，且點C在第四象限，
∴，
解得，
∴，
∴點C的坐標為；
（3）解：如圖所示，設與x軸交于H，
由（1）可得，由（2）得
∵，
∴，
∴；
∵三角形與三角形面積相等，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴運動時間為秒．
4.（1）解：由題知：平移方式為向右平移3個單位，再向上平移1個單位后，
∴點A進行該平移后對應的是點E，即坐標為，點O進行該平移后對應的是點F，即坐標為；
∴點E坐標為，點F坐標為．
（2）解：由題知：點B坐標為，點C坐標為，點D坐標為，
①當點D位于y軸正半軸，即時，
，
，
，
解得：；
②當點D位于y軸負半軸，即時，
，
，
，
解得：．
綜上，a的值為或8．
（3）解：存在，理由如下：連接和，
線段平移得到線段，
，
；
①當點P位于x軸負半軸時，如圖，
，
，
，
，
，
解得：；
②當點P位于x軸正半軸時，如圖，
，
，
，
解得：；
點P的坐標為或．
【題型11 坐標與圖形】
1.（1）解：，，將線段沿軸向右平移12個單位得到線段，
，
故答案為：；
（2）解：當點在點右邊時，如圖， 過點作
∴
∵平移，
∴
∴
∴
，
∴，
∴
∴
∵
∴
即
當點在點左邊時，如圖，
同理可得，，
∴
即
綜上所述，或
（3）解：∵，，
∴
，
∵
∴，，
∵
∴
①點在點右邊，在正半軸時，如圖，
可得，
設，則
可得方程，
解得，
；
在負半軸時，點在的下方時，如圖，
可得，
設，
可列方程，
解得，
∴
④點在點右邊，點在的上方時如圖，連接，
可得，
設，
可列方程，
解得，
，
綜上，點的坐標為或，．
2.（1）解：∵，且，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：設E為，
分以下兩咱情況討論：
①如圖，當E在直線上方時，作軸，作連接，
則
，
∴，，
②當E在直線下方時，同樣可得，
∴，，
∴點E的坐標為或；
（3）解：存在，設點P的坐標為，由平移得、，則、，
依題意知點P不可能在梯形的上方或線段的右上方或線段左方，故分以下兩種情形：
①如圖，當點P在梯形的內部時，
∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
解得，
∴；
②如圖，當點P在梯形的下方時，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴點在x軸上，
如圖，作軸于G，連接，
，
，
∴，
解得，
∴，
綜上所述，P點的坐標為或．
3.（1）解：∵，
∴，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三角形的面積．
故答案為：，5，20；
（2）過點作，如下圖，
∵，，
∴，
∴
∴，
同理，，
又∵平分，平分 ，
∴，
∴；
（3）設點，分兩種情況討論：
當點在軸上方時，如圖，
過點作，過點作于點，延長交于點，
由題意，
則，，，，
∵，
∴，
解得，即；
當點在軸下方時，如圖，
過點作，過點作于點，延長交于點，
由題意，，
則，，，，
∵，
∴，
解得，即．
綜上所述，點坐標為或．
故答案為：或．
4.（1）解：∵，，
∴
∴，，
解得：，，
∴點，
故答案為：；
（2）①當時，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②如圖，補全圖形如下：
當點在上方時，
∵點為的角平分線上一點，
∴設，
∵，
設，則，
如圖，∵，
∴，
過作，
∴，
∴，，
∴，
過作，而，
∴，
∴，，
∴，
而，
∴，
∴ ，
∴；
當點在下方時，
∵點為的角平分線上一點，
∴設，
∵，
設，則，
∵，
∴，
過作，
∴，
∴，，
∴，
過作，而，
∴，
∴，，
∴，
而，
∴，
∴ ，
∴．
【題型12 二元一次方程（組）的解】
1.解：把代入方程得，，
∴，
∴甲把看成了；
把代入方程得，，
∴，
∴乙把看成了；
把代入方程得，，
∴，
把代入方程得，，
∴，
∴方程組為，
得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴原方程組的正確解為．
2.解：（1）由3x-y=6，得：y=3x-6，
當x=3時，可得y=3；
故答案為：（答案不唯一）；
（2）由題意可知x-3是12的因數，
則x-3=1,x-3=2,x-3=3,x-3=4,x-3=6,x-3=12;
則x的取值有6種可能性
故答案為B；
（3）設購買藍球個，排球個，依題意
，即x=10- 、均為非負整數.
∴，，，
∴、購買有4種方案
①買藍球10個，不買排球；
②買藍球7個，排球4個；
③買藍球4個，排球8個；
④買藍球1個，12個排球.
3.（1）解：當，時，原方程為：，
∴；
（2）①關系是a =b，理由：
把代入二元一次方程得
，
，
，
，
∴；
②由①知道，
∴原方程可化為：，
∴
∵該方程組的解與與的取值無關，.
∴．
4.（1）解：把代入方程得，，
解得，
∵方程的全部整數解表示為：（t為整數），
則，
故答案為：；
（2）解：方程一組整數解為，
則全部整數解可表示為（t為整數）．
因為，解得．
因為t為整數，
所以，，0，
所以方程的全部正整數解為或或；
（3）解：方程一組整數解為，
則全部整數解可表示為（t為整數）．
∵，解得．
因為t為整數，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整數解有13組．
【題型13 求二元一次方程（組）中的參數】
1.（1）解：①∵，為非負整數，
∴方程的所有非負整數解為
，；
②∵根據題意可得，
解得，
將代入中，
解得 ；
（2）當時，原方程組可化為，
由，可得 ，
整理可得，
∵方程組由整數解，且為整數，
∴或，
當時，解得，此時方程組的解為；
當時，解得，此時方程組的解為（舍去）；
當時，解得，此時方程組的解為；
當時，解得，此時方程組的解為（舍去）．
綜上所述，整數的值為或0．
2.解：（1）由方程得，（、為正整數）．
要使為正整數，則為正整數，
可知：為2的倍數，從而，代入．
所以的正整數解為，
故答案為：；
（2）若為自然數，則的值為6，3，2，1，
則滿足條件的正整數的值有9，5，6，4；
（3），
：，
解得：，
∵，是正整數，是整數，
∴．．
但時，不是正整數，故．
3.（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：設一枝紅花、黃花、粉花的單價分別是x、y、z元，
由題意得，求的值．
設①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
當時，
即，解得，
∴，
答：購買1枝紅花、3枝黃花、2枝粉花共需12元．
4.（1）由已知方程x+2y=5，移項得x=5-2y，
∵x，y都是正整數，則有x=5-2y＞0，又∵x＞0，
∴0＜y＜2.5，
又∵y為正整數，根據以上條件可知，合適的y值只能是y=1、2，
代入方程得相應x=3、1，
∴方程2x+y=5的正整數解為；
(2) ∵x+y=0
∴x+2y=5變為y=5
∴x=-5
將代入得.
(3) ∵由題意得二元一次方程總有一個公共解
∴方程變為(m+1)x-2y+9=0
∵這個解和m無關，
∴x=0，y=
(4) 將方程組兩個方程相加得
∴
∵方程組有整數解且m為整數
∴，，
①m+2=1，計算得：（不符合題意）
②m+2=-1，計算得：（不符合題意）
③m+2=2，計算得：（不符合題意）
④m+2=-2，計算得：（不符合題意）
⑤m+2=4，計算得：（符合題意）∴m=2
⑥ m+2=-4，計算得：（符合題意）∴m=-6
【題型14 二元一次方程組的特殊解法】
1.（1）解：依題意，設，，
則原方程組可化為關于a、b的方程組，
由得，
解得
把代入，
得，
∴
∴，
整理得，
兩式子相加得，
∴，
把代入，
得，
解得，
∴原方程組的解為．
故答案為：，；1，3．
（2）解：∵，
∴設，
則原方程組可化為關于a、b的方程組，
由得，
解得，
把代入，
得，
∴
∴，
整理得，
兩式子相加得，
∴，
把代入，
得，
解得，
∴原方程組的解為．
2.（1）解：
①代入②得，
解得：
將代入①得，
所以原方程組的解為：；
（2）解：
原方程組可化為：
①②得：，
將代入①得，
解得：
所以原方程組的解為：；
（3）解：∵，
∴，
而關于，的方程組的解是，
∴，解得：；
故答案為：．
3.（1）解：
，得，
，
得，
得，
把代入②得，
解得：，
方程組的解是；
（2）解：；
得，即③，
得，
得，
把代入③得，
解得，
原方程組的解是；
（3）解：猜測方程組的解是，
檢驗：把代入方程得左邊，右邊，左邊＝右邊，
把代入方程，得左邊，右邊，左邊＝右邊，
是關于的方程組 的解．
4.（1）解：根據共軛二元一次方程的定義，方程的共軛二元一次方程是
故答案為：；
（2）解：根據共軛二元一次方程組的定義，得，，
解得，，
故答案為：；
（3）解：
得 ，
，
，得 ，
，得 ，
把代入③，得，
∴原方程組的解為．
【題型15 二元一次方程（組）的應用】
1.解：任務一：
（1）在不造成板材浪費的前提下，若將一張該板材全部用來裁切靠背板，如圖，
則可裁切靠背板塊．
故答案為：30；
（2）一張該板材先靠上裁切靠背6塊，如圖，
余下的，設一張該板材裁切靠背板塊，座板塊，
根據題意得：，
，
，為正整數，
或或，
方案一：裁切靠背板23塊和座板2塊．
方案二：裁切靠背板16塊和座板4塊．
方案三：裁切靠背板9塊和座板6塊；
故答案為：23，2；16，4；9，6；
任務二：
設用張板材裁切靠背16塊和座板4塊，用張板材裁切靠背9塊和座板6塊，
根據題意得：，
解得：，
張，
需要購買該型號板材128張，用其中34張板材裁切靠背16塊和座板4塊，用94張板材裁切靠背9塊和座板6塊．
設用張板材裁切靠背23塊和座板2塊，用張板材裁切靠背9塊和座板6塊，
根據題意得：，
解得：，
張，
需要購買該型號板材128張，用其中17張板材裁切靠背23塊和座板2塊，用111張板材裁切靠背9塊和座板6塊．
設用張板材裁切靠背23塊和座板2塊，用張板材裁切靠背16塊和座板4塊，
根據題意得：，
解得：(不合題意，舍去)，
綜上，需要購買該型號板材128張，用其中34張板材裁切靠背16塊和座板4塊，用94張板材裁切靠背9塊和座板6塊或需要購買該型號板材128張，用其中17張板材裁切靠背23塊和座板2塊，用111張板材裁切靠背9塊和座板6塊．
2.解：設電車每秒行米，人步行每秒米，
依題意得：，
∴，
∴電車的速度是人步行的速度的5倍．
302×5=1510（秒）
（1510-302）÷2
=1208÷2
=604（秒）
=（分鐘）．
答：巡游電車離開佳佳后分鐘琪琪和佳佳碰面了．
3.解：設妹妹的年齡是x歲，哥哥的年齡是y歲，
依題意，得： ，
解得： ．
答：妹妹的年齡是6歲，哥哥的年齡是10歲．
4.（1）解：∵時里程碑上的這個兩位數十位數字為x，個位數字為y，
∴時里程碑上的數可表示為；
∵時看到的兩位數十位與個位數字與時所看到的正好互換了
∴十位數字為y，個位數字為x，
∴時看到里程表上的數表示為；
∵看到的數字是一個三位數，比時看到的兩位數的數字中間多了個0，
∴此三位數百位數字是x，十位數字是0，個位數字是y，
∴時看到里程表上的數；
故答案為；，，．
（2）解： ，
解得：．
∴小明在時看到里程碑上的兩位數．
答：小明在時看到里程碑上的兩位數是51．
【題型16 求一元一次不等式（組）中參數】
1.（1）解不等式①得：，
∴一元一次不等式和一元一次不等式有公共解為：，
∴①是不等式的“云不等式”；
一元一次不等式和一元一次不等式有公共解為：，
∴②是不等式的“云不等式”；
解不等式③得：
∴一元一次不等式和一元一次不等式沒有公共解，
∴③不是不等式的“云不等式”．
故答案為：①②；
（2）由得：，
由得：，
分類討論：①當即時，．
∵其與互為“云不等式”，
∴，
解得：．
∴；
②當，即時，．
此時與一定互為“云不等式”
綜上所述，當或時，兩不等式互為“云不等式”．
2.（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
∴，整點為，
故答案為：；，；
（2）解：
解不等式得：，
當時，即時，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
當時，即時，，
∵，，，
∴，
解得，,
∴
當時，方程組解為：，
滿足題意，
綜上所述：的取值范圍．
（3）解：存在，理由如下：
當時，不等式的解集為，
∴，不符合，
當時，不等式的解集為，
∵，
∴，
解得：，
當時，不等式的解集為，
∴，
解得：，
當，不等式的解集為，
∴，
解得：，當時，，不符合，
當或，方程組無解，
綜上所述：，
∴為，
解不等式組得：，
∵關于y的不等式組恰有4個“整點”，
∴，
解得：．
3.（1）解：∵，
∴當時，，
當時，．
（2）解：∵，
∴，
∵關于x不等式的所有解都滿足不等式，
∴且，
∴；
∴；
（3）解：
由①得，，
由②得，，
∵不等式組非負整數解的和為3，
∴不合題意，，
∵非負整數解的和為3，
∴①非負整數解為0,1,2，
∴，
解得，∴無解；
②非負整數解為1,2，
∴，
解得，
∴；
③非負整數解為3，
∴
∴，
解得，
綜上或．
4.（1）解：解方程組得：，
∵點的坐標為
∴，解得：；
（2）∵點P在第二象限，則，
∴，，
∴，
∵符合要求的整數a只有五個，
∴，1，2，3，4；
∴，
即b的取值范圍為；
（3）由（1）得：，，
∵點P為不在x軸上的點，
∴，即，
∵關于z的不等式的解集為，
∴，
∴，則，
∴，
代入得：，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【題型17 解特殊不等式組】
1.解：（1）∵在數軸上到-3對應的點的距離等于5的點的對應的數為2或-8
∴方程的解為x=2或x=-8
（2）∵在數軸上到2對應的點的距離等于3的點的對應的數為-1或5
∴方程的解為x=-1或x=5
∴的解集為-1≤x≤5.
（3）由絕對值的幾何意義可知，方程就是求在數軸上到4和-2對應的點的距離之和等于8的點對應的x的值.
∵在數軸上4和-2對應的點的距離是6
∴滿足方程的x的點在4的右邊或-2的左邊
若x對應的點在4的右邊，可得x=5；若x對應的點在-2的左邊，可得x=-3
∴方程的解為x=5或x=-3
∴的解集為x＞5或x＜-3.
故答案為（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.
2.解：（1）∵π≈3.14
∴=3；
∵
∴=2
即：=3；=2
（2）∵,
∴
解得：
（3）∵
∴
∴
∵為整數
∴=7或=8
∴
∴
3.解：（1）∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1①
同理可得：2＜x＜4②
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范圍是：1＜x+y＜5，
故答案為：1＜x+y＜5；
（2）∵x+y＝2，
∴x＝2﹣y，
又∵x＞1，
∴2﹣y＞1，
∴y＜1，
又 ∵y＞﹣4，
∴﹣4＜y＜1，
∴﹣1＜﹣y＜4①，
同理得：1＜x＜6②，
由①+②得：0＜x﹣y＜10，
∴xy的取值范圍是：0＜x﹣y＜10．
4.（1）解：根據題意得：，
解得：，
∴；
（2）當時，根據題意得：，
當時，即，不成立；
∴，即，
∵在和m的所有偏大值x中，僅存在一個整數，
∴，
∵m為整數，
∴或，
∴或；
當時，根據題意得：，
當時，即，不成立；
∴，即，
當時，，不成立；
當時，，此時，成立；
當時，，此時，成立；
當時，，不成立；
綜上可得：或2或或．
【題型18 一元一次不等式（組）的應用】
1.解：任務1：設租用A型車a輛，則租用B型車輛，
根據題意得：
解得：
又∵a為整數，
∴或3
∴共有2種租車方案，
方案1：租用A型車2輛，B型車6輛；
方案2：租用A型車3輛，B型車5輛；
任務2：選擇方案1所需總租金為（元）；
選擇方案2所需總租金為（元）．
∵，則（元），
∴花費最少的方案比預算3300元省200元錢．
2.（1）解：設每本紀念冊元，每件紀念品元，
根據題意可得：。
整理得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程組的解為，
答：平均每本校慶紀念冊元，平均每個校慶紀念品元；
（2）解：設訂購了本紀念冊，份校慶紀念品，
根據題意可得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組的解集為，
又為整數，
或或，
當時，，
當時，，
當時，，
訂購方案有：
購買校慶紀念冊本，校慶紀念品個；
購買校慶紀念冊本，校慶紀念品個；
購買校慶紀念冊本，校慶紀念品個．
3.（1）解：設B型機器人進價為元，購進B型機器人臺，則型機器人進價為元，購進型機器人臺，
根據題意，可列方程，
解得，
即B型機器人進價為3000元，型機器人進價為元．
（2）解：設再次購買型機器人a臺，則購買型機器人臺，
根據題意，得，
解得，
由于為整數，所以，
總費用為元，
故商場應購買型機器人3臺，B型機器人2臺，總費用為19500元．
4.（1）解：設每個種娃娃的進價為x元，則每個B種娃娃的進價為元，
由題意得，，
解得，
∴，
答：每個種娃娃的進價為20元，則每個B種娃娃的進價為25元；
（2）解：設購買A種娃娃y個，則購買B種娃娃個．
根據題意，得，
解得，
∵y為正整數，
∴y的值可以為48或49或50，
當時，，此時費用為元，
當時，，此時費用為元，
當時，，此時費用為元，
∵，
∴一共有3種方案：購買A種娃娃48個，購買B種娃娃52個或購買A種娃娃49個，購買B種娃娃51個或購買A種娃娃50個，購買B種娃娃50個，其中購買A種娃娃50個，購買B種娃娃50個這種方案最省錢．

展開更多......

收起↑