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2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊期末復(fù)習(xí)題--解答壓軸題
【題型1 巧用冪的逆向運(yùn)算】
1.如果，那么我們規(guī)定．例如：因?yàn)椋裕?br/>(1)______ ；若，則______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令，求的值．
2.對于整數(shù)a、b定義運(yùn)算：（其中m、n為常數(shù)），如．
（1）填空：當(dāng)，時(shí)，
（2）__________；
(3)若，，求的值．
3.請閱讀材料，并解決問題，如果，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為．由定義可知：與表示b、n兩個(gè)量之間的同一關(guān)系．
(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：______，_______；
“勞格數(shù)”有如下運(yùn)算性質(zhì)：
若m、n為正數(shù)，則，；
(2)根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：______．（a為正數(shù)）
(3)若，分別計(jì)算，．
4.在數(shù)學(xué)的奇妙世界里，我們常常會遇到一些獨(dú)特的運(yùn)算規(guī)則．現(xiàn)在定義一種新的運(yùn)算“”，對于任意的有理數(shù)a和b，有，其中 m，n是正整數(shù)．同時(shí)，我們還知道整式乘法和冪運(yùn)算的相關(guān)知識，比如同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即 ；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即．并且我們會利用二元一次方程組來解決一些未知量的問題．
(1)已知，
①求 m， n 的值；
②若，，求的值．
(2)對于任意非零實(shí)數(shù)α，b，c，若新運(yùn)算“”滿足，且存在某個(gè)常數(shù)k，使得，求 m，n的值和常數(shù)k．
【題型2 利用冪的運(yùn)算比較大小】
1.閱讀理解：我們在學(xué)習(xí)了冪的有關(guān)知識后，對兩個(gè)冪與（都是正數(shù)，都是正整數(shù)）的大小進(jìn)行比較，并歸納總結(jié)了如下兩個(gè)結(jié)論：
①若，則．（底數(shù)相同，指數(shù)大的冪大）
②若，則．（指數(shù)相同，底數(shù)大的冪大）
嘗試應(yīng)用：試比較與的大小．
解：因?yàn)椋?br/>，……（第1步）
又，
所以……（第2步）
問題解決：
(1)在嘗試應(yīng)用的解題過程中，第1步的思路是將底數(shù)和指數(shù)都不相同的兩個(gè)冪轉(zhuǎn)化化歸為_______；第2步的依據(jù)是_______．
(2)請比較下面各組中兩個(gè)冪的大小：
①與；
②與．
2.都是正數(shù)，且，則中最大的是哪個(gè)？
3.比較兩個(gè)底數(shù)大于1的正數(shù)冪的大小，可以在底數(shù)（或指數(shù)）相同的情況下，比較指數(shù)（或底數(shù)）的大小，如：，，在底數(shù)（或指數(shù)）不相同的情況下，可以化成同底數(shù)（或指數(shù)）冪，進(jìn)行比較，如：比較與的大小，因?yàn)椋裕矗?br/>(1)比較，的大小；
(2)比較，，的大小．
4.請閱讀下列材料：若，，比較，的大小關(guān)系；
解：，，且
類比閱讀材料的方法，解答下列問題：
(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運(yùn)算性質(zhì)______．
A．同底數(shù)冪的乘法；B．同底數(shù)冪的除法；C．冪的乘方；D．積的乘方
(2)已知，，試比較a，b的大小．
【題型3 整式乘法中不含某項(xiàng)問題】
1.小華同學(xué)在計(jì)算后，愛思考的他發(fā)現(xiàn)：是x項(xiàng)的系數(shù)，與通過計(jì)算后的結(jié)果對比，x項(xiàng)的系數(shù)是正確的．為了驗(yàn)證這個(gè)發(fā)現(xiàn)，又計(jì)算， ，x項(xiàng)的系數(shù)為；用他發(fā)現(xiàn)的方法計(jì)算：，結(jié)果還是一樣的．請你認(rèn)真領(lǐng)會小華同學(xué)的方法，并用他的方法解決下面問題．
(1)直接寫出相乘，積中x項(xiàng)的系數(shù)
(2)若，直接寫出的值；
(3)若的積中不含x項(xiàng)，求p的值；
(4)拓展應(yīng)用：某超市計(jì)劃購進(jìn)A，B兩種型號某品牌礦泉水共100箱（每箱24瓶），有多種購進(jìn)方案．這兩種型號礦泉水的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表格所示，
A B
進(jìn)價(jià)（元/箱） 24 30
售價(jià)（元/箱） 48 57
該超市積極參與做慈善活動，決定每售出一箱B型號礦泉水，向社會福利機(jī)構(gòu)捐款m元，A型號礦泉水每箱的售價(jià)不變，100箱礦泉水全部售出后，不同的購進(jìn)方案，超市獲得的利潤都相同，設(shè)購進(jìn)A型號礦泉水有a箱，超市獲得的利潤為w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值．
2.若的乘積中不含 與 項(xiàng)，求的值．
3.定義，如．
(1)若，求的值；
(2)若的值與無關(guān)，求值．
4.【知識回顧】
我們在學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題：代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求a的值．
通常的解題思路是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)，合并同類項(xiàng)．因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0．
具體解題過程是：原式，
代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，
，解．
【理解應(yīng)用】
（1）若關(guān)于x的代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，則m值為_________．
（2）已知，且的值與x的取值無關(guān)，求m的值．
【能力提升】
（3）7張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照圖2方式不重疊地放在大長方形內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分都是長方形．設(shè)右上角的面積為，左下角的面積為，當(dāng)?shù)拈L變化時(shí)，的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．
【題型4 多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題】
1.（1）【知識生成】將一個(gè)大正方形分割成如圖1的四部分，兩個(gè)邊長分別為的正方形和兩個(gè)長方形．用兩種方法表示該大正方形的面積，可得．
若，則該大正方形的邊長為___________；
（2）【知識運(yùn)用】兩正方形如圖2方式擺放．正方形邊長記為，正方形邊長記為，點(diǎn)在一條直線上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，求圖中陰影部分的面積；
（3）【知識拓展】如圖3，觀察棱長為的大正方體的分割，可得到．
若已知，則___________．
（4）【民族驕傲】我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（為正整數(shù)）的展開式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著展開式中的系數(shù)等等．
下列說法：正確的有
①展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為64；
②展開式各項(xiàng)中，系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)；
③；
④若，則 ；
⑤能被28整除．
2.觀察并驗(yàn)證下列等式：
(1)續(xù)寫等式__________．
(2)根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論
__________．
(3)利用（2）中的結(jié)論計(jì)算：
①
②
3.（1）計(jì)算并觀察下列各式填空：
；
；
；
（2）從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接填寫下面的空格：
（ ）；
（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算： ；
（4）利用該規(guī)律計(jì)算：的值．
4.“字母表示數(shù)”的系統(tǒng)化闡述是16世紀(jì)提出的，被后人稱為從“算術(shù)”到“代數(shù)”的一次飛躍，從而大大推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展．經(jīng)過初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道了用字母表示數(shù)可以分析從特殊到一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，字母與數(shù)一樣，也可以參與運(yùn)算．請同學(xué)們觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等式：
第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；
(1)請用此方法拆分．
(2)請你用上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）并運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．
【題型5 巧用乘法公式求值】
1.閱讀理解：
條件①：無論代數(shù)式A中的字母取什么值，A都不小于常數(shù)M；
條件②：代數(shù)式A中的字母存在某個(gè)取值，使得A等于常數(shù)M；
我們把同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的常數(shù)M叫做代數(shù)式A的下確界．
例如：
，
，
（滿足條件①）
當(dāng)時(shí)，（滿足條件②）
是的下確界．
又例如：
，
由于，所以，（不滿足條件②）
故4不是的下確界．
請根據(jù)上述材料，解答下列問題：
(1)求的下確界．
(2)若代數(shù)式的下確界是1，求m的值．
(3)求代數(shù)式的下確界．
2.（1）問題探究：已知，，可利用完全平方公式得：______．
（2）自主推導(dǎo)：______．
根據(jù)上面的公式計(jì)算：已知，，求______ ．
（3）問題解決：已知，，求的值．
3.我國著名數(shù)學(xué)家曾說：數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的有效途徑．請閱讀材料完成：
(1)算法賞析：若x滿足，求的值．
解：設(shè)則
∴
請繼續(xù)完成計(jì)算．
(2)算法體驗(yàn)：若滿足，求的值；
(3)算法應(yīng)用：如圖，已知數(shù)軸上A、B、C表示的數(shù)分別是m、10、13．以AB為邊作正方形ABDE，以AC為邊作正方形ACFG，延長ED交FC于P．若正方形ACFG與正方形ABDE面積的和為117，求長方形AEPC的面積
4.結(jié)合圖形我們可以通過兩種不同的方法計(jì)算面積，從而可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．

(1)如圖1，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是______；
(2)我們可以利用（1）中的關(guān)系進(jìn)行求值，例如，若x滿足，可設(shè)，，則，．則______．
(3)若x滿足，則的值為______；
(4)小玲想利用圖2中x張A紙片，y張B紙片，z張C紙片拼出一個(gè)面積為的大長方形，則______；
(5)如圖3，已知正方形的邊長為x，E，F(xiàn)分別是、上的點(diǎn)，且，，長方形的面積是24，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．
【題型6 乘法公式的幾何背景】
1.【觀察】如圖①是一個(gè)長為、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個(gè)大正方形，如圖②所示，請直接寫出，，之間的等量關(guān)系____________________________；
【應(yīng)用】若，，則_______________；
【拓展】如圖③，正方形的邊長為x，，，長方形的面積是200，四邊形和四邊形都是正方形，四邊形是長方形，求圖中陰影部分的面積．
2.如圖，邊長為的大正方形內(nèi)有一個(gè)邊長為的小正方形．
(1)用含字母的代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積為_______________；
(2)將圖1的陰影部分沿斜線剪開后，拼成了一個(gè)如圖2所示的長方形，用含字母的代數(shù)式表示此長方形的面積為______________；
(3)比較（2）、（1）的結(jié)果，請你寫出一個(gè)非常熟悉的乘法公式________________．
(4)【問題解決】利用（3）的公式解決問題：
①已知，，則的值為___________．
②直接寫出下面算式的計(jì)算結(jié)果：．
3.兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為b的小正方形（如圖2），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為．
(1)用含a，b的代數(shù)式分別表示；
(2)若，求的值；
(3)當(dāng)時(shí)，求出圖3中陰影部分的面積．
4.【知識生成】
我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．在學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問題．
(1)根據(jù)圖1，可以得到等式：，從而驗(yàn)證了完全平方公式．這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______（填選項(xiàng)）：
A．分類討論 B．轉(zhuǎn)化 C．由特殊到一般 D．?dāng)?shù)形結(jié)合
(2)根據(jù)圖2，可以得到等式：______；
(3)①圖3是由幾個(gè)小正方形和小長方形拼成的一個(gè)邊長為的大正方形，用不同的方法表示這個(gè)大正方形的面積，可以得到等式______；
②已知，．利用①中所得到的等式，直接寫出代數(shù)式的值為______；
(4)畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示．
【知識遷移】
(5)①類似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．如圖4，是用2個(gè)小正方體和6個(gè)小長方體拼成的一個(gè)棱長為的大正方體．用不同的方法表示這個(gè)大正方體的體積，可以得到的等式為______；
②已知，，利用①中所得的等式，直接寫出代數(shù)式的值為______．
(6)圖5表示的是一個(gè)邊長為x的正方體挖去一個(gè)小長方體后重新拼成一個(gè)新長方體，請你根據(jù)圖中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：______．
【題型7 相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】
1.如圖，O，D兩點(diǎn)在直線上，在的同側(cè)作直角三角形和射線，使．
(1)分別求的余角和補(bǔ)角的度數(shù)；
(2)將繞點(diǎn)O按每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．
①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，第幾秒時(shí)，直線恰好平分，則此時(shí)直線是否平分？請說明理由
②在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，滿足在的內(nèi)部，請?zhí)骄看藭r(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．
2.“蒼南1號”是我國第一個(gè)平價(jià)海上風(fēng)電項(xiàng)目，服務(wù)于國家“雙碳”戰(zhàn)略，具有顯著的環(huán)境效益和經(jīng)濟(jì)效益．如圖1所示，風(fēng)電機(jī)的塔架垂直于海平面，葉片，，可繞著軸心旋轉(zhuǎn)，且．
(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
(2)葉片從圖3位置（與重合）開始繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)后與互補(bǔ)，則旋轉(zhuǎn)的最小角度是多少度？
3.將三角板的直角頂點(diǎn)O放置在直線上．
(1)若按圖1的方式擺放，且，射線平分，則________．
(2)如圖2，，將三角尺繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（即，）．
①當(dāng)平分由，，其中兩條射線組成的角時(shí)，求滿足要求的所有的值．
②在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在？若存在，求此時(shí)的值；若不存在，請說明理由．
4.【綜合實(shí)踐】根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)：
小江和小南在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)光發(fā)生反射時(shí)，反射光線與平面鏡的夾角總是等于入射光線與平面鏡的夾角．于是，他們想進(jìn)一步探究轉(zhuǎn)動的平面鏡對光線反射的影響．如圖1，點(diǎn)O為水平放置的平面鏡上一點(diǎn)，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)擺放在O處，滿足斜邊，．現(xiàn)有一束光線經(jīng)平面鏡反射后沿射出，當(dāng)光發(fā)生反射時(shí)，總是等于．若使光線從與重合處開始繞著點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．
【探究1】當(dāng)時(shí)，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中畫出此時(shí)入射光線和反射光線所在位置；
【探究2】當(dāng)，且時(shí)，求出滿足條件的t的值；
【探究3】若在光線開始轉(zhuǎn)動的同時(shí)，平面鏡也繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．
【題型8 相交線中的角度綜合問題】
1.我們把有一組對頂角的兩個(gè)三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1，，相交于點(diǎn)，連接，得到“8”字圖形．
(1)如圖1，試說明的理由；
(2)如圖2，和的平分線相交于點(diǎn)E，利用（1）中的結(jié)論探索與、間的關(guān)系；
(3)如圖3，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，、分別是、的四等分線，且，，的延長線與交于點(diǎn)，請?zhí)剿髋c、的關(guān)系．（直接寫結(jié)論）
2.如圖，相交于點(diǎn)O，，平分．

(1)求的度數(shù)；
(2)過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)N，E是垂線上的點(diǎn)，點(diǎn)在直線的上方，點(diǎn)在直線的下方，連接線段．
①依題意補(bǔ)全圖形；
②線段與長度的大小關(guān)系為：_____（填“>”“=”或“<”），依據(jù)是_____；
③的度數(shù)是_____．
3.在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師與同學(xué)們以“同一平面內(nèi)，點(diǎn)O在直線上，用三角尺畫，使；作射線，使平分”為問題背景，展開研究．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
(2)如圖2，請你通過所學(xué)習(xí)的相關(guān)知識說明．
4.已知直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)部，作射線．
(1)如圖①，，則_______；_______；
(2)如圖②，，則_______；
(3)如圖③，平分，求的度數(shù)及點(diǎn)到直線的距離．
【題型9 平行線中的輔助線構(gòu)造】
1.如圖，已知，點(diǎn)在射線上，．
(1)如圖①，若，，求的度數(shù)；
(2)如圖②，若，射線沿射線移動得到，點(diǎn)在射線上，探究和的關(guān)系；
(3)如圖③，在（2）的條件下，作，垂足為，與的平分線交于點(diǎn)．若，試用含的式子表示的度數(shù)．
2.直線，點(diǎn)、分別是直線、上的點(diǎn)，點(diǎn)為直線、之間的點(diǎn)．
(1)如圖1，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(2)如圖2，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，，的平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，求的值．
(3)如圖3，繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動，與交于點(diǎn)，且始終在的內(nèi)部，平分，交直線于點(diǎn)，平分，交直線于點(diǎn)，若，，則 （用含α、β的代數(shù)式表示）．
3.已知點(diǎn)，，不在同一條直線上，．
(1)如圖①，當(dāng) ， 時(shí)，求的度數(shù)；
(2)如圖②，為的平分線，的反向延長線與的平分線交于點(diǎn)，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)如圖③，在（2）的前提下，有，，直接寫出的值．
4.在現(xiàn)代化的智能工廠中，機(jī)械臂的精準(zhǔn)操作依賴于精確的方向控制．如圖所示，有兩條平行的機(jī)械軌道與，即，將機(jī)械臂與軌道的接觸點(diǎn)記為，機(jī)械臂與軌道的接觸點(diǎn)記為，為了實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的操作任務(wù)，通過關(guān)節(jié)和關(guān)節(jié)來調(diào)節(jié)三個(gè)機(jī)械臂、和的位置，在實(shí)際運(yùn)行過程中，為確保穩(wěn)定，三個(gè)機(jī)械臂、和不共線．
(1)如圖1所示，當(dāng)機(jī)械臂時(shí)，證明．
(2)如圖2所示，當(dāng)，，時(shí)，______（用含的式子表示）
(3)當(dāng)，時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．（用含的式子表示）
【題型10 平行線中的定值問題】
1.已知：點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)都在直線上（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），連接，AC，AB平分，且．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，點(diǎn)K為線段上一動點(diǎn)，連結(jié)，且始終滿足，
①當(dāng)時(shí)，在直線上取點(diǎn)，連接，使得，求此時(shí)的度數(shù)．
②在點(diǎn)K的運(yùn)動過程中，與的度數(shù)之比為定值，請直接寫出這個(gè)定值，不需要說明理由．
2.如圖所示，將一副三角板中的兩塊直角三角板按圖1放置，，，，，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)共線．

(1)對于圖1，固定三角形的位置不變，將三角形繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與首次垂直，如圖2所示，此時(shí)的度數(shù)是______；
(2)若直線，固定三角形的位置不變，將圖1中的三角形沿方向平移，使得點(diǎn)C正好落在直線上，再將三角形繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，如圖3所示．
①若邊與邊相交于點(diǎn)G，試判斷的值是否為定值，若是定值，則求出該定值；若不是定值，請說明理由；
②固定三角形的位置不變，將三角形繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，至與直線首次重合時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t．
問：當(dāng)t為何值時(shí)，線段與三角形的一條邊平行（選擇你喜歡的一條邊探究，如果符合條件的t不存在，只要理由充分，也可得分）
3.如圖，，點(diǎn)E在直線和之間，且在直線的左側(cè)，．
(1)如圖1，求的度數(shù)（用含的式子表示）；
(2)連接，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，動點(diǎn)G在射線上，．
①如圖2，若，平分，判斷與的位置關(guān)系并說明理由．
②連接，若，于點(diǎn)G，是否存在常數(shù)k，使為定值，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．
4.如圖①，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在直線和直線上，，，射線從射線的位置開始，繞點(diǎn)A以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線從射線的位置開始，繞點(diǎn)B以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線旋轉(zhuǎn)到的位置時(shí)，兩者停止運(yùn)動．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．
(1)______；
(2)在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)射線與射線所在直線的夾角為，直接寫出t的值______．
(3)在轉(zhuǎn)動過程中，若射線與射線交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作交直線于點(diǎn)K，的值是否會發(fā)生改變？如果不變，請求出這個(gè)定值：如果改變，請說明理由．
【題型11 平行線中的角度綜合問題】
1.【動手操作】在數(shù)學(xué)活動課上，陳老師引導(dǎo)同學(xué)們探究畫平行線的方法，張華通過折紙想出了過點(diǎn)P畫直線的平行線的方法，折紙過程如下：①②③④．
【問題初探】
（1）通過上述的折紙過程，圖②的折痕與直線的位置關(guān)系是________；如圖④，________，則與的位置關(guān)系為平行．
【問題二探】
（2）張華在（1）的條件下繼續(xù)探究，他在P、Q兩點(diǎn)處安裝了絢麗的小射燈，射燈P發(fā)出的射線從開始繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，射燈Q發(fā)出的射線從開始繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)．兩燈不停旋轉(zhuǎn)交叉照射，射燈P、射燈Q轉(zhuǎn)動的速度分別是秒、秒，若射線轉(zhuǎn)動20秒后，射線開始轉(zhuǎn)動，在射線第一次到達(dá)之前．當(dāng)射燈Q轉(zhuǎn)動t秒時(shí)，射線轉(zhuǎn)動到如圖⑤的位置．
①________（用含t的式子表示）；
②記射線與射線的交點(diǎn)為點(diǎn)O，在圖⑥中畫出時(shí)的圖形，并求出此時(shí)的大小；
【問題三探】
（3）在（2）的條件下，在射線第一次到達(dá)之前，射燈Q燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？并說明理由．

2.在學(xué)習(xí)完《相交線與平行線》后，同學(xué)們對平行線產(chǎn)生了濃厚的興趣，蔡老師圍繞平行線的知識在班級開展課題學(xué)習(xí)活動，探究平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．
(1)【問題初探】如圖1，，，求證：．
(2)【拓展探究】在（1）的條件下，試問與之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
(3)【遷移應(yīng)用】
① 路燈維護(hù)工程車的工作示意圖如圖2，工作籃底部與支撐平臺平行，已知，則 ；
② 一種路燈的示意圖如圖3所示，其底部支架與吊線平行，燈桿與底部支架所成銳角，頂部支架與燈桿所成銳角，求與所成銳角的度數(shù)．
3.（1）問題情景：如圖1，已知，．
①問題初探：請對說明理由；
②拓展探究：請對說明理由．
（2）遷移應(yīng)用：如圖2是路燈維護(hù)工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若，則的度數(shù)為______．
4.學(xué)行線的性質(zhì)與判定之后，我們繼續(xù)探究折紙中的平行線．
(1)如圖1，長方形紙條中，，，，將紙條沿直線折疊，點(diǎn)A落在處，點(diǎn)D落在處，交于點(diǎn)G．
①若，求的度數(shù)．
②若，則________（用含α的式子表示）．
(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將對折，點(diǎn)C落在直線上的處．點(diǎn)B落在處，得到折痕，則折痕與有怎樣的位置關(guān)系？說明理由．
(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)作的平行線，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．
【題型12 與三角形有關(guān)的線段】
1.已知兩個(gè)三角形全等，其中一個(gè)三角形的三邊長分別為6，8，10，另一個(gè)三角形的三邊長分別為6，．
(1)求m，n的值；
(2)當(dāng)邊長小于邊長時(shí)，以，，為三角形的三邊長，求邊長a取值范圍．
2.如圖，在中，是的高線，是的角平分線，若 ，求的度數(shù)．
3.若關(guān)于，的二元一次方程組的解都是正數(shù)．
(1)求的取值范圍；
(2)化簡：；
(3)查閱資料發(fā)現(xiàn)：若要三條線段首尾相接構(gòu)成一個(gè)三角形，必須滿足任意兩邊之和大于第三邊．如果上述二元一次方程組的解是一個(gè)等腰三角形的一條腰和底邊的長，且這個(gè)等腰三角形的周長為12，求的值．
4.新知學(xué)習(xí)：若一條線段把一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條線段叫做該平面圖形的二分線．
解決問題：
(1)①三角形的中線、高線、角平分線中．一定是三角形的二分線的是___________；
②如圖1，已知中，是邊上的中線，點(diǎn)，分別在，上，連接，與交于點(diǎn)．若，則___________（填“是”或“不是”）的一條二分線．
(2)如圖2，四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，射線交射線于點(diǎn)，取的中點(diǎn)．連接．求證：是四邊形的二分線．
(3)如圖3，在中，，、分別是線段、上的點(diǎn)，且，是四邊形的一條二分線，求的長．
【題型13 與圖形角度有關(guān)的計(jì)算】
1.如圖，，的平分線交于點(diǎn)，．
(1)如圖1，判斷與是否相等，并說明理由；
(2)如圖2，過點(diǎn)作交于，連接，恰好平分，，求的度數(shù)；
(3)如圖3，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．線段上有一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，，且滿足，求與的比值．
2.如圖，若正五邊形和長方形按如圖所示的方式疊放在一起，求的度數(shù)．
3.如圖，在中，．
(1)求的度數(shù)；
(2)若，求證：．
4.（1）如圖1，在中，已知，點(diǎn)E在線段的延長線上，和的角平分線交于點(diǎn)D，則 ；
（2）如圖2，，且，和的平分線交于點(diǎn)F，則等于多少（用α，β表示）？
（3）如圖3，，且，和的平分線交于點(diǎn)F，則等于多少（用α，β表示）？
【題型14 全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】
1.如圖，在中，，，點(diǎn)在上，且；點(diǎn)從出發(fā)以每秒 的速度向點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)從出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，連接、．
(1)用含的式子表示、；
(2)若點(diǎn)的運(yùn)動速度也為每秒，為何值時(shí)，；
(3)若點(diǎn)的運(yùn)動速度和點(diǎn)的速度不相等，要使，則點(diǎn)的運(yùn)動速度為多少 全等時(shí)為多少
2.如圖，的邊關(guān)于的對稱線段是，邊關(guān)于的對稱線段是，連接．若點(diǎn)落在所在的直線上，，求的度數(shù)．
3.如圖，點(diǎn)、分別在正五邊形的邊、上，連結(jié)、相交于點(diǎn)，且．求的度數(shù)．
4.如圖①，在中，，，，，現(xiàn)有一動點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動，回到點(diǎn)停止，速度為，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．
(1)如圖①，當(dāng)______時(shí)，的面積等于面積的三分之二；
(2)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動過程中的某一時(shí)刻，恰好，求點(diǎn)的運(yùn)動速度．
【題型15 設(shè)計(jì)軸對稱圖案】
1.軸對稱（或稱對稱軸）的概念早在古希臘時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)．古希臘哲學(xué)家柏拉圖在其著作《會晤篇》中，就提到了“對稱”的概念，并闡述了對稱的重要性．在數(shù)學(xué)和物理學(xué)等領(lǐng)域中，軸對稱一直都是一個(gè)重要的概念，被廣泛應(yīng)用于各種理論和實(shí)踐中．如圖是由三個(gè)陰影的小正方形組成的圖形，請你在三個(gè)網(wǎng)格圖中，各補(bǔ)畫出一個(gè)有陰影的小正方形，使補(bǔ)畫后的圖形為軸對稱圖形．
2.如圖，這是由五個(gè)大小相同的小正方塊拼湊而成的．
(1)該圖是軸對稱圖形嗎？如果是，請畫出對稱軸．
(2)若移動一個(gè)小方塊重新拼湊成一個(gè)新的軸對稱圖形，共有幾種方法（相同方法算一種）？請你畫出圖形和對稱軸．
3.請從如圖①所示的兩種瓷磚中各選2塊，拼成一個(gè)新的正方形地板圖案，使拼鋪的圖案是軸對稱圖形（如圖②）．要求：分別在圖③、圖④中各設(shè)計(jì)一種與圖②不同的拼法的軸對稱圖形．
4.如圖，在正方形網(wǎng)格中，有大小各異的三角形．

(1)請寫出圖①、圖②、圖③中的圖案都具有的一個(gè)特征：______；
(2)已知圖③中有兩個(gè)小三角形被涂黑，請你再將其余小三角形涂黑兩個(gè)，使整個(gè)被涂黑的圖案構(gòu)成一個(gè)新軸對稱圖形（作出兩種不同的）；
(3)開動你的想象力，將圖④中的三角形涂黑4個(gè)，設(shè)計(jì)出你喜歡的圖案，使整個(gè)被涂黑的圖案依舊構(gòu)成一個(gè)軸對稱圖形．
【題型16 簡單的軸對稱圖形】
1.綜合與實(shí)踐
【操作實(shí)踐】
如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組成員用四根木條釘成一個(gè)“箏形”（有兩組鄰邊分別相等的四邊形）道具，其中，，，相鄰兩根木條的連接處是可以轉(zhuǎn)動的，連接，．
（1）試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【實(shí)踐應(yīng)用】
（2）小組成員嘗試使用這個(gè)“箏形”道具檢測教室門框是否水平．如圖2，，，在道具上的點(diǎn)A處綁一條線繩，線繩的另一端掛一個(gè)鉛錘，道具上的點(diǎn)B，D緊貼門框，線繩恰好經(jīng)過點(diǎn)C．由于是鉛錘線，所以是水平的，即門框是水平的．在上述的判斷過程中，得出的依據(jù)是_______．（填字母）
A．等角對等邊 B．垂線段最短 C．等腰三角形“三線合一”
【實(shí)踐拓展】
（3）如圖3，在中，，．若E，F(xiàn)分別是邊，上的動點(diǎn)，當(dāng)四邊形為“箏形”時(shí)，求的度數(shù)．
2.在中，， 的作圖痕跡如圖所示，交于點(diǎn)N，垂直平分邊，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)O，連接．
(1)若，，求與的面積比；
(2)若，求的度數(shù)．
3.小紅學(xué)行線的證明之后，對三角形的內(nèi)角和定理及外角進(jìn)行了如下探究：
【問題解決】（）如圖①，平分，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，請寫出一個(gè)與相等的角；
【操作思考】（）如圖②，為銳角，射線在內(nèi)部，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，連接．根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；
【聯(lián)系拓廣】（）在（）的條件下，猜想直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
4.如圖1是光的反射示意圖，點(diǎn)處有一個(gè)光源，入射光線經(jīng)過鏡面反射后，恰好經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)叫入射點(diǎn)，已知反射角等于入射角，法線．
(1)若，則______．
(2)如圖2，在空心圓柱口放置一面平面鏡，與水平線的夾角，入射光線經(jīng)平面鏡反射后反射光線為（點(diǎn)，，，，，，在同一豎直平面內(nèi)），若要使反射光線恰好垂直于圓柱底面射出，則入射光線與水平線的夾角的度數(shù)為______．
(3)如圖3，點(diǎn)處有一個(gè)光源，入射光線經(jīng)過鏡面反射后，恰好經(jīng)過點(diǎn)，請用無刻度直尺和圓規(guī)作出入射點(diǎn)，并畫出光線（不寫作法，保留作圖痕跡，用鉛筆加黑加粗）
(4)某臺球桌為如圖4所示的長方形，，小球從沿角擊出，恰好經(jīng)過5次碰撞后到達(dá)處．則______．
【題型17 變量之間的關(guān)系】
1.某校一課外小組準(zhǔn)備進(jìn)行“綠色環(huán)保”的宣傳活動，需要制作宣傳單，校園附近有一家印刷社，收費(fèi)（元）與印刷數(shù)量（張）之間的關(guān)系如表：
印刷數(shù)量（張）
收費(fèi)（元）
(1)上表反映了 和 之間的關(guān)系，自變量是 ，因變量是
(2)從上表可知：收費(fèi)（元）隨印刷數(shù)量（張）的增加而
(3)若要印制張宣傳單，收費(fèi) 元
2.如圖所示，在一個(gè)半徑為的圓面上，從中心挖去一個(gè)小圓面，當(dāng)挖去一個(gè)小圓的半徑由小變大時(shí)，剩下的一個(gè)圓環(huán)面積也隨之發(fā)生變化．
(1)在這個(gè)變化過程中，因變量是 ．
(2)寫出剩下的圓環(huán)面積與小圓的半徑的關(guān)系式： ．
(3)當(dāng)挖去圓的半徑為時(shí)，剩下的圓環(huán)面積為多少？結(jié)果保留
3.為了節(jié)約用水，某城市采用分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，某戶居民每月應(yīng)交水費(fèi)元與用水量噸之間關(guān)系的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答：
該市自來水收費(fèi)時(shí)，每戶使用不足噸時(shí)，每噸收費(fèi)多少元？超過噸時(shí)，每噸收費(fèi)多少元？
若某戶居民每月用水噸，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？若某月交水費(fèi)元，該戶居民用水多少噸？
4.下表是蘇州市地鐵收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：
分段 乘坐里程公里 單程票票價(jià)
里程 元
里程 元
里程 元
里程 元
里程 元
里程公里以上，每公里分段 加元
備注：普通乘客刷卡乘車可享受單程票票價(jià)折優(yōu)惠
小明的媽媽每天乘坐地鐵上下班，單程公里，每月按天上下班計(jì)算．
求小明的媽媽刷卡乘車一個(gè)月的地鐵交通費(fèi)；
地鐵公司有三種計(jì)次月票可供選擇，月票元次，月票元次，月票元次．月票僅限當(dāng)月使用，每次不限里程，月底清零，小明的媽媽每月用于上下班的地鐵交通費(fèi)最少是多少元？請說明理由．
參考答案
【題型1 巧用冪的逆向運(yùn)算】
1.（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
故答案為：3，125；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2.（1）解：
，
故答案為：3；
（2），，
，，
整理得：，，解得：，
．
3.（1）解：∵如果，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
，
故答案為：1，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案為：3；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
4.（1）解：①∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
兩式相乘可得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵為正整數(shù)，為常數(shù)，為任意非零有理數(shù)，
∴；
綜上：．
【題型2 利用冪的運(yùn)算比較大小】
1.（1）解：根據(jù)題意，先將底數(shù)和指數(shù)都不相同的兩個(gè)冪轉(zhuǎn)化化歸為指數(shù)相同的兩個(gè)冪；根據(jù)指數(shù)相同，底數(shù)大的冪大，
故答案為：指數(shù)相同的兩個(gè)冪；指數(shù)相同，底數(shù)大的冪大．
（2）解：①∵，，
根據(jù)底數(shù)相同，指數(shù)大的冪大
∴，
∴．
②解：∵，
根據(jù)指數(shù)相同，底數(shù)大的冪大，
∴，
∴．
2.，，所以；，所以；，，所以.綜上，，最大的是．
3.（1）解：，，
，
．
（2）解：，，，
，
，
．
4.（1）解：和利用的是冪的乘方的逆用，
故選：C．
（2）解：∵，，
∴，，且，
∴，
∴．
【題型3 整式乘法中不含某項(xiàng)問題】
1.（1）由題中計(jì)算方法知：，
故答案為：13；
（2）∵是由2024個(gè)相乘，
又由題干和前面計(jì)算知：幾個(gè)多項(xiàng)式相乘的積的一次項(xiàng)系數(shù)為每個(gè)多項(xiàng)式中一次項(xiàng)系數(shù)與另外的多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)的積之和，
∴它的展開式的一次項(xiàng)系數(shù)為2024個(gè)1的和，
∴；
（3）由題干中計(jì)算方法知：中x的系數(shù)為，
∵x的系數(shù)為零，
∴，
∴；
（4）∵設(shè)購進(jìn)A型號礦泉水有a箱，
∴購進(jìn)B型號礦泉水有箱，
∴
，
∵無論a為多少，w都不變，
∴中，a的系數(shù)為0，
∴,
∴，不同的購進(jìn)方案，超市獲得的利潤都相同，都為元，
∴，．
2.解：原式，
，
∵乘積中不含 與 項(xiàng)，
∴，，
解得：，，
∴．
3.（1）解： ，
，即，
解得；
（2）解： ，
，
的值與無關(guān)，
，
解得，
．
4.解：（1）
，
關(guān)于的代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，
，
解得：，
故答案為：4；
（2），
，
的值與x無關(guān)，
，
即；
（3）設(shè)，由圖可知，
，
當(dāng)?shù)拈L變化時(shí)，的值始終保持不變．
取值與x無關(guān)，
，
【題型4 多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題】
1.解：（1），
由于，則；
故答案為：8．
（2）∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴；
陰暗部分面積
；
∵，
∴，
即；
陰暗部分面積；
答：圖中陰暗部分面積為45；
（3）∵
又，
即，
∴；
故答案為：95；
（4）的各項(xiàng)系數(shù)分別為1，6，15，20，15，6，1，
其和為；
故①正確；
展開式各項(xiàng)中，各系數(shù)分別為1，7，21，35，35，21，7，1，系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)；
故②正確；
；
故③正確；
，
上式中取，得；取，得
則；
故④錯(cuò)誤；
∵，
而，
∴
即
∴能被28整除；
故⑤正確；
綜上，正確的有①②③⑤．
2.（1）解：由題意得：，
故答案為：；
（2）解：∵
∴可以推出
故答案為：
（3）解：①
；
②∵
，
又∵，
∴
．
3.解：（1），
故答案為：；
（2）
故答案為：；
（3），
故答案為：；
（4）．
4.（1）根據(jù)材料中等式反映的規(guī)律知，
（2）．理由：
∵右邊，
左邊
，
∴左邊＝右邊，
∴成立．
【題型5 巧用乘法公式求值】
1.（1），
，
（滿足條件①）
當(dāng)時(shí)，（滿足條件②）
是的下確界．
（2）∵代數(shù)式的下確界是1，
∴設(shè)，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即：；
（3）
，
，，
（滿足條件①）
當(dāng)，，即，時(shí)，（滿足條件②）
是的下確界．
2.解：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）∵
，
∵，，
∴，
∴,
∴，
故答案為：，；
（3）∵，，
∴，
∴，
∵
，
∴，
答：的值是
3.（1）解：設(shè)則
∴
=（a+b）2-2ab
=（-4）2-2×2
=16-4
=12．
（2）解：設(shè)，
則，a+b=10，
；
（3）解：正方形ACFG的邊長為13-m，面積為（13-m）2，正方形ABDE的邊長為10-m，面積為（10-m）2，則有（13-m）2+（10-m）2=117，
設(shè)13-m=p，10-m=q，則p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-q=13-m-10+m=3，
所以長方形AEPC的面積為： ．
4.（1）解：方法一：陰影部分是兩個(gè)正方形的面積和，即；
方法二：陰影部分也可以看作邊長為的面積減去兩個(gè)長為，寬為的長方形面積，即，
兩種方法可得出：；
（2）解：由（1）可得，
∵，，
∴；
（3）解：設(shè)，，
∵x滿足，
∴，
∵，
∴，
∴的值為；
（4）解：，
A紙片的面積為，B紙片面積為，C紙片面積為，
根據(jù)可知要拼出一個(gè)面積為的大長方形，需要3張A紙片，1張B紙片，4張C紙片，
則；
（5）解：由圖知，，
∴，
∵長方形的面積是24，
∴，
設(shè)，，
則，，
由，得，
∴，
∴，
即，
∴陰影部分的面積為．
【題型6 乘法公式的幾何背景】
1.解：觀察：由圖形知，大正方形的面積為，中間小正方形的面積為，
大正方形的面積減去小正方形的面積等于4個(gè)長寬分別為a，b的長方形面積，
∴，
故答案為：；
應(yīng)用：∵，
∴，
將，代入得：，
∴，
∴，
故答案為：；
拓展：∵正方形的邊長為x，
∴，，
∴，
設(shè)，，，
∴，
∴
，
∴圖中陰影部分的面積為900．
2.（1）
（2）經(jīng)分析，拼接后的長方形長為、寬為．
∴
（3）∵陰影部分圖形拼接前后，面積不變，
∴．
（4）①解：①∵，，
∴
∴，
②
故答案為：①3；②．
3.（1）解：由圖可得，，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：由圖可得，，
∵，
∴．
4.（1）解：這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合；
故選：D；
（2）解：由題意得陰影部分的面積．
故答案為：；
（3）解：①∵正方形面積為，
小塊四邊形面積總和為，
∴由面積相等可得：；
故答案為：；
②由①可知，
∵，，
∴，
故答案為：29；
（4）解：面積為的長方形如圖所示：
∴；
（5）解：①用不同的方法表示這個(gè)大正方體的體積，
得到的等式為；
②∵，，
∴
．
故答案為：；35；
（6）解：左邊體積大正方體的體積小長方體的體積；
右邊體積長方體的體積；
∴，
故答案為：．
【題型7 相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】
1.（1）解：，
的余角的度數(shù)是，補(bǔ)角的度數(shù)是；
（2）解：①有兩種情況：
如圖1，當(dāng)在的下方時(shí)，
恰好平分，，
，
未旋轉(zhuǎn)之前，，則未旋轉(zhuǎn)之前，
旋轉(zhuǎn)角，（秒，即在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，第15秒時(shí)，直線恰好平分，
，
，
∴，
平分；
當(dāng)在的上方時(shí)，過點(diǎn)O作的垂線，
此時(shí)，
∴，
∴旋轉(zhuǎn)角：，（秒，即在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，第51秒時(shí)，直線恰好平分，
∵，
∴，
而，
∴，
∴直線平分；
綜上，在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，第15秒或51秒時(shí)，直線恰好平分，則此時(shí)直線平分；
②有兩種情況：
當(dāng)在的下方時(shí)，有，理由是：
如圖2，在的內(nèi)部，
，
，
，
，
．
當(dāng)在的上方時(shí)，有，理由是：
如圖3，在的內(nèi)部，
，
．
2.（1）解：因?yàn)椋?br/>又因?yàn)椋?br/>所以．
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以．
（2）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)的最小角度是，則，，
因?yàn)榕c互補(bǔ)，
所以，即，
解得，
所以旋轉(zhuǎn)的最小角度是．
3.（1）解：∵，
∴，
∵射線平分，
∴，
故答案為：．
（2）解：①（Ⅰ）如圖，當(dāng)平分由，兩條射線組成的角時(shí)，
∴，
∵，
∴，
∴；
（Ⅱ）如圖，當(dāng)平分由，兩條射線組成的角時(shí)，
∴；
（Ⅲ）如圖，當(dāng)平分由，兩條射線組成的角時(shí)，
∴，
∴此時(shí)旋轉(zhuǎn)角大于，不符合題意，舍去；
綜上，滿足要求的所有的值為或．
②（Ⅰ）如圖，當(dāng)時(shí)，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，符合題設(shè)；
（Ⅱ）如圖，當(dāng)時(shí)，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，符合題設(shè)；
（Ⅲ）如圖，當(dāng)時(shí)，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，不符合題設(shè)，舍去；
綜上，在旋轉(zhuǎn)過程中存在，此時(shí)的值為或．
4.解：探究1：如圖所示，作的角平分線，再作，則入射光線和反射光線即為所求；
由平行線的性質(zhì)可得，由題意得；
探究2：當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去）；
綜上所述，或；
探究3：如圖3-1所示，當(dāng)射線恰好經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，
由題意得，
∴，，
∴，
解得；
如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，
由題意得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
如圖3-3所示，當(dāng)射線和重合時(shí)，則，
解得；
如圖3-4所示，當(dāng)時(shí)，
同理可得，
∴，
∵，
∴，，
∴；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
【題型8 相交線中的角度綜合問題】
1.（1）解：如圖1，
，，
．
（2）解：如圖2，
和的平分線相交于點(diǎn)，
，，
由（1）可得：，，
，
．
（3）由（1）得：，
，
，
設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，則，
兩式相減可得：，
，
，
，
，
即．
2.（1）解：（1）因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)槠椒郑?br/>所以；
（2）解：①如圖所示：

②∵是垂線段，
∴（垂線段最短）；
故答案為：>，垂線段最短；
③∵，平分，
∴，
∴．
∴．
故答案為：．
3.（1）解：由圖1可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即；
（2）解：由圖2知：
∵平分，
∴，
設(shè)，所以，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴
4.（1）解： ，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
故答案為：100，50．
（2）解：，
，
，
故答案為：60．
（3）解：，平分，
，
，，
點(diǎn)到直線的距離等于的長，即為2，
∴的度數(shù)為，點(diǎn)到直線的距離為2．
【題型9 平行線中的輔助線構(gòu)造】
1.（1）解：，
，
∵，
；
（2）解：如圖②，過點(diǎn)作，
，，
，
，，
，
；
（3）解：如圖所示，過點(diǎn)P作，延長到，
，，
∴，
∴，
是的平分線，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得，，
∴，
∴，
∴
．
2.（1）解：，理由如下：
過點(diǎn)作，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴ ，
由（1）同理得，
∴，
∴；
（3）解：∵平分，平分，
∴，，
設(shè)，，則，，
∴，
∵，
∴，
由（1）同理得：，
∴；
故答案為：．
3.（1）解：如圖，過點(diǎn)作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵ ，，
∴ ．
（2）解：如圖，過點(diǎn)作，
同理可得：．
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
∴．
由（1）得，
∴，
∴ ．
（3）解：∵，
∴，，．
∵，
∴．
又∵，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
4.（1）證明：如圖，延長交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解： ；
理由：如圖，分別過點(diǎn)P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)，，時(shí)，
；
（3）解：或或或；
理由如下：如圖2-1，分別過點(diǎn)P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)，時(shí)，
，
∴；
如圖2-2，分別過點(diǎn)P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)，時(shí)，
∴；
如圖2-3，分別過點(diǎn)P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)，時(shí)，
∴；
如圖2-4，分別過點(diǎn)P、Q作，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)，時(shí)，
∴；
綜上可得：或或或．
【題型10 平行線中的定值問題】
1.（1）證明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）①如圖1，當(dāng)F在A點(diǎn)右邊時(shí)，
∵，
∴，
又∵，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴；
如圖：當(dāng)F在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
∵，
∴，
又∵，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴；
綜上，的度數(shù)為或；
②，理由為：
設(shè)，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴
∴．
2.（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，．
故答案為：．

（2）解：①是；；
過點(diǎn)G作，如圖所示：

∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到的位置，且時(shí)，如圖所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴此時(shí)C、，E在同一直線上，
∴旋轉(zhuǎn)角為：，
∴（秒）；
當(dāng)旋轉(zhuǎn)到的位置，且時(shí)，如圖所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
當(dāng)旋轉(zhuǎn)到的位置，且時(shí)，如圖所示：

∵，
∴，
∴，
∴（秒），
綜上分析可知，當(dāng)t為3秒或5秒或9秒時(shí)，線段與三角形的一條邊平行．
3.（1）解：如圖所示，過點(diǎn)E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②如圖所示，當(dāng)在左側(cè)時(shí)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴此時(shí)不存在常數(shù)k使得為定值，
如圖所示，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，
同理可得，
∴當(dāng)，即時(shí)，，為定值；
綜上所述，存在使得，為定值．
4.（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案為135；
（2）解：設(shè)射線與射線所在直線的交點(diǎn)為點(diǎn)，
旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒時(shí)，，，
即，
①如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，

②如上圖，當(dāng)時(shí)，則，
由①可知，即，
解得，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，射線與射線所在直線的夾角為，
（3）的值不變，理由為：
解：如圖，由（2）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
【題型11 平行線中的角度綜合問題】
1.解：（1）如圖，
∵折疊，
∴直線折疊重合為兩個(gè)角，平角為，
∴，即，
∴與直線的位置關(guān)系是：垂直，
如圖：
∵如圖④所示：，
，
由折疊可知：，
，
（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
故答案為：垂直；；
（2）①∵燈，燈轉(zhuǎn)動的速度分別是/秒，/秒，燈射線轉(zhuǎn)動20秒后，燈射線開始轉(zhuǎn)動，
∴燈轉(zhuǎn)動20秒后度數(shù)為，
又∵當(dāng)燈轉(zhuǎn)動秒時(shí)，燈射線轉(zhuǎn)動到如圖⑤的位置，
∴此時(shí)燈再次轉(zhuǎn)動了，
，
故答案為：；
②如圖為大致圖形：
當(dāng)時(shí)，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）當(dāng)為10秒或85秒或130秒時(shí)，兩燈的光束互相平行，理由如下：
設(shè)燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行，
①當(dāng)時(shí)，如圖，
，
，
，
，
∴，
解得：；
②當(dāng)時(shí)，如圖，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得：；
③當(dāng)時(shí)，如圖，
，
，
，
，
∴，
∴
∴，
解得：，
綜上所述：當(dāng)為10秒或85秒或130秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．
2.（1）證明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
證明：過點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：①如圖，作，則，
，，
，
故答案為：；
② 過點(diǎn)E作，
由題意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：與所成銳角的度數(shù)為．
3.（1）解：①證明：∵，
∴，
∴
∵
∴
∴；
②如圖所示，過點(diǎn)作，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）解：如圖所示，的頂點(diǎn)分別為，
依題意，，作，
∴
∴，
∴，
故答案為：．
4.（1）解：①由題意得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由題意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：，理由如下：
由題意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【題型12 與三角形有關(guān)的線段】
1.（1）解：當(dāng)與8、與10分別是對應(yīng)邊時(shí)，則，
∴；
當(dāng)與10、與8分別是對應(yīng)邊時(shí)，則，
∴；
綜上，或；
（2）因?yàn)檫呴L小于邊長，所以取，；
當(dāng)時(shí)，以a，m，n為三角形的三邊長，
則邊長a取值范圍為．
∴．
2.解： ，
設(shè)，
，，
，
解得：，
，
，，
是的角平分線，
，
是的高線，
，
，
，
故的度數(shù)為．
3.（1）解：
則得，
∴，
把代入，得，
解得，
∵關(guān)于，的二元一次方程組的解都是正數(shù)，
∴
解得，
∴
解得
即；
（2）解：∵
∴
；
（3）解：①當(dāng)為腰，為底時(shí)，
根據(jù)題意，得，
即，
解得：；
此時(shí)，，，三邊長為5、5、2可以構(gòu)成等腰三角形；
②當(dāng)為腰，為底時(shí)，
根據(jù)題意，得．
即，
解得：．
此時(shí)，，，三邊長為6、3、3不能構(gòu)成等腰三角形；
綜上所述：．
4.（1）解：①三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；
三角形的中線是三角形的二分線，
故答案為：三角形的中線
②是邊上的中線
，
，
，
，
是的一條二分線
故答案為：是
（2）解：∵的中點(diǎn)F，
∴，
∵，
∴，
∵G是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是四邊形的二分線．
（3）解：∵
∴，
又∵
∴
∴，
∵是四邊形的一條二分線，
∴，
∴
∴．
【題型13 與圖形角度有關(guān)的計(jì)算】
1.（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵的平分線交于點(diǎn)F，
∴，
∴；
（2）解：∵的平分線交于點(diǎn)F，，
∴，
∵，
∴，
∵，恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：依題意有以下兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，如圖3①所示：
設(shè)，則，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）的結(jié)論得：，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)點(diǎn)M在的延長線上時(shí)，如圖3②所示：
設(shè)，則，
∴，
設(shè)，則，
同理可得：，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
綜上所述：與的比值為或3．
2.解:∵正五邊形的內(nèi)角和為,
∴其每個(gè)內(nèi)角為,即
∴
∵長方形的每個(gè)內(nèi)角為即
∴
∴.
3.（1）解：，，
．
又，
；
（2）證明：，，
．
，
．
，
，
，即．
4.解：（1）如圖1，
∵分別平分和，
∴．
∵是的一個(gè)外角，
∴．
∵是的一個(gè)外角，
∴．
∴．
故答案為：．
（2）由題意，如圖2，
∵是的一個(gè)外角，
∴．
又∵分別平分和，
∴．
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
（3）由題意，如圖3，
∵是的一個(gè)外角，
∴．
又∵，
∴．
又∵分別平分和，
∴．
∴．
又∵，
∴
又∵，
∴．
【題型14 全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】
1.（1）解：由題意得：，；
（2）解：∵點(diǎn)的運(yùn)動速度也為每秒，
∴，，
∵；
∴，
∴，解得，
∴時(shí)，；
（3）解：由點(diǎn)的運(yùn)動速度和點(diǎn)的速度不相等，則，
∵，
∴，，
∴為中點(diǎn)，
∴，解得：，
∴點(diǎn)的速度為每秒．
2.解：如圖，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為O．
因?yàn)殛P(guān)于的對稱線段是，
所以．
因?yàn)椋?br/>所以
因?yàn)檫呹P(guān)于的對稱線段是，
所以，
所以，
所以，
所以．
又因?yàn)辄c(diǎn)落在所在的直線上，，
所以，
所以，
所以．
3.解：正五邊形的內(nèi)角和為，
，
，
，
，
．
4.（1）解：當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，
∵的面積等于面積的三分之二，
∴，
∴點(diǎn)P移動的距離為，
∴移動的時(shí)間為：；
當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，
∵的面積等于面積的三分之二；
∴，
∴點(diǎn)P移動的距離為，
∴移動的時(shí)間為：；
故答案為：或；
（2）解：∵，
∴對應(yīng)頂點(diǎn)為與，與，與；
①當(dāng)點(diǎn)在上，如圖所示：

此時(shí)，，，
點(diǎn)移動的速度為，
②當(dāng)點(diǎn)在上，如圖所示：

此時(shí)，，，
即，點(diǎn)移動的路程為，點(diǎn)移動的路程為，
點(diǎn)移動的速度為，
綜上所述，兩點(diǎn)運(yùn)動過程中的某一時(shí)刻，恰好，點(diǎn)的運(yùn)動速度為或．
【題型15 設(shè)計(jì)軸對稱圖案】
1.解：如下圖所示，
（答案不唯一）
2.（1）解：該圖是軸對稱圖形，對稱軸如圖所示：
（2）解：共有四種方法，如圖所示：

3.解：（答案不唯一）如圖所示．
4.（1）解：由圖知，圖①、圖②、圖③中圖案都是軸對稱圖形，
故答案為：都是軸對稱圖形；
（2）解：根據(jù)題意作圖如下：（答案不唯一）

（3）解：根據(jù)題意作圖如下：（答案不唯一）

【題型16 簡單的軸對稱圖形】
1.解：（1）猜想：，理由如下：
∵，，，
∴
∴；
（2）由（1）同理可得：，
∵，，
∴是等腰三角形
∴，依據(jù)是等腰三角形“三線合一”性質(zhì)
故選：C；
（3）∵，，
∴
四邊形為“箏形”，
∴①當(dāng)，時(shí)，如圖，
四邊形為“箏形”，
∴
∴
∴；
②當(dāng)，時(shí)，如圖，
四邊形為“箏形”，
∴
∴
∴；
綜上：的度數(shù)為或．
2.（1）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由作圖可知，平分，
又垂直平分邊，，
，
，，
，
△與△的面積比；
（2）解：，，
，，
平分，
，
垂直平分邊，
，
，
．
3.解：（）∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案為：或；
（）如圖所示，點(diǎn)即為所求；
（）當(dāng)在線段上時(shí)，；當(dāng)在射線上時(shí)，，理由如下：
第一種情況：
如圖③，延長交于點(diǎn)，
設(shè)，則，
，
，
在中，，
，
，
在中，
，
，
；
第二種情況：
如圖④，由題知，
，
，
，
，
，
，
．
4.（1）解：根據(jù)題意可知：，
∵，
則，
∴，
故答案為：40．
（2）解：由題意可得：，
∴，
∴．
故答案為：46．
（3）解：以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)半徑為弧，交l與點(diǎn)C與點(diǎn)D，分別以點(diǎn)C，點(diǎn)D為圓心，以大于為半徑畫弧交點(diǎn)G，連接交l與點(diǎn)E，再以點(diǎn)E為圓心，為半徑畫弧交與點(diǎn)，連接交l與點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求．
（4）解：如下圖：
小球從長方形的點(diǎn)A沿射出，到的點(diǎn)E，．
從E點(diǎn)沿與成射出，到邊的F點(diǎn)，，
從F點(diǎn)沿與成射出，到邊的G點(diǎn)，，
從G沿與成射出，到邊的H點(diǎn)，
從H點(diǎn)沿與成射出，到邊的M點(diǎn)，
從M點(diǎn)沿與成射出，到B點(diǎn)，
由（1）中的結(jié)論以及軸對稱的性質(zhì)可知：
，，．
根據(jù)圖可知5次碰撞后是2個(gè)半以為邊長的正方形，
∵，
∴．
【題型17 變量之間的關(guān)系】
1.（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)變化可得：
上表反映了印刷收費(fèi)和印刷數(shù)量之間的關(guān)系，其中印刷數(shù)量自變量，因變量是印刷收費(fèi)，
故答案為：印刷收費(fèi)；印刷數(shù)量；印刷數(shù)量；印刷收費(fèi)；
（2）解：從上表可知：收費(fèi)（元）隨印刷數(shù)量（張）的增加而增加，
故答案為：增加；
（3）由表格中數(shù)據(jù)的變化情況可知，每張的印刷收費(fèi)為（元），
所以印刷1000張的費(fèi)用為：（元），
故答案為：150．
2.（1）解：∵圓環(huán)的面積隨著挖去小圓的半徑增大而減小，
∴因變量是剩下的圓環(huán)面積；
故答案為：剩下的圓環(huán)面積；
（2）解：由題意得，，
故答案為：；
（3）把代入中得：，
∴剩下的圓環(huán)面積為．
3.每戶使用不足噸時(shí)，每噸收費(fèi)：元，
超過噸時(shí)，每噸收費(fèi)：元
元
噸
噸
4.由表格可知，
小明的媽媽每次單程票票價(jià)為元，
故小明的媽媽刷卡乘車一個(gè)月的地鐵交通費(fèi)為：元，
即小明的媽媽刷卡乘車一個(gè)月的地鐵交通費(fèi)是元；
小明的媽媽每月用于上下班的地鐵交通費(fèi)最少是元，
理由：小明媽媽一個(gè)月需要坐地鐵次，
當(dāng)選擇月票時(shí)較低的費(fèi)用為：元，
當(dāng)選擇月票時(shí)較低的費(fèi)用為：元，
當(dāng)選擇月票時(shí)的費(fèi)用為元；
，
小明的媽媽每月用于上下班的地鐵交通費(fèi)最少是元．

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