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2024-2025學年安徽省固鎮縣毛鉭廠實驗中學高一下學期5月月考
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知，且為純虛數，則在復平面內對應的點位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列說法中，正確的是( )
A. 底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
B. 一個多面體至少有個面
C. 有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D. 用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
3.在中，，則( )
A. B. C. D.
4.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為( )
A. B. C. D.
5.如圖，已知扇環的內弧長為，外弧長為，扇環的寬為，將該扇環卷成圓臺，則該圓臺的高為( )
A. B. C. D.
6.已知是邊長為的正三角形，為中點，且，則( )
A. B. C. D.
7.圓柱的底面周長為，是底面圓的直徑，高，點是母線上一點，且一只螞蟻從點出發沿著圓柱體的表面爬行到點的最短距離是( )
A. B. C. D.
8.在正方體中，的中點為，的中點為，則異面直線與所成角的正切值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.，是兩條異面直線，，在直線上，，在直線上，、、、四點互不相同，則下列結論一定不成立的是( )
A. 、、、四點共面 B.
C. 與相交 D.
10.三角形有一個角是，這個角的兩邊長分別為和，則 ．
A. 三角形另一邊長為 B. 三角形的周長為
C. 三角形內切圓周長為 D. 三角形外接圓面積為
11.如圖，透明塑料制成的長方體容器內灌進一些水，固定容器底面一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，下面四個命題中正確的是( )
A. 沒有水的部分始終呈棱柱形 B. 水面所在四邊形的面積為定值
C. 棱始終與水面所在平面平行 D. 當容器傾斜如圖所示時，是定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知復數滿足其中為虛數單位，則復數的共軛復數為 ．
13.已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個論斷：，，，以其中的兩個論斷作為命題的條件，作為命題的結論，寫出一個真命題： ．
14.三棱錐中，平面，，，，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知，向量．
若向量，求向量的坐標；
若向量與向量的夾角為，求．
16.本小題分
在中，分別是角所對的邊，且滿足．
求角的大小；
設向量，向量，且，判斷的形狀．
17.本小題分
如圖，在三棱柱中，底面，，，，是棱的中點．
證明：平面平面．
求三棱錐的體積．
18.本小題分
在中，內角、、的對邊分別為、、，已知．
求角的值；
若，求面積的最大值．
19.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點為線段中點，．
證明：平面；
求二面角的正切值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.若，，則
14.
15.由，設，，
，，解得或
所以或．
，，，
，
，．
16.解：因為，
所以，
因為，
所以；
解：因為，，且，
所以，
所以，
所以或舍，
當時，，
所以為直角三角形．
17.底面，面，
．
，，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
四邊形為矩形，
，則，
即為等腰直角三角形
．
．
18.由正弦定理可得，，
又因為，
所以，
化簡整理得，，由，故，
又因為，所以．
由正弦定理和中結論得，，
所以，，
因為，
所以，
化簡整理得，，即，
由余弦定理可知，，即，
從而，
又因為，當且僅當時，等號成立，
所以，當且僅當時，等號成立，
故面積，當且僅當時，面積有最大值，
所以面積的最大值為．
19.證明：連接交于，連接，則為中點．
因為分別為中點，
所以．
因為平面平面，
所以平面．
取中點，連接，
取中點，連接，
可得．
因為平面平面，平面平面．
所以平面，
因此平面平面，所以．
過作交于，連接，
可得平面，所以，
所以就是所求二面角的平面角，如圖所示，
，
在直角中，可得，
即二面角的正切值為．
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