資源簡介

5.2 概率及運算 同步課時作業
一、選擇題
1．已知A，B，C是三種電子信息傳遞元件，第一次由A元件將信息傳出，每次傳遞時，傳遞元件都等可能地將信息傳遞給另外兩個元件中的任何一個，則第三次傳遞后，信息在A元件中的概率是( )
A. B. C. D.
2．為了推動國家鄉村振興戰略，某地積極響應，不斷自主創新，培育了某種樹苗，其成活率為0.8，現采用隨機模擬的方法估計該樹苗種植3棵恰好3棵都成活的概率.先由計算機產生1到5之間取整數值的隨機數，指定1至4的數字代表成活，5代表不成活，再以每3個隨機數為一組代表3次種植的結果.經計算機隨機模擬產生如下20組隨機數：321，453，142，234，511，454，352，115，243，535，422，134，315，221，451，144，332，254，112，523
.據此估計，該樹苗種植3棵恰好3棵都成活的概率為( )
A.0.45 B.0.5 C.0.512 D.0.55
3．將一個質地均勻的正方體骰子（每個面上分別寫有數字1,2,3,4,5,6）先后拋擲2次,觀察向上的點數,則2次拋擲的點數之和為7的概率是( )
A. B. C. D.
4．口袋內裝有大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出一個球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,則摸出黑球的概率是( )
A.0.42 B.0.28 C.0.7 D.0.3
5．擲兩枚質地均勻的正方體骰子，設出現的點數之和為S的概率是P，則P最大時S等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
6．小明同學有6把鑰匙,其中2把能打開門.如果隨機地取一把鑰匙試著開門,把不能開門的鑰匙扔掉,第二次才能打開門的概率為;如果試過的鑰匙又混進去,第二次才能打開門的概率為,則,的值分別為( )
A., B., C., D.,
7．已知隨機事件A和B互斥，且，.則( )
A.0.2 B.0.3 C.0.8 D.0.5
8．一場數字游戲在兩個非常聰明的學生甲 乙之間進行，老師在黑板上寫出，2024共2024個正整數，然后隨意擦去一個數，接下來由乙 甲兩人輪流擦去其中一個數（即乙先擦去其中一個數，然后甲再擦去一個數），如此下去，若最后剩下的兩個數互為質數（如2和3），則判甲勝；否則（如2和4），判乙勝，按照這種游戲規則，甲獲勝的概率是( )
A. B. C. D.
二、多項選擇題
9．從甲袋中摸出一個紅球的概率是,從乙袋中摸出一個紅球的概率是,從兩袋各摸出一個球,下列結論正確的是( )
A.2個球都是紅球的概率為
B.2個球不都是紅球的概率為
C.至少有1個紅球的概率為
D.2個球中恰有1個紅球的概率為
10．已知事件A,B,C兩兩互斥,若,,,則( )
A. B. C. D.
11．某次數學考試的多項選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分”.已知某選擇題的正確答案是CD，且甲 乙 丙 丁四位同學都不會做，則下列表述正確的是( )
A.甲同學僅隨機選一個選項，能得2分的概率是
B.乙同學僅隨機選兩個選項，能得5分概率是
C.丙同學隨機選擇選項，能得分的概率是
D.丁同學隨機至少選擇兩個選項，能得分的概率是
三、填空題
12．某對新婚夫婦響應國家號召,計劃生育3個孩子.假設每胎只有一個小孩,且每胎生男生女的概率相等,記事件為“該夫婦兒女雙全”,則________.
13．已知數列，等可能取，0或1，數列滿足，且，則的概率為________.
14．袋中有紅球 黑球 黃球 綠球共12個,它們除顏色外完全相同,從中任取一球,得到紅球的概率是,得到黑球或黃球的概率是,得到黃球或綠球的概率也是,則得到黃球的概率是_____________.
15．用1，2，5這三個數字組成無重復數字的三位數，則這個三位數比215大的概率為___________.
四、解答題
16．已知事件A與B互斥，且，，求.
17．（例題）人的眼皮有單眼皮與雙眼皮之分，這是由對應的基因決定的.
生物學上已經證明：決定眼皮單雙的基因有兩種，一種是顯性基因（記為B），另一種是隱性基因（記為b）；基因總是成對出現（如BB，，，），而成對的基因中，只要出現了顯性基因，那么這個人就一定是雙眼皮（也就是說，“單眼皮”的充要條件是“成對的基因是bb”）；如果不發生基因突變的話，成對的基因中，一個來自父親，另一個來自母親，但父母親提供基因時都是隨機的.
有一對夫妻，兩人成對的基因都是Bb，不考慮基因突變，求他們的孩子是單眼皮的概率.
18．從1，2，3，…，30中任意選一個數，分別求下列事件的概率：
（1）取出的數是偶數；
（2）取出的數能被3整除；
（3）取出的數是偶數且能被3整除；
（4）取出的數是偶數或能被3整除.
19．袋子中放有5個除顏色外完全相同的小球，其中有標記為,的2個紅球，標記為,的2個白球和1個標記為B的黑球，從中不放回地依次摸出2個球，觀察球的顏色.
(1)寫出試驗的樣本空間并計算；
(2)設事件A為“一黑一白”，求.
20．已知關于x的二次函數.
（1）設集合和,分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b,求函數在區間上是增函數的概率;
（2）設點是區域內的隨機點,記事件“函數有兩個零點,其中一個大于1,另一個小于1”為事件M,求事件M發生的概率.
參考答案
1．答案：B
解析：依題意三次傳遞所有的傳遞方法有：
；；
；；
；；
；；
則共有8種傳遞方法．
第三次傳遞后，信息在A元件中的有兩種情況，
所以第三次傳遞后，信息在A元件中的概率
故選：B．
2．答案：B
解析：由題意得共有20組隨機數，
分別為321，453，142，234，511，454，352
115，243，535，422，134，315，221，
451，144，332，254，112，523
恰好3棵都成活的隨機數有：321，142，234，243，
422，134，221，144，332，112，共10個，
故估計種植3棵恰好3棵都成活的概率為：，故B正確.
故選：B
3．答案：C
解析：基本事件總數,點數之和是7包括,,,,,共6種情況,
則所求概率是.
故選:C.
4．答案：D
解析：從中摸出一個球,摸出紅球、摸出白球、摸出黑球是互斥的,所以由互斥事件概率的加法公式知摸出黑球的概率是,故選D.
5．答案：B
解析：
第一枚第二枚 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
根據上圖可知：點數之和為7時出現的次數最多即概率最大.
故選：B
6．答案：A
解析：將6把鑰匙分別標號為1,2,3,4,5,6,其中標號為5,6的鑰匙是能打開門的,標號為1,2,3,4的鑰匙是不能打開門的.
如果隨機地取一把鑰匙試著開門,把不能開門的鑰匙扔掉,即為不放回地抽取,則嘗試開門兩次,嘗試開門兩次的樣本點有個,
其中第二次才能打開門的樣本點有,,,,,,,,共有8個,所以;
如果試過的鑰匙又混進去,即為有放回地抽取,則嘗試開門兩次的樣本空間為,共有36個樣本點,
其中第二次才能打開門的樣本點有,,,,,,,共有8個,所以.
故選:A.
7．答案：C
解析：因為A與B互斥，
則，
可得，
所以.
故選：C.
8．答案：B
解析：先根據裁判擦去的是奇數還是偶數分類考慮，解題思路得出若擦去的是奇數，則乙一定獲勝；若擦去的是偶數，則甲一定獲勝，由此根據古典概型概率公式計算即得.
由于甲、乙都非常聰明，他們獲勝的關鍵是要看裁判擦去哪個數，
注意2，3，4， ，2024中有1011個奇數，1012個偶數.
（1）若裁判擦去的是奇數，則乙一定獲勝.
理由如下：乙不管甲擦去什么數，只要還有奇數，就擦去奇數，這樣最后剩下兩個數一定都是偶數，
從而所剩兩數不互質，故乙勝.
（2）若裁判擦去的是偶數，則甲一定獲勝.
理由如下：設裁判擦去的是，則將余下的數配成1011對，每對數由一奇一偶的相鄰兩數組成：
這樣，不管乙擦去什么數，甲只要擦去所配對中的另一個數，最后剩下兩個相鄰的整數，它們互質，故甲必獲勝.
甲獲勝的概率為.
故選:B.
9．答案：ACD
解析：設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件,從“乙袋中摸出一個紅球”為事件,
則,,
對于A選項,2個球都是紅球為,其概率為,故A選項正確,
對于B選項,“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件,其概率為,故B選項錯誤,
對于C選項,2個球至少有一個紅球的概率為,故C選項正確,
對于D選項,2個球中恰有1個紅球的概率為,故D選項正確.
故選:ACD.
10．答案：BCD
解析：因為事件A,B,C兩兩互斥,所以,故A錯誤.
由,得,故B正確.
由,得,故D正確.
因為,所以C正確.
11．答案：ABC
解析：甲同學僅隨機選一個選項共有4種可能，能的2分的情況是選C或D，
故能得2分的概率為，故A正確.
乙同學僅隨機選兩個選項，所有可能的結果為AB，AC，AD，BC，BD，CD，共有6種可能的結果，
設事件M表示“乙同學僅隨機選兩個選項，能得5分”，
則事件M包含的樣本點有CD，故，故B正確.
丙同學隨機選擇選項（丙至少選擇一項），所有可能的結果為選擇一項：A，B，C，D；
選擇兩項：AB，AC，AD，BC，BD，CD；選擇三項或全選：ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共有15種可能的結果.
設事件N表示“丙同學隨機選擇選項，能得分”，則事件N包含的樣本點有C，D，CD，共有3種可能的結果，
故，故C正確.
丁同學隨機至少選擇兩個選項，由上述解題思路可知，共有11種可能的結果，
設事件E表示“丁同學隨機至少選擇兩個選項，能得分”，
則事件E包含的樣本點為CD，只有1種可能的結果，故，故D錯誤.
故選:ABC.
12．答案：或0.75
解析：由題意知,基本事件為:{男男男},{男男女},{男女男},{女男男},{女女男},{女男女},{男女女},{女女女},共8種情況,
其中A的對立事件為“該夫婦的3個孩子全是男孩或者全是女孩”,有{男男男},{女女女},共2種情況,所以概率為.
故答案為:.
13．答案：
解析：由題意可得：，，
，，
若，則，
從，，，各隨機從，0，1中選一個，共有種情況；
若，可分為三類：
，，，都取0，一種情況；
，，，中兩個取0，一個取1，一個取，共有，
，，，中兩個取1，兩個取，共有，
共計19種情況，
所以的概率為：.
故答案為：
14．答案：
解析：設事件A,B,C,D分別表示事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”,
則事件A,B,C,D兩兩互斥,
根據題意,得,即,
解得,,,所以得到黃球的概率是.
故答案為：.
15．答案：
解析：構成三位數的試驗的樣本空間
，有6個樣本點，
比215大的事件，共3個樣本點，
所以所求的概率.
故答案為：
16．答案：0.3
解析：與B互斥，
.
17．答案：
解析：我們用連著寫的兩個字母來表示孩子的成對的基因，其中第一個字母表示父親提供的基因，第二個字母表示母親提供的基因.
由圖所示的樹形圖可知，樣本空間中共含有4個樣本點，即.
孩子要是單眼皮，成對的基因只能是bb，因此所求概率為.
18．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）從1，2，3，…，30中任意選一個數，有30種選法，
取出的數是偶數，有15種選法，
所以取出的數是偶數的概率是；
（2）從1，2，3，…，30中任意選一個數，有30種選法，
取出的數能被3整除，有10種選法，
所以取出的數能被3整除的概率是；
（3）從1，2，3，…，30中任意選一個數，有30種選法，
取出的數是偶數且能被3整除，有6，12，18，24，30，共5種選法，
所以取出的數是偶數且能被3整除的概率是；
（4）從1，2，3，…，30中任意選一個數，有30種選法，
取出的數是偶數或能被3整除的數為2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，26，27，28，30有20種選法，
所以取出的數是偶數或能被3整除的概率是.
19．答案：(1)答案見解析，；
(2)
解析：（1）袋子中放有5個除顏色外完全相同的小球，從中不放回地依次摸出2個球，則該試驗的樣本空間可表示為
，
.
（2）事件A為“一黑一白”包含的樣本點，，，，共4個，
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）記“函數在區間上是增函數”為事件.
若使事件A發生,由于,則只需使得,即.
所以,事件A包含的基本事件分別為、、、、,共5個;
所有基本事件共個.
由古典概型的概率計算公式得,,
綜上,函數在區間上是增函數的概率為;
（2）若使事件M發生,由于,所以只需,
所有結果構成平面區域為,事件M包含的結果構成的平面區域為,
如圖所示:
由幾何概型的概率計算公式得,.

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