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4.5 幾種簡單幾何體的表面積和體積 同步課時作業
一、選擇題
1．底面直徑和母線長均為2的圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
2．“方斗”常作為盛米的一種容器，其形狀是一個上大下小的正四棱臺，現有“方斗”容器如圖所示，已知，，現往容器里加米，當米的高度是“方斗”高度的一半時，用米，則該“方斗”可盛米的總質量為( )
A. B. C. D.
3．已知圓錐的底面圓周在球O的球面上,頂點為球心O,圓錐的高為3,且圓錐的側面展開圖是一個半圓,則球O的表面積為( )
A. B. C. D.
4．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，則該四棱錐的體積為( )
A.1 B.2 C. D.
5．已知圓錐的側面展開圖是半徑為3的半圓，則該圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
6．已知圓錐的母線長為2，軸截面面積為，則圓錐的側面積為( )
A. B.或 C. D.或
7．如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內裝有純凈水，，，圖1中水面高度恰好為棱臺高度的，圖2中水面高度為棱臺高度的，若圖1和圖2中純凈水的體積分別為，，則( )
A. B. C. D.
8．已知棱長為2的正方體的頂點都在球面上,則該球的表面積為( )
A. B. C. D.
二、多項選擇題
9．已知正方體的棱長為1,P,Q分別為棱,上的動點,則( )
A.四面體的體積為定值 B.四面體的體積為定值
C.四面體的體積最大值為 D.四面體的體積最大值為
10．以長為4cm,寬為3cm的矩形的一邊為旋轉軸旋轉而成的圓柱的表面積可以為( )
A. B. C. D.
11．如圖，四邊形為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則( )
A. B. C. D.
三、填空題
12．底面半徑為2的圓柱的側面積是圓柱表面積的,則該圓柱的高為________
13．在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為________.
14．某封閉的圓錐容器的軸截面為等邊三角形,高為6.一個半徑為1的小球在該容器內自由運動,則小球能接觸到的圓錐容器內壁的最大面積為________.
15．在正四棱臺中,,,,則該棱臺的體積為____________.
四、解答題
16．一個正方體，如果它的每條棱都增加，則它的體積擴大為原來的8倍，求這個正方體的棱長.
17．正方體的棱長擴大到原來的2倍，其表面積擴大到原來的幾倍？
18．已知正四棱臺上底面邊長為，側棱和下底面邊長都是，求它的全面積.
19．（例題）已知四棱臺上、下底面面積分別為，，而且高為h，求這個棱臺的體積.
20．如圖，將正四棱柱底面的邊3等分，過3等分點用平行于側棱的平面截去4個三棱柱，得到一個八棱柱.求這個八棱柱與原四棱柱體積之比.
參考答案
1．答案：A
解析：由題可知圓錐的底面半徑，母線長，
高，
圓錐的體積為.
故選：A.
2．答案：D
解析：設線段、、、的中點分別為、、、，如下圖所示：
易知四邊形為等腰梯形，因為線段、的中點分別為、，
則，
設棱臺的高為h，體積為，
則棱臺的高為，設其體積為V，
則，則，
所以，，所以，該“方斗”可盛米的總質量為.
故選：D.
3．答案：C
解析：依題意圓錐高,設圓錐的底面半徑,母線為,圓錐的外接球的半徑為,
因為圓錐的側面展開圖是一個半圓,則,解得,
可知,
所以圓錐的外接球球的表面積.
故選:C.
4．答案：B
解析：如圖：取，的中點E，F，連接，，
則，且，
平面，
故平面，
平面，故平面平面，
平面平面，
過P作的垂線，垂足為O，
即,平面，
故平面，
由題意可知，
，
由余弦定理可得，
,
故，
所以四棱錐的高為1，則四棱錐的體積為
故選：B
5．答案：C
解析：設圓錐底面圓的半徑為r，高為h，母線長為l，
則，，所以，所以，
所以該圓錐的體積為.
故選：C
6．答案：B
解析：設圓錐的底面半徑為r，高為h，
則，且，
解得或，
所以圓錐的側面積為或，
故選B.
7．答案：D
解析：設四棱臺的高度為h，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為5，
在圖2中，中間液面四邊形的邊長為6，
則，
，
所以.
故選：D.
8．答案：D
解析：設該球的半徑為R,由題意可知,該球的直徑為棱長為2的正方體的體對角線,
則,所以,
則該球的表面積,
故選：D.
9．答案：BCD
解析：A：因為的面積為,Q到平面的距離不是定值,
所以四面體的體積不是定值,故A錯誤;
B：因為的面積為,P到矩形的距離為定值,
所以P到平面的距離為,則四面體的體積為,故B正確;
C：當Q與重合時,取得最大值,為,
當P與重合時,P到平面的距離d取得最大值,
在正中,其外接圓的半徑為,則,
故四面體的體積最大值為,故C正確;
D：過點Q作,,,
設,,則t,,
,,,,
故四面體的體積為,其最大值為,故D正確.
故選：BCD.
10．答案：CD
解析：當圓柱底面半徑為4cm,高為3cm時,表面積;
當圓柱底面半徑為3cm,高為4cm時,表面積.
故選:CD
11．答案：CD
解析：
設，因為平面，，
則，
，
連接交于點M，連接，，易得，
又平面，平面，則，又，平面，則平面，
又，過F作于G，易得四邊形為矩形，則，，
則，，
，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.
故選：CD.
12．答案：2
解析：設圓柱的母線為l,底面半徑為r=2,高為h,
因為底面半徑為2的圓柱的側面積是圓柱表面積的,
所以,解得,即,
故答案為:2
13．答案：/
解析：如圖，過作，垂足為M，
易知為四棱臺的高，
因為，，，
則，，
故，則，
所以所求體積為.
故答案為：.
14．答案：
解析：
由軸截面為等邊三角形的高為6,易得圓錐的母線長與底面圓的直徑均為.
小球的半徑為1,在圓錐內壁側面,小球接觸到的區域展開后是一個扇環,
可知扇環的半徑為,,扇環所在扇形的圓心角為,
所以扇環其面積為;
在圓錐底面,小球接觸到的區域是一個圓,其半徑為其面積為.
綜上,圓錐內壁上小球能接觸到的區域面積為.
故答案為:
15．答案：
解析：如圖所示,連接,,過點,作,,垂足分別為E,F,
因為,,,可得,,所以,
在,
在直角中,由,,可得,
即正四棱臺的高為,
又由正四棱臺上、下底面面積分別為,,
所以正四棱臺的體積為：.
故答案為：.
16．答案：
解析：設它的棱長為，由題意得，
解得，即它的棱長為.
17．答案：4部
解析：若正方體的棱長為a，其表面積為，將正方體的棱長擴大到原來的2倍，其棱長為2a，表面積為.
因此，正方體的棱長擴大到原來的2倍，其表面積擴大到原來的4倍.
18．答案：
解析：.
19．答案：
解析：如圖所示，將四棱臺看成從棱錐中截去棱錐所得到的，且設兩個棱錐的高分別為PO與.
由已知有，
再由，因此可得，.
從而可知棱臺的體積為
.
20．答案：
解析：設正四棱柱的底面邊長為3a，高為h，
則，
八棱柱的底面積為，
所以，所以八棱柱與原四棱柱的體積之比為.

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