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4.4 平面與平面的位置關系 同步課時作業
一、選擇題
1．如圖所示,在四棱錐中,底面,且底面為菱形,M是上的一個動點,若要使得平面平面,則應補充的一個條件可以是( )
A. B. C. D.M是棱的中點
2．已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列條件不能推出的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3．已知平面，和直線m，n，若，，則“，”是“”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4．已知平面平面，過平面內的一條直線a的平面，與平面相交，交線為直線b，則a、b的位置關系是( )
A.平行 B.相交 C.異面 D.不確定
5．如果平面平面，直線，直線，那么a與b的位置關系一定是( )
A.平行 B.異面 C.垂直 D.不相交
6．如圖，在四面體中，若，，E是AC的中點，則下列結論正確的是( )
A.平面平面ABD
B.平面平面BDC
C.平面平面BDE，且平面平面BDE
D.平面平面ADC，且平面平面BDE
7．如圖，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PD，AC，BD，則下列垂直關系正確的是( )
①平面平面PAD；
②平面平面PBC；
③平面平面PCD；
④平面平面PAC.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
8．在四棱錐中，已知底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結論中錯誤的是( )
A.平面平面PAD B.平面平面PBC
C.平面平面PCD D.平面平面PAD
二、多項選擇題
9．如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD，且底面ABCD為菱形，M是PC上的一個動點，若要使得平面平面PCD，則應補充的一個條件可以是( )
A. B. C. D.
10．在四棱錐中，已知底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結論中正確的是( )
A.平面平面PAD B.平面平面PBC
C.平面平面PCD D.平面平面PAD
11．若，，表示不同的平面，l表示直線，則下列條件能得出的是( )
A.內存在一條直線垂直于平面 B.，
C.， D.，
三、填空題
12．已知平面和直線a，b，c，且，，，，則與的位置關系是_________.
13．已知在四棱錐中，平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足___________時，平面平面PCD.
14．已知中，，P為平面ABC外一點，且，則平面PBC與平面ABC的位置關系是_________.
15．已知矩形ABCD所在的平面，則圖中相互垂直的平面有_____對.
四、解答題
16．長方體任意兩個相鄰的面是否一定垂直？
17．判斷下列命題的真假.
（1）過平面外一點只可作一個平面與已知平面垂直；
（2）已知，，都是平面，則，時，.
18．（例題）如圖（1）所示，已知中，，是斜邊BC上的高.如圖（2）所示，以AD為折痕將折起，使為直角.在圖（2）中，求證：
（1）平面平面BDC，平面平面BDC；
（2）.
19．如圖，檢查工件相鄰的兩個面是否垂直時，只要將曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉動，觀察尺邊是否和面密合就可以了.為什么？如果不轉動可以檢查是否垂直嗎？
20．判斷下列命題的真假.
（1）過不在平面內的一條直線可以作無數個平面與已知平面垂直；
（2）已知，，，都是平面，則，，時，.
參考答案
1．答案：B
解析：因為四邊形是菱形,,又平面,,
又,平面,即有,故要使平面平面,只需或.
故選：B
2．答案：C
解析：對A，，則，又故，正確；
對B，，則，又故，正確；
對C，平面，的關系無法確定，C錯誤；
對D，，則或，又，故，D正確；
故選：C.
3．答案：B
解析：由題意可知：
當，時，與可能平行，也可能相交，故充分性不成立;
當時，，成立，故必要性成立：
所以“，”是“”的必要不充分條件，
故選：B
4．答案：A
解析：由面面平行的性質定理可知選項A正確，故選A.
5．答案：D
解析：由題知平面平面，直線，直線，則a與b的位置關系是平行或異面，即兩直線不相交，故選D.
6．答案：C
解析：因為，且E是AC的中點，所以，同理有，于是平面BDE.因為AC在平面ABC內，所以平面平面BDE.又由于平面ACD，所以平面平面BDE.故選C.
7．答案：A
解析：平面，平面，.又正方形ABCD中，，，平面PAB，平面，平面平面PBC，②正確.
同理平面，平面PAD，
平面平面PAB，①正確.
設平面平面，，平面，平面，平面，.又易得平面PAD，平面PAD，P為垂足，為二面角的平面角，若平面平面PCD，則，在中不可能存在，③錯誤.
，，為二面角的平面角，若平面平面PAC，則，在中不可能存在，④錯誤.故選A.
8．答案：C
解析：已知底面，底面ABCD，可得，.
又底面ABCD為矩形，，.
而，，
平面，平面PAD.
平面，平面PCD，
平面平面PAB，平面平面PAD.
又，平面PAB.
平面，平面平面PAB，故選C.
9．答案：BD
解析：連接AC.因為底面ABCD，底面ABCD為菱形，所以，，又，所以平面PAC，所以.所以當或時，有平面MBD.又平面PCD，所以平面平面PCD.故選BD.
10．答案：ABD
解析：對于A，由已知底面ABCD，且底面ABCD為矩形，，，且，，平面，平面PAD.又平面，平面平面，正確；對于B，由已知底面ABCD，且底面ABCD為矩形，，，且，，平面，平面PAB.又由平面，平面平面，正確；
對于C，假設平面平面PCD，如圖所示，過點B作于點E，可得平面，平面，.又由，且，平面PBC，可得，這與矛盾，平面PBC與平面PCD不垂直，C不正確；
對于D，由已知底面ABCD，且底面ABCD為矩形，，，且，，平面，平面PAD.又由平面，平面平面，正確.故選ABD.
11．答案：ABC
解析：，，則與可能平行可能垂直，也可能只相交不垂直，不能得出，D選項不正確，其他選項均能得出.故選ABC.
12．答案：平行或相交
解析：b，，，，若，滿足要求；
若與相交，交線為l，，，滿足要求；
故答案為平行或相交.
13．答案：(或)
解析：，，易知，當時，，又，平面MBD，又平面PCD，平面平面PCD.
14．答案：平面平面ABC
解析：因為，所以P在所在平面上的射影必落在的外心上，
又的外心為BC的中點，設為O，則平面ABC，
又平面PBC，所以平面平面ABC.
15．答案：5
解析：因為矩形ABCD所在的平面且平面平面PDC.
所以平面平面ABCD，平面平面ABCD，
又因為四邊形ABCD為矩形，所以.
因為矩形ABCD所在的平面，所以.
因為，
所以平面平面PDC.
因為平面平面PBC，
所以平面平面PAD，平面平面PCD，
又，所以平面PAD，
又平面PAB，所以平面平面PAD.
綜上相互垂直的平面有5對.
16．答案：一定垂直
解析：作出長方體如圖：
長方體同一頂點出發的三條棱兩兩垂直，
例如：，，且，
所以平面ABCD，
又平面，所以平面平面ABCD，
同理平面平面ABCD，
同理可證出任意兩個相鄰的面一定垂直.
17．答案：（1）假命題
（2）假命題
解析：（1）過平面外一點只可作一個平面與已知平面垂直，故為假命題，
可作無數個平面與已知平面垂直.
（2）長方體的一個側面與上下底面垂直，但上下底面平行，故為假命題.
18．答案：（1）證明見解析
（2）證明見解析
解析：（1）證明：由已知有，，
因此在圖（2）中，有平面BDC.
又因為平面ABD，所以平面平面BDC.
同理，平面平面BDC.
（2）因為，所以在圖（1）中，有.
從而.
因此圖（2）中是等腰直角三角形，
所以
從而，所以.
19．答案：見解析
解析：轉動一邊，可以得到與另一邊都垂直的相交直線，根據直線與平面垂直的判定定理和平面與平面垂直的判定定理可知，工件相鄰的兩個面垂直.
如果不轉動，緊靠在工件的曲尺的一邊未必垂直于平面，那么相鄰的兩個平面就未必垂直.
20．答案：（1）假命題
（2）真命題
解析：（1）當該直線與平面垂直的時候，過該直線可以做無數個平面與已知平面垂直；
當該直線與已知平面不垂直的時候，過該直線只有唯一的平面與已知的平面垂直，故命題為假命題；
（2），可以得到，又，所以，故命題為真命題.

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