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4.3 直線與直線、直線與平面的位置關系 同步課時作業
一、選擇題
1．如圖,在正方體中,P,M,N分別為,,的中點,則與平面垂直的直線可以是( )
A. B. C. D.
2．設，是兩個不同的平面，m，l是兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是( )
A.若，，則
B.若，，則
C.若，，則
D.若，，則
3．若m，n為兩條直線，為一個平面，則下列結論中正確的是( )
A.若，，則 B.若，，則
C.若，，則 D.若，，則m與n相交
4．已知，為兩個不重合平面，l，m為兩條不同直線，則的充分條件是( )
A.， B.，
C.， D.，，
5．已知m是直線,,是兩個不同的平面,下列正確的命題是( )
A.若,,則 B.若,,則
C.若,,則 D.若,,則
6．如圖，是正四棱臺，則下列各組直線中屬于異面直線的是( ).
A.AB和 B.和 C.和 D.和AB
7．下列說法正確的是( )
A.若，，則直線
B.若，，則a與b必異面
C.若，，則直線AB與相交
D.若，，則
8．已知m,n表示兩條不同直線,表示平面,下列說法正確的是( )
A.若,,則 B.若,,則
C.若,,則 D.若,,則
二、多項選擇題
9．如圖，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則直線與平面平行的是( )
A.
B.
C.
D.
10．設m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列命題正確的是( )
A.若，，則
B.若，，則.
C.若，，則
D.若，，則.
11．若、是兩個不同的平面,m、n是兩條不同的直線,則下列命題中正確的是( )
A.若,,則 B.若,,,則
C.若,,則 D.若,,,則
三、填空題
12．如圖，在長方體中，
（1）與AB平行的平面是___________；
（2）與平行的平面是___________；
（3）與AD平行的平面是___________.
13．在棱長為1的正方體中,M,N分別為線段和上的動點,且,則MN的最小值為__________.
14．某地區牛患某種病的概率為0.25，且每頭牛患病與否是互不影響的，今研制一種新的預防藥，任選12頭牛做試驗，結果這12頭牛服用這種藥后均未患病，則此藥__________（填“有效”或“無效”）.
15．刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內容,用“曲率”刻畫空間彎曲性,規定:多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角,角度用弧度制）.例如,正四面體的每個頂點有3個面角,每個面角為,所以正四面體在各頂點的曲率為.在底面為矩形的四棱錐中,底面ABCD,,PC與底面ABCD所成的角為,在四棱錐中,頂點B的曲率為______.
四、解答題
16．如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，M為OA的中點，N為BC的中點.求證：直線平面OCD.
17．如圖所示的一塊木料中，平面，P為平面內一點，現要用經過P和棱BC的一個平面將木料鋸開，該如何畫線？
18．如圖所示四面體中，E，F分別是AD，BC的中點，若，，，求證：平面ACD.
19．判斷下列命題的真假.
（1），；
（2），；
（3），，；
（4），，.
20．在長方體的各面中，分別寫出與下列直線垂直的平面.
（1）；
（2）AB；
（3）.
參考答案
1．答案：D
解析：連接,,,,如下圖所示：
因為P,M,N分別為,,的中點,故,,
又面,面,故面;
又面,面,故面;
又,,面,故面面;
則垂直于平面的直線一定垂直于面;
顯然面,面,故,
又,,,面,
故面,又面,故;
同理可得,又,,面,
故面,也即面;
若其它選項的直線垂直于平面,則要與平行,顯然都不平行.
故選：D.
2．答案：D
解析：對于A，如圖，，，但直線m，l平行，A錯誤；
對于B，如圖，，，但是平面，不平行，B錯誤；
對于C：如圖，，，但是，C錯誤；
對于D，如圖，，，
過直線l作平面，滿足條件，
因為，，，所以，
過直線l作平面，滿足條件，
因為，，，所以，
所以，又，，
所以，又，
所以，又，
所以，D正確；
故選：D.
3．答案：C
解析：對于A，B，若，，則m與n可能平行、相交或異面，故A，B錯誤；對于C，D，若，，則，且m與n可能相交，也可能異面，故C正確，D錯誤.故選C.
4．答案：B
解析：對于A，若，，
則或，故A中條件不是充分條件，故A錯誤；
對于B，若，，由面面平行的定義可得，
故B中條件是的充分條件，故B正確；
對于C，若，，則或，C中條件不是充分條件，故C錯誤；
對于D，，，，則或，D中條件不是充分條件，
故D錯誤；
故選：B.
5．答案：D
解析：選項A：根據給定條件有 或;
選項B：根據給定條件有 或;
選項C：根據給定條件有m與的位置可能平行、相交或m在內;
選項D：因為,所以存在直線使得,
又因為,所以,因為,所以.
故選：D.
6．答案：D
解析：因為是正四棱臺，所以，故A錯誤；
側棱延長交于一點，所以與相交，故B錯誤；
同理與也相交，所以B，，，D四點共面，所以與相交，故C錯誤；
與是異面直線，故D正確.
故選：D
7．答案：C
解析：
8．答案：B
解析：線面垂直,則有該直線和平面內所有的直線都垂直,故B正確.
9．答案：BCD
解析：對A：如圖：
連接，交于點E，連接，則，平面，
且直線與直線不平行，所以直線與平面相交，故A錯誤；
對B：如圖：
因為，平面，
平面，所以平面，故B正確；
對C：如圖：
取中點F，易證M，N，Q，F四點共面，
且，平面，
平面，所以平面，故C正確；
對D：如圖：
連接，則，
平面，平面，
所以平面，故D正確.
故選：BCD
10．答案：AC
解析：對于A：因為，
可知在平面內存在直線l，使得，如圖所示，
又因為，且，則，所以，因此A正確；
對于B：如圖所示：，，但，故B錯誤；
對于C：若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確
對于D：，，如圖所示，，故D錯誤
故選：AC.
11．答案：ABC
解析：對于A選項,如下圖所示：
過直線n作平面,使得,
因為,,,則,
因為,,則,因為,故,A對;
對于B選項,因為,,則,
又因為,所以,B對;
對于C選項,因為,,由面面平行的性質可得,C對;
對于D選項,如下圖所示：
以直線為直線m,平面為平面,取直線為直線n,
(1)因為平面,若平面為平面,此時,;
(2)因為平面,若平面為平面,此時,;
(3)因為平面,若平面為平面,此時,、斜交.
綜上所述,、平行或相交（不一定垂直）,D錯.
故選：ABC.
12．答案：（1）平面，平面
（2）平面，平面
（3）平面，平面
解析：（1）由于，平面，平面，
所以平面.同理證得平面.
（2）由于，平面，平面，
所以平面.同理證得平面.
（3）由于，平面，平面，
所以平面.同理證得平面.
故答案為：（1）平面，平面；（2）平面，平面；（3）平面，平面.
13．答案：
解析：設,則,其中,
作,,連接MF,NE,如圖所示,
易得,,,
由得,由得,
,,,
又,,
當時,MN取最小值
14．答案：有效
解析：若此藥無效，則12頭牛都不患病的概率為，這個概率很小，
故該事件基本上不會發生，所以此藥有效.
故答案為：有效.
15．答案：
解析：如圖,連接AC,因為底面ABCD,
所以為PC與底面ABCD所成的角,則,所以.又,在矩形ABCD中,,則,所以.因為底面ABCD,所以,又,,所以平面PAB,所以,所以頂點B的曲率為.
16．答案：證明見解析
解析：證明：如圖，取OD的中點E，連接CE，ME.
易知，，
所以四邊形MECN為平行四邊形，
所以，
又平面，平面OCD，
所以直線平面OCD.
17．答案：見解析
解析：平面，平面，平面平面，.
如圖，過平面上一點P作，
，，，
因為EF、BC在平面BCFE內，所以連接BE和CF，則BE、CF、EF就是所要畫的線.
18．答案：證明見解析
解析：證明：如圖，取DC的中點G，連接EG，FG，
則，，
，.
，，
.
又，平面，平面，，
平面.
19．答案：（1）真命題
（2）真命題
（3）真命題
（4）真命題
解析：（1），，
根據兩條平行線中的一條直線垂直一個平面，另一條直線也垂直這個平面，
，
故，是真命題.
（2），，
根據垂直同一個平面兩條直線平行，
，
故，是真命題.
（3），，，
根據如果兩個平面平行，一條直線垂直其中的一個平面，也垂直另一個平面，
即，又，
.
（4），，
根據兩條平行線中的一條直線垂直一個平面，另一條直線也垂直這個平面，
，
，故，
故，，是真命題.
20．答案：（1）平面，平面ABCD
（2）平面，平面
（3）平面，平面
解析：

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