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第十八章 分式 單元測試
一、單選題
1．下列各分式運算結果正確的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
2．計算的結果是（　　）
A． B． C． D．
3．計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
4．A、B兩地相距80千米，一輛大汽車從 A地開出2小時后，又從A地開出另一輛小汽車，已知小汽車的速度是大汽車速度的3倍， 結果小汽車比大汽車早40分鐘到達B地，求兩種汽車每小時各走多少千米．設大汽車的速度為，則下面所列方程正確的是（ ）．
A． B． C． D．
5．使分式的值為正數的條件是（ ）
A． B． C． D．
6．下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．有一塊邊長為x米的正方形空地，計劃按如圖所示的方式去種植草皮（圖中陰影部分種植草皮）．方式一，在正方形空地上留兩條寬為2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一塊邊長為a米的小正方形空地種植樹木，現準備用5000元購進草皮．關于哪種方式種植草皮的單價高以及較高的單價是較低的單價的多少倍（　　）
A．用方式一比用方式二種植草皮的單價高，且較高的單價是較低的單價的倍
B．用方式一比用方式二種植草皮的單價高，且較高的單價是較低的單價的倍
C．用方式二比用方式一種植草皮的單價高，且較高的單價是較低的單價的倍
D．用方式二比用方式一種植草皮的單價高，且較高的單價是較低的單價的倍
8．關于的方程的解是負數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．，且 D．，且
9．關于x的方程無解，則a的值為（ ）
A．1 B．3 C．1或 D．1或3
10．如圖，在數軸上表示的值的點是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
11．關于x的分式方程的解為，則常數a的值為（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．5
12．一支部隊排成a米長隊行軍，在隊尾的戰士要與最前面的團長聯系，他用t1分鐘追上了團長、為了回到隊尾，他在追上團長的地方等待了t2分鐘．如果他從最前頭跑步回到隊尾，那么他需要的時間是（　　　）
A．分鐘 B．分鐘
C．分鐘 D．分鐘
二、填空題
13．填空：
（1）；
（2）．
14．分式變形中的整式 ．
15．若關于的方程有增根，則的值為 ．
16．在實數范圍內，若，則 ．
三、解答題
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．先化簡，再求值：（﹣a﹣1）÷，其中a＝﹣2．
19．（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．以下是小明同學解方程的過程
解：方程兩邊同時乘，得
第一步
解得：第二步
檢驗：當時，第三步
所以是原方程的根第四步
（1）小明的解法從第______步開始出現錯誤．
（2）寫出正確的解方程的過程．
《第十七章 因式分解 單元測試》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D C A D D C
題號 11 12
答案 A C
1．C
【分析】根據分式乘除法則逐一計算判斷即可．
【詳解】解：①，計算正確；
②，計算正確；
③，計算錯誤；
④，計算錯誤；
故選C．
【點睛】本題考查了分式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
2．D
【分析】本題考查了分式的乘法運算，分式相乘的法則是：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，并將乘積化為既約分式或整式，作分式乘法時，也可先約分后計算．
【詳解】解：．
故選D．
3．B
【分析】根據分式的減法法則可直接進行求解．
【詳解】解：；
故選B．
【點睛】本題主要考查分式的減法運算，熟練掌握分式的減法運算是解題的關鍵．
4．B
【分析】本題考查了分式方程的應用；根據題意小汽車的速度為，根據時間等量關系：大汽車行駛的時間減去2小時等于小汽車行駛的時間加上小時，列出分式方程即可．
【詳解】解：由題意知，小汽車的速度為，且，
則有：；
故選：B．
5．D
【分析】根據題意可得，進而即可求解．
【詳解】解：∵分式的值為正數
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了分式的值，熟練掌握分式的性質是解題的關鍵．
6．C
【分析】根據同底數冪的乘法、冪的乘方、分式的乘方、合并同類項分別進行判斷即可．此題考查了同底數冪的乘法、冪的乘方、分式的乘方、合并同類項，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：A．，故選項錯誤，不符合題意；
B．，故選項錯誤，不符合題意；
C．，故選項正確，符合題意；
D．與不是同類項，不能進行合并和計算，故選項錯誤，不符合題意．
故選：C．
7．A
【分析】先求出每種方式草皮的面積，再5000元除以面積，即可得出答案；列出算式兩種草皮單價之比為：，再求出即可．
【詳解】解：方式一種植草皮每平方米的單價是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝（元）；
方式二種植草皮每平方米的單價是5000÷（x2﹣4a2）＝＝（元），
∵x+2a＞x﹣2a，
∴＞，
∴用方式一比用方式二種植草皮的單價高，
兩種草皮單價之比為：
＝
＝，
故選：A．
【點睛】本題考查了列代數式與分式的混合運算的應用，解此題的關鍵是能關鍵題意列出算式，熟練進行計算．
8．D
【分析】先解關于x的分式方程，求得x的值，然后再依據“解是負數”建立不等式求a的取值范圍即可．
【詳解】解：去分母，得，
解得，
∵方程的解是負數，
∴，且，
∴，且．
故選：D．
【點睛】本題考查分式方程的解，解題關鍵是要掌握分式方程的解的定義，使方程成立的未知數的值叫做方程的解．
9．D
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，再分整式方程無解和整式方程的解是分式方程的增根兩種情況進行討論，即可得出答案．
【詳解】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
當a 1＝0，即a＝1時，此時整式方程無解，分式方程無解；
當a 1≠0，即a≠1時，由得x＝，
若此時分式方程無解，則分式方程有增根，即，增根為x＝2，
∴，
解得：a＝3，
∴關于x的方程無解時，則a的值為1或3，
故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程無解問題，理解分式方程無解有整式方程無解和整式方程的解是分式方程的增根兩種情況是解決問題的關鍵．
10．C
【分析】先進行分式化簡，再確定在數軸上表示的數即可．
【詳解】解：
，
，
，
，
=1，
在數軸是對應的點是M，
故選：C．
【點睛】本題考查了分式化簡和數軸上表示的數，熟練運用分式計算法則進行化簡是解題關鍵．
11．A
【分析】把分式方程轉化為整式方程，再將x=2代入求解可得．
【詳解】解：
方程兩邊都乘以x（x-a），得：3x=2（x-a），
將x=2代入，得：6=2（2-a），
解得a=-1，
故選：A．
【點睛】本題主要考查分式方程的解，解題的關鍵是掌握分式方程的解的概念．
12．C
【分析】根據題意得到隊伍的速度為，隊尾戰士的速度為，可以得到他從最前頭跑步回到隊尾，那么他需要的時間是，化簡即可求解
【詳解】解：由題意得：分鐘．
故選：C
【點睛】本題考查了根據題意列分式計算，理解題意正確列出分式是解題關鍵．
13．（1）；（2）
【分析】根據分式的基本性質，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不，從而求出答案．
【詳解】解：（1）；
（2）．
故答案為：（1）；（2）．
【點睛】本題考查了分式的基本性質，一定要熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵，是一道基礎題．
14．/
【分析】依據，即可得到分式變形中的整式．
【詳解】解：，
分式變形中的整式．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了分式的基本性質，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．
15．6
【分析】首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據分式方程有增根，得到，據此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【詳解】方程兩邊都乘以，得，即，
∵方程有增根，
∴，解得，
∴是整式方程的根，
∴，即，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了分式方程的增根，正確理解分式方程增根的含義是解題的關鍵．
16．1
【分析】本題主要考查了算術平方根非負的性質、分式有意義的條件、代數式求值等知識，確定的值是解題關鍵．首先根據算術平方根非負的性質以及分式有意義的條件確定的值，然后代入求值即可．
【詳解】解：根據題意，可得，
解得，
根據分式有意義的條件，可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：1．
17．（1）；（2）無解．
【分析】（1）先去分母、去括號，然后移項合并，系數化為1，再進行檢驗，即可得到答案；
（2）先去分母、去括號，然后移項合并，系數化為1，再進行檢驗，即可得到答案．
【詳解】解：（1），
方程兩邊同時乘以，得，
去括號，得，
移項合并，得，
系數化為1，得；
檢驗：把代入中，；
∴原分式方程的解為；
（2），
方程兩邊同時乘以，得，
去括號，得，
移項合并，得，
系數化為1，得；
檢驗：把代入中，；
∴原分式方程無解．
【點睛】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是掌握解分式方程的方法，注意解分式方程需要檢驗．
18．；
【分析】先去括號，然后再進行分式的除法運算，進而代入求解即可．
【詳解】解：原式=；
把a＝﹣2代入得：原式=．
【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算是解題的關鍵．
19．（1）無解；（2）無解；（3）；（4）
【分析】（1）方程兩邊同時乘以，變形為整式方程后解整式方程即可求得x的值，最后再將x的值代入中檢驗即可；
（2）方程兩邊同時乘以，變形為整式方程后解整式方程即可求得x的值，最后再將x的值代入中檢驗即可；
（3）方程兩邊同時乘以，變形為整式方程后解整式方程即可求得x的值，最后再將x的值代入中檢驗即可；
（4）方程兩邊同時乘以，變形為整式方程后解整式方程即可求得x的值，最后再將x的值代入中檢驗即可．
【詳解】解：（1）方程兩邊同時乘以，得：
，
去括號，得：，
移項合并同類項，得：，
系數化為1，得：，
檢驗：當時，，
∴是原方程的增根，
∴原方程無解；
（2）方程兩邊同時乘以，得：
，
去括號，得：，
移項合并同類項，得：，
系數化為1，得：，
檢驗：當時，，
∴是原方程的增根，
∴原方程無解；
（3）方程兩邊同時乘以，得：
，
去括號，得：，
移項合并同類項，得：，
系數化為1，得：，
檢驗：當時，，
∴是原方程的解；
（4）方程兩邊同時乘以，得：
，
去括號，得：，
移項合并同類項，得：，
檢驗：當時，，
∴是原方程的解．
【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解決本題的關鍵．
20．（1）一；（2）見解析
【分析】（1）逐步檢查即可找到錯誤的地方．
（2）按照解分式方程的方法解答即可
【詳解】（1）第一步出現錯誤，方程右邊的項-3漏乘了最簡公分母；
故答案為：一
（2）去分母得：
解得：
經檢驗是分式方程的解．
【點睛】本題考查了解分式方程，注意：方程兩邊乘最簡公分母時，不要漏乘不含分母的項．

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