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2025年內蒙古呼和浩特市中考數學試卷（三）
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.的相反數是( )
A. B. C. D.
2.汽車燈的剖面示意圖如圖所示，從位于點的燈泡發出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數為( )
A.
B.
C.
D.
3.下列運算正確的是( )
A. B.
C. D.
4.如圖，是由個完全相同的小正方體組成的幾何體．則下列個平面圖形中，不是這個幾何體的三視圖的是( )
A. B. C. D.
5.我國古代數學著作張丘建算經中著名的“百雞問題”敘述如下：“雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一；百錢買百雞，則翁、母、雛各幾何？”意思是公雞五錢一只，母雞三錢一只，小雞一錢三只，要用一百錢買一百只雞，問公雞、母雞、小雞各多少只？若現已知母雞買只，設公雞買只，小雞買只，則可列方程組為( )
A. B.
C. D.
6.在一扇形統計圖中，有一扇形的面積占整個圓面積的，則這個扇形的圓心角為( )
A. B. C. D.
7.下列語句中，一定正確的是( )
過三點有且只有一個圓；平分弦的直徑垂直于弦；三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等；同弧或等弧所對的圓周角相等；圓內接平行四邊形是矩形．
A. B. C. D.
8.在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象不可能是( )
A. B. C. D.
9.如圖，在矩形中，，，點在上，把沿折疊，點恰好落在邊上的點處，則的值為( )
A.
B.
C.
D.
10.如圖，，為的中點，交于點，連接，則的度數是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.年春節假期，國內旅游出游共計人次，同比增長，將用科學記數法表示為______．
12.如圖是兩個各自分割均勻的轉盤，同時轉動兩個轉盤，轉盤停止時，兩針所指區域的數字和為偶數的概率是______．
13.如圖，從一塊字徑為的圓形紙片上剪出一個圓心角是的扇形，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面半徑是______．
14.已知關于的方程的解為正數，則實數的取值范圍是______．
15.張明與李強共同清點一批圖書，已知張明清點完本圖書所用的時間與李強清點完本圖書所用的時間相同，且李強平均每分鐘比張明多清點本，則張明平均每分鐘清點圖書的數量______本．
16.如圖，正方形的對角線、相交于點，等邊繞點旋轉，在旋轉過程中，當時，的度數為______．
三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
計算：；
解不等式組：，并寫出它的所有整數解．
18.本小題分
如圖，在 中，，分別是和的中點，連接和，過點作交的延長線于．
求證：四邊形是平行四邊形；
當點是中點時，求證：四邊形是菱形．
19.本小題分
某中學舉辦七、八年級全體學生的安全知識比賽活動后，從這兩個年級分別隨機抽取名學生的比賽成績百分制進行整理、描述和分析成績得分用表示，共分成四組：；；；現有下列信息：七年級名學生的比賽成績是：，，，，，，，，，；八年級名學生的比賽成績在組中的數據是：，，．
七、八年級抽取的學生比賽成績統計表
平均數 中位數 眾數 滿分率
七年級
八年級
______； ______； ______；根據以上信息，解答下列問題：
根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生體育技能水平更好？請說明一條理由；
該校七年級有人，八年級有人參加了此次比賽，請估計參加此次比賽獲得成績優秀的學生人數是多少？
20.本小題分
如圖，港在港的正北方向海里處，港在港的正東方向海里處，港，港在港的正東方向，且港在港北偏東方向，港在港的東北方向參考數據：，
求，兩港之間的距離結果保留小數點后一位；
甲、乙兩艘貨輪同時從港出發，分別向，兩港運送物資，最后到達港裝運新的物資若甲、乙兩艘貨輪的速度相同?？浚瑑筛鄣臅r間相同，哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．
21.本小題分
某服裝店店慶當天，將一款恤在標價的基礎上降價元，再打九折銷售小天媽媽在店慶當天購買了這款恤，實付款比標價便宜了元，求這款恤的標價．
22.本小題分
下面是小剛同學的一則日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務．
年月日星期日
利用一次函數知識解決化學問題
今天我看到一則化學實驗材料：
如圖，在一支的試管中充滿了和的混合氣體，將其倒立在盛有足量水的燒杯中，這里會發生化學反應．
當和的體積比為：時，和恰好完全反應，如果反應后仍有剩余，則會和水繼續發生化學反應．
化學反應中參與反應的與生成的的體積比為：．
根據以上材料，我有如下思考：化學反應結束后試管中剩余氣體的體積與化學反應前試管中混合氣體中的體積存在怎樣的關系？經過分析，我可以建立一次函數模型解決這個問題
設原混合氣體中的體積為，的體積為，完全反應后試管內剩余氣體的體積為．
情況一：由反應可知，當和的體積比為：時，和恰好完全反應，此時，．
情況二：當時，由反應可知全部參加反應，過量，參加反應的的體積為剩余的體積為，因為不溶于水，故完全反應后試管內刺余氣體的體積，即．
在平面直角坐標系中畫出當時的函數圖象如圖所示．
情況三：當時，由反應可知全部參與反應，過量，參與反應的的體積為，剩余的和水發生反應，產生不溶于水的氣體．
任務：在利用一次函數知識解決以上化學問題的過程中，主要運用的數學思想是______從下面選項中選出兩個即可；
A.建模思想統計思想分類討論思想公理化思想；
根據材料中的內容，求出當時，與的函數關系式，并在圖的平面直角坐標系中畫出該函數圖象；
當完全反應后試管內剩余氣體的體積為時，求原混合氣體中的體積．
23.本小題分
【概念認識】已知圓的兩條互相垂直的對稱軸、，我們把三個頂點分別在圓、、上的等腰直角三角形叫作這個圓的”友好三角形”如圖、圖，都是的“友好三角形”．
【數學理解】若都是的“友好三角形”，且直角頂點在上，的半徑為．
上滿足條件的直角頂點的個數是______個；
的面積的最小值為______；
若與的一邊相切，請直接寫出相切的不同情況及對應的的面積；
【深入研究】若都是的“友好三角形”，且直角頂點在或上的半徑為．
的面積的最小值為______，最大值為______．
24.本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于點，
求該拋物線的解析式；
點在線段上，點不與點重合，點在軸的正半軸上，，，設的面積為，求的最大值；
直線與一次函數相交于點，以線段為邊向直線下方作正方形當點在拋物線內部時，直接寫出的取值范圍．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反數是．
故選：．
2.【答案】
【解析】解：過點向左作射線，使，則，
，，
即．
故選：．
3.【答案】
【解析】A.；．與不是同類項，無法合并；故選D．
4.【答案】
【解析】選項的平面圖形是左視圖，選項的平面圖形是主視圖，選項的平面圖形是俯視圖，
只有選項的平面圖形不是該幾何體的三視圖．
故選B．
5.【答案】
【解析】解：共買了只雞，
；
公雞五錢一只，母雞三錢一只，小雞一錢三只，且共花費錢，
．
根據題意得可列方程組．
故選：．
6.【答案】
【解析】解：，
故選：．
7.【答案】
【解析】解：過不在同一直線上的三點有且只有一個圓，所以錯誤；
平分弦非直徑的直徑垂直于弦，所以錯誤；
三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，所以正確；
同弧或等弧所對的圓周角相等，所以正確；
圓內接平行四邊形的對角相等且互補，此時四邊形是矩形，所以正確．
故選：．
8.【答案】
【解析】解：當時，函數的圖象經過第一、三象限且過原點，的圖象經過第一、三、四象限，
當時，函數的圖象經過第一、三象限且過原點，的圖象經過第一、二、三象限；
當時，函數的圖象經過第二、四象限且過原點，的圖象經過第一、二、三象限，
由上可得，選項C不可能；
故選：．
9.【答案】
【解析】解：，，
由題意可得：，，
，
，
設，則，
，
，
解得，
，
，
，
故選：．
10.【答案】
【解析】解：如圖，連接，
為的中點，，
，
，
，
，
，
，
故選：．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案為：．
12.【答案】
【解析】解：畫樹狀圖得：
共有種等可能的結果，兩針所指區域的數字和為偶數的有種情況，
兩針所指區域的數字和為偶數的概率是：．
故答案為：．
13.【答案】
【解析】解：連接，如圖，
，
為的直徑，即，
，
設該圓錐的底面圓的半徑為，
根據題意得，
解得，
即該圓錐的底面圓的半徑為
故答案為：．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
方程的解是正數，
，
，
故答案為：．
15.【答案】
【解析】解：由題意列方程得，
解得，
經檢驗是方程的解．
故答案為：．
16.【答案】或
【解析】如圖，當在點右側時，
是等邊三角形，
，，
四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
如圖，當在點左側時，
同理≌，
，
，
，
綜上：或．
17.【答案】 ；，．
【解析】
解得：；
解得：；
則不等式組的解集為，
這個不等式組的整數解為，．
18.【答案】解：證明：四邊形是平行四邊形
且，
，分別是和的中點
，
，
又，
四邊形是平行四邊形；
連接，
四邊形是平行四邊形，
且，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
，
又是中點
，
由得：四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形．
19.【解析】由題意得，，即；
把八年級名學生的比賽成績從小到大排列，排在中間的兩個數分別是，，故中位數；
七年級名學生的比賽成績中，出現的次數最多，故眾數．
故答案為：；；；
八年級學生體育技能水平更好，理由如下：
因為兩個年級的平均數相同，但八年級中位數和滿分率比七年級高，所以八年級學生體育技能水平更好；
樣本中七年級成績優秀占比：，
樣本中八年級成績優秀占比：，
人．
答：估計此次比賽獲得成績優秀的學生人數大約為人．
20.【答案】，兩港之間的距離為海里；
乙貨輪先到達港．
【解析】過點作，交的延長線于點，
根據題意，四邊形為矩形，
海里，
海里，
在中，，，
海里，
答：，兩港之間的距離為海里；
甲船路線為：，
在中，，海里，
海里，海里，
在中，，
海里，
海里，
海里，
海里，
甲船行駛的總路程為海里，
乙船路線為：，
乙船行駛的總路程為海里，
甲、乙兩艘貨輪的速度相同?？?，兩港的時間相同，
乙貨輪先到達港．
21.【答案】這款恤的標價為元．
【解析】解：設恤的標價為元，
由題意列方程得，，
整理得，，
解得，
答：這款恤的標價為元．
22.【解析】解：運用一次函數解決問題屬于建模思想，利用樣本的特征來估計總體屬于統計思想，
故選：；
當時，進行的反應是，
反應消耗的，
剩下的氣體滿足
，
當時，與的函數關系式：；
函數圖象如圖所示：
當時，與的函數關系式：，
時，則，
當時，與的函數關系式：，
時，則，
答：原混合氣體中的體積為或．
23.【解析】解：如圖，
作于，作于，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
在和中
≌，
，
點是第一象限角平分線與圓的交點，
同理：二、三、四象限各有一個，
故答案為：；
，
當最小時，最小，
當時，，
，
故答案為：；
見答案；
解：如圖，
作于，連接，
同理可證：，則設
，，
，
，
設
則，
，
代入，得
整理可得：，
兩邊平方，得，
設，則上式變為，
整理可得：，
上述方程有解，
，
即，
，
解得：，
的最大值是，最小值是
，
故答案為：，．
24.【答案】解：對于，當時，得．
當時，，
，．
把，代入，得：，
解得，
二次函數的解析式為：．
過作軸于，過作軸于．
設．
．
軸，
在中，，
，
又，
．
．
，
，
．
，
．
，
開口向上，
，對稱軸為，
當時，有最大值為．
如圖，將直線向上、向下平移，分別得到點、，按題意構造正方形后，點落在拋物線上，過點作軸于點，過點作軸交延長線于點，
設，
，軸，
，
四邊形是正方形，
，
又軸，軸，
，，
，
解得，，舍去，
則，
，
，且，
，，
將代入得：，
解得，；
將代入，得：，
解得：，
所以，當點在拋物線內部時，的取值范圍是．
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