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(溫故知新)第6講 數學廣角—雞兔同籠問題(知識梳理 易錯點撥 真題培優拔尖卷)-2025年人教版數學四升五年級暑假銜接精講練過關講義(學生版 教師版)

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(溫故知新)第6講 數學廣角—雞兔同籠問題(知識梳理 易錯點撥 真題培優拔尖卷)-2025年人教版數學四升五年級暑假銜接精講練過關講義(學生版 教師版)

資源簡介

2025年人教版數學四升五年級暑假銜接培優精講練過關講義
(知識梳理+易錯點撥+真題培優拔尖卷)
第6講 數學廣角—雞兔同籠問題
知識點01:雞兔同籠問題的重難點
雞兔同籠問題是一個經典的數學問題,它主要考察的是學生的邏輯推理能力和對假設法的應用。在這個問題中,我們知道一定數量的雞和兔子被放在同一個籠子里,它們共有一定數量的頭和腳,我們的目標是找出雞和兔子的具體數量。
關鍵點如下:
兩種對象:雞和兔子。
兩種屬性:頭數和腳數。雞有1個頭和2只腳,兔子有1個頭和4只腳。
兩個等量關系:總頭數和總腳數都是已知的。
知識點02:計算公式
假設法公式:
假設全是雞:兔子數量 = (總腳數 - 2 × 總頭數) ÷ 2
假設全是兔子:雞數量 = (4 × 總頭數 - 總腳數) ÷ 2
其中,總頭數和總腳數都是題目給出的已知條件。
方程法公式(設雞有x只,兔子有y只):
x + y = 總頭數
2x + 4y = 總腳數
解這個二元一次方程組,就可以得到x和y的值,即雞和兔子的數量。
知識點03:雞兔同籠問題的常見變形
加入其他動物:
除了雞和兔子,還可以加入其他具有不同頭數和腳數的動物,如貓(1個頭,4只腳)和鶴(1個頭,2只腳)。這樣,問題的設置就變得更加復雜,需要學生根據新的條件重新建立假設和方程。
增加條件限制:
設定籠子的大小,限制動物的總數量或某一類動物的最大數量。
例如,籠子最多能裝下30只動物,或者兔子的數量不能超過雞的數量等。
改變觀察角度:
不僅僅是通過頭和腳的數量來求解,還可以根據其他特性來設立方程。
例如,如果知道雞的重量是兔子的1/2,而整個籠子的總重量是已知的,那么就可以通過重量來設立方程。
混合題型:
將雞兔同籠問題與其他數學知識點結合,如分數、比例、百分數等。
這樣的題型需要學生在解題過程中運用多種數學知識,進行綜合分析和計算。
實際應用問題:
將雞兔同籠問題轉化為實際生活中的問題,如購買不同價格的商品、分配不同工作時間的工人等。
這類問題需要學生將抽象的數學模型與實際問題相結合,提高解題的實用性和趣味性。
圖形化表示:
使用圖形或圖表來表示問題中的信息,幫助學生更直觀地理解問題的結構和條件。
例如,使用柱狀圖表示不同動物的頭數和腳數,或使用表格記錄每種動物的假設數量和計算結果。
這些變形使得雞兔同籠問題變得更加多樣化和有趣化,同時也提高了學生的解題能力和思維能力。
易錯點01:理解題意不清
學生可能沒有仔細閱讀題目,對題目中的條件理解不透徹。例如,沒有注意到題目中給出的總頭數和總腳數,或者沒有理解到雞和兔子腳數的差異。
易錯點02:假設方法不當
在使用假設法解題時,學生可能會假設錯誤的對象或者錯誤的數量。例如,假設全是兔子而不是全是雞,或者假設的數量與題目給出的條件不符。
易錯點03:計算錯誤
在計算過程中,學生可能會出現計算錯誤,如加減乘除運算錯誤、等式轉換錯誤等。這些錯誤會導致最終答案的偏差。
易錯點04:方程設置錯誤
在使用方程法解題時,學生可能會設置錯誤的方程或者方程中的變量代表的意義不明確。例如,設置的方程沒有正確反映題目中的條件,或者方程中的x和y代表的意義混淆。
易錯點05:忽視題目中的隱含條件
有時候題目中會給出一些隱含的條件,例如動物數量的范圍、動物數量的整數性等。學生可能會忽視這些條件,導致解出的答案不符合實際情況。
易錯點06:答案檢驗不仔細
在得出答案后,學生可能沒有仔細檢驗答案是否符合題目中的條件。例如,沒有檢查答案中的動物數量是否為整數,或者沒有檢查答案中的總頭數和總腳數是否與題目給出的條件相符。
檢測時間:90分鐘 試題滿分:100分 難度系數:0.46(較難)
一.反復比較,慎重選擇(將正確答案的序號填在括號里)(共6小題,滿分12分,每小題2分)
1.(本題2分)(23-24四年級下·黑龍江哈爾濱·期末)鋼筆每支12元,圓珠筆每支7元。兩種筆共買了6支,用了52元。買了( )支鋼筆。
A.5 B.4 C.2
【答案】C
【思路點撥】假設買的都是鋼筆,用鋼筆的價格乘購買的支數,即可求出買6支鋼筆花的錢數,再用減法計算實際花的錢數與買6支鋼筆花的錢數的差,多出的錢數是由于把圓珠筆價格看成鋼筆來算的,每支多算(12-7)元,用多的錢數除以每只圓珠筆多算的錢數,即可求出購買圓珠筆的支數,最后用總共買的支數減去圓珠筆的支數,即可求出買了幾支鋼筆。
【規范解答】假設買的都是鋼筆
12×6=72(元)
72-52=20(元)
12-7=5(元)
20÷5=4(支)
6-4=2(支)
即買了2支鋼筆。
故答案為:C
2.(本題2分)(23-24四年級下·廣東潮州·期末)廠家委托“貨拉拉”運送茶具到外地,安全送達一套得運費5元,如有破損則一套扣40元。“貨拉拉”這次一共運送了100套茶具,得到410元運費。這次運送茶具有破損嗎?其中安全送達的是幾套?( )
A.沒有破損;100套 B.有破損;82套 C.有破損;98套
【答案】C
【思路點撥】假設“貨拉拉”這次運送的100套茶具全部安全送達,則一共得到運費(5×100=500)元,實際只有運費410元,500>410,說明“貨拉拉”這次運送的100套茶具沒有全部安全送達。
假設“貨拉拉”這次運送的100套茶具全部安全送達,則一共得到運費(5×100)元,比實際多了(5×100-410)元,一套茶具安全送達與有破損運費相差(5+40)元,比實際多的運費除以一套茶具安全送達與有破損相差的運費,即可算出破損了多少套茶具,茶具總套數減去破損的套數,即可算出安全送達的是幾套。
【規范解答】5×100-410
=500-410
=90(元)
90÷(5+40)
=90÷45
=2(套)
100-2=98(套)
廠家委托“貨拉拉”運送茶具到外地,安全送達一套得運費5元,如有破損則一套扣40元?!柏浝边@次一共運送了100套茶具,得到410元運費。這次運送茶具有破損,其中安全送達的是98套。
故答案為:C
3.(本題2分)(22-23四年級下·四川德陽·期末)停車場有小轎車和2輪摩托車共21輛,兩種車共有80個輪子,那么停車場有轎車( )輛。
A.17 B.18 C.19
【答案】C
【思路點撥】根據雞兔同籠問題,假設全是小轎車,則應該有(21×4)個輪子,比實際的多,因為一輛小轎車比一輛摩托車多(4-2)個輪子,用應該有的輪子個數減去實際有的個數,再除以一輛小轎車比一輛摩托車多的輪子個數,即可求出有多少輛摩托車;用21減去摩托車的輛數即可求出小轎車的輛數,據此選擇即可。
【規范解答】摩托車:(21×4-80)÷(4-2)
=(84-80)÷(4-2)
=4÷2
=2(輛)
轎車:21-2=19(輛)
停車場有轎車19輛。
故答案為:C
4.(本題2分)(22-23四年級下·四川廣元·期末)學校舉辦知識搶答比賽,答對一題加10分,答錯一題扣6分。4號選手共搶答9題,最后得分58分。4號選手答錯了( )題。
A.7 B.3 C.2
【答案】C
【思路點撥】答錯一題比答對一題少得10+6=16分;全部答對8道題共得9×10=90(分);假設全部答對比58分多得90-58=32(分),那么他答錯了:32÷16=2(道)。
【規范解答】假設全答對,錯題有:
(9×10-58)÷(10+6)
=(90-58)÷(10+6)
=32÷32
=2(道)
學校舉辦知識搶答比賽,答對一題加10分,答錯一題扣6分。4號選手共搶答9題,最后得分58分。4號選手答錯了2題。
故答案為:C
5.(本題2分)(22-23四年級下·四川南充·期末)解放軍叔叔進行野外訓練,晴天每天行20km,雨天每天行10km,8天共行了140km。這期間雨天有( )天。
A.8 B.6 C.2
【答案】C
【思路點撥】假設全是晴天,則8天行駛8×20=160千米,這比已知的140千米多行了160-140=20千米,因為晴天比雨天每天多行20-10=10(千米),由此即可求得雨天有20÷10=2(天);據此解答即可。
【規范解答】根據分析可知:
假設全是晴天,則雨天有:
(8×20-140)÷(20-10)
=20÷10
=2(天)
解放軍叔叔進行野外訓練,晴天每天行20km,雨天每天行10km,8天共行了140km。這期間雨天有2天。
故答案為:C
6.(本題2分)(23-24四年級下·山西長治·期末)在學校一次環境保護知識搶答比賽中,共有20道題,每答對一道題得10分,答錯一道倒扣5分,雛鷹隊最后得分是155分,那么該隊共答對( )題。
A.12 B.15 C.17
【答案】C
【思路點撥】先假設雛鷹隊20道題全部答對,算出此時的總得分,然后將這個總得分與實際得分相比較,求出得分的差值。由于答錯一道題不僅得不到10分,還要倒扣5分,所以答錯一道題與答對一道題相比,實際少得的分數是答對的10分加上倒扣的5分,即10+5=15分。用總得分的差值除以答錯一道題少得的分數,就可以得到答錯的題數,最后用題目總數減去答錯的題數,就能得到答對的題數。
【規范解答】假設20道題全答對,那么應得的分數為:20×10=200(分)
實際得分是155分,與全答對的得分差值為:200-155=45(分)
因為答錯一道題比答對一道題少得的分數為:10+5=15(分)
所以答錯的題數為:45÷15=3(道)
那么答對的題數是:20-3=17(道)
綜上,該隊共答對17題。
故答案為:C
二、用心思考,認真填寫(共9小題,滿分15分)
7.(本題1分)(22-23四年級下·四川樂山·期末)數學思維競賽20道題,做對一道題得10分,做錯一道題扣5分,張天樂同學最后得155分,張天樂做對( )道題。
【答案】17
【思路點撥】根據“做對一道得10分,做錯一道題扣5分”,那么答錯一題比答對一題少得10+5=15(分);全部答對20道題共得20×10=200(分);假設張天樂全部答對得分是200分,比155分多得200-155=45(分),是因為把錯題當作了對題,每道錯題多算了15分;那么他答錯的數量為45÷15=3(道);所以張天樂答對了20-3=17(道)題,據此解答即可。
【規范解答】假設張天樂全部答對。
(10×20-155)÷(10+5)
=(200-155)÷15
=45÷15
=3(道)
20-3=17(道)
所以張天樂做對17道題。
8.(本題1分)(23-24四年級上·重慶豐都·期末)一輛汽車在平原和山區行了6小時,共行245千米。已知汽車在平原每小時行42千米,山區每小時行35千米。它在山區行了( )小時。
【答案】1
【思路點撥】假設這輛汽車6小時都在平原上行駛,用每小時行駛的路程乘行駛的時間,求出一共行駛的路程,再用一共行駛的路程減去245千米,求出相差的路程,用相差的路程除以平原和山區每小時相差的路程,即可求出它在山區行駛的時間。
【規范解答】(42×6-245)÷(42-35)
=(252-245)÷7
=7÷7
=1(小時)
它在山區行了1小時。
9.(本題2分)(24-25四年級下·海南??凇て谀┩\噲龉餐7胖?9輛三輪摩托車和兩輪摩托車,兩種車子車輪總數為96個,三輪摩托車( )輛,兩輪摩托車( )輛。
【答案】 18 21
【思路點撥】本題考查雞兔同籠問題,已知三輪摩托車有3個輪子,兩輪摩托車有2個輪子,假設39輛全是三輪摩托車,共有輪子39×3=117(個),比96個多117-96=21(個),這是由于把兩輪摩托車看成三輪摩托車,每輛車多看一個輪子造成的,可求出兩輪摩托車的輛數:21÷(3-2)=21÷1=21(輛),三輪摩托車有:39-21=18(輛)。
【規范解答】根據分析得:假設39輛全是三輪摩托車,共有輪子39×3=117(個)
117-96=21(個)
21÷(3-2)
=21÷1
=21(輛)
39-21=18(輛)
所以三輪摩托車18輛,兩輪摩托車21輛。
10.(本題2分)(23-24四年級下·山東菏澤·期末)在一個停車場共停了小汽車和摩托車32輛,這些車一共有108個輪子,小汽車有( )輛,摩托車有( )輛。
【答案】 22 10
【思路點撥】假設全部是摩托車,每輛摩托車有2個輪子,用小汽車和摩托車總輛數乘2,即32×2=64個輪子,求出全部是摩托車輪子的個數,用實際輪子的個數減去全部是摩托車輪子的個數,108-64=44個輪子,求出實際比全部是摩托車多的輪子的個數,每輛小汽車比每輛摩托車多(4-2)個輪子,用實際比全部是摩托車多的輪子的個數除以每輛小汽車比每輛摩托車多的個數,求出小汽車的輛數,再用小汽車和摩托車總輛數減去小汽車的輛數,即可求出摩托車的輛數。
【規范解答】(108-32×2)÷(4-2)
=(108-64)÷(4-2)
=44÷(4-2)
=44÷2
=22(輛)
32-22=10(輛)
在一個停車場共停了小汽車和摩托車32輛,這些車一共有108個輪子,小汽車有22輛,摩托車有10輛。
11.(本題2分)(23-24四年級下·浙江臺州·期末)四(1)班43名學生參加植樹活動,種樹的同學每4人一組,澆水的同學每3人一組,正好分成12組。參加種樹的同學有( )人,參加澆水的同學有( )人。
【答案】 28 15
【思路點撥】假設12組全是種樹的,每4人一組,共需12×4=48(人),實際只有43人,多了48-43=5(人),而每組種樹的人數比每組澆水人數多4-3=1(人),那么澆水的有5÷1=5(組),種樹的有12-5=7(組),則種樹人數7×4=28(人),澆水人數:3×5=15(人)。
【規范解答】假設12組全是種樹的人。
12×4=48(人)
48-43=5(人)
4-3=1(人)
5÷1=5(組)
3×5=15(人)
12-5=7(組)
7×4=28(人)
四(1)班43名學生參加植樹活動,種樹的同學每4人一組,澆水的同學每3人一組,正好分成12組。參加種樹的同學有28人,參加澆水的同學有15人。
12.(本題2分)(23-24四年級下·安徽銅陵·期末)學校舉辦“24點”速算搶答比賽,規定答對一題加10分,答錯一題扣6分。1號選手共搶答10題,最后得分68分。他答對了( )題,答錯了( )題。
【答案】 8 2
【思路點撥】假設全部答對,得分是10×10=100(分)。實際得分是68分,相差100-68=32(分)。答錯一題比答對一題少10+6=16(分),可知答錯了32÷16=2(題),進而可知答對了10-2=8(題)。
【規范解答】10×10=100(分)
100-68=32(分)
10+6=16(分)
32÷16=2(題)
10-2=8(題)
他答對了8題,答錯了2題。
13.(本題2分)(23-24四年級下·河北廊坊·期末)張老師買了籃球和足球共8個,花了505元?;@球買了( )個,足球買了( )個。
【答案】 3 5
【思路點撥】假設全是足球,應花68×8=544(元),多花了544-505=39(元),是因為每個足球比籃球貴68-55=13(元),所以籃球的數量就是(39÷13)個,進而求出足球的數量。
【規范解答】假設全是足球,則籃球有:
(68×8-505)÷(68-55)
=(544-505)÷13
=39÷13
=3(個)
8-3=5(個)
因此,籃球買了3個,足球買了5個。
14.(本題1分)(23-24四年級下·廣西河池·期末)在數學知識搶答賽中,答對一題加5分,答錯一題扣3分。小明共搶到了10題,最后得分34分,她答對了( )題。
【答案】8
【思路點撥】假設小明10題都答對,得分是10×5=50分,比實際得分多了50-34=16分,每答錯一題,不僅得不到加的5分,還會扣3分,答錯一題比答對一題少得5+3=8分,用比實際多得的分數除以答錯一題比答對一題少得的分數,求出答錯的題數,再用小明共搶到的題數減去答錯的題數,即可求出她答對了多少題。
【規范解答】(10×5-34)÷(5+3)
=(50-34)÷(5+3)
=16÷(5+3)
=16÷8
=2(題)
10-2=8(題)
在數學知識搶答賽中,答對一題加5分,答錯一題扣3分。小明共搶到了10題,最后得分34分,她答對了8題。
15.(本題2分)(23-24四年級下·浙江寧波·期末)學校植樹節活動,一班共有15人參加活動。女生每人栽2棵樹,男生每人栽3棵樹,一共栽了39棵樹。女生有( )人,男生有( )人。
【答案】 6 9
【思路點撥】根據題意,假設15人全是女生,共栽樹,15×2=30(棵)。實際栽了39棵,多出:39-30=9(棵)。每多1名男生,多栽3-2=1棵樹,因此男生人數為:9÷1=9(人)。女生人數為:15-9=6(人)。以此答題即可。
【規范解答】(39-15×2)÷(3-2)
=(39-30)÷1
=9÷1
=9(人)
15-9=6(人)
學校植樹節活動,一班共有15人參加活動。女生每人栽2棵樹,男生每人栽3棵樹,一共栽了39棵樹。女生有6人,男生有9人。
三、認真審題,準確判斷(共5小題,滿分10分,每小題2分)
16.(本題2分)(22-23五年級上·天津寧河·期末)雞和兔共10個頭,34條腿,雞有7只,兔有3只。( )
【答案】×
【思路點撥】假設有10只雞,那么有20條腿。用實際的34條腿減去20條,求出兔子多出的腿數,再將其除以2,求出兔子有多少只,從而利用減法求出雞有多少只。
【規范解答】(34-10×2)÷2
=(34-20)÷2
=14÷2
=7(只)
10-7=3(只)
所以,兔子有7只,雞有3只。
故答案為:×
17.(本題2分)(22-23四年級下·山東臨沂·期末)籠子里有若干只雞和兔,共8個頭,22只腳,則雞和兔的只數一樣多。( )
【答案】×
【思路點撥】假設全是雞,則腳有2×8=16(只),比已知的腳的數量少了22-16=6(只),實際一只兔子的腳的數量比一只雞多4-2=2(只),那么6只腳就是少算的兔腳的數量,由此可算出兔子的數量為6÷2=3(只),雞的數量為8-3=5(只),顯然3≠5,題目說法錯誤。
【規范解答】2×8=16(只)
22-16=6(只)
4-2=2(只)
6÷2=3(只)
8-3=5(只)
因此雞有5只,兔子有3只,顯然3≠5,也就是說當籠子里有若干只雞和兔,共8個頭,22只腳時,雞和兔的只數不可能一樣多。
故答案為:×
18.(本題2分)(23-24四年級下·黑龍江哈爾濱·期末)雞兔同籠,共有106只腳,40個頭,那么籠中有13只兔。( )
【答案】√
【思路點撥】先假設它們全是兔,于是根據雞兔頭的總個數就可以算出在假設下共有幾只腳,把這樣得到的腳數與題中給出的腳數相比較,看相差多少,每差2只腳就說明有一只雞;將所差的腳數除以2,就可以算出共有多少只雞,然后用40減去雞的只數可得兔的只數。
【規范解答】假設全部都是兔子
則有:(40×4-106)÷(4-2)
=(160-106)÷2
=54÷2
=27(只)
故雞的數量為27只,則兔子有:40-27=13(只)
那么籠中有13只兔。原題說法正確。
故答案為:√
19.(本題2分)(23-24四年級下·山東濟寧·期末)籠子里有鴨子和青蛙共24只,腳最多有100只。( )
【答案】×
【思路點撥】假設24只全是青蛙。因為每只青蛙4只腳,那么24只青蛙一共有24×4=96(只)腳,而96<100,說明即使全是青蛙,腳的數量也沒有達到100只。又因為每只鴨子2只腳,青蛙4只腳,所以青蛙越多,腳的總數越多,已知籠子里有鴨子和青蛙共24只,青蛙最多23只,鴨子為1只,所以腳最多有(23×4+2×1)只。
【規范解答】24×4=96(只)
96<100
23×4+2×1
=92+2
=94(只)
所以籠子里有鴨子和青蛙共24只,腳最多有94只,原說法錯誤。
故答案為:×
20.(本題2分)(23-24四年級下·河北唐山·期末)龜和鶴共10只,共有30條腿,則龜、鶴數量一定相等。( )
【答案】√
【思路點撥】假設全部是龜,有10×4=40(只)腳,已知比假設少了:40-30=10(只),一只鶴比一只龜少(4-2)只腳,所以鶴有:10÷(4-2)=5(只);龜有:10-5=5(只),據此判斷。
【規范解答】(10×4-30)÷(4-2)
=(40-30)÷2
=10÷2
=5(只)
10-5=5(只)
5=5
所以龜和鶴共10只,共有30條腿,則龜、鶴數量一定相等,是正確的。
故答案為:√
四、靈活應用,解決問題(共10小題,滿分63分)
21.(本題6分)(23-24四年級下·廣西柳州·期末)雞兔同籠,有9個頭和26只腳。雞和兔各有幾只?
小思假設籠子里全是雞,用畫圖的方法解決這個問題。(〇表示頭,‖表示腳)
請你在上圖中補全少了的腳。補完后,發現四條腿的兔有( )只。
【答案】圖見詳解;4
【思路點撥】根據題意,假設籠子里全是雞一共有18只腳,比實際少了(26-18)只,一只兔子比一只雞多(4-2)只腿,據此補齊少了的腳,有四只腳的即為兔子,據此填空即可。
【規范解答】26-18=8(只)
4-2=2(只)
一個頭下面補2只腳,一共補8只腳。
如圖:(畫法不唯一)
補完后,發現四條腿的兔有4只。
22.(本題6分)(23-24四年級下·陜西渭南·期末)白水是陜西省乃至全國的果業大縣,被譽為“中國蘋果之鄉”。以“個大、色艷、香甜、細脆、耐儲藏、無污染”的突出特色而享譽中外。果農張大伯為了“青耘中國夏耘夢想”直播助農活動,現將100千克的蘋果包裝成12個禮品盒銷售,其中每個大包裝禮品盒裝15千克,每個小包裝禮品盒裝5千克。果農張大伯包裝了大包裝禮品盒和小包裝禮品盒各多少個?
【答案】大包裝禮品盒4個,小包裝禮品盒8個
【思路點撥】假設12個禮品盒全是大包裝禮品盒,那么一共有蘋果(12×15)千克,比實際蘋果多了(12×15-100)千克;已知每個大包裝禮品盒比每個小包裝禮品盒多裝蘋果(15-5)千克,則用比實際多裝的千克數除以每個大包裝禮品盒比每個小包裝禮品盒多裝的千克數,即可求出小包裝禮品盒的個數,再用12減去小包裝禮品盒的個數,就可以求出大包裝禮品盒的個數。
【規范解答】12×15-100
=180-100
=80(千克)
80÷(15-5)
=80÷10
=8(個)
12-8=4(個)
答:果農張大伯包裝了大包裝禮品盒4個,小包裝禮品盒8個。
23.(本題7分)(23-24四年級下·廣東潮州·期末)潮汕豬肉脯肉質緊實,入口焦香。廠家出品了一箱6包的禮品裝,還有一箱10包的普通裝。如果車間一天生產760包,按兩種包裝,共分裝為100箱,那么禮品裝和普通裝各裝了多少箱?
【答案】60箱;40箱
【思路點撥】假設全是普通裝,那么100箱共100×10=1000(包),與實際生產760包比較多了240包,是因為把一部分禮品裝看成普通裝每箱差了10-6=4(包),則禮品裝就有240÷4=60(箱),再用100-60=40(箱)算出普通裝。
【規范解答】假設全是普通裝。
100×10=1000(包)
1000-760=240(包)
10-6=4(包)
240÷4=60(箱)
100-60=40(箱)
答:禮品裝60箱,普通裝40箱。
24.(本題6分)(23-24四年級下·陜西商洛·期末)尊老、敬老、愛老、助老是中華民族傳統美德。在2024年端午節期間,鎮安縣56名社會愛心志愿者到某敬老院開展愛心助老活動。將56名社會愛心志愿者分成10組,每5人一組打掃衛生,每7人一組表演節目。打掃衛生和表演節目各有多少組?
【答案】7組;3組
【思路點撥】假設10組全部是打掃衛生的人,需要10×5=50(人),與原有實際人數比較56-50=6(人)相差6人,是因為有幾組表演節目的人看成了打掃衛生的人,每組相差7-5=2(人),6÷2=3(組)就是表演節目的組數,剩下10-3=7(組)是打掃衛生的組數。
【規范解答】假設10組全部是打掃衛生的人。
10×5=50(人)
56-50=6(人)
7-5=2(人)
6÷2=3(組)
10-3=7(組)
答:打掃衛生有7組,表演節目有3組。
25.(本題6分)(23-24四年級下·陜西渭南·期末)宣紙是中國獨特的手工藝品,享有“千年壽紙”的美譽。書法小組共12名同學用宣紙練毛筆字,男生每人用4張,女生每人用5張,一共用了53張宣紙。男生有多少人?女生有多少人?
【答案】男生有7人;女生有5人
【思路點撥】首先假設12名同學都是男生,則一共用48張宣紙,假設比實際少5張,一名男生比一名女生少用1張紙,也就是每少1張紙就對應一名女生,所以女生有5人,用總人數減去女生的人數就是男生的人數,據此解答。
【規范解答】第一步:假設12名同學都是男生,計算用了宣紙的總數量;
(張)
第二步:計算出用了宣紙的總數量比實際的少了多少;
(張)
第三步:計算出女生的人數;
(人)
第四步:計算出男生的人數;
(人)
答:男生有7人,女生有5人。
26.(本題7分)(23-24四年級下·陜西渭南·期末)四年級學生分組參加課外興趣小組,每人只能參加一個小組。航模類每6人一組,閱讀類每4人一組,共38人報名,正好分成8組。參加航模類的學生有多少人?
【答案】18人
【思路點撥】根據雞兔同籠問題,假設8組都是閱讀類,則應該有(4×8)人,比實際的人數少,因為一組閱讀類的人數比一組航模類的人數少(6-4)人,用實際的人數減去應有的人數,再除以(6-4)即可求出參加航模類的組數,最后乘6即可求出參加航模類的學生有多少人。
【規范解答】(38-4×8)÷(6-4)
=(38-32)÷2
=6÷2
=3(組)
3×6=18(人)
答:參加航模類的學生有18人。
27.(本題6分)(22-23四年級下·四川南充·期末)籠子里有若干只雞和兔,從上面數有27個頭;從下面數有84只腳。雞和兔各有幾只?
【答案】雞12只;兔15只
【思路點撥】可以用假設法解決雞兔同籠的問題,已知一只雞有1個頭2只腳,一只兔有1個頭4只腳,假設27個頭全是雞,則一共應有27×2=54(只)腳,比實際的84只腳少了84-54=30(只),是因為把兔看成雞后,一只兔就少看了4-2=2(只)腳,用一共少的腳的只數30只除以一只兔少看的腳的只數2只,得到兔的只數,即30÷2=15(只);再用一共的只數27只減兔的只數15只即得到雞的只數,即27-15=12(只)。據此解答。
【規范解答】27×2=54(只)
84-54=30(只)
4-2=2(只)
兔:30÷2=15(只)
雞:27-15=12(只)
答:雞有12只,兔有15只。
28.(本題7分)(22-23四年級下·四川樂山·期末)現有大、小兩種油桶共12個,大桶每個裝油6千克,小桶每個裝油3千克,又拿來了3大桶油,這些桶一共裝油78千克,現在大、小油桶分別有多少個?
【答案】大油桶有11個,小油桶有4個
【思路點撥】先用加法計算出油桶總數為:12+3=15(個),假設全是大油桶,那么可以裝油15×6=90(千克),再計算出多算的油質量為:90-78=12(千克);因為把小油桶看作了大油桶,每個油桶多算了:6-3=3(千克),然后用除法計算出小油桶數量為:12÷3=4(個),最后用減法計算出大油桶的數量;據此解答。
【規范解答】12+3=15(個)
假設全是大桶,則小油桶:
(15×6-78)÷(6-3)
=(90-78)÷3
=12÷3
=4(個)
大油桶:15-4=11(個)
答:現在大油桶有11個,小油桶有4個。
29.(本題6分)(23-24四年級下·山東日照·期末)2024年5月22日,習近平總書記來到山東日照市陽光海岸綠道,實地察看修復治理后的海岸線生態環境。陽光海岸綠道全長28公里,將13個景區和8個沿海民俗村串珠成鏈,是休閑游玩的絕佳場所。
(1)6月份,一個37人的外地旅游團要租自行車在陽光海岸綠道游玩,現有雙人自行車(可供2人騎行)和三人自行車(可供3人騎行)可供選擇,這個旅游團怎樣租車最省錢?共多少錢?
(2)該旅游團在陽光海岸綠道游玩結束后,一起去世帆賽基地乘坐游艇出海,37人全部需要買票,共用去1680元,成人和孩子各有多少人?
【答案】(1)租11輛三人自行車,租2輛雙人自行車最省錢;共300元
(2)19人;18人
【思路點撥】(1)用雙人自行車的租金除以2,求出雙人自行車的人均單價,同樣用三人自行車的租金除以3,求出三人自行車的人均單價。通過比較后盡量選人均單價低的自行車,盡可能少留位置。用總人數除以3,求出需要租用的三人自行車,結合余數判斷租用雙人自行車的輛數,并求出所需要的錢數。
(2)首先假設37人都是成人,總費用是2220元,總費用比實際的多了540元;一個成人比一個兒童多花30元,也就是每多30元就對應一個兒童,所以多的540元是因為有18個兒童被當成了成人,據此解答。
【規范解答】(1)雙人自行車的人均租金:(元)
三人自行車的人均租金:(元)
9>8,三人自行車的人均租金少,所以盡可能租用三人自行車,不能有空座,如果還有剩余的人數,再租用雙人自行車;
(輛)……1(人)可租用12輛三人自行車,1輛雙人自行車;
租12輛三人自行車,1輛雙人自行車的費用是:
(元)
余下1人租一輛雙人自行車剩座多,可考慮少租一輛三人自行車,也就是租11輛三人自行車,剩下的人坐雙人自行車;
坐雙人自行的人:
(人)
(輛)可租用11輛三人自行車,2輛雙人自行車;
租用11輛三人自行車,2輛雙人自行車的費用:
(元)
答:租11輛三人自行車,租2輛雙人自行車最省錢,共300元。
(2)第一步:假設37人都是成人,計算出總費用;
(元)
第二步:計算出總費用比實際的多了多少;
(元)
第三步:計算出兒童的人數;
(人)
第四步:計算出成人的人數;
(人)
答:成人有19人,兒童有18人。
30.(本題6分)(22-23四年級下·四川綿陽·期末)籠子里有若干只雞和兔,從上面數有10個頭,從下面數有26只腳,雞有幾只?
【答案】7只
【思路點撥】首先假設10只都是兔子,總腳數是40只,總腳數比實際的多了14只;一只兔子比一只雞多2只腳,也就是每多2只腳就對應一只雞,所以多的14支腳是因為有7只雞被當成了兔子,據此解答。
【規范解答】第一步:假設10只都是兔子,計算出總腳數;
(只)
第二步:計算出總腳數比實際的多了多少;
(只)
第三步:計算出雞的只數;
(只)
答:雞有7只。2025年人教版數學四升五年級暑假銜接培優精講練過關講義
(知識梳理+易錯點撥+真題培優拔尖卷)
第6講 數學廣角—雞兔同籠問題
知識點01:雞兔同籠問題的重難點
雞兔同籠問題是一個經典的數學問題,它主要考察的是學生的邏輯推理能力和對假設法的應用。在這個問題中,我們知道一定數量的雞和兔子被放在同一個籠子里,它們共有一定數量的頭和腳,我們的目標是找出雞和兔子的具體數量。
關鍵點如下:
兩種對象:雞和兔子。
兩種屬性:頭數和腳數。雞有1個頭和2只腳,兔子有1個頭和4只腳。
兩個等量關系:總頭數和總腳數都是已知的。
知識點02:計算公式
假設法公式:
假設全是雞:兔子數量 = (總腳數 - 2 × 總頭數) ÷ 2
假設全是兔子:雞數量 = (4 × 總頭數 - 總腳數) ÷ 2
其中,總頭數和總腳數都是題目給出的已知條件。
方程法公式(設雞有x只,兔子有y只):
x + y = 總頭數
2x + 4y = 總腳數
解這個二元一次方程組,就可以得到x和y的值,即雞和兔子的數量。
知識點03:雞兔同籠問題的常見變形
加入其他動物:
除了雞和兔子,還可以加入其他具有不同頭數和腳數的動物,如貓(1個頭,4只腳)和鶴(1個頭,2只腳)。這樣,問題的設置就變得更加復雜,需要學生根據新的條件重新建立假設和方程。
增加條件限制:
設定籠子的大小,限制動物的總數量或某一類動物的最大數量。
例如,籠子最多能裝下30只動物,或者兔子的數量不能超過雞的數量等。
改變觀察角度:
不僅僅是通過頭和腳的數量來求解,還可以根據其他特性來設立方程。
例如,如果知道雞的重量是兔子的1/2,而整個籠子的總重量是已知的,那么就可以通過重量來設立方程。
混合題型:
將雞兔同籠問題與其他數學知識點結合,如分數、比例、百分數等。
這樣的題型需要學生在解題過程中運用多種數學知識,進行綜合分析和計算。
實際應用問題:
將雞兔同籠問題轉化為實際生活中的問題,如購買不同價格的商品、分配不同工作時間的工人等。
這類問題需要學生將抽象的數學模型與實際問題相結合,提高解題的實用性和趣味性。
圖形化表示:
使用圖形或圖表來表示問題中的信息,幫助學生更直觀地理解問題的結構和條件。
例如,使用柱狀圖表示不同動物的頭數和腳數,或使用表格記錄每種動物的假設數量和計算結果。
這些變形使得雞兔同籠問題變得更加多樣化和有趣化,同時也提高了學生的解題能力和思維能力。
易錯點01:理解題意不清
學生可能沒有仔細閱讀題目,對題目中的條件理解不透徹。例如,沒有注意到題目中給出的總頭數和總腳數,或者沒有理解到雞和兔子腳數的差異。
易錯點02:假設方法不當
在使用假設法解題時,學生可能會假設錯誤的對象或者錯誤的數量。例如,假設全是兔子而不是全是雞,或者假設的數量與題目給出的條件不符。
易錯點03:計算錯誤
在計算過程中,學生可能會出現計算錯誤,如加減乘除運算錯誤、等式轉換錯誤等。這些錯誤會導致最終答案的偏差。
易錯點04:方程設置錯誤
在使用方程法解題時,學生可能會設置錯誤的方程或者方程中的變量代表的意義不明確。例如,設置的方程沒有正確反映題目中的條件,或者方程中的x和y代表的意義混淆。
易錯點05:忽視題目中的隱含條件
有時候題目中會給出一些隱含的條件,例如動物數量的范圍、動物數量的整數性等。學生可能會忽視這些條件,導致解出的答案不符合實際情況。
易錯點06:答案檢驗不仔細
在得出答案后,學生可能沒有仔細檢驗答案是否符合題目中的條件。例如,沒有檢查答案中的動物數量是否為整數,或者沒有檢查答案中的總頭數和總腳數是否與題目給出的條件相符。
檢測時間:90分鐘 試題滿分:100分 難度系數:0.46(較難)
一.反復比較,慎重選擇(將正確答案的序號填在括號里)(共6小題,滿分12分,每小題2分)
1.(本題2分)(23-24四年級下·黑龍江哈爾濱·期末)鋼筆每支12元,圓珠筆每支7元。兩種筆共買了6支,用了52元。買了( )支鋼筆。
A.5 B.4 C.2
2.(本題2分)(23-24四年級下·廣東潮州·期末)廠家委托“貨拉拉”運送茶具到外地,安全送達一套得運費5元,如有破損則一套扣40元?!柏浝边@次一共運送了100套茶具,得到410元運費。這次運送茶具有破損嗎?其中安全送達的是幾套?( )
A.沒有破損;100套 B.有破損;82套 C.有破損;98套
3.(本題2分)(22-23四年級下·四川德陽·期末)停車場有小轎車和2輪摩托車共21輛,兩種車共有80個輪子,那么停車場有轎車( )輛。
A.17 B.18 C.19
4.(本題2分)(22-23四年級下·四川廣元·期末)學校舉辦知識搶答比賽,答對一題加10分,答錯一題扣6分。4號選手共搶答9題,最后得分58分。4號選手答錯了( )題。
A.7 B.3 C.2
5.(本題2分)(22-23四年級下·四川南充·期末)解放軍叔叔進行野外訓練,晴天每天行20km,雨天每天行10km,8天共行了140km。這期間雨天有( )天。
A.8 B.6 C.2
6.(本題2分)(23-24四年級下·山西長治·期末)在學校一次環境保護知識搶答比賽中,共有20道題,每答對一道題得10分,答錯一道倒扣5分,雛鷹隊最后得分是155分,那么該隊共答對( )題。
A.12 B.15 C.17
二、用心思考,認真填寫(共9小題,滿分15分)
7.(本題1分)(22-23四年級下·四川樂山·期末)數學思維競賽20道題,做對一道題得10分,做錯一道題扣5分,張天樂同學最后得155分,張天樂做對( )道題。
8.(本題1分)(23-24四年級上·重慶豐都·期末)一輛汽車在平原和山區行了6小時,共行245千米。已知汽車在平原每小時行42千米,山區每小時行35千米。它在山區行了( )小時。
9.(本題2分)(24-25四年級下·海南??凇て谀┩\噲龉餐7胖?9輛三輪摩托車和兩輪摩托車,兩種車子車輪總數為96個,三輪摩托車( )輛,兩輪摩托車( )輛。
10.(本題2分)(23-24四年級下·山東菏澤·期末)在一個停車場共停了小汽車和摩托車32輛,這些車一共有108個輪子,小汽車有( )輛,摩托車有( )輛。
11.(本題2分)(23-24四年級下·浙江臺州·期末)四(1)班43名學生參加植樹活動,種樹的同學每4人一組,澆水的同學每3人一組,正好分成12組。參加種樹的同學有( )人,參加澆水的同學有( )人。
12.(本題2分)(23-24四年級下·安徽銅陵·期末)學校舉辦“24點”速算搶答比賽,規定答對一題加10分,答錯一題扣6分。1號選手共搶答10題,最后得分68分。他答對了( )題,答錯了( )題。
13.(本題2分)(23-24四年級下·河北廊坊·期末)張老師買了籃球和足球共8個,花了505元?;@球買了( )個,足球買了( )個。
14.(本題1分)(23-24四年級下·廣西河池·期末)在數學知識搶答賽中,答對一題加5分,答錯一題扣3分。小明共搶到了10題,最后得分34分,她答對了( )題。
15.(本題2分)(23-24四年級下·浙江寧波·期末)學校植樹節活動,一班共有15人參加活動。女生每人栽2棵樹,男生每人栽3棵樹,一共栽了39棵樹。女生有( )人,男生有( )人。
三、認真審題,準確判斷(共5小題,滿分10分,每小題2分)
16.(本題2分)(22-23五年級上·天津寧河·期末)雞和兔共10個頭,34條腿,雞有7只,兔有3只。( )
17.(本題2分)(22-23四年級下·山東臨沂·期末)籠子里有若干只雞和兔,共8個頭,22只腳,則雞和兔的只數一樣多。( )
18.(本題2分)(23-24四年級下·黑龍江哈爾濱·期末)雞兔同籠,共有106只腳,40個頭,那么籠中有13只兔。( )
19.(本題2分)(23-24四年級下·山東濟寧·期末)籠子里有鴨子和青蛙共24只,腳最多有100只。( )
20.(本題2分)(23-24四年級下·河北唐山·期末)龜和鶴共10只,共有30條腿,則龜、鶴數量一定相等。( )
四、靈活應用,解決問題(共10小題,滿分63分)
21.(本題6分)(23-24四年級下·廣西柳州·期末)雞兔同籠,有9個頭和26只腳。雞和兔各有幾只?
小思假設籠子里全是雞,用畫圖的方法解決這個問題。(〇表示頭,‖表示腳)
請你在上圖中補全少了的腳。補完后,發現四條腿的兔有( )只。
22.(本題6分)(23-24四年級下·陜西渭南·期末)白水是陜西省乃至全國的果業大縣,被譽為“中國蘋果之鄉”。以“個大、色艷、香甜、細脆、耐儲藏、無污染”的突出特色而享譽中外。果農張大伯為了“青耘中國夏耘夢想”直播助農活動,現將100千克的蘋果包裝成12個禮品盒銷售,其中每個大包裝禮品盒裝15千克,每個小包裝禮品盒裝5千克。果農張大伯包裝了大包裝禮品盒和小包裝禮品盒各多少個?
23.(本題7分)(23-24四年級下·廣東潮州·期末)潮汕豬肉脯肉質緊實,入口焦香。廠家出品了一箱6包的禮品裝,還有一箱10包的普通裝。如果車間一天生產760包,按兩種包裝,共分裝為100箱,那么禮品裝和普通裝各裝了多少箱?
24.(本題6分)(23-24四年級下·陜西商洛·期末)尊老、敬老、愛老、助老是中華民族傳統美德。在2024年端午節期間,鎮安縣56名社會愛心志愿者到某敬老院開展愛心助老活動。將56名社會愛心志愿者分成10組,每5人一組打掃衛生,每7人一組表演節目。打掃衛生和表演節目各有多少組?
25.(本題6分)(23-24四年級下·陜西渭南·期末)宣紙是中國獨特的手工藝品,享有“千年壽紙”的美譽。書法小組共12名同學用宣紙練毛筆字,男生每人用4張,女生每人用5張,一共用了53張宣紙。男生有多少人?女生有多少人?
26.(本題7分)(23-24四年級下·陜西渭南·期末)四年級學生分組參加課外興趣小組,每人只能參加一個小組。航模類每6人一組,閱讀類每4人一組,共38人報名,正好分成8組。參加航模類的學生有多少人?
27.(本題6分)(22-23四年級下·四川南充·期末)籠子里有若干只雞和兔,從上面數有27個頭;從下面數有84只腳。雞和兔各有幾只?
28.(本題7分)(22-23四年級下·四川樂山·期末)現有大、小兩種油桶共12個,大桶每個裝油6千克,小桶每個裝油3千克,又拿來了3大桶油,這些桶一共裝油78千克,現在大、小油桶分別有多少個?
29.(本題6分)(23-24四年級下·山東日照·期末)2024年5月22日,習近平總書記來到山東日照市陽光海岸綠道,實地察看修復治理后的海岸線生態環境。陽光海岸綠道全長28公里,將13個景區和8個沿海民俗村串珠成鏈,是休閑游玩的絕佳場所。
(1)6月份,一個37人的外地旅游團要租自行車在陽光海岸綠道游玩,現有雙人自行車(可供2人騎行)和三人自行車(可供3人騎行)可供選擇,這個旅游團怎樣租車最省錢?共多少錢?
(2)該旅游團在陽光海岸綠道游玩結束后,一起去世帆賽基地乘坐游艇出海,37人全部需要買票,共用去1680元,成人和孩子各有多少人?
30.(本題6分)(22-23四年級下·四川綿陽·期末)籠子里有若干只雞和兔,從上面數有10個頭,從下面數有26只腳,雞有幾只?

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