資源簡介

教學內容 10.1 二元一次方程組的概念（教學設計） - 2024 - 2025 學年數學七年級下冊人教版 授課人 某某某
教材分析 （1）本節課的主要教學內容是二元一次方程組的概念。二元一次方程組是初中數學代數部分的重要內容，它是在學生學習了一元一次方程的基礎上進行的拓展和延伸。通過引入兩個未知數，能夠更全面地描述和解決一些實際問題，為后續學習二元一次方程組的解法以及利用方程組解決實際問題奠定基礎。 （2）本節課主要介紹了二元一次方程、二元一次方程組的基本概念，以及二元一次方程組的解的概念。學生通過對具體實例的分析和研究，理解這些概念的本質特征。例如，通過分析實際生活中的數量關系，列出含有兩個未知數的方程，進而歸納出二元一次方程的概念；通過將兩個相關的二元一次方程組合在一起，引出二元一次方程組的概念；通過尋找滿足方程組中兩個方程的未知數的值，理解二元一次方程組的解的概念。 （3）通過學習本節課，學生能夠掌握二元一次方程組的相關概念，培養邏輯思維能力和數學建模能力。同時，學生能認識到數學與生活的密切聯系，提高對數學的興趣和應用能力，從而在日常生活中更加靈活地運用數學知識來解決實際問題。此外，二元一次方程組的學習也為學生進一步學習函數、不等式等知識提供了重要的基礎。
教學目標 （1）會用數學的眼光觀察現實世界：通過創設豐富的生活情境，引導學生觀察并發現其中存在的數量關系，能夠用含有兩個未知數的方程來描述這些關系，從而抽象出二元一次方程和二元一次方程組的概念。培養學生從實際問題中抽象出數學模型的能力，讓學生學會用數學的眼光去看待生活中的問題，提高學生的數學抽象素養。 （2）會用數學的思維思考現實世界：在探究二元一次方程組的概念和求解過程中，引導學生運用類比、歸納、推理等數學思維方法。例如，類比一元一次方程的概念來理解二元一次方程的概念；通過對多個具體方程組的分析，歸納出二元一次方程組的解的概念。培養學生的邏輯思維能力和創新思維能力，讓學生學會用數學的思維方式去分析和解決問題，提高學生的邏輯推理素養。 （3）會用數學的語言表達現實世界：通過課堂互動和練習，幫助學生用準確、簡潔的數學語言描述二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。能夠用數學符號和式子來表示實際問題中的數量關系，并用數學語言解釋解題的思路和過程。培養學生的數學語言表達能力，讓學生學會用數學的語言進行交流和表達，提高學生的數學語言素養。
教學重難點 （1）理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念，并能用這些概念準確判斷相關的方程和方程組。掌握二元一次方程組的表示方法和求解思路，能夠根據實際問題列出二元一次方程組。 （2）在真實情境中運用二元一次方程組的知識，培養學生的數學思維和問題解決能力，體會數學與生活的緊密聯系。能夠從實際問題中抽象出二元一次方程組的模型，準確找出題目中的等量關系，列出合適的方程組，并能對解的合理性進行判斷和解釋。
教學資源 （1）多媒體設備，包括投影儀和電腦，用于展示教學課件、練習題等教學內容，方便學生直觀地獲取信息。 （2）練習卡片，包含各種類型的題目，如判斷二元一次方程、二元一次方程組，根據實際問題列方程組等，供學生進行課堂練習和鞏固。 （3）黑板和粉筆，用于教師進行板書，講解重點知識和解題過程，讓學生能夠清晰地看到知識的形成過程。
教學過程 一、復習引入 師：同學們，在之前的學習中，我們已經掌握了一元一次方程的相關知識。現在老師來考考大家，什么是一元一次方程呢？請一位同學來回答一下。 （等待片刻，學生思考并舉手回答） 學生：只含有一個未知數（元），未知數的次數都是 1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程。 師：非常好！這位同學回答得很準確。那老師再出一道題，大家來解一下這個一元一次方程：3x + 5 = 14。 （等待 2 分鐘，學生在練習本上解答） 師：哪位同學來說說你是怎么解的，答案是多少？ 學生：首先，方程兩邊同時減去 5，得到 3x = 14 - 5，即 3x = 9。然后，方程兩邊同時除以 3，解得 x = 3。 師：非常棒！大家對一元一次方程的知識掌握得很扎實。其實，在我們的生活中，很多問題僅僅用一個未知數來表示是不夠的，需要同時考慮兩個或多個未知數。今天我們就來學習一個新的內容——二元一次方程組。通過這節課的學習，我們可以用更豐富的數學工具來解決生活中的實際問題。接下來，讓我們一起探究《二元一次方程組的概念》。 二、探究新知 環節一：二元一次方程的概念 教師：同學們，讓我們來看這樣一個實際問題。某班舉辦了一場知識競賽，一共設置了 20 道題，答對一題得 5 分，答錯一題扣 3 分。小明在這次競賽中得了 68 分，已知小明答對的題數和答錯的題數之和為 20 道，設小明答對了 x 道題，答錯了 y 道題。那么根據題目中的信息，我們可以得到哪些方程呢？ （等待 3 分鐘，學生思考并在練習本上嘗試列出方程） 學生：根據答對的題數和答錯的題數之和為 20 道，可以列出方程 x + y = 20；又因為答對一題得 5 分，答錯一題扣 3 分，小明得了 68 分，所以可以列出方程 5x - 3y = 68。 師：非常好！大家分析得很準確。我們來看這兩個方程 x + y = 20 和 5x - 3y = 68，它們和我們之前學過的一元一次方程有什么不同呢？大家仔細觀察一下。 （引導學生對比一元一次方程和這兩個方程的特點） 學生：一元一次方程只含有一個未知數，而這兩個方程都含有兩個未知數。 師：很好！那未知數的次數有什么特點呢？ 學生：這兩個方程中未知數的次數都是 1。 師：非常棒！像這樣，含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。大家再看一下方程 x + y = 20 和 5x - 3y = 68，它們都滿足二元一次方程的定義。那老師再問大家，方程 2xy = 10 是二元一次方程嗎？為什么？ （等待 2 分鐘，學生思考并回答） 學生：不是，因為這個方程中未知數的項 xy 的次數是 2，不滿足二元一次方程中含有未知數的項的次數都是 1 這個條件。 師：非常正確！大家對二元一次方程的概念理解得很到位。接下來，我們再來看幾個方程，判斷一下哪些是二元一次方程：（1）x + 2y = 3；（2）x + y = 5；（3）1/x + y = 2；（4）3x - y = 0。 （讓學生舉手回答，并說明理由） 學生：方程（1）和（4）是二元一次方程，因為它們都含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是 1，等號兩邊都是整式；方程（2）中未知數 x 的次數是 2，不滿足二元一次方程的定義；方程（3）中 1/x 不是整式，所以也不是二元一次方程。 師：非常好！大家已經能夠準確地判斷二元一次方程了。 環節二：二元一次方程組的概念 教師：我們繼續來看剛才得到的兩個方程 x + y = 20 和 5x - 3y = 68。在這個實際問題中，我們需要同時考慮這兩個方程，因為它們共同描述了小明答對和答錯題目數量與得分之間的關系。像這樣，把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。一般地，含有兩個未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是 1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組。 教師：現在請大家判斷一下，下列方程組哪些是二元一次方程組：（1）\(\begin{cases}x + y = 7 \\ 2x - y = 4\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}x + 2y = 3 \\ x - y = 1\end{cases}\)；（3）\(\begin{cases}\frac{1}{x} + y = 2 \\ 3x - y = 5\end{cases}\)；（4）\(\begin{cases}x + y = 5 \\ y + z = 6\end{cases}\)。 （等待 5 分鐘，學生思考并在練習本上進行判斷，然后請學生回答并說明理由） 學生：方程組（1）是二元一次方程組，因為它含有兩個未知數 x 和 y，每個方程中含未知數的項的次數都是 1，并且一共有兩個方程；方程組（2）中第二個方程 x - y = 1 中未知數 x 的次數是 2，不滿足二元一次方程組的定義；方程組（3）中第一個方程\(\frac{1}{x} + y = 2\)中\(\frac{1}{x}\)不是整式，所以也不是二元一次方程組；方程組（4）中含有三個未知數 x、y 和 z，不滿足二元一次方程組只含有兩個未知數的條件。 師：非常好！大家對二元一次方程組的概念掌握得很扎實。 環節三：二元一次方程組的解的概念 教師：我們已經知道了二元一次方程組的概念，那么什么樣的解才是二元一次方程組的解呢？我們還是回到剛才小明競賽的問題。對于方程組\(\begin{cases}x + y = 20 \\ 5x - 3y = 68\end{cases}\)，我們來試著找一下滿足這兩個方程的 x 和 y 的值。 （引導學生通過嘗試不同的數值來找到方程組的解） 學生：我們可以先從 x + y = 20 入手，假設 x = 16，那么 y = 20 - 16 = 4。然后把 x = 16 和 y = 4 代入 5x - 3y = 68 中，左邊 = 5×16 - 3×4 = 80 - 12 = 68，右邊 = 68，左邊 = 右邊，所以 x = 16，y = 4 是方程組\(\begin{cases}x + y = 20 \\ 5x - 3y = 68\end{cases}\)的解。 師：非常好！一般地，使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。二元一次方程組的解通常用\(\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}\)的形式來表示，其中 a 和 b 分別是兩個未知數的值。例如，方程組\(\begin{cases}x + y = 20 \\ 5x - 3y = 68\end{cases}\)的解可以表示為\(\begin{cases}x = 16 \\ y = 4\end{cases}\)。 教師：現在請大家判斷一下，\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)是不是方程組\(\begin{cases}2x + y = 8 \\ x - y = 1\end{cases}\)的解。 （等待 3 分鐘，學生在練習本上進行計算和判斷，然后請學生回答） 學生：把\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)代入 2x + y = 8 中，左邊 = 2×3 + 2 = 8，右邊 = 8，左邊 = 右邊；把\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)代入 x - y = 1 中，左邊 = 3 - 2 = 1，右邊 = 1，左邊 = 右邊。所以\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)是方程組\(\begin{cases}2x + y = 8 \\ x - y = 1\end{cases}\)的解。 師：非常正確！大家已經學會了如何判斷一個解是否是二元一次方程組的解。 三、鞏固練習 教師：同學們，現在我們來做一些練習題，鞏固一下所學的知識。 1. 下列方程中，哪些是二元一次方程？ （1）3x - 2y = 5；（2）xy = 3；（3）\(\frac{x}{2} + y = 7\)；（4）x + y = 6。 （等待 5 分鐘，學生在練習本上進行判斷，然后請學生回答并說明理由） 學生：方程（1）和（3）是二元一次方程。方程（1）含有兩個未知數 x 和 y，并且含有未知數的項的次數都是 1，等號兩邊都是整式；方程（3）也含有兩個未知數 x 和 y，未知數的項的次數都是 1，等號兩邊都是整式。方程（2）中未知數的項 xy 的次數是 2，不滿足二元一次方程的定義；方程（4）中未知數 x 的次數是 2，不滿足二元一次方程的定義。 2. 下列方程組中，哪些是二元一次方程組？ （1）\(\begin{cases}x + 2y = 3 \\ 3x - y = 5\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}x + y = 8 \\ xy = 6\end{cases}\)；（3）\(\begin{cases}\frac{1}{x} + y = 4 \\ 2x - y = 3\end{cases}\)；（4）\(\begin{cases}x + y = 7 \\ x - z = 2\end{cases}\)。 （等待 6 分鐘，學生在練習本上進行判斷，然后請學生回答并說明理由） 學生：方程組（1）是二元一次方程組，它含有兩個未知數 x 和 y，每個方程中含未知數的項的次數都是 1，并且一共有兩個方程。方程組（2）中第二個方程 xy = 6 中未知數的項 xy 的次數是 2，不滿足二元一次方程組的定義；方程組（3）中第一個方程\(\frac{1}{x} + y = 4\)中\(\frac{1}{x}\)不是整式，不滿足二元一次方程組的定義；方程組（4）中含有三個未知數 x、y 和 z，不滿足二元一次方程組只含有兩個未知數的條件。 3. 已知\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)是方程組\(\begin{cases}ax + by = 7 \\ bx + ay = 8\end{cases}\)的解，求 a 和 b 的值。 （等待 8 分鐘，學生在練習本上進行求解，然后請學生上臺講解解題過程） 學生：因為\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)是方程組\(\begin{cases}ax + by = 7 \\ bx + ay = 8\end{cases}\)的解，所以把\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)代入方程組中，得到\(\begin{cases}2a + b = 7 \\ 2b + a = 8\end{cases}\)。由 2a + b = 7 可得 b = 7 - 2a，將其代入 2b + a = 8 中，得到 2(7 - 2a) + a = 8，即 14 - 4a + a = 8，化簡得 -3a = 8 - 14 = -6，解得 a = 2。把 a = 2 代入 b = 7 - 2a 中，得 b = 7 - 2×2 = 3。所以 a = 2，b = 3。 師：非常好！這位同學的思路很清晰，解題過程也很準確。通過這些練習題，大家對二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念有了更深入的理解。 四、課堂小結 教師：通過今天的課程，我們學習了二元一次方程組的概念。首先，我們了解了二元一次方程的定義，即含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是 1 的整式方程。然后，我們學習了二元一次方程組的概念，把兩個二元一次方程合在一起就組成了二元一次方程組。最后，我們掌握了二元一次方程組的解的概念，使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。希望同學們在今后的學習中，能夠熟練運用這些知識，解決更多的實際問題。現在，請大家回顧一下今天所學的內容，誰能總結一下？ （請學生舉手回答） 學生：今天我們學習了二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。二元一次方程含有兩個未知數，未知數的項的次數都是 1；二元一次方程組是由兩個二元一次方程組成的；二元一次方程組的解是使方程組中兩個方程都成立的兩個未知數的值。 師：總結得非常好！希望大家能夠在生活中多觀察，發現更多可以用二元一次方程組解決的問題。這樣，我們就能更好地體會數學的應用價值。
作業設計 （1）基礎作業：完成教材第 89 頁練習第 1、2、3 題

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