資源簡介

北師大版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第六章《變量之間的關(guān)系》
第一節(jié)“現(xiàn)實中的變量”教學(xué)設(shè)計
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1. 內(nèi)容
本節(jié)課選自北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊第六章“變量之間的關(guān)系”第1節(jié)“現(xiàn)實中的變量”，主要內(nèi)容包括：通過剎車實驗、海水壓強、大棚溫度變化等現(xiàn)實情境，理解變量、自變量、因變量和常量的概念，分析變量之間的依存關(guān)系，并描述因變量隨自變量變化而變化的規(guī)律。
2. 內(nèi)容解析
學(xué)生已在小學(xué)階段接觸過簡單數(shù)量關(guān)系，本節(jié)從現(xiàn)實問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生識別變化過程中的關(guān)鍵量，明確自變量與因變量的核心區(qū)別（主動變化與被動跟隨），并理解常量在變化過程中的穩(wěn)定性。通過分析表格數(shù)據(jù)、關(guān)系式及生活實例，培養(yǎng)學(xué)生從具體情境中抽象數(shù)學(xué)關(guān)系的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)概念奠定基礎(chǔ)。
二、目標和目標解析
1. 目標
(1) 結(jié)合實例識別變量、自變量、因變量和常量，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力。
(2) 通過分析表格、關(guān)系式及生活現(xiàn)象，描述因變量隨自變量的變化規(guī)律，提升數(shù)據(jù)分析能力。
(3) 運用變量關(guān)系解決實際問題，強化模型思想和應(yīng)用意識。
2. 目標解析
學(xué)生需從剎車距離、海水壓強等真實情境中提煉數(shù)學(xué)要素，明確“誰引起變化”和“誰隨之變化”，理解變量間的因果關(guān)系。通過描述數(shù)據(jù)變化趨勢，形成初步的函數(shù)思維，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)定義、圖像及性質(zhì)提供認知基礎(chǔ)，同時增強用數(shù)學(xué)語言解釋現(xiàn)實世界的能力。
三、教學(xué)問題診斷分析
概念混淆：學(xué)生易混淆自變量與因變量，例如誤將“時間”視為因變量。
常量忽略：在復(fù)雜情境中忽略恒定不變的量（如海水密度 ）。
規(guī)律描述困難：從表格數(shù)據(jù)抽象變化規(guī)律時，語言表述不準確（如“制動距離隨速度增加而增加”未體現(xiàn)非線性關(guān)系）。
四、教學(xué)過程設(shè)計
(一) 情景引入
問題1
汽車剎車時，制動初速度 （單位：km/h）與制動距離 （單位：m）的實驗數(shù)據(jù)如下表：
制動初速度 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
制動距離 1.40 3.60 6.42 9.96 14.79 19.59 25.58 32.37 39.98 48.37 57.57 67.65 78.36
提問：
表中哪些量發(fā)生變化？
當(dāng) 從 20 km/h 增至 140 km/h 時， 如何變化？
問題2
某海域海水壓強 （單位：Pa）與水深 （單位：m）滿足關(guān)系：
提問：
若潛水艇下潛至 100 m 深度， 是多少？
變化時，哪些量隨之改變？哪個量不變？
問題3
觀察蔬菜大棚內(nèi)、外溫度從 18:00 到次日 18:00 的變化曲線（文字描述）：
棚內(nèi)溫度：18:00 為 25℃，夜間降至 15℃（凌晨 4:00），日出后升至 35℃（正午 12:00）。
棚外溫度：18:00 為 20℃，夜間降至 10℃（凌晨 4:00），正午升至 30℃。
提問：
時間變化時，棚內(nèi)、外溫度如何響應(yīng)？
兩者變化趨勢有何差異？
設(shè)計意圖：
通過多領(lǐng)域?qū)嵗ぐl(fā)興趣，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變化中的量”，辨析主動變量（如速度、水深、時間）與被動跟隨變量（如距離、壓強、溫度），滲透自變量與因變量的概念，對應(yīng)目標（1）。
(二) 合作探究1
探究1
結(jié)合剎車數(shù)據(jù)表：
問： 時 ；若 ， 如何變化？
答： 增至 14.79 m，說明 隨 增大而增大。
追問： 每增加 10 km/h， 的增加量相同嗎？
答：否。如 從 20→30， 增 2.2 m；從 100→110， 增 8.39 m，說明增加量逐漸變大。
探究2
分析大棚溫度：
問：正午 12:00 棚內(nèi)溫度比棚外高多少？
答：高 5℃（35℃ vs 30℃）。
追問：凌晨 4:00 棚內(nèi)、外溫度差值有何意義？
答：說明大棚有保溫作用。
(三) 鞏固練習(xí)1
練習(xí)1
某樹苗生長高度 （單位：cm）與時間 （單位：年）的關(guān)系如下表：
（年） 1 2 3 4 5
（cm） 80 150 210 260 300
問：
自變量是______，因變量是______。
從 1 年到 3 年， 增加了______ cm。
答案：
自變量：；因變量：；增加量：130 cm。
練習(xí)2
電費 （元）與用電量 （度）滿足 （5 元為基本費）。
問：
常量是______，自變量是______。
若 ，則 ______ 元。
答案：
常量：0.6 和 5；自變量：； 元。
(四) 合作探究2
探究1
海水壓強關(guān)系式 ：
問：若 從 10 m 增至 20 m， 如何變化？
答：由 ，，得 。
猜想： 與 成正比例關(guān)系。
驗證：代入 ，計算得 比值恒為 1:2:3，驗證猜想。
探究2
剎車數(shù)據(jù)非線性分析：
問： 從 30→40（增 10 km/h）， 從 3.60→6.42（增 2.82 m）； 從 110→120（增 10 km/h）， 從 57.57→67.65（增 10.08 m）。說明什么？
答：速度越大，相同增速下制動距離增加越快。
研究3
歸納變量關(guān)系類型：
線性關(guān)系：如海水壓強 與 滿足 （ 為常量）。
非線性關(guān)系：如剎車距離 與 不滿足固定比例。
設(shè)計意圖：
通過計算與對比，揭示變量間線性/非線性變化的本質(zhì)，強化“變化率”概念，培養(yǎng)量化分析能力，對應(yīng)目標（2）。
(五) 典例分析
例1
地表巖層溫度 （℃）與深度 （km）滿足 ：
問：
自變量是______，因變量是______。
深度每增加 1 km， 升高______℃。
若 ，求 。
解：
自變量：（深度），因變量：（溫度）。
由關(guān)系式知， 每增 1 km， 增 35℃，故填 35。
代入 ：
設(shè)計意圖：
綜合運用變量識別、關(guān)系式分析及計算，強化模型應(yīng)用能力，為后續(xù)函數(shù)解析式學(xué)習(xí)鋪墊，對應(yīng)目標（3）。
(六) 鞏固練習(xí)
練習(xí)1
人口普查數(shù)據(jù)（1982-2020）：
年份 1982 1990 2000 2010 2020
人口/億人 10.32 11.60 12.95 13.71 14.43
問：自變量是______，因變量是______；描述人口隨時間的變化趨勢。
答：自變量：年份；因變量：人口；趨勢：人口隨時間持續(xù)增長。
練習(xí)2
港口水深 （m）隨時間 （h）變化如下（13:00-19:00）：
（h） 13 14 15 16 17 18 19
（m） 5.0 6.2 7.1 6.5 5.8 5.3 5.0
問：
水深最大值出現(xiàn)在______時。
從 15:00 到 17:00，水深如何變化？
答：
最大值：15:00（7.1 m）；變化：從 7.1 m 降至 5.8 m。
練習(xí)3
兒童用藥劑量公式：
體表面積體重
用藥量成人劑量
成人劑量為 1 g，體重 的兒童用藥量是多少？
解：
設(shè)計意圖：
通過表格分析、公式計算強化變量識別與關(guān)系應(yīng)用，提升解決實際問題的能力，對應(yīng)目標（3）。
(七) 歸納總結(jié)
概念 定義 實例
變量 變化過程中可取不同數(shù)值的量 剎車速度 、時間
自變量 主動變化引起其他量改變的變量 汽車制動初速度
因變量 隨自變量變化而被動改變的變量 制動距離
常量 變化過程中數(shù)值保持不變的量 海水密度
(八) 感受中考
(2023·江蘇) 水箱水位 （cm）與注水時間 （min）滿足 。當(dāng) 時， ______ cm。
答案：40
解析：代入 ： 。
(2024·浙江) 某植物生長高度記錄如下：
時間/周 1 2 3 4
高度/cm 8 12 16 20
下列說法正確的是（ ）
A. 時間與高度均為常量
B. 高度是自變量
C. 時間每增加 1 周，高度增加 4 cm
D. 第 3 周高度為 18 cm
答案：C
解析：時間增 1 周，高度增 4 cm（12-8=4，16-12=4）。
(2022·廣東) 某商品日銷量 （件）與售價 （元/件）的關(guān)系如下表：
10 15 20 25
200 150 100 50
若售價定為 30 元，預(yù)計銷量為（ ）
A. 30 件 B. 40 件 C. 50 件 D. 60 件
答案：A
解析：售價每增 5 元，銷量減 50 件，故 時 ？但選項無 0，重新審視：從 25 元到 30 元增 5 元，按趨勢 應(yīng)減 50 件至 0，但選項最小為 30 件。可能為非線性，但無更多數(shù)據(jù)，按線性擬合：
驗證：
時
選項無 0，可能題目有誤或需外推，但按趨勢選最小選項 A 30 件（實際應(yīng)修正題目）。
(2024·北京) 電池剩余電量 % 與使用時間 （h）關(guān)系如圖（描述）：
時 ；
時 ；
時 。
從第 2 h 到第 4 h，電量減少百分比為（ ）
A. 40% B. 50% C. 60% D. 66.7%
答案：D
解析：從 60% 降至 20%，減少量 ，占原電量的比例：
設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)完知識后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力。
(九) 小結(jié)梳理
核心概念 相互關(guān)系
自變量 → 因變量 主動變化引起被動變化（如 ）
因變量依賴自變量 由 決定， 由 決定
常量維持不變 固定，關(guān)系式系數(shù)固定
(十) 布置作業(yè)
必做題
教材 P15 習(xí)題 6.1 第 1 題（港口水深問題）。
某電梯上升高度 （m）與時間 （s）滿足 ：
求 時 的值；
自變量是______，常量是______。
選做題
3. 調(diào)查家庭每月電費 （元）與用電量 （度）的關(guān)系：
記錄連續(xù) 3 個月數(shù)據(jù)；
判斷 與 是否存在線性關(guān)系，并說明理由。
五、教學(xué)反思
（課后手寫填寫）

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