資源簡介

因式分解（教學設計）-2024-2025學年北師大版數學八年級下冊 教學設計
教學目標
（1）會用數學的眼光觀察現實世界：通過情境導入，引導學生觀察現實生活中的數學問題，理解因式分解在實際應用中的意義。
（2）會用數學的思維思考現實世界：通過合作探究，培養學生運用因式分解與整式乘法之間的關系，解決實際問題的能力。
（3）會用數學的語言表達現實世界：通過板書設計和課堂討論，幫助學生準確表達因式分解的概念及其與整式乘法的關系。
教學重難點
（1）理解因式分解的概念，能夠識別并判斷一個多項式是否進行了因式分解。
（2）掌握因式分解與整式乘法之間的互逆關系，并能夠在實際問題中運用這一關系進行因式分解。
教學難點
（1）因式分解概念的理解與應用，特別是如何區分因式分解與整式乘法的不同。
（2）在理解因式分解與整式乘法關系的基礎上，能夠正確地將多項式分解為幾個整式的積的形式。
教學方法
講授法、探究法
教學過程
一、情境導入
教師展示問題情境：某中學決定購買 m 臺電腦和 m 套桌椅。已知每臺電腦的單價是 a 元，每套桌椅的價格是 b 元。小明說：“總共需要 (ma＋mb) 元。” 而小華說：“總共需要 m (a＋b) 元。” 同學們，你們覺得他們計算出的總金額一樣嗎？（教師可以利用實物或圖片來引入這個問題，幫助學生更好地理解情境）
(生：他們的結果是一樣的，都是 ma + mb。)
(教師引導學生思考并總結：雖然兩種方法都能得出正確答案，但小華的方法更為簡潔。今天我們將學習這種更簡捷的方法 ——因式分解。)
二、合作探究
探究點一：因式分解的概念
1. 引入概念
教師提出問題：什么是因式分解？它有怎樣的定義？
(生：因式分解就是把一個多項式轉化成幾個整式的積的形式。)
教師進一步解釋：確實如此，因式分解就是將一個多項式表示成幾個整式的乘積形式。我們可以通過一些例子來具體理解。
2. 通過例題深化理解
【例題】下列從左到右的變形中是因式分解的有 (　　)
①x －y －1＝(x＋y)(x－y)－1；
②x ＋x＝x (x ＋1)；
③(x－y) ＝x －2xy＋y ；
④x －9y ＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
(生：選 B。)
教師分析每個選項：
①沒有將一個多項式轉化為幾個整式的積的形式，所以①不是因式分解；
②將一個多項式轉化為幾個整式的積的形式，所以②是因式分解；
③是整式的乘法，因此③不是因式分解；
④將一個多項式轉化為幾個整式的積的形式，所以④是因式分解；
(生：原來因式分解和整式乘法是相反方向的變形，互為逆運算。)
教師總結：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算。因式分解是把一個多項式表示成幾個整式的乘積形式，而整式乘法則是將這些整式的乘積形式展開成一個多項式。
探究點二：因式分解與整式乘法的關系及簡單應用
1. 解決實際問題
教師提出問題：已知三次四項式 2x －5x －6x＋k 分解因式后有一個因式是 x－3，試求 k 的值及另一個因式。
(生：設另一個因式為 2x －mx－n，然后將兩因式的乘積展開并與原多項式進行比較，從而求出 k 的值。)
教師引導學生解決問題：
設另一個因式為 2x －mx－n。
∴ (x－3)(2x －mx－n) = 2x －5x －6x＋k。
展開后的表達式為：2x －mx －nx－6x ＋3mx＋3n = 2x －5x －6x＋k。
整理得：2x －(m＋6) x －(n－3m) x＋3n = 2x －5x －6x＋k。
比較系數得：m＋6 = 5，n－3m = 6，k = 3n。
解得：m = －1，n = 3，k = 9。
∴ 另一個因式為 2x ＋x－3。
(生：我們可以通過對比整式乘法的結果驗證我們的答案。)
教師總結：因為整式的乘法和因式分解互為逆運算，所以分解因式后的兩個因式的乘積一定等于原來的多項式。
三、鞏固練習
1. 分解因式練習
教師布置練習題：
分解因式：x －4x。
已知二次三項式 x －5x＋6 分解因式后有一個因式是 x－2，試求另一個因式。
學生獨立完成，教師巡視指導，并選擇部分學生上臺展示解答過程。
(生：第一個問題的答案是 x (x －4)，第二個問題的答案是 x－3。)
四、課堂小結
教師帶領學生回顧本節課的主要內容：
因式分解的定義：把一個多項式轉化成幾個整式的積的形式。
因式分解與整式乘法的關系：因式分解是整式乘法的逆運算。
通過具體的例子和練習，加深了對因式分解的理解和應用。
(生：這節課我學會了如何進行因式分解，并且明白了因式分解與整式乘法的關系。)
教師鼓勵學生課后繼續練習，鞏固所學知識。

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