資源簡介

導數(shù)與函數(shù)的極值、最值 教學設計
一、教材分析
1.從教材的核心地位來看
導數(shù)的相關知識是微積分的核心的概念之一，導數(shù)是研究函數(shù)的增長、變化的速度、極值、最值等一般的問題的工具。函數(shù)的極值和最值是在學生學習單調(diào)性之后的一節(jié)知識，也是學生思維能力提升的關鍵一課。另外，在學習導數(shù)與函數(shù)的極值、最值相關關系的過程中，還涉及到從特殊到一般、歸納與猜想的合理推理的思想方法，這一方法是學生以后的學習和工作當中都需要具備的基本數(shù)學素養(yǎng)之一。
本節(jié)課節(jié)選自《2019人教B版高中數(shù)學選擇性必修三》的第六章《導數(shù)及其應用》的第二節(jié)內(nèi)容。學生在學習之前已經(jīng)具有導數(shù)的概念，對于函數(shù)的單調(diào)性有了全面的了解，并且儲備了扎實的導數(shù)知識。函數(shù)的極值和最值是最為重要的內(nèi)容之一，在上節(jié)課的學習中對于學生的學習情況有了一個全面的了解，本節(jié)課也是運用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一個延伸和拓展，教師需要在課堂上重點培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的思想，發(fā)展學生的思維想象和邏輯推理等能力。
2.從學生的發(fā)展角度來看
學生在學習本節(jié)課的知識時，很容易出現(xiàn)一些錯誤的判斷，在探究知識時往往會將上節(jié)課學習的單調(diào)性的內(nèi)容聯(lián)系起來，猜想函數(shù)的極值為0，雖然這是一個錯誤的理念，但是對于高中階段的學生來說其實也是促進發(fā)展的一個有利的因素。但是由于問題的抽象性，學生的思維受到限制，進而對于本節(jié)課的認知會產(chǎn)生一定的障礙，這也是本節(jié)課的不利因素。
二、學情分析
《導數(shù)與函數(shù)的極值、最值》課程的學習是建立在學生認識函數(shù)、探究函數(shù)的基礎上開展的，學生學習如何利用的導數(shù)來求函數(shù)的極值和最值。在本節(jié)課課程學習之前，學生已經(jīng)學習過導數(shù)的基本知識以及運用導數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)性，對于相關的內(nèi)容有了大致的了解，但是對于班級的大多數(shù)學生來說，本節(jié)課的知識還是比較抽象的，學生對于極值和最值這兩個概念比較模糊，本節(jié)課的知識是學生整個高中生涯的一個重點和難點。本節(jié)課的設計以學生為主體，引導學生對相關的內(nèi)容和梯形進行探究。學生學習本節(jié)課的知識可能會遇到兩個問題，第一是極值和最值的含義，第二是如何用學習的知識來完成解答題。雖然說高中階段的學生已經(jīng)具備抽象思維能力，但是對于導數(shù)與函數(shù)的學習仍然存在抵觸的心理，本節(jié)課通過層層遞進引導的方式，來逐漸的消除學生的抵觸心理，幫助學生建立一個高效的做題思路和框架，提升學生的數(shù)學水平。
三、教學目標與核心素養(yǎng)
《導數(shù)與函數(shù)的極值、最值》分為兩個課時，本節(jié)課重點探索導數(shù)與函數(shù)的極值相關知識。
1.課程目標
①掌握函數(shù)極值的概念，能夠從函數(shù)的圖像上分析函數(shù)的極值和導數(shù)之間的關系。
②初步的掌握求函數(shù)極值的方法與策略。
③感受滲透在數(shù)學當中的整體性和局部性之間的相互統(tǒng)一辯證的關系。
2.學科素養(yǎng)
①數(shù)學抽象：掌握求函數(shù)極值的方法。
②邏輯推理：探索導數(shù)值為0時，與函數(shù)極值的關系。
③數(shù)學運算：運用導數(shù)來求函數(shù)的極值。
④直觀想象：探索導數(shù)與極值之間的關系。
四、教學重點與難點
重點：掌握求函數(shù)極值的方法。
難點：探索導數(shù)與極值之間的關系。
五、教學基本流程
(
回憶函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的關系，與已有知識建立聯(lián)系
)
(
創(chuàng)設情境，激發(fā)學生探究興趣
)
(
組織學生自主的探索，獲得函數(shù)的極值的定義
)
(
通過習題訓練，強化對函數(shù)的極值定義的理解
)
六、教學過程
教學環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 師生互動 設計意圖
情景導學、激發(fā)興趣 如下圖所示，在一座座大山環(huán)繞之中，雖然每一個山峰的頂端都不一定是這座群山的最高的地方，但是卻有一個一定區(qū)域的最高點。同樣，雖然說谷底不一定是群山的最低處，但是在一定的區(qū)域有一個附近的最低點。 觀察圖中函數(shù)y=f(x)的圖像，并且指出圖像與剛才看到的群山美景有什么相似的地方，并且嘗試運用數(shù)學的語言來描述出來。 教師帶領學生觀察美景，通過交流互動的方式初步的明確極值的概念。 學生分小組交流討論，給出答案。 教師做簡單總結：從圖中就可以看得出來，函數(shù)y=f(x)在x1，x3，x5這三個點上所對應的y值，都是附近的函數(shù)值當中的最高點，而x2，x4這兩個點所對應的函數(shù)的值，都是附近的函數(shù)值當中的最低點。 通過設計一些生活化的問題，來轉移學生的注意力，讓學生對本節(jié)課的問題產(chǎn)生強烈的好奇心，通過交流互動的形式提出函數(shù)極值的概念。本環(huán)節(jié)的設計重點提升學生的數(shù)學抽象能力以及建模思想的發(fā)展。
新課講授、引導探究 一、概念探究 1.極值點與極值 一般的，設函數(shù)y=f(x)的定義域為D,設x0∈D,如果對于x0附近的任意不同于x0的x，都有： f(x)f(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)的一個極小值點，且f(x)在x0處取極小值。 ☆探究活動： 如下圖所示，函數(shù)y=f(x)圖像當中A、B、C、D四個點所對應的橫坐標都為函數(shù)的極值點，已知的條件為曲線y=f(x)在A、B、C、D四個點處都存在切線，提問： （1）這四個點處的切線都具有哪些特征？通過分析特征說明y=f(x)在x1、x2、x3、x4的導數(shù)具有什么樣的特點？ （2）曲線y=f(x)在A、B、C、D四個點附近的切線有什么特征？ ☆例題解析 已知f(x)=x3，求所有能夠使得f ′(x)=0的x，并且思考最終得到的數(shù)是否是函數(shù)的極值點。 2.函數(shù)的導數(shù)與極值 （1）極小值點和極小值的概念。 （2）極大值點和極大值的概念。 （3）極值點和極值的概念歸類。 例1：一個函數(shù)f (x)的定義域是R，導函數(shù)f ′(x)所呈現(xiàn)的圖像如下圖所示，那么函數(shù)f (x)（ ） A.有3個極大值點，有2個極小值點 B.沒有極大值點，有4個極小值點 C.有4個極大值點，沒有極小值點 D有2個極大值點，有2個極小值點 例2：已知函數(shù)，求出函數(shù)的極值，并且嘗試做出函數(shù)的圖像示意圖。 函數(shù)圖像如上圖所示，結合案例總結求極值的步驟： 1.需要求出函數(shù)的定義域和導數(shù)。 2.解方程f ′(x)=0，求得出來的x的值可能有多個。 3.運用求得的解，依次將函數(shù)的定義域分為不同的區(qū)間，可以將區(qū)間的變化列出表格。 4.結合f ′(x)在不同區(qū)間的符號，最終判斷出f(x)在f′(x)＝0在各個根的地方的極值情況： 如果左邊為正右邊為負，那么此根處為極大值； 如果左邊為負右邊為正，那么此根處為極小值； 如果根的兩邊為同號的話，那么這個根就不是極值點。 學生結合教材內(nèi)容和導入實驗活動，與教師一同總結出極值點和極值的概念。 教師進行簡單的解釋分析：極大值點和極小值點都是被稱作為極值點的，極大值和極小值也同樣被稱作為極值。很顯然，如果極大值在附近的話，那么函數(shù)值就為最大，極小值點在附近的話，函數(shù)值就為最小。 學生分小組進行探究，最終得出結論： 曲線y=f(x)在四個點的位置切線都是水平的，進而得出： 通過圖中的內(nèi)容可以看出，在A和C兩點的左側，切線的斜率都是比0大的，在右側的切線，其斜率都是比0小的。在B和D兩點的附近，切線與A和C兩點是相反的，所以，兩側的符號是不一樣的。 一般的，如果x0是y=f(x)的極值點，且f(x)在x0處可導，則必有： 學生自主探究解答問題，教師與學生一同分析得出答案： 因為f ′(x)=3x2 所以，假設f ′(x)為0的話，可以得出x=0。 但是0并不是函數(shù)的極值點，因為f (0)=0，而從坐標系上看，0左邊的函數(shù)值是小于0的，并且右邊的點起函數(shù)值一直大于0，如果f ′(x0)存在的話，那么“f ′(0)=0”是極值點的必要而不充分的條件。 學生與教師一同總結函數(shù)的導數(shù)和極值的概念。 學生自主嘗試解決例1問題： 假設y=f ′(x)的圖像與x軸的交點從左邊依次為x1，x2，x3，x4，那么在1和3的位置都會得到最大值，在2和4的位置都會得到最小值。 師生合作解答例2： f ′(x)=x2-4=（x+2）（x-2） 當 f ′(x)=0，可以得出： x1=-2，x2=2 當x發(fā)生變化的時候，f ′(x)和f(x)都會發(fā)生變化 通過做表得出，當x=-2的時候，f(x)有極大值，當x=2的時候，f(x)有極小值。 借助由特殊到一般的思核心思想，引導學生歸納出導數(shù)與函數(shù)之間存在的極值的關系，進而有效的拓展學生的邏輯思維和建模意識等核心素養(yǎng)。 借助一些經(jīng)典的例題，能夠強化學生對于運用導數(shù)求函數(shù)極值方法的理解和應用，拓展學生的邏輯推理、抽象思維等多個能力。
初步運用、自主練習 結合剛才得出的結論求解下列函數(shù)的極值： (1)y＝x3－3x2－9x＋5 (2)y＝x3(x－5)2 學生自主解答，然后分小組討論： （1）y′＝3x2－6x－9 令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 當x發(fā)生變化時，y′，y的變化情況如下： 當x＝－1時，函數(shù)有極大值，且f (－1)＝10。 當x＝3時，函數(shù)有極小值，且f (3)＝－22。 （2）y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5) 令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0 求解得出x1＝0，x2＝3，x3＝5當x發(fā)生變化時，y′與y的變化情況繪制表格。 ∴x＝0不是y的極值點； x＝3是極大值點，y極大值＝f (3)＝108； x＝5是極小值點，y極小值＝f (5)＝0。 采用小組討論的形式，能夠充分的體現(xiàn)出學生之間的相互合作，有利于構建一個高效的課堂。在合作的過程中，鼓勵學生大膽的運用課堂的知識，將一些抽象的概念轉化成為圖表形式，培養(yǎng)學生的思維能力。
達標檢測、強化能力 1.函數(shù)f (x)的定義域為R，其導函數(shù)y＝f ′(x)的一部分的圖象如下圖所示，則下面給出的結論，錯誤的是(　　) A．在(1，2)上函數(shù)f (x)為增函數(shù) B．在(3，4)上函數(shù)f (x)為減函數(shù) C．在(1，3)上函數(shù)f (x)有極大值 D．x＝3是函數(shù)f (x)在區(qū)間[1，5]上的極小值點 2.設函數(shù)f (x)＝xex，則(　　) A．x＝1為f (x)的極大值點 B．x＝1為f (x)的極小值點 C．x＝－1為f (x)的極大值點 D．x＝－1為f (x)的極小值點 學生自主練習，師生共同得出答案。 1.當1＜x＜2時，f ′(x)＞0， 當2＜x＜4時，f ′(x)＜0，當4＜x＜5時，f ′(x)＞0， 由此得出，x＝2是函數(shù)f (x)的極大值點，x＝4是函數(shù)f (x)的極小值點，所以最終選擇D。 2.令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.當x＜－1時，f ′(x)＜0；當x＞－1時，f ′(x)＞0。故當x＝－1時，f (x)取得極小值。 通過達標檢測讓學生進行自主練習，為學生提供一個輕松地學習環(huán)境，有利于凸顯出學生的主體地位，讓學生在練習的過程中找到自身存在的一些困惑，將困惑及時的提出來，在課堂得到解決。
知識整合、總結提升 1.求可導函數(shù)y＝f (x)的極值的方法 2.解方程f ′(x)＝0，當f ′(x0)＝0時： (1)如果在x0附近的左邊f(xié) ′(x)＞0，右邊f(xié) ′(x)＜0，那么f (x0)是極大值； (2)如果在x0附近的左邊f(xié) ′(x)＜0，右邊f(xié) ′(x)＞0，那么f (x0)是極小值。 引導學生之間進行相互的交流討論，相互補充之后進行小結，教師對學生的表現(xiàn)進行評析，并且結合多媒體圖片給出小結。 引導學生通過交流的方式自己來總結課程知識，不僅僅是鞏固強化的過程，更重要的是學生掌握數(shù)學學習的方法，助力學生形成良好的學習習慣。
作業(yè)設計 1.已知函數(shù)f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是________。 2.已知函數(shù)f (x)＝2ef ′(e)ln x－，則函數(shù)f (x)的極大值為______。 3.若函數(shù)f (x)＝x3＋3bx2＋3b在（0,1）內(nèi)有極小值，則求出實數(shù)b的范圍。 學生獨立完成作業(yè)。 通過作業(yè)的設計不僅能夠讓學生運用課堂的知識來進行練習實踐，還可以感受到其中所蘊含的數(shù)學思想。
板書設計 導數(shù)與函數(shù)的極值 一、回憶導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 二、典型例題引出概念 三、探究例題得出解題方法 四、歸納小結 五、作業(yè)安排
七、教學反思
在新課標的背景下，教師不僅僅是課堂教學知識的傳授者，更多的是在課堂上引導學生學習的組織者和參與學生活動的合作者。為此，在本節(jié)課的教學環(huán)節(jié)，我采用“創(chuàng)設情境——構建模型——求解答案——解釋反思——實踐應用”的教學模式，引導學生通過對問題探究的方法，來獲取知識和經(jīng)驗，而學生在課堂上不僅僅是本節(jié)課知識點的掌握，更多的是學會了數(shù)學思想和數(shù)學學習方法。
本節(jié)課運用多媒體輔助教學的形式，充分的調(diào)動學生的積極性，讓學生在感興趣的基礎上進行探究。在課堂的例題分析和探索環(huán)節(jié)，則采用小組合作的形式，提升了學生的自主學習能力和探究的能力，基本上完成了高效課堂的構建。本節(jié)課的核心內(nèi)容為導數(shù)與函數(shù)的極值，通過利用導數(shù)來求函數(shù)的最大值和最小值，學生借助一些例題分析，熟練的掌握求極值的過程和方法。在課堂上以學生的自主探究為主要方向，引導學生及時的歸納學習的方法，熟練的運用理論知識來解決實際問題。在探究的過程當中，讓學生對題型進行歸類，分析解題步驟，同時積累一些高考題型和創(chuàng)新題型的解答方法，讓學生從不同的角度來分析問題，進而形成良好的知識網(wǎng)絡框架。在課堂學生通過自主探究、小組合作的方式感受導數(shù)與函數(shù)的樂趣，培養(yǎng)了學生的學習自信心。
當然，本節(jié)課還存在一些不足之處，需要在以后的教學中進行及時的改進。首先，學生對于一些探究性的問題研究的還不夠全面，只是針對課堂的一些問題進行討論，對于探究中新生成的問題，其解決意識和能力還有待提升。其次，學生的運用能力還需要強化，尤其是函數(shù)的求導計算。在未來的教學中，應該引導學生從不同的方向思考問題，鼓勵學生大膽的探究，以此促進學生全面發(fā)展。
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