資源簡介

(共20張PPT)
5.5 數學歸納法
新授課
1. 了解數學歸納法的原理及使用范圍；
2. 掌握數學歸納法證題的兩個步驟和一個結論；
3. 能用數學歸納法證明一些簡單的命題.
情境 1：有人看到樹上有一只烏鴉，感慨道“真是天下烏鴉一般黑啊！”，請問這個結論正確嗎？
情境 2：如果{an}是一個等差數列，通過下列推定可得： a1 = a1 = a1 + 0×d，
a2 = a1 + d = a1 + 1×d，
a3 = a2 + d = a1 + 2×d，
······
歸納可得： an= a1 + (n – 1)d.
這個結論一定正確嗎？
思考：上述命題結論不一定都是正確的，如何解決這些存在的問題呢？
知識點 1：數學歸納法
思考：當 n 較小時，可逐一驗證，但當 n 取所有正整數時，如何驗證？
思路：通過有限個步驟的推理，證明 n 取所有正整數時命題都成立.
在多米諾骨牌游戲中，一列排好的多米諾骨牌，如果推倒第1張，則會讓第2張倒下，而且后續的每一張倒下時能夠導致下一張也倒下，則所有的骨牌都能倒下.
① 第一塊骨牌倒下；
② 任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下；
（2）條件 ② 的作用是什么？如何用數學語言描述它？
遞推關系：第 k 塊骨牌倒下 第 k + 1 塊骨牌倒下.
結論：無論有多少塊骨牌，只要保證①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
（1）在游戲中，多米諾骨牌都倒下的關鍵點是什么？
理解：依據當n = k時，①式成立，證明了n = k + 1時， ①式也成立.
已知n=1,2,3,4,5都是成立的，則n=5+1=6也成立，n=6+1=7也成立，依次類推，所以①式對任意的正整數都成立了.
歸納總結
對所有正整數 n (n ≥ n0，n∈N*)，命題都成立
證明一個與正整數 n (n ≥ n0，n∈N*) 有關的的命題
ⅰ證明當n = n0 (n0∈N*)時
命題成立
ⅱ假設當n = k (k ≥ n0，k∈N*) 時命題成立，證明當n = k + 1 時命題也成立
歸納奠基
歸納遞推
一個結論
數學歸納法
兩個步驟
知識點 2：用數學歸納法證明相關問題
典例剖析
典例剖析
用上假設
通分、提取公因式
歸納總結
用數學歸納法證明恒等式時應關注以下三點：
(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；
(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加或減少了哪些項；
(3)證明n=k+1時結論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯系，并朝n=k+1證明目標的表達式變形.
1.用數學歸納法證明 1 + 2 + 3 + + 4n = 8n2 + 2n (n∈N*).
(1)則當 n = k + 1時，等式兩端在 n = k 的基礎上是如何變化的？
練一練
當 n = k (k∈N*) 時，1 + 2 + 3 + + 4k= 8k2 + 2k ；
當 n = k + 1 時，1 + 2 + 3 + + 4k + + 4(k + 1)= 8(k+1)2+2(k+1) ；
故左端應在 n = k 的基礎上加上 (4k+1) + (4k+2) + (4k+3) + (4k+4)；
右端應在 n = k 的基礎上加上16k+10.
(2)請寫出證明等式恒成立的完整過程.
用數學歸納法證明“凸n邊形的內角和等于(n－2)π”時，歸納奠基中n0的取值應為 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
練一練
C
典例剖析
典例剖析
典例剖析
歸納總結
用數學歸納法證明不等式
當遇到與正整數n有關的不等式證明時，關鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時也成立，證明時運用歸納假設后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明．運用放縮法時，要注意放縮的“度”．
練一練
1. 什么是數學歸納法？.
2. 說說如何用數學歸納法證明一些簡單的命題？
回顧：結合本節課所學，回答下列問題？《數學歸納法》教學設計
執教教師 ××× 學科 數學 授課日期 2023.5.18
講授章節 第五章 授課主題 § 5.5 數學歸納法
課時 1課時 課型 新授課 執教對象 高二學生
課標解讀 在本節中，應注意從具體示例中感悟數學歸納法的原理，了解數學歸納法的關鍵步驟，能用數學歸納法證明數列中的一些簡單命題，以及與正整數有關的命題.積累從具體到抽象的活動經驗，學習有邏輯地思考問題，形成有條理的思維習慣.引導學生體會從特殊到一般、從無限到有限的思維過程，有利于提升學生的數學抽象、數學運算、直觀想象、數學建模、邏輯推理等核心素養.
教材分析 本節內容選自《2019人教B版高中數學選擇性必修三》第五章《數列》，本節課主要學習數學歸納法，數學歸納法可以證明與正整數有關的命題，它是一種有鮮明邏輯特色的證明方法.教材從具體實例出發，總結數學歸納法證明的步驟和作用：第一步為基礎步驟，第二步為遞推關鍵，二者缺一不可. 數學歸納法亮點就在于，通過有限個步驟的推理，證明取無限多個正整數的情形，這也是無限與有限辨證統一的體現.并且，本節內容是培養學生嚴謹的推理能力、訓練學生的抽象思維能力、體驗從特殊到一般的思維過程的素材. 教學時可以根據學生的接受情況，借助“探索與研究”中的多米諾骨牌幫助學生理解數學歸納法.利用數學歸納法可以證明與正整數有關的等式、不等式、命題等，其中不等式的證明是難點.
學情分析 學生已經在之前在數列的通項公式部分初步學習了不完全歸納法，即由有限個特殊例子歸納出一般的結論.但不完全歸納法得出的結論不一定正確，因此，我們需要在不完全歸納法的基礎上，進一步學習嚴謹的科學的論證方法—數學歸納法. 學生學習這部分需要著重理解數學歸納法的原理和核心步驟，引導學生通過對數學歸納法的學習，經歷從具體到抽象的過程，逐步形成邏輯的推理方式.
教學目標 了解數學歸納法的原理和步驟，能用數學歸納法證明關于正整數的數學命題； 借助具體實例，進行大膽猜測和證明，理解數學歸納法的原理和步驟； 感受類比、從具體到抽象、從特殊到一般的數學思想方法，逐步培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力.
教學 重難點 教學重點：數學歸納法的原理和基本步驟
教學難點：數學歸納法的原理
教學過程
教學環節 師生活動
情境問題 探究1：已知數列中，且 . 問題1：求出這個數列的第2、3、4、5項； 問題2：你能由此猜出數列的通項公式并給出證明嗎？ 【設計意圖】通過具體問題的思考和分析，給予學生表達和交流的機會，借此機會鼓勵和引導學生在已有的知識基礎上進行大膽猜測，進而提出與正整數有關的問題. 探究2：怎樣才能證明這一點呢？我們已經知道前面5項都是滿足的，原則上需要對后面的每一項都進行驗證，但因為后面有無數項，所以一一驗證是不可能的，不過用下述方法可以給出后面的每一項也滿足的嚴格證明.
證明：（ⅰ）已知前5項都滿足； （ⅱ）假設時，成立. 根據已知條件和假設可知 ， 即時，成立， 由以上兩點的陳述，就能說明對任何正整數都是成立的.
探究新知 探究新知 探究3：數學歸納法的定義 數學歸納法的定義 一般地，證明一個與正整數有關的命題，可按下列步驟進行: （ⅰ）當時，命題命題成立； （ⅱ）在假設時命題成立的前提下，能夠推出時命題也成立. 由上（ⅰ）（ⅱ）兩個步驟，就可以說明命題對大于等于的所有正整數n都成立. 【設計意圖】引導學生理解數學歸納法的基本思想，找到把所有結論遞推下去的依據，就可以把結論推廣到所有的正整數. 深刻理解數學歸納法： 數學歸納法中的兩個步驟缺一不可，只完成第一步而缺少第二部就作出判斷，可能得出不正確的結論.因為單靠第一步無法遞推下去，即取以后的數時命題是否正確，我們無法判定，同樣，只有第二步而沒有第一步時，也可能得出不正確的結論，缺乏第一步這個基礎，假設就失去了成立的前提，第二步就沒有意義了. （2）用數學歸納法證明有關問題的關鍵在于第二步，為何要求，這是要保證的一般性和任意性，能夠取到大于等于的所有正整數.此外時命題為什么成立，應該用命題成立這一假設條件，然后根據題意和假設等推出時命題也成立，而不是直接代入，否則時命題成立也變成假設條件了，沒有進行遞推，命題也就沒有得到證明.這里的，保證了命題成立時的連續性.
典例分析 探究4：用數學歸納法證明，對任意正整數，都有 證明：（ⅰ）當時，左邊=右邊=1，等式成立； （ⅱ）假設時，等式成立，即 則當時， 所以，此時時等式也成立. 綜上，由（ⅰ）（ⅱ）可知，等式對任意正整數都成立. 【設計意圖】通過典型例題，加深學生對數學歸納法的理解和運用，發展學生邏輯推理，引導學生理解用數學歸納法證明恒等式時，應關注以下三點: （1）弄清取時等式兩端項的情況，在第一步中，考察使得結論成立的最小整數，這一步是遞推的基礎； （2）弄清從到等式兩端增加了哪些項或減少了哪些項； （3）證明時結論也成立，要設法將的假設利用上，建立兩者之間的聯系，并朝證明目標的表達式變形，這一步是遞推的關鍵.
延申拓展 有人認為可以借助多米諾骨牌來理解數學歸納法，如圖所示，一列排好的多米諾骨牌，如果推倒第1張，而且后續的每一張倒下時能夠導致下一張也倒下，則所有的骨牌都能倒下，你覺得這種理解方式怎么樣？ 【設計意圖】在數學歸納的原理及應用之后，展示多米諾骨牌倒下的過程，由多米諾骨牌幫助學生加深對數學歸納法原理的理解.
課堂小結 【設計意圖】通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力，從知識層面和思想層面再次回顧和假設對數學歸納法的理解.
板書設計
§ 5.5 數學歸納法 數學歸納法的基本步驟 ppt展示 探究1證明過程
教學反思
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