資源簡介

(共24張PPT)
5.2.2 等差數列的前n項和
情境與問題
為了達到更好的音響和觀賞效果，很多劇場的座位都是排成圓弧形的。
某公司要為一個類似的劇場定做椅子，而且劇場座位的排列規律是：第一排36個，以后每一排比前一排多6個，共有8排，你能幫這個公司算出共需要多少椅子嗎？
情境與問題
1.上述情境中每排椅子數有什么規律？
某公司要為一個類似的劇場定做椅子，而且劇場座位的排列規律是：第一排36個，以后每一排比前一排多6個，共有8排，你能幫這個公司算出共需要多少椅子嗎？
構成一個
等差數列
情境與問題
2.共需要多少把椅子，實際上是求什么？
1.上述情境中每排椅子數有什么規律？
某公司要為一個類似的劇場定做椅子，而且劇場座位的排列規律是：第一排36個，以后每一排比前一排多6個，共有8排，你能幫這個公司算出共需要多少椅子嗎？
等差數列
的前8項和
情境與問題
2.共需要多少把椅子，實際上是求什么？
1.上述情境中每排椅子數有什么規律？
3.怎樣求前8項和？
如果項數多，該怎么求？
某公司要為一個類似的劇場定做椅子，而且劇場座位的排列規律是：第一排36個，以后每一排比前一排多6個，共有8排，你能幫這個公司算出共需要多少椅子嗎？
5.2.2 等差數列的前n項和
嘗試與發現
如圖所示，建筑工地上堆放著一些鋼管，最上面一層有4根，下面每一層比上一層多放一根，共8層。
在不逐個相加的前提下，你能想辦法算出這些鋼管共有多少根嗎？
解：從上到下每一層的數量
構成一個等差數列{an}.
嘗試與發現
設想在如圖鋼管旁邊再放同樣多的鋼管，但是倒過來放置，如圖：
這時，每一層的鋼管數是相同的，都是4+11根，因此建筑工地上鋼管總數為
設等差數列{an}的前n項和為Sn，
Sn = a1 + a2 + a3 +…+an-2 + an-1 + an
Sn = an +an-1 +an-2 +…+a3 + a2 + a1
等差數列的求和公式：
倒序相加法
探究新知
等差數列的前n項和可以用類似的方式得到嗎？
n
a1
an
類比記憶
幾何法理解等差數列的前n項和公式的推導
嘗試與發現
上述等差數列的前n項求和公式與首項和第n項有關，你能將其改寫成與公差有關的形式嗎？
等差數列前n項和公式
公式1
公式2
比較兩個公式的異同:
例1.
解:由等差數列的通項公式可得29=a1+19×2，所以a1=-9，因此
例題講解
解:由等差數列的通項公式可得29=a1+19×2，所以a1=-9，因此
　 例2.
例題講解
解：可以看出所求數列是公差為7的等差數列.設 共有n項，則208=5+（n-1）×7，解得n=30，所以
知三求二
情境與問題
如果項數多，該怎么求？
某公司要為一個類似的劇場定做椅子，而且劇場座位的排列規律是：第一排36個，以后每一排比前一排多6個，共有8排，你能幫這個公司算出共需要多少椅子嗎？
例題講解
牢記方法
例題講解
例題講解
例題講解
等差數列前n項和的最值問題有兩種方法：
(1) 由
數相關知識求最值；
利用二次函
(2) 當a1＞0，d＜0，前n項和有最大值.
可由an≥0，且an＋1 ＜ 0，求得n的值；
當a1＜0，d＞0，前n項和有最小值.
可由an≤0，且an＋1 ＞ 0，求得n的值.
結論
本節課你有什么收獲？
小結
1.掌握等差數列的前n項和的兩個公式
2.等差數列前n項和公式的推導；
3.等差數列前n項和的最值問題；
4.等差數列前n項和公式解決實際問題。
作業
1.書26頁練習A，練習B習題;
2.請同學們聯系實際生活出
一道等差數列求和問題并
計算出來。等差數列的前n項和
課程內容（課名） 等差數列的前n項和 版本 2019人教B版
年級學科 高中數學 課時 8-10分鐘
章節 選修三第五章數列5.2.2
一、學習者特征分析
學生通過上一節的學習，已經了解了等差數列的定義，基本上掌握了等差數列的通項公式和性質，會運用等差數列的定義、性質進行解題，本節課的內容可以看作等差數列的另一性質，公式的推導需要學生應用上節所學內容，因此探究新知過程對學生的思維要求不高，學生的運算能力和邏輯思維能力可以得到有效鍛煉。
二、學習內容分析
教材把等差數列的前n項和公式看成了等差數列的一個性質，即這個公式可以根據前面學習的等差數列的概念、通項公式和性質推導出來。歷史上出現的最簡單的方法可能是“倒序相加法”，這是一個被廣泛引用的方法，這種方法建立在對等差數列深入理解的基礎上，即掌握等差數列的某些性質的基礎上。教材創設了一條探究等差數列前n項和公式的路徑，讓學生經歷利用等差數列的性質推導出“倒序相加法”的過程，將提高“四能”滲入其中。
三、學習目標
理解等差數列的前n項和公式的推導方法和原理，會利用等差數列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題； 通過公式的推導過程，體驗從特殊到一般的研究方法，滲透方程思想和數形結合思想，培養學生觀察、歸納、反思能力； 通過歷史素材和數學史，激發學生的探究興趣和欲望，公式的發現反映了普遍性寓于特殊性之中，培養學生探究總結能力。
四、教學重難點
重點：探究并掌握等差數列的前n項和公式，等差數列前n項和公式的應用 難點：由特殊的等差數列求和推廣到一般的等差數列求和，如何由“首尾相加法”轉化到“倒序相加法”。
五、教學策略選擇與設計
建構主義學習理論認為，學習是學生積極主動的建構知識的過程，學習應該與學生熟悉的背景相聯系。在教學過程中，讓學生在問題情境中，經歷知識的形成和發展；讓學生在觀察、操作、歸納、思考、探究、交流、反思參與的活動中學習，認識和理解數學知識，學會學習，發展能力。因此采用問題引導式及多媒體輔助教學的方法。 教師是知識的傳授者，學生學習的引導者、組織者和合作者。采用“問題情景——建立模型——求解——解釋——推廣”的教學模式，啟發引導學生通過對問題的體驗，獲得知識并掌握方法。多媒體可以使教學內容生動、鮮明地得到展示。
六、教學過程設計
教學環節1.創設情境引入新課課堂活動 教師介紹問題：古算書《張邱建算經》中有一問：今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次為之，轉為一錢，共有百人，問共與幾錢？ PPT展示問題情景，引導學生列出算式1+2+3+…+100 提出問題一：如何計算1+2+3+…+100設計意圖：通過古算數中數列求和的例子創設情景，滲透數學文化，算書中蘊含的問題情景與高斯算法的解決思路一致，便于引入高斯算法的思想。教學環節2.首尾相加法介紹高斯的基本情況（高斯，德國數學家，近代數學的奠基者之一，他在天文學、大地測量學、磁學、光學等領域都做過杰出貢獻），講解高斯在解決1+2+3+…+100問題的思路，即講首項1與尾項100求和，第二項2和導數第二項99求和，依次對應求和，得到50個101，求和結果5050 追問：為什么1+101=2+99=…=50+51？這是巧合嗎？從數列的角度給出解釋 介紹首尾相加的數列求和方法，并指出該方法的局限性（需要對項數的奇偶進行分類討論）設計意圖：介紹高斯求1，2，3，…，100的和的故事，在故事中融入“首尾相加”的求和過程，研究出高斯算法利用了數列1，2，3，…，n,…的什么性質，可以將高斯算法推廣為求1，2，3，…，n，…的前n項和的方法。另外由可知，一般的等差數列都可以轉化成求1，2，3，…，n，…的前n-1項和的問題。指出高斯求和奇偶項許分類討論的局限性，為引出“倒序相加法”提供契機。教學環節3.倒序相加法展示若干按順序排列的三角形點陣，通過計算點的數量引入三角數的概念，啟發學生1+2+3+…+100也是三角數 從三角書的幾何特征入手，展示一個n行的三角形點陣，點的數量就是Sn=1+2+3+…+n，將點陣中心旋轉得到平行四邊形點陣，此時每行均有n+1個點，因此得到，求出首項為1，公差為1的等差數列前n項和的公式。 三角形點陣旋轉180°，就是“倒序”的思想，通過每行點求和，即“倒序相加”的思想方法，借助三角數的幾何特征，讓學生直觀體會倒序相加的求和方法。并將該方法推廣到一般等差數列的前n項和 借助倒序相加的思想，將進行倒序，兩式對應項相加，借助等差數列的性質，推導出一般數列前n項的公式。設計意圖：學生很難自己提出倒序相加法，為此引入三角數的概念，通過三角形點陣的幾何變換滲透倒序求和的思想，得到求特定數列1，2，3，…，n,…前n項和的公式。在學習倒序相加的方法后，啟發學生推導一般數列前n項和公式。教學環節4.推廣與總結提出問題二，是否還有其他求和公式？ 回顧等差數列的定義及其通項公式，結合公式，帶入得到，指出這種方法實際上就是我們之前提到的把求等差數列的前n項和問題轉化為求1，2，3，…，n，…前n-1項和問題的方法，分析兩個公式各適用于什么情況。 總結：知識層面，，方法層面：首尾相加法，倒序相加法，學科素養：數學抽象、邏輯推理、數學運算。設計意圖：在實際應用過程中，求和公式1并不能完全解決問題，因此從公式Ⅰ出發，引導學生探究求和公式的其他形式，在推導公式1時進行等差數列性質的回顧，在拓展公式Ⅰ時帶領學生回顧等差數列的概念及通項公式，通過對比公式1和2的不同應用情景，方便學生記憶并理解公式，等差數列的前n項和公式1和公式2實際上是等差數列的5個相關量的等量關系。
七、教學評價
本節課教學過程為：提問題，探究思考，解決問題，整理提高。在解決問題時，角度比較全面，加強了知識間的聯系，使課堂過渡流利，詳略適度，突出了重點與難點。 本節課以問題貫穿課堂，通過解決問題來推進教學進程，學生在老師的帶領下體驗思考問題、分析問題、解決問題的樂趣。 本節課采用多媒體課件演示的方式，激發學生的學習興趣，使學生在掌握知識的同時，體驗數形結合思想。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
教學資源應用計劃表
題目 等差數列求和 學科 數學 制表人
知識點 資源名稱 素材類型 水平 來源 使用時間 應用方式與作用
1、創設情境，導入新課 《張邱建算經》 文字 感知 現有 1分鐘 導入新課，整體感知，引發興趣
2、首尾相加法 高斯算法 文本 理解 現有 3分鐘 類比探究，初步掌握，為下一步教學做準備
3、三角數 三角形點陣 圖像文本 感知 開發 1分鐘 為探究倒序相加法做準備
4、倒序相加法 平行四邊形點陣 圖像文本 理解 現有 3分鐘 直觀感知倒序相加法，為推導公式提供理論方法
5、拓展與總結 公式2 文本 綜合 現有 2分鐘 整體回顧，課堂總結
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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